苏科版九年级数学上册复习：切线长定理及三角形的内切圆【七大题型】

专题2.7切线长定理及三角形的内切圆【七大题型】

【苏科版】

【题型1利用切线长定理求周长】..............................................................1

【题型2三角形内切圆中求角度】..............................................................2

【题型3三角形内切圆中求面积1..............................................................................................4

【题型4三角形内切圆中求线段长度】...........................................................4

【题型5三角形内切圆中求半径】..............................................................5

【题型6三角形内切圆中求最值】..............................................................6

【题型7外接圆和内切圆的综合运用】...........................................................7

>V

。如声，，二

【知识点1切线长定理及三角形的内切圆】

（1）切线长定理：过圆外一点所画的圆的两条切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角

（2）三角形内切圆

内切圆的圆心是A

与三角形各边都三角形三个内角三角形的内心到

相切的圆叫做三的角平分线的交三角形三边的距

三角形内切圆角形的内切圆点，叫做三角形的离相等

内心

【题型1利用切线长定理求周长】

【例1】（2022秋•宜兴市校级期中）如图，△ABC是一张三角形的纸片，。。是它的内切圆，点O是其中

的一个切点，

已知AO=10。〃，小明准备用剪刀沿着与。。相切的任意一条直线剪下一块三角形SAMN）,则

剪下的的周长为.

【变式1-1］（2022秋•莒南县期末）如图，PA.尸8切。。于A、8两点，C。切。。于点E,分别交B4、

PB于点C、D.若PA,PB的长是关于尤的一元二次方程x2-）wc+m-1=0的两个根，求的周长.

【变式1-2]（2022•雨花区校级三模）如图，△ABC中，/C=90°,BC=5,。。与△ABC的三边相切于

点。、E、F,若。。的半径为2,则△ABC的周长为（）

A.14B.20C.24D.30

【变式1-3]（2022秋•崇川区月考）如图，尸是。。外一点，加、尸8分别和。。相切于点A、B,C是劣

弧通上任意一点，过C作。。切线QE,交心、PB于点。、E,已知外的长为5c机，ZDOE=65°,

点M、N分别在PA.PB的延长线上，MN与（30相切于点F,已知DN、EM的长是方程f-Wx+k=0

的两根.

（1）求/尸的度数；

（2）求△「£）£：的周长；

【题型2三角形内切圆中求角度】

【例2】（2022•温州模拟）如图，在RtZXABC中，ZA=9Q°,。。是它的内切圆，与AS,BC,CA分别

切于点。，E,F,若NACB=40°,则/。OE=

【变式2-1］（2022秋•昌平区期末）如图，。。是△ABC的内切圆，切点分别为E,F,已知/A=40°,

连接。8,OC,DE,EF,贝!J/8OC=°,ZDEF=°.

【变式2-2］（2022•万年县校级模拟）如图，△ABC中，内切圆/与AB,BC,C4分别切于尸，D,E,连

接BI,CI,再连接正£>,ED,

（1）若/A=40。,求/B/C与/即E的度数.

（2）若/B/C=a；试猜想a,|3的关系，并证明你的结论.

【变式2-3］（2022秋叶B江区期中）如图，在△ABC中，AB=AC,AOL8C于点。，点M是△ABC内一

点，连接交于点N,已知/AM8=108°,若点〃是△CAN的内心，则/BAC的度数为（）

A.36°B.48°C.60°D.72°

【题型3三角形内切圆中求面积】

【例3】（2022秋•黄冈期中）如图，边长为1的正方形A3CD的边A3是。。的直径，C尸是。。的切线，

E为切点，F点在上，8E是。。的弦，求的面积.

【变式3-1］（2022•武汉模拟）如图，48是。。的直径，C是。。上一点，E是△ABC的内心，OELEB.若

AE=2位,则△ABE的面积为（）

A.2V2C.V2

【变式3-2］（2022春•海曙区校级期中）如图，花边带上正三角形的内切圆半径为la”.如果这条花边带

有100个圆和100个正三角形，则这条花边的面积为（）

A.150兀B.150V3C.300V3D.200

【变式3-3］（2022•齐齐哈尔一模）如图，正方形ABCZ）边长为4c7九，以正方形的一边8C为直径在正方形

48cLl内作半圆，过A作半圆的切线，与半圆相切于尸点，与DC相交于£点，则△ADE的面积（）

cm2

A.12B.24

【题型4三角形内切圆中求线段长度】

【例4】（2022秋•乌兰察布期末）如图，。。分别切△ABC的三条边A3、BC、CA于点。、E、F、若A3

=5,AC=6,8c=7,求A。、BE、CF的长.

