圆的相关概念及性质（讲义）（原卷版）-2024年中考数学一轮复习

第26讲圆的相关概念及性质

目录

题型12利用弧、弦、圆心角关系判断正误

一、考情分析题型13利用弧、弦、圆心角关系求角度

题型14利用弧、弦、圆心角关系求线段长

二、知识建构题型15利用弧、弦、圆心角关系求周长

考点一圆的相关概念题型16利用弧、弦、圆心角关系求面积

题型01理解圆的相关概念题型17利用弧、弦、圆心角关系求弧的度数

题型02圆的周长与面积相关计算题型18利用弧、弦、圆心角关系比较大小

题型03圆中的角度计算题型19利用弧、弦、圆心角关系求最值

题型04圆中线段长度的计算题型20利用弧、弦、圆心角关系证明

题型05求一点到圆上一点的距离最值题型21利用圆周角定理求解

考点二圆的性质题型22利用圆周角定理推论求解

题型01由垂径定理及推论判断正误题型23已知圆内接四边形求角度

题型02利用垂径定理求解题型24利用圆的有关性质求值

题型03根据垂径定理与全等三角形综合求解题型25利用圆的有关性质证明

题型04根据垂径定理与相似三角形综合求解题型26利用圆的有关性质解决翻折问题

题型05在坐标系中利用勾股定理求值或坐标题型27利用圆的有关性质解决最值问题

题型06利用垂径定理求平行弦问题题型28利用圆的有关性质求取值范围

题型07利用垂径定理求同心圆问题题型29利用圆的有关性质解决多结论问题

题型08垂径定理在格点中的应用题型30圆有关的常见辅助线-遇到弦时，常添

题型09利用垂径定理的推论求解加弦心距

题型10垂径定理的实际应用题型31圆有关的常见辅助线-遇到有直径时,

题型11利用垂径定理求取值范围常添加（画）直径所对的圆周角

考点要求新课标要求命题预测

>①理解圆、弧、弦、圆心角、圆周

圆的相关概念角的概念.在中考数学中，圆的基本性质在小题中通

>了解等圆、等弧的概念.常考察圆的基本概念、垂径定理、圆周角定理、

>理解圆既是轴对称图形，也是中心圆内接四边形等基础考点，难度一般在中档及

圆的对称性

对称图形.以下，而在简答题中，圆的基本性质还可以和

圆相似、三角形函数、特殊四边形等结合出题，

垂径定理及推>探索并证明垂径定理:垂直于弦的

的难度中等或偏上.在整个中考中的占比也不是

论直径平分弦以及弦所对的两条弧.

性>探索圆周角与圆心角及其所对弧的很大,通常都是一道小题一道大题，分值在3-13

弧、弦、圆心角

质关系，知道同弧（或等弧）所对的圆分左右，属于中考中的中档考题.所以，考生

的关系

周角相等.在复习这块考点的时候，要充分掌握圆的基本

圆周角定理及性质的各个概念、性质以及推论，才能在后续

>了解并证明圆周角定理及其推论.

推论的结合问题中更好的举一反三.

圆内接四边形

>理解圆内接四边形的对角互补.

的性质

题型

相01理解圆的相关概念

关题型02圆的局长与面积相关计算

概圆中的角度计算

题型053

念题型04园中线段长度的计算

求•点到点上•点的距离距值

的C

题型01由垂径定理及推论判断正误

题型02利用垂彳仝定理求解

相题型03根据乖径定理与全等二角形综合求解

关圆的对中心对称图形和轴对称图形题型04根据亚衿定理与相似二角形综介求解

称性I------------------------题型03在坐标系中利用勾股定理求值或坐标

概---------1旋转不变性

题型06利用正径定理求平行弦问题

念定理：垂直于弦的直彳仝平分这条弦，并且平分修所对的两条孤.题型07利用正径定理求同心圆问题

题型08垂径定理在格点中的应用

及

诲径宓理推论：平分弦（不是直径）的直径垂直丁•弦，并14平分弦所题型09利用垂径定理的推论求解

苏器宏'对的两条弧.

