2024-2025学年湖南省长沙某中学九年级（上）入学数学试卷（含答案）

2024-2025学年湖南省长沙一中芙蓉中学九年级（上）入学数学试卷

一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求

的。

1.下列函数中，y是x的正比例函数的是（）

1

A.y=2%+1B.y=7C.y=xD.y=-

2.如图，四边形力BCD中，对角线AC、BD相交于点0,下列条件不能判定这个四边形是平行四边形的是

A.AB//DC,AD//BCB.AB//DC,AD=BC

C.AO=CO,BO=DOD.AB=DC,AD=BC

3.在“我的阅读生活”校园演讲比赛中，有11名学生参加比赛，他们决赛的最终成绩各不相同，其中一名

学生想知道自己能否进入前6名，除了要了解自己的成绩外，还要了解这11名学生成绩的（）

A.众数B.方差C.平均数D.中位数

4.对于二次函数y=-（x-1产+2的图象与性质，下列说法正确的是（）

A.对称轴是直线久=1,最大值是2B.对称轴是直线x=l,最小值是2

C.对称轴是直线刀=-1,最大值是2D.对称轴是直线％=-1,最小值是2

5.已知直线y=-3）x-3?n+1不经过第一象限，则m的取值范围是（）

1111

A.m>-B.m<-C.-<m<3D.-<m<3

6.如图，在菱形ZBCO中，P、Q分别是A。、AC的中点，如果PQ=2,那么菱形ABC。的周长是（）

A.16

B.8

C.4

D.2

7.将抛物线y=-37+1向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，所得到的抛物线为（）

A.y=-3（x—2）2+4B.y=-3（x-2）2-2

C.y=-3（x+2）2+4D.y=-3（x+2）2-2

8.设方程/+x-2=0的两个根为a,P，那么（a-2）（0-2）的值等于（）

A.-4B.0C.4D.2

9.已知二次函数y=%2-3%+/n（7n为常数）的图象与久轴的一个交点为（1,0）,则关于％的一元二次方程一一

3%+血=0的两实数根是（）

A.%1=1,%2=-1B.%1=1,%2=3

C.汽1=1,%2=2D.%1=1,%2=3

10.二次函数y=ax2+bx+c（aH0）的图象如图所示，对称轴是直线％=1,下列结论：

@ab<0；②力2>4ac；③a+b+c<0;④3a+c<0.其中正确的是（）

yA

A.①④

B.②④

C①②③

D.①②③④

二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。

11.已知关于久的方程工2+3x+左2=0的一个根是一1,则k=____

12.已知A。1,月）,BQ2,%）在二次函数y=x2-6x+4的图象上,若久1V%2V3,则%____丫2（填

“>"、"=”或）.

13.经过两次连续降价，某药品销售单价由原来的50元降到32元，设该药品平均每次降价的百分率为X,根

据题意可列方程是______.

14.若函数丫=则当函数值y=8时，自变量久的值等于一

15.如图，直线1的解析式为y=x,点力的坐标为（—2,0）,4811于点8,

则△2B。的面积为______.

16.如图，点P是等边三角形4BC内一点，且尸4=3,PB=4,PC=5,若将△4PB绕着点B逆时针旋转后

得到ACQB,贝ikAPB的度数_____.

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三、解答题：本题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17.(本小题6分)

计算：(—1)2°24+|V2-2|+(V2-73)°—0)T.

18.(本小题8分)

求解下列一元二次方程：

(I)%2—3x+1=0；

(2)/+x-12=0.

19.(本小题6分)

学校为了让同学们走向操场、积极参加体育锻炼，启动了“学生阳光体育运动”，张明和李亮在体育运动

中报名参加了百米训练小组.在近几次百米训练中，教练对他们两人的测试成绩进行了统计和分析，请根

据图表中的信息解答以下问题：

平均数中位数方差

张明13.30.004

李亮13.30.02

(1)张明第2次的成绩为秒；

(2)张明成绩的平均数为；李亮成绩的中位数为；

(3)现在从张明和李亮中选择一名成绩优秀的去参加比赛，若你是他们的教练，应该选择谁？请说明理

由.