A

【变式4-1］（2022秋•崇川区月考）如图，已知△ABC的内切圆。与三边分别切于£>、E、FZA=60°,

CB=6cm,△ABC的周长为16c机，则。尸的长等于（）

A.2cmB.3cmC.4cmD.6cm

【变式4-2］（2022秋•龙凤区期末）如图，在RtZkABC中，NC=90°,AC=3,BC=4,。。是△ABC

的内切圆，点。是斜边A8的中点，则。。的长度是.

【变式4-3］（2022•永定区模拟）如图，已知在矩形ABC。中，AB=12,BC=16,。。1和。Q分别是

△ABC和△ADC的内切圆，点E、尸为切点，则所的长是cm.

【题型5三角形内切圆中求半径】

【例5】（2022•定安县二模）如图，在矩形ABCD中，AD<AB,AD=9,AB=12,则△AC。内切圆的半

AB

A.1B.2C.3D.4

【变式5-1］（2022秋•张店区期末）如图，在中，ZC=90°,BC=3,AB=5,。。是RtZXABC

的内切圆，则。。的半径为（）

【变式5-2］（2022秋•虎丘区校级期中）若四边形A3CQ有内切圆（与四边形四边均相切），四边形面积

为S,各边长分别为〃，b,c,d,则该圆的直径为（）

.a+b+c+d-.S__c—d2.S

A.----------B.——C.———-D.-----------

Sa+cS（a+b）a+b+c+d

【变式5-3］（2022秋•南丹县期末）如图，△A8C的内切圆。O分别与AB,AC,8C相切于点Q,E,F.若

NC=90°,AC=6,BC=8,则。。的半径等于.

【题型6三角形内切圆中求最值】

【例6】（2022春•长兴县月考）如图，矩形ABCDAO=6,AB=8,点P为BC边上的中点，点。是△

ACD的内切圆圆0上的一个动点，点M是C。的中点，则PM的最大值是.

【变式6-1］（2022秋•扬州月考）如图是一块△ABC余料，已知AB=20c",BC=】cm,AC^l5cm,现将

余料裁剪成一个圆形材料，则该圆的最大面积是

A

【变式6-2]（2022•温州自主招生）设等边△ABC的内切圆半径为2,圆心为/.若点P满足P/=l,则4

ABC与△APC的面积之比的最大值为.

【变式6-3]（2022秋•滨湖区期末）已知点C是。。上一动点，弦AB=6,ZACB=120

（1）如图1,若CZ）平分NACB,求证：AC+BC=CD；

（2）如图2,AABC内切圆半径为r.①用含厂的代数式表示AC+8C；②求厂的最大值.

【题型7外接圆和内切圆的综合运用】

【例7】（2022秋•滨湖区期末）设两直角边分别为3、4的直角三角形的外接圆和内切圆的半径长分别为R

和r,则R-r=.

【变式7-1]（2022•鞍山模拟）如图，。。内切于Rt^ABC,切点分别为。、E、F,NC=90°.已知/

AOC=120°,则NOAC=°,/B=0.已知AC=4cm,BC=3cm,则△ABC的

外接圆的半径为cm,内切圆的半径为cm.

【变式7-2]（2022•游仙区模拟）如图，在△A8C中，N8AC=60°,其周长为20,。/是△A8C的内切

圆，其半径为次，则△B/C的外接圆直径为.

【变式7-3]（2022秋•♦州区校级月考）如图,在RtZkABC中，LC=8,BC=6,ZC=90°.。/分别切

AC,BC,AB于点。，E,F,求RtAiABC的内心/与外心。之间的距离.