性题型10垂径定理的文际应用

题型U利用垂径定理求取值范围

质推论：弦的正直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧.

题型12利用弧、弦、圆心角关系判断止误

知二得三题型13利用孤、弦、圆心角关系求角度

题型14利用孤、弦、圆心角关系求线段长

定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等,题型15利用瓠、弦、圆心角关系求周氏

所对的弦相等，所对的弦的弦心蹈相等.题型16利用弧、弦、圆心角关系求面枳

性题型17利用弧、弦、圆心角关系求弧的度数

心房向关案推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心力'J、两条弧、两条弦或

质题型18利用弧、弦、圆心角关系比较大小

---------------两条弦的弦心距中有一组号相等，那么它们所对应的其余各组

题型19利用弧、弦、Udi心加关系求最值

量分别相等.

题型20利用弧、弦、圆心角关系证明

定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的M心角的一、匕题型21利用圆周内定理求解

题型22利用圆周角定理推论求解

推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等.题型23已知圆内接四边形求角度

题型24利用圆的有关性质求值

推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的四周角所题型25利用圆的有关性质证明

对的弦是汽径.

题型26利用圆的有关性质解决翻折问题

圆内接四边网内接四边形对角q.补.题型27利用圆的有关性质解决破值问题

形的性质।----------------------------题型28利用囤的有关性质求取值范围

---------------圆内接四边形的任意一个外加等「•它的内对角.题型29利用圆的有关性质解决多结论问题

题型30圆仃关的常见轴助线-遇到弦时，常添加弦心距

题型31圆守关的常见辅助线-遇到有直径时，常添加（|师）直径所对的

圆周向

考点一圆的相关概念

■■夯基.必备基础能以侬

定义内容补充说明

在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点0旋转一周，另一个由圆的定义可知，确定圆的两个条件

圆端点A所形成的图形叫圆.以0点为圆心的圆记作。0,读作圆0.①圆心，它确定圆的位置.

②半径，它确定圆的大小.

圆心为0、半径为r的圆可以看成是所有到定点0的距离等于定

长r的点组成的图形.

弦连结圆上任意两点的线段叫做弦.①在一个圆上可以画无数条弦和直径.

②直径是弦，但弦不一定是直径.

直径经过圆心的弦叫做直径.

③直径是最长的弦.

弧圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧.弧用符号：表示.①半圆是弧,但弧不一定是半圆.

以A、B为端点的弧记作®,读作：“圆弧AB”或“弧AB”.②弧有长度和度数，规定半圆的度数为

180°,劣弧的度数小于180°,优弧的度数大

圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做

半圆于180°.

半圆.

优弧大于半圆的弧叫做优弧.

劣弧小于半圆的弧叫做劣弧.

同圆圆心相同且半径相等的圆叫做同圆.①在同圆或等圆中能够互相重合的弧是等

弧,度数或长度相等的弧不一定是等弧.

等圆半径相等的圆叫做等圆.

②同圆或等圆的半径相同.

同心圆圆心相同，半径不相等的两个圆叫做同心圆.

弦心距从圆心到弦的距离叫做弦心距.

圆心角顶点在圆心的角叫做圆心角.

圆周角顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角.两个特征：①顶点在圆上；②角的两边都和

圆相交，二者缺一不可.

圆内接如果四边形的四个顶点均在同一个圆上，这个四边形叫做圆内接

四边形四边形.这个圆叫做这个四边形的外接圆.

提升-必考题型归纳

题型01理解圆的相关概念

【例1】（2023•广东湛江・统考二模）下列说法中，正确的是（）

①对角线垂直且互相平分的四边形是菱形；②对角线相等的四边形是矩形；③同弧或等弧所对的圆周角相

等；④弧分为优弧和劣弧.