时间(秒)

20.(本小题7分)

□

如图，直线白：;/1=一彳久+优与/轴交于点4(0,6),直线%：y2=kx+1分别与x轴交于点B(-2,0),与y轴

交于点C.两条直线相交于点。，连接4B.

(1)求两直线交点D的坐标；

(2)求△ABD的面积；

(3)根据图象直接写出为＞w时自变量x的取值范围.

21.(本小题8分)

已知关于万的一元二次方程/-4mx+3m2=0.为实数)

(1)求证：无论小取何值，该方程总有两个实数根；

(2)该方程的两个实数根为/、乂2(乂1>%2)，若均-%2=2,求正数Hl的值.

22.(本小题8分)

如图，在RtAACB中，N4CB=90。，点£>,E分别为ZB,AC边上的中点，连接DE并延长至点F,使EF=

DE,连接2F,CF,CD.

(1)求证：四边形4DCF是菱形；

(2)若BC=4,AC=2,求四边形力DCF的周长.

23.(本小题9分)

某商店经销一种双肩包，已知这种双肩包的成本价为每个30元.市场调查发现，这种双肩包每天的销售量

y(单位：个)与销售单价x(单位：元)有如下关系：y=-％+60(30<60).设这种双肩包每天的销售利

润为卬元.

(1)求w与x之间的函数解析式；

(2)这种双肩包销售单价定为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？

(3)如果物价部门规定这种双肩包的销售单价不高于48元，该商店销售这种双肩包每天要获得200元的销售

利润，销售单价应定为多少元？

24.(本小题10分)

在平面直角坐标系xOy中，若点P的横坐标和纵坐标相等，则称点P为完美点已知二次函数丫=。/+4%+

c(aH0).

(1)当a=Lc=2时，请求出该函数的完美点；

(2)已知二次函数y=ax2+4x+c(a丰0)的图象上有且只有一个完美点(|[),请求出该函数;

(3)在(2)的条件下，当04%4租时，函数y=a/+4%+c-w0)的最小值为一3,最大值为1,求m

的取值范围.

25.(本小题10分)

如图，抛物线丫=。/+2%+式4<0)与乂轴交于点4和点8(点力在原点的左侧，点8在原点的右侧)，与y

轴交于点C,0B=0C=3.

(1)求该抛物线的函数解析式.

(2)如图1,连接BC,点。是直线BC上方抛物线上的点，连接。D,CD.0D交BC于点、F,当

4COF：SACDF=

3：2时，求点。的坐标.

(3)如图2,点E的坐标为(0,-|),点P是抛物线上的点，连接EB,PB,PE形成的APBE中，是否存在点

P,使NPBE或NPE8等于2N0BE?若存在，请直接写出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由.

图1图2备用图

参考答案

1.C

2.B

3.D

4.4

5.D

6.A

1.D

8.C

9.C

10.C

1l.+V-2

12.>

13.50(1-x)2=32

14.4或一77

15.1

16.150°

17.解：原式=1+2—~\/~2+1—2

=2—V-2.

18.解：(1)/-3x+l=0,

•••4=(一3产-4xlxl=9-4=5>0,

_3±75

3+753-75

/==，"2=丁；

(2)x2+x-12=0,

(%+4)(%—3)=0,

x+4=。或x—3=0,

x1——4,x2=3.

19.解：(1)张明第2次的成绩为13.4秒；

(2)13.4；13.3秒，13.3秒；

(3)选择张明，平均数和中位数相同，但张明成绩的方差小于李亮成绩的方差，所以张明成绩比李亮成绩

稳定，因此选择张明.

20.解：(1)将/(0,6)代入丫1=一；％+血得，m=6；将B(—2,0)代入丫2=攵％+1得，k*

(3

组成方程组得•y—：6,解得仁=:

故。点坐标为(4,3)；

(2)由先+1可知，C点坐标为(。,1)

11

故S"BO=S—BC+S»ACD=2X5X2+/X5X4=15；

(3)x<4.