专题2.7切线长定理及三角形的内切圆【七大题型】

【苏科版】

旦元ju

【题型1利用切线长定理求周长】...............................................................1

【题型2三角形内切圆中求角度】...............................................................2

【题型3三角形内切圆中求面积1...............................................................................................4

【题型4三角形内切圆中求线段长度】..........................................................4

【题型5三角形内切圆中求半径】...............................................................5

【题型6三角形内切圆中求最值】...............................................................6

【题型7外接圆和内切圆的综合运用】..........................................................7

。如声，!二

【知识点1切线长定理及三角形的内切圆】

(1)切线长定理：过圆外一点所画的圆的两条切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条

切线的夹角

(2)三角形内切圆

内切圆的圆心A

与三角形各是三角形三个三角形的内

边都相切的内角的角平分心到三角形

三角形内切圆叫做三角线的交点，叫三边的距离

圆形的内切圆做三角形的内相等

心

【题型1利用切线长定理求周长】

【例1】(2022秋•宜兴市校级期中)如图，△ABC是一张三角形的纸片，。。是它的内切

圆，点。是其中的一个切点，

已知AD=10c〃3小明准备用剪刀沿着与。。相切的任意一条直线剪下一块三角形(4

AMN),则剪下的△AMN的周长为20c〃？.

【分析】利用切线长定理得出DM=MF,FN=EN,AD=AE,进而得出答案.

【解答】解：:△ABC是一张三角形的纸片，0O是它的内切圆，点。是其中的一个切

点，AD=10cm,

...设E、歹分别是。。的切点，

故。凡FN=EN,AD=AE,

：.AM+AN+MN=AD+AE=10+10=20(cm).

分别交PA,PB于点C、D.若PA.PB的长是关于尤的一元二次方程x2-iwc+m-1=0

【分析】由出、切。。于4、8两点，CO切。。于点E,根据切线长定理，可得用

=PB,又由PA,PB的长是关于x的一元二次方程幺-mx+rn-1=0的两个根，根据根与

系数的关系，可求得R1与尸3的长，又由切。。于点E,即可得△PC£＞的周长等于

PA+PB.

【解答】解：PB的长是关于x的一元二次方程％2-mx+m-1=0的两个根，

PA+PB=m,PA*PB=m-1,

*：PA.尸3切。。于A、3两点，

：.PA=PB^~,

2

omm1

即n一•一=m-I,

22

BPm2-4m+4=0,

解得：m=2,

・・・B4=P3=l,

尸3切。。于A、3两点，CO切。。于点E,

：.AD=ED,BC=EC,

：.APCD的周长为：PD+CD+PC=PD+DE+EC+PC=PD+AD+BC+PC=PA+PB=2.

【变式1-2］（2022•雨花区校级三模）如图，△ABC中，ZC=90°,BC=5,。。与AABC

的三边相切于点。、E、F,若。。的半径为2,则△ABC的周长为（)

B

A------------C

E

A.14B.20C.24D.30

【分析】设AO=x,由切线长定理得AE=x,根据题意可得四边形OEC尸为正方形，则

CE=CF=2,BD=BF=3,在直角三角形42c中，利用勾股定理求出X,然后求其周长.

【解答】解：连接OE、OF,设A〃=x,由切线长定理得AE=x,

:。。与RtZkABC的三边分别点。、E、F,

：.OE±AC,OF±BC,

四边形OEC尸为正方形，

:。。的半径为2,BC=5,

:.CE=CF=2,BD=BF=3,

.,.在RtZkABC中，

,.'A^+BC^^AB2,即（尤+2）2+52=（尤+3）2,

解得x=10,

.♦.△ABC的周长为12+5+13=30.

【变式1-3］（2022秋•崇川区月考）如图，P是。。外一点，PA.尸8分别和。。相切于点

A、B,C是劣弧而上任意一点，过C作。。切线OE,交B4、PB于点D、E,已知B4

的长为5。〃，ZDOE^65°,点M、N分别在必、尸2的延长线上，MV与。。相切于点

F,已知DN、EM的长是方程X2-10x+左=0的两根.

（1）求/P的度数；

（2）求△2£>£：的周长；

（3）求四边形。EA/N的周长.

【分析】(1)只要证明/AO8=130°,ZPAO=ZPBO=90°,再利用四边形内角和定

理即可解决问题；

(2)利用切线长定理即可解决问题；

(3)因为ZW、EM的长是方程x2-10x+A=0的两根.可得ON+EM=10,再利用切线长

定理即可解决问题；

【解答】解：(1)连接。4、OB、OC.

：.PA,PB、OE是。。的切线，

：.PA±OA,OBLPB,ZDOA=ZDOC,ZEOB=ZEOC,

•：2DOE=65°,

AZAOB=130°,NB4O=/PBO=90°,

AZP=360°-90°-90°-130°=50°.