A.①B.①③C.①③④D.②③④

【变式「1】（2023•上海普陀・统考二模）下列关于圆的说法中，正确的是（）

A.过三点可以作一个圆B.相等的圆心角所对的弧相等

C.平分弦的直径垂直于弦D.圆的直径所在的直线是它的对称轴

【变式1-2］（2021•河南南阳•校联考一模）下列关于圆的说法，正确的是（）

A.弦是直径，直径也是弦

B.半圆是圆中最长的弧

C.圆的每一条直径所在的直线都是它的对称轴

D.过三点可以作一个圆

【变式1-3］（2022•四川德阳•模拟预测）下列语句中，正确的是（）

①相等的圆周角所对的弧相等；②同弧或等弧所对的圆周角相等；③平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦

所对的弧；④圆内接平行四边形一定是矩形.

A.①②B.②③C.②④D.④

题型02圆的周长与面积相关计算

【例2】（2023•福建泉州•南安市实验中学校考二模）适时的休闲可以缓解学习压力，如图是火影忍者中的仙

法•白激之术，其形状外围大致为正圆，整体可看成为两个同心圆，BC=400像素，^ABC=90°,那么周围

圆环面积约为（）

A.400007TB.1600?rC.64000兀D.1600007T

【变式2-1］（2019•广东佛山・佛山市三水区三水中学校考一模）某公园计划砌一个形状如图（1）所示的喷

水池，后来有人建议改为图（2）的形状，且外圆的直径不变，喷水池边沿的宽度、高度不变，你认为砌喷

水池的边沿（）

图（1）图（2）

A.图（1）需要的材料多B.图（2）需要的材料多

C.图（1）、图（2）需要的材料一样多D.无法确定

【变式2-2］（2021•河南南阳•校联考一模）方孔钱是我国古代铜钱的固定形式，呈“外圆内方”.如图所示,

是方孔钱的示意图，已知“外圆”的周长为2%,“内方”的周长为4,则图中阴影部分的面积是.

【变式2-3］（2022•山东济宁.统考一模）如图，一枚圆形古钱币的中间是一个正方形孔，己知圆的直径与正

方形的对角线之比为3：1,则圆的面积约为正方形面积的倍.（精确到个位）

【变式2-4］（2021•四川内江•四川省内江市第六中学校考一模）把一个圆心为O,半径为r的小圆面积增加

一倍，两倍，三倍，分别得到如图所示的四个圆（包括原来的小圆），则这四个圆的周长之比（按从小到大

顺序排列）是.

题型03圆中的角度计算

【例3】（2022•江苏常州・统考一模）如图，已知4B、4D是。。的弦，NB=30。，点C在弦4B上，连接C。

并延长CO交于。。于点。，AD=20。，贝吐B4D的度数是（）

B.40°C.50°D.60°

【变式3T】（2023•山东聊城・统考一模）如图，是。。的弦，0C_LA8,垂足为C,0D||AB,OC^OD,

C.100°D.105°

【变式3-2］（2022.河北廊坊・统考模拟预测）如图，CO是的直径,弦OE\\A0,若乙4=25。,则乙D的

度数为（）

40°C.50°D.60°

【变式3-3］（2022.江苏苏州•苏州市振华中学校校考模拟预测）如图，在扇形4。8中，。为初上的点，连接

4D并延长与。B的延长线交于点C,若CD=OA,4。=75°,则N力的度数为（）

A.35°B.52.5°C.70°D.72°

题型04圆中线段长度的计算

【例4】（2023•湖南益阳•统考二模）如图，在RtZkABC中，NC=90。，点。在斜边4B上，以BD为直径的。。

经过边4C上的点E,连接BE,且BE平分N4BC,若。。的半径为3,AD=2,则线段BC的长为（）

【变式4-1］（2023•云南临沧・统考一模）已知2B=12,C、。是以4B为直径的。。上的任意两点，连接CD,

且AB1CD,垂足为NOCD=30。，则线段MB的长为.