21.(1)证明：Td=(-4m)2—4x1x3m2=4m2>0,

・・.无论m取何值，该方程总有两个实数根；

(2)解：:x2-4mx+3m2=0,即(％—m)(x—3m)=0,

解得：x=7n或久=3m,

m>0,，

•••=3m,x2=m,

X]—%2=2,

・•・3m—m=2,

：.m=1.

22.(1)证明：•.,点E是边AC的中点，

AE=EC.

又•・•EF=DE,

・•・四边形ZDCF是平行四边形.

又•・•点D、E分别是边48、AC的中点,

・•・DE是△ABC的中位线，

DE//BC.

又•・•乙ACB=90°,

•••^AED=90°.

•••AC1DF.

••・四边形ADCF是菱形.

(2)解：•.•四边形4DCF是菱形，

CD=CF=AF=AD,

在Rt△ABC中，AB=>JAC2+BC2=V22+42=2<5,

•••。是48的中点，

AD=^AB=75,

四边形4DCF的周长=4<5.

23.解：(l)w=(x-30)•y=(-x+60)(x-30)=-x2+30%+60%-1800=-x2+90x-1800,

w与x之间的函数解析式w=—x2+90x—1800；

2

(2)根据题意得：w=-x+9Ox-1800=-(x-45/+225,

-1<0,

当x=45时，w有最大值，最大值是225.

当销售单价定为45元时，每天的销售利润最大，最大利润是225元.

(3)当w=200时，一/+90%-1800=200,

解得当=40,冷=50,

50>48,❷=50不符合题意，舍去，

答：该商店销售这种双肩包每天要获得200元的销售利润，销售单价应定为40元.

24.解：(1)当a=1,c=2时，y=x2+4x+2,

令y=x,贝!J/+3x+2=0,

解得：X1——1,尤2=-2,

该函数的完美点为％(—1,-1),P2(-2,-2)；

(2)令a/+4x+c=久，即a/+3x+c=0,由题意可得，图象上有且只有一个完美点，:/=9—

4ac=0,贝!J4ac=9.

又方程根为久=~y-=—y-=|,

2a2a2

=.9

•*•CL-1?C=——J

4

该二次函数的解析式为y=—%2+4%—^；

93or

(3),・,y=-x2n+4x----=—x2+4%—3=—(x—2)2+1,

该二次函数图象如图所示，顶点坐标为(2,1),

与y轴交点为(0,-3),根据对称规律，点(4,-3)也是该二次函数图象上的点.在久=2左侧，y随光的增大而

增大；在x=2右侧，y随x的增大而减小；

■.,当OWxWzn时，函数y=+4%-3的最小值为一3,最大值为1,

2<m<4.

25.解：(1)08=。。=3,贝!J：8(3,0),(7(0,3),

把B、C坐标代入抛物线方程，

解得抛物线方程为：y=—%2+2%+3…①；

(2)SACOF：S^CDF=3：2,

S^COF=5S&COD，即：=百孙，

设：F点横坐标为33则。点横坐标为5t,

点F在直线BC上，

而BC所在的直线表达式为：y=—x+3,则尸(3t,3—3t),

则：直线。F所在的直线表达式为：y=燮比=学心

则点。(5t,5-5t),

把D点坐标代入①，解得：”插春

则点。的坐标为(1,4)或(2,3)；

(3)①当NPEB=2NOBE时，

图2

当BP在久轴上方时，

如图2,设BP1交y轴于点E',

:.乙PiBE=24OBE,■■■/.E'BO=AEBO,又NE'OB=NEB。=60。，BO=BO,

：.E'BO△丝△EBO(AAS'),

oo

EO=EO=热二点E，(0《)，

直线BP1过点B、E',则其直线方程为：y=-^x+l：.@,

联立①②并解得：久=T，

故点Pi的坐标为(-3)；

当BP在x轴下方时，

如图2,过点E作EF//8E'交8P2于点尸，则NFEB=NEBE',

；.LE'BE=2乙OBE,乙EBPz=24OBE,:.乙FEB=KEBF,

AFE=BF,

直线EF可以看成直线BE'平移而得，其k值为-£

则其直线表达式为：y=-|x-|,

设点尸⑺,—加―今，过点尸作FHly轴交