(2)VB4>PB、OE是。。的切线，

：.DA=DC,EC=EB,PA=PB=5,

：.丛PDEW^1=PD+DE+PE=PD+DA+PE+EB=PA+PB=10.

(3),:DN、EM的长是方程x2-10x+G=0的两根.

：.DN+EM=10,

：.PN,PM,MN是。。的切线，

：.AN=NF,MF=MB,DA=DC,EC=EB,

二四边形EMN。的周长=EM+W+QN+DE=EM+BM+7VA+OA+EB+£W=2(DN+EM)=

20.

【题型2三角形内切圆中求角度】

【例2】(2022•温州模拟)如图，在Rt^ABC中，NA=90°,。。是它的内切圆，与A3,

BC,CA分别切于点。，E,F,若/ACB=40°,则/DOE=130°.

【分析】利用直角三角形性质求出N4BC=50°,再利用切线性质求出NBOO=/8E。

=90°,再利用四边形内角和为360°,即可求得答案.

【解答】解：在Rt/XABC中，VZA=90°,ZACB=40°,

AZABC=90°-90°-40°=50°,

:。。是RtaABC的内切圆，与AB,BC,C4分别切于点D,E,F,

：.AB.2c是。。的切线，

：.ZBDO=ZBEO=90°,

/OOE=360°-ZBDO-ZBEO-ZABC=130°,

故答案为：130°.

【变式2-1］（2022秋•昌平区期末）如图，。。是△ABC的内切圆，切点分别为。，E,F,

已知/A=40°,连接08,OC,DE,EF,则已BOC=110°,ZDEF=70°.

【分析】连接。。和OR根据内切圆的性质可得08,0c平分NABC,ZACB,再根据

三角形内角和定理即可求出角BOC的度数；根据切线的性质可得/。。尸的度数，进而

根据圆周角定理可得的度数.

【解答】解：如图，连接OD和。F，

:。。是aAaC的内切圆，切点分别为。，E,F,NA=40°,

：.OB,OC平分NABC,ZACB,

AZBOC=180°-ZOBC-ZOCB

=180°--(ZABC+ZACB)

2

-i

=180°--X1400

2

=110°,

U：OD.LAB,OFLAC,

：.ZADO=ZAFO=90°,

：.ZDOF=360°-90°-90°-40°=140°,

AZDEF=-Z.Z)OF=70°.

2

故答案为：110,70.

【变式2-2](2022•万年县校级模拟)如图，△ABC中，内切圆/与AB,BC,CA分别切

于F，D,E,连接8/,CI,再连接阳，ED,

(1)若NA=40°,求NB/C与/阳E的度数.

(2)若/BIC=a；ZFDE—^>,试猜想a,P的关系，并证明你的结论.

【分析】(1)根据圆/是△ABC的内切圆求出//BC+N/C8=：(ZABC+ZACB),求

出NABC+NACB的度数，求出//BC+N/CB即可；连接ZF、IE,求出NF/E,即可求出

ZFDE；

(2)由(1)得出NB/C=180°-CZIBC+ZICB),ZFZ)£=180°-2ZA,根据三角

形的内角和定理求出/3/C=90°+|ZA,代入即可求出答案.

【解答】解：(1)：圆/是AABC的内切圆，

11

・•・ZIBC=-ZABC,ZICB=-ZACB.

22

：.ZIBC+ZICB=-(ZABC+ZACB),

2

VZABC+ZACB=180°-ZA=140°,

：.ZIBC+ZICB=10°,

ZB/C=180°-QIBC+NICB)=110°,

如图，连接〃、IE,

A

•・•圆/是△ABC的内切圆，

ZIFA=ZIEA=90°,

VZA=40°,

・•・ZF/E=360°-ZIFA-AIEA-ZA=140°,

:・/EDF=L/EIF=70。,

2

答：ZBZC=110°,NFDE=70°；

(2)解：a=180°-p,

证明：由圆周角定理得：ZFIE=2ZFDE,

由(1)知：2ZFDE=180°-NA,

即/A=180°-2/FDE,

：.ZA=180°-ZEIF,

由(1)知：2NFDE=180°-NA,

AZA=180°-2ZFDE=180°-20,

ZBZC=180°-CZIBC+ZICB)

1

=180°--(ZABC+ZACB)

2

i

=180°--(180°-ZA)

2

=90°+-ZA,

2

-1

AZB/C=a=90°+|(180°-20),

即a=180°-p.