【变式4-2］（2023•广东・统考一模）已知A、8是圆。上的点，以。为圆心作弧，交。4、0B于点C、D.分

别以点C和点。为圆心，大于:CD长为半径画弧，两弧相交于点E.作线段0E,交4B于点足交。。于点

G.若。尸=3cm,4AOB=120°,则。。的半径为cm.

coD

题型05求一点到圆上一点的距离最值

【例5】（2023•山东德州・统考三模）如图，四边形4BCD为矩形，2B=3,BC=4.点P是线段BC上一动

点，点M为线段AP上一点.^ADM=ABAP,贝IBM的最小值为（）

A.-B.—C.V13--D.V13-2

252

【变式5T】（2021•山东临沂•统考模拟预测）如图，在RtAZBC中,AACB=90°,AC=10,BC=12,点。是

△ABC内的一点，连接AD,CD,BD,满足N4DC=90。，贝UBD的最小值是（）

C.8D.13

【变式5-2］（2022.山东临沂・统考一模）如图，△ABC中，AB^AC,BC=24,AO_LBC于点。，AD=5,P

是半径为3的04上一动点，连结尸C,若E是尸C的中点，连结。E,则。E长的最大值为（）

A.8B.8.5C.9D.9.5

【变式5-3］（2022•江苏徐州•统考二模）如图，点A,8的坐标分别为A（3,0）、8（0,3）,点C为坐标平面

内的一点，且BC=2,点M为线段4C的中点，连接OM,贝UOM的最大值为（）

B.3V2+2c.|V2D.2

考点二圆的性质

一夯基-必备基础知识梳理

1.圆的对称性

内容补充

圆的轴对经过圆心任意画一条直线，并沿此直线圆对折,直线两旁的部①圆的旋转不变性是其他中心对称图

称性分能够完全重合，因此圆是轴对称图形，每一条直径所在的直形所没有的性质.

线都是它的对称轴，圆有无数条对称轴.②圆的对称轴不是直径，而是直径所在

圆的中心将圆绕圆心旋转180°能与自身重合，因此它是中心对称图的直线.

对称性形，它的对称中心是圆心.将圆绕圆心旋转任意角度都能与自③圆是一个特殊的对称图形，它的许多

身重合，这说明圆具有旋转不变性.性质都可以由它的对称性推出.

2.垂径定理及推论

垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧.

推论：1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.

2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧.

方法技巧垂径定理模型（知二得三）

如图，可得①AB过圆心②AB_LCD③CE=DE@AC=AD⑤前=BD

【总结】垂径定理及其推论实质是指一条直线满足：（1）过圆心（2）垂直于弦（3）平分弦（被平分的

弦不是直径）（4）平分弦所对的优弧（5）平分弦所对的劣弧，若已知五个条件中的两个，那么可推出

其中三个，简称“知二得三”，解题过程中应灵活运用该定理.

常见辅助线做法（考点）：1）过圆心，作垂线，连半径，造Rt2\,用勾股，求长度；

2）有弦中点，连中点和圆心，得垂直平分.

【易错点】求两条弦间的距离时要分类讨论两条弦与圆心的相对位置：两弦在圆心的同侧，两弦在圆心的

异侧.

3.弧、弦、圆心角的关系

定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等.

推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们

所对应的其余各组量分别相等.

【解题思路】在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么这两条弧所对的弦相等，所对的圆心角、圆周角也

都相等.运用这些相等关系，可以实现线段相等与角相等之间的相互转化.

4.圆周角定理

圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.（即：圆周角=|圆心角）

推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等.

推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90。的圆周角所对的弦是直径.

【补充】圆的一条弧（弦）只对着一个圆心角，对应的圆周角有无数个，但圆周角的度数只有两个，这两

个度数和为180°

【解题思路】

1）在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半，在同圆中可以利

用圆周角定理进行角的转化.

2）在证明圆周角相等或弧相等时，通常“由等角找等弧”或“由等弧找等角”.

3）当已知圆的直径时，常构造直径所对的圆周角.