【变式2-3］（2022秋叶B江区期中）如图，在△ABC中，AB=AC,AOJ_8C于点。，点M

是△ABC内一点，连接交于点N,已知NAMB=108°,若点M是△CAN的内

心，则N8AC的度数为（）

A

BDC

A.36°B.48°C.60°D.72°

【分析】过点M作MELA。于点E,根据已知条件可得△ABC是等腰三角形，AD是BC

边的中垂线，证明ME〃BC,可得NNME=NNBD,由点M是△CAN的内心，可得点M

在/W4c和NANC的角平分线上，设尤，ZNBD=y,所以/BAC=4x,ZNBD

=NNCD=NNME=y,NENM=NCNM=2y,然后利用108°,列出方程组

{2；+x==72-求解即可得结讼

【解答】解：如图，过点M作MELA。于点

\9AB=AC,AD1BC,

•••△Ai5c是等腰三角形，AO是5C边的中垂线,

:・NB=NC,NBAD=/CAD,

:・/NBD=NNCD,

*：MELAD,ADLBC,

：.ME//BC,

：./NME=ZNBD,

•・,点M是△CAN的内心，

・•・点M在/NAC和ZANC的角平分线上，

AZNAM=ZCAM,/ANM=/CNM,

设NNAM=x,NNBD=y,

：.ZBAC=4x,NNBD=ZNCD=ZNME=y,

：.ZENM=ZCNM=NNBC+/NCB=2y,

V108°,

・•・ZAME=ZAMB-ZEMN=108°-y,

在△AEM中，ZEAM+ZAME=90°,

：.x+108°-y=90°,

，y-x=18°,

在△ANM中，ZNAM+ZANM=180°-108°,

：.x+2y=72°,

(y—x=18°

(2y+x=72。'

解得：30-

・・・N3AC=4x=48°.

故选：B.

【题型3三角形内切圆中求面积】

【例3】（2022秋•黄冈期中）如图，边长为1的正方形A3C。的边A8是。。的直径，CF

是。。的切线，E为切点，F点在AO上，8E是。。的弦，求的面积.

【分析】设4/=羽由切线长定理可得EP=AP=x,则FD=l-x,CF=CE+EF=CB+EF

=l+x,利用勾股定理建立方程求出x的值，再根据三角形的面积公式即可求出问题的答

案.

【解答】解：设AF=x,

:四边形A8C。是正方形，

：.ZDAB=9O°,

：.DA±AB,

是圆的切线，

：CT是。。的切线，E为切点，

.\EF=AF=x,

：.FD=1-x,

VCB±AB,

：.CB为。。的切线，

：.CB=CE,

：.CF=CE+EF=CB+EF=1+x.

在RtACDF中由勾股定理得到：CF2=CD1+DF2,

即（1+x）2=1+（1-x）2,

解得x=；,

4

：.DF=1-x=-,

4

・c11一33

••S/^CDF=_XIX—=—.

248

【变式3-1]（2022•武汉模拟）如图，A8是。。的直径，C是。。上一点，E是AABC的

内心，OELEB.若AE=2a,则△ABE的面积为（）

【分析】延长BE交。。于点R连接AROR根据是。。的直径，可得

ZC=90°,证明△FEA是等腰直角三角形，可得A/=E/=2,根据垂径定理可得E/=

BE=2,进而可得△42E的面积.

【解答】解：如图，延长BE交。。于点尸，连接AF,OF,

是。。的直径，

AZAFB=ZC=90°,

：.ZCAB+ZCBA=90°,

是△ABC的内心，

ZEAB=-乙CAB,ZEBA=-MBA,

22

：.ZEAB+ZEBA=-CZCAB+ZCBA)=45°,

2

：.ZFEA=45°,

AAFEA是等腰直角三角形，

：.AE=V2AF=V2EF,

,:AE=2五,

：.AF=EF=2,

\'OE±EB,

；.EF=BE=2,

.♦.△ABE的面积为：|B£«AF=|x2X2=2.

故选:B.

【变式3-2］（2022春•海曙区校级期中）如图，花边带上正三角形的内切圆半径为1C7W.如

果这条花边带有100个圆和100个正三角形，则这条花边的面积为（）

C.300V3D.200

【分析】画出图形，连接A£>,OB,则AD过O,求出/。2£>=30°,求出。2,根据勾

股定理求出BD,同法求出CD,求出BC的长后求得一个三角形的面积即可求得花边的

面积.

【解答】解：从中选择一个等边三角形和其内接圆如图，。0是△ABC的内切圆，。。

切AB于足切AC于E,切BC于。，

连接ADOB,则AD过。（因为等边三角形的内切圆的圆心再角平分线上，也在底边的

垂直平分线上），

•/△ABC是等边三角形，

/.ZABC=60°,

。是△ABC的内切圆，

：.ZOBC=-ZABC^30°,

2

•・・。0切于。，

：.ZODB=90°,

VOZ）=1,

・•・OB=2,

由勾股定理得：BD=V22-I2=V3,

:,BC=2®

SAABC=^BC-AD=Ix2V3x3=3后

.,.这条花边的面积=1OOSAABC=3OOV5,

故选：C.

【变式3-3］（2022•齐齐哈尔一模）如图，正方形ABC。边长为4cm,以正方形的一边BC

为直径在正方形A2CD内作半圆，过A作半圆的切线，与半圆相切于尸点，与。C相交

于£点，则△AOE的面积（）cm2

A.12B.24C.8D.6

【分析】由于AE与圆O切于点孔根据切线长定理有AF=4B=4c〃z,EF=EC；设E尸

=EC=xcm.则£>E=（4-x）cm,AE=（4+x）cm,

然后在三角形BCE中由勾股定理可以列出关于x的方程，解方程即可求出，然后就可以

求出的面积.

【解答】解：与圆。切于点R

显然根据切线长定理有4^=43=4071,EF=EC,

设EF—EC—xcm,

贝!JOE=（4-x）cm,AE=（4+x）cm,

在三角形ADE中由勾股定理得：

（4-x）2+42=（4+无）2,

.".x=lcm,

.".CE—lcm,

:.DE=4-l=3cm,

：.SAADE^AD'DE^2=3义4+2=6cm2.

故选：D.

【题型4三角形内切圆中求线段长度】

【例4】（2022秋•乌兰察布期末）如图，。。分别切AABC的三条边A&BC、C4于点。、

E、尸、若AB=5,AC=6,BC=7,求AD、BE、CP的长.

【分析】由切线长定理，可知：AF^AD,CF=CE,BE=BD,用未知数设AD的长，然

后表示出BD、CF的长，即可表示出BE、CE的长，根据BE+CE=J,可求出AD的长

进而求出BE、CF的长.

【解答】解：假设AO=x,

:。。分别切△ABC的三条边A3、BC、CA于点Q、E、F；

根据切线长定理得出BD=BE,EC=FC,

.\AF=x,

：AB=5,AC=6,BC=1,

:.BE=BD=AB-AD=5-x,FC=EC=AC-AF=6-x,

'.BC—BE+EC—5-x+6-x=7,

解得：x=2,

：.AD^2,BE=BD=5-2=3,CF=AC-AF=6-2=4.

【变式4-1］（2022秋•崇川区月考）如图，已知△4BC的内切圆O与三边分别切于。、E、

F,ZA=60°,CB=6cm,△ABC的周长为16c7W，则。尸的长等于（）

A

D

/•j\

\O

BEc

A.2cmB.3cmC.4cmD.6cm

【分析】利用三角形内切圆的性质以及切线长定理得出BD=BE,CE=CF,AD=AFf

进而得出△AD尸是等边三角形，即可得出答案.

【解答】解：•.•△A3。的内切圆。与三边分别切于。、E、F,CB=6cm,ZVlBC的周长

为16an,

:.BD=BE,CE=CF,AD=AFf

•；BE+EC=BD+FC=6,

：.AD=AF=-{AB+AC+BC-BC-BD-CF)=-(16-6-6)=2,

22

VZA=60°,

・•・AADF是等边三角形，

：.DF=2.

故选：A.