4）在圆中求角度时，通常需要通过一些圆的性质进行转化.比如圆心角与圆周角间的转化；同弧或等弧的

圆周角间的转化；连直径，得到直角三角形，通过两锐角互余进行转化等.

1）圆周角和圆心角的转化可通过作圆的半径构造等腰三角形,利用等腰三角形的顶点和底角的关系进行转化.

2）圆周角和圆周角可利用其“桥梁”一一圆心角来转化.

3）圆周角定理成立的条件是“同一条弧所对的”两种角，在运用定理时不要忽略了这个条件，把不同弧所对

的圆周角与圆心角错当成同一条弧所对的圆周角和圆心角.

5.圆内接四边形

性质：1）圆内接四边形对角互补.

2）圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角.

.提升-必考题型归纳

题型01由垂径定理及推论判断正误

【例1】（2023・浙江•模拟预测）如图，CD是。。是直径，4B是弦且不是直径，CD14B,则下列结论不丁

牢.确的是（）

C

D

A.AE=BEB.OE=DEC.AO=COD.A©=§©

【变式1-1］（2022•河南洛阳•统考一模）如图，点尸是。。直径4B上一个动点（不与点4B重合），过点F作

弦CD148,点E是的上不与点。重合的一个动点，则下列结论中不一定正确的是（）

C./-BAC=/.BEDD./.ABC>乙BED

【变式1-2］（2022•山东济宁•二模）如图，在。。中，AB是直径，是弦，AB1CD,垂足为E,连接CO、

AD.OD,Z.BAD=22.5°,则下列说法中不正确的是（）

A.CE=EOB.OC=42CDC./-OCE=45°D.4BOC=24BAD

题型02利用垂径定理求解

【例2】（2023•广东佛山•校考一模）如图，线段CD是。。的直径，CD148于点E,若48长为16,OE长为

6,则。。半径是（）

c

【变式2-1］（2022.重庆.重庆八中校考一模）如图，AB是。。的直径，弦COL42于点E,AC^CD,QO

的半径为2vL则△AOC的面积为（）

A.V3B.2C.2A/3D.4

【变式2-2］（2022.广东广州•执信中学校考二模）如图，。。是44BC的外接圆，ABAC=60%若O。的半

径。C为2,则弦BC的长为（）

【变式2-3］（2022•浙江宁波・统考模拟预测）已知。。的直径CD=10cm,是。。的弦，AB1CD,垂足

为M,且48=8cm,贝必。的长为（）

A.2V5cmB.4V3cmC.2j^cm或4A后cmD.2Hcm或4"Qcm

题型03根据垂径定理与全等三角形综合求解

【例3】（2022・湖北襄阳.模拟预测）如图，为。。的直径，4E为。。的弦，C为优弧4BE的中点，CDLAB,

垂足为D,AE=8,DB=2,则。。的半径为（）

A.6B.5C.4V2D.4V3

【变式3-1](2020・湖北武汉・统考一模)如图,48是0。的直径,点。为9的中点,。尸为。。的弦,且。尸，43,

垂足为E,连接BD交CF于点G,连接CD,AD,BF.

(1)求证：ABFG=ACDG；

(2)若4。=BE=2,求BF的长.

【变式3-2](2023•湖北武汉•校考模拟预测)如图AB为圆。的直径,4E为圆。的弦,C为。上一点，相=笆,

CD1AB,垂足为。.

(1)连接C。，判断CO与4E的位置关系，并证明;

(2)若4E=8,BD=2,求圆0的半径；

题型04根据垂径定理与相似三角形综合求解

【例4】(2022•重庆沙坪坝.重庆南开中学校考三模)如图，点E是。。中弦A8的中点，过点E作。。的直

径CZ),尸是。。上一点，过点尸作。。的切线与AB延长线交于点R与C。延长线交于点G,若点尸为

尸G中点，COSF=£。。的半径长为3则CE的长为()

G

【变式4-1］（2022•四川泸州•校考一模）如图，AB为。。的直径，弦于点ROELAC于点E,若

OE=3,08=5,则CD的长度是（）

A.9.6B.4V5C.5V3D.10

【变式4-2］（2019•新疆阿克苏•模拟预测）如图，AC是。。的直径，弦BDLAO于E,连接BC,过点O

作OFJ_BC于E若BD=8cm,AE=2cm,则OF的长度是（）

A.3cmB.V6cmC.2.5cmD.V5cm

【变式4-3］（2023•河南周口・统考一模）如图，4B为O。的直径，C为。。上的一点.

（1）过点B作。。的切线PB,交力C的延长线于点P（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）;

（2）在（1）的条件下，若。D1BC,垂足为。，0D=2,PC=9,求P8的长.

题型05在坐标系中利用勾股定理求值或坐标

【例5】(2021•吉林松原•校考一模)如图，在平面直角坐标系中，点P在第一象限，OP与x轴、y轴都相

切，且经过矩形40BC的顶点C,与BC相交于点D,若。P的半径为5,点4的坐标是(0,8),则点D的坐标

是()

A.(9,2)B.(9,3)C.(10,2)D.(10,3)

【变式5-1](2023•湖南衡阳•校考模拟预测)如图，在平面直角坐标系中，。尸与y轴相切于点C,与x轴

相交于A,8两点，假设点尸的坐标为(5,3),点M是。P上的一动点，那么△力面积的最大值为()

A.64B.48C.32D.24

【变式5-2](2022.江苏泰州•统考二模)如图，在平面直角坐标系xOy中，以M(3,5)为圆心，力B为直径的圆

与％轴相切，与y轴交于A、C两点，则点B的坐标是.

【变式5-3](2022•江苏南京•校联考一模)如图，在平面直角坐标系中，一个圆与两坐标轴分别交于A、B、

C、。四点.已知A(6,0),8(-2,0),C(0,3),则点。的坐标为.

【变式5-4](2022•新疆昌吉•统考一模)如图，在平面直角坐标系中，。闻与x轴相切于点A,与y轴交点

分别为8、C,圆心M的坐标是（4,5）,则弦8c的长度为.

【变式5-5］（2023.黑龙江齐齐哈尔.模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，以点为圆心，2为半径

作圆，交x轴于4B两点，点P在OC上.

（1）求出4,8两点的坐标；

（2）试确定经过4B两点且以点P为顶点的抛物线解析式；

（3）在该抛物线上是否存在一点D,使线段OP与CD互相平分？若存在，求出点。的坐标；若不存在，请说明

理由.

题型06利用垂径定理求平行弦问题

【例6】例023,山东泰安・统考二模）己知。。的直径为10cm,4B,CO是。。的两条弦,AB\\CD,AB=8cm,

CD=6cm,贝iMB与CD之间的距离为（）.

A.1B.7C.1或7D.3或4

【变式6-1］（2022.江苏宿迁•校联考一模）已知。。的直径为10cm,AB,CD是。。的两条弦，AB//CD,

AB=8cm,CD=6cm,贝！MB与CD之间的距离为cm.

【变式6-2］（2022•江苏泰州•统考二模）如图，在。。中，是直径，弦EFII4B.

p

（1）在图1中，请仅用不带刻度的直尺画出劣弧EF的中点P；（保留作图痕迹，不写作法）

（2）如图2,在（1）的条件下连接OP、PF,若0P交弦E尸于点。，现有以下三个选项：①APQF的面积为

②EF=6；③PF="U,请你选择两个合适选项作为条件，求。。的半径，你选择的条件是一（填序号）

题型07利用垂径定理求同心圆问题

【例7】（2020•山东泰安•校考模拟预测）如图，两个同心圆，大圆的半径为5,小圆的半径为3,若大圆的

弦与小圆有公共点，则弦A8的取值范围是（）

A.8<AB<10B.8<AB<10C.4<AB<5