【变式4-2](2022秋•龙凤区期末)如图，在中，ZC=90°,AC=3,5c=4,

。。是△树的内切圆，点。是斜边®勺中点，则。。的长度是

【分析】如图连接OE、OF、OQ,设。。的半径是r,由勾股定理求出A2=5,根据△

ABC的内切圆，得至！JO£_LAC,OFLBC,OE=OF,推出四边形CFOE是正方形，得到

CE=CF=OF=OE,根据3-厂+4-r=5求出八AQ,。。的长求出A。、。。的长

【解答】解：如图连接OE、OF、OQ,设。。的半径是r,

由勾股定理得：48=7AC2+BC2=5,

:。。是三角形4BC的内切圆，

：.OE±AC,OF±BC,OE=OF,AE=AQ,BF=BQ,

VZC=90°,

.•./C=NCrO=NCEO=90°,

四边形CFOE是正方形，

:.CE=CF=OF=OE,

.*.3-r+4-r=5,

r=l,AQ=AE=3-1=2,OQ—1,

•.•。是AB的中点，

：.AD=

2

：.DQ=AD-AQ=^,

：.OD-=O^+D^,

：.OD="Q2+£>Q2=*

故答案为：奈

【变式4-3］（2022•永定区模拟）如图，已知在矩形ABC。中，AB=12,BC=16,©Oi

和。仍分别是AABC和△相＞（?的内切圆，点E、F为切点，则EF的长是4cm.

【分析】根据矩形的性质得到AC=20,AABC^ACDA,则。OI和。。2的半径相等.如

图，过Q作AB、BC的垂线分别交AB、BC于N、P,过。2作BC，CD、A£＞的垂线分

别交8C,CD、AZ）于。，G、H,由NB=90°,推出四边形QNBP是正方形，设圆的

半径为，，根据切线长定理12-厂+16-厂=20,解得厂=4,过5作0画_1/。2于则

OtM=PQ=8,QM=BN=4,同法可得。G=4,根据EF=AC-AE-CF计算即可.

【解答】解：：矩形ABCD中，AB=12,BC=16,

：.AC=20,AABC出ACDA,则。Oi和OO2的半径相等.

如图，过。1作AB、BC的垂线分别交A3、BC于N、P,

过。2作BC,CD、4。的垂线分别交BC,CD、4。于。，G、H,

VZB=90°,

四边形OiNBP是正方形，

设圆的半径为r,根据切线长定理12-r+16-r=20,解得r=4,

:.BP=BN=4,同法可得。G=4,

：.AN=AE=CG=CF=8,

：.EF=AC-AE-CF=20-16=4

[例5]（2022•定安县二模）如图，在矩形ABC。中，AD<AB,4。=9,42=12,则4

【分析】根据矩形性质和勾股定理可得AC=15,设内切圆的圆心为O,△ACO

内切圆的半径为广，连接OE,OF,OG,得四边形OR9G是正方形，然后根据切线长定

理即可解决问题.

【解答】解：在矩形ABCD中，ZB=90°,AD=BC=9,AB=12,

根据勾股定理，得

AC=yjAB2+BC2="22+92=15,

设△AC£）内切圆的圆心为。，△ACD内切圆的半径为r,

得四边形DFOG是正方形,

：.DF=DG=r,

：.AG=AE=AD-DG=9-r,

CF=CE=CD-DF=AB-DF=12-r,

'：AE+CE^AC,

A9-r+12-r=15,

解得r=3.

：./\ACD内切圆的半径是3.

故选：C.

【变式5-1]（2022秋•张店区期末）如图，在中，ZC=90°,BC=3,AB=5,

。。是RtZXABC的内切圆，则0。的半径为（）

C.2D.2^/3

【分析】根据三角形内切圆与内心的性质和三角形面积公式解答即可.

【解答】解：：/C=90°,BC=3,AB=5,

：.AC=7AB2—BC2=4,

如图，分另！J连接OA、OB、OC、OD、OE、OF,

是△ABC内切圆，D、E、尸为切点,

：.ODLBC,OELAC,OFLABD,E、F,OD=OE=OF,

SAABC~S/\BOC^'SAAOC^'SAAOB--BC*DO+^AC*OE+-AB*FO=-(BC+AC+AB),OD,

VZC=90°,

A-xAC'BC^-(BC+AC+AB)-OD,

22

・•・吁奇1・

故选：A.

【变式5-2]（2022秋•虎丘区校级期中）若四边形ABCD有内切圆（与四边形四边均相切），

四边形面积为S,各边长分别为a,b,c,d,则该圆的直径为（）

.a+b+c+dS_c—d__2s

A.----------B.—C.———-D.-----------

Sa+cS（a+b）a+b+c+d

【分析】连接OA、OB、OC>OD.由S四边形ABCD=S/i0A5+SA05C+S\0CQ+&A0£），由S四边形

^-AB'r+-BC-r+-CD-r+-AD-r=-（a+b+c+d）'r=S,即可推出r=--一.

ABCD22222a+b+c+d

【解答】解：如图，连接OA、OB、OC、OD.

,•*S四边形A3CQ=Sz\0A5+Sz\03c+Szi0CQ+Sz\A0£)

又,**S^OAB=S^OBC=r,S/\OCD=^CD*r,S^AOD=^AD*r,

；・S四边形ABCZ)=•r+r+|CD•r+*r=1(q+O+c+d)•r=S,

.2S

•.r=(

a+b+c+d

故选：D.

【变式5-3］（2022秋•南丹县期末）如图，△ABC的内切圆。。分别与AB,AC,BC相切

于点。，E,F.若/C=90°,AC=6,BC=8,则。。的半径等于2.

【分析】连结。。，OE,OF,设OO半径为厂，根据勾股定理可得48=10,证明四边形

OECF是正方形，可得CF=CE=OF=r,然后根据切线长定理可得AE=AE=AC-CE

=6-r,BF=BD=BC-CF=S-r,进而可以解决问题.

【解答】解：如图，连结O。，OE,OF,设。。半径为r,

VZC=90°,AC=6,BC=8,

：.AB^>JAC2+BC2=10,

,.•△ABC的内切圆。。与AB,BC,AC分别相切于点O,F,E,

：.AC±OE,AB1OD,BCLOE,5.OF=OD=OE=r,

四边形OEC尸是正方形，

：.CF=CE=OF=r,

；.AE=AE=AC-CE=6-r,BF=BD=BC-CF=8-r,

'：AD+BD^AB=10,

.*.6-r+8-r=10,

/.r=2.

・・・。0的半径等于2.

故答案为：2.

【题型6三角形内切圆中求最值】

【例6】（2022春•长兴县月考）如图，矩形ABC。，AD=6,A8=8,点尸为BC边上的中

点，点。是△ACD的内切圆圆。上的一个动点，点M是C0的中点，则PM的最大值

是V13+1.

Q

B'尸C

【分析】由矩形性质和勾股定理可得AC=10,设△AOC内切圆半径为r,由面积法可得

r=2,连接80,易证为△BC。的中位线，得出当8。经过圆心。时，

8。最长，则此时最大，作OELAO与点E,。尸，与点尸，贝!|-AF=8

-2=6,OF=AE=AD-DE=6-2=4,由勾股定理可得BO=2^13,则BQ=BO+OQ=

2V13+2,从而可得PM的结果.

【解答】解：•.•四边形ABCD为矩形，

AZD=90°,CD=AB=8,

；.AC=yjAD2+CD2=V62+82=10,

设△AQC的内切圆半径为r,

则有[rQ4c+40+DC)=[x6x8,

即](10+6+8)=24,解得：r=2.

连接BQ,

•.•尸为BC中点，M为CQ中点，

：.PM为△B0C的中位线，

：.PM=^BQ,

当8。经过圆心。时，8。最长，则此时PM最大，

作。E_LAD与点E,OELAB与点八

贝ljBF=AB-AF=8-2=6,

OF=AE=AD-DE=6-2=4,

：.BO=yjBF2+OF2=V62+42=2g,

：.BQ=BO+OQ=2-413+2,

.*.PM=|Bg=V13+1.

故答案为：V13+1.

【变式6-1](2022秋•扬州月考)如图是一块△ABC余料，已知A8=20cw,BC=7cm,

AC=15cm,现将余料裁剪成一个圆形材料，则该圆的最大面积是4TTCW..

A

【分析】当该圆为三角形内切圆时面积最大，设内切圆半径为r,则该三角形面积可表示

为：(AB+AC+BC)=21广，利用三角形的面积公式可表示为押C・A£),利用勾股定理

可得AZ),易得三角形A3C的面积，可得厂，求得圆的面积.

【解答】解：如图1所示，

5AABC=|T,(AB+BC+AC)=|rX42=21r,

过点A作AOLBC交的延长线于点O,如图2,

设CD=x,

由勾股定理得：在中，

AD2=AB2-BD1=400-(7+x)2,

在RtAACD中，AD2^AC2-