高考数学二轮复习讲义：三角恒等变换与解三角形（学生版+解析）

第3讲三角恒等变换与解三角形

【要点提炼】

考点一三角恒等变换

i.三角求值“三大类型”

“给角求值”“给值求值”“给值求角”.

2.三角恒等变换“四大策略”

(1)常值代换：常用到“1”的代换，l=sin2e+cos20=t#®450等.

(2)项的拆分与角的配凑：如sin2a+2CQS2a=(敏铲a+cos2a)+cos2a,a=(a—0)+

B等.

(3)降次与升次：正用二倍角公式升次，逆用二倍角公式降次.

(4)弦、切互化.

【热点突破】

【典例】1⑴(2020•全国I)已知ae(0,it),且3cos2a—8cosa=5,则sina等

于()

乎

21近

c

A.B.D.9

3-3-

⑵已知sina苕,sin(a—B)=一工"，a,B均为锐角，则B等于()

510

5兀JiJIJI

A--B-C-TD-T

【方法总结】

(1)公式的使用过程要注意正确性,要特别注意公式中的符号和函数名的变换，防止出现“张

冠李戴”的情况.

(2)求角问题要注意角的范围，要根据已知条件将所求角的范围尽量缩小，避免产生增解.

0,yL8e

【拓展训练】1(1)已知ae

JIJI

A.a+B=—B.a—B=—

JIJI

C.a+0=—D.a+20=—

cos10°

(2)(tan10°-73)

sin50°

【要点提炼】

考点二正弦定理、余弦定理

L正弦定理：在AABC中,占=UE=U7=2R(R为AABC的外接圆半径).变形：a

=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC,sinA=~,sinB=~,sinC=zz,a：b：c=sinA：sinB：

sinC等.

2.余弦定理：在AABC中，a2=b2+c2—2bccosA.

〜eo,oo1b2-।rc2-a2

变形：b+c—a=2bccosA,cosA=--------.

3.三角形的面积公式：S=-absinC=-acsinB=,bcsinA.

【热点突破】

考向1求解三角形中的角、边

【典例】2在AABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,且产吟=[^c.

1-cosAY

(1)求角A的大小；

(2)若b+c=10,AABC的面积SAABC=4，5,求a的值.

考向2求解三角形中的最值与范围问题

【典例】3(2020•新高考测评联盟联考)在：①a=，5csinA-acosC,②(2a—b)sinA

+(2b-a)sinB=2csinC这两个条件中任选一个，补充在下列问题中，并解答.

已知AABC的角A,B,C的对边分别为a,b,c,c=小,而且________.

⑴求角C；

⑵求4ABC周长的最大值.

【拓展训练】2(1)在4ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若AABC的面积为S,

且a=l,4S=b?+c2—1,则AABC外接圆的面积为()

JI

A.4兀B.2兀C.兀D.—

⑵在4ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若A=3B,则2的取值范围是()

b

A.(0,3)B.(1,3)C.(0,1]D.(1,2]

12__

(3)在aABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若tanC=y,a=b=，。，BC边

上的中点为D,则sin/BAC=,AD=.

专题训练

一、单项选择题

2

1.（2020•全国HD在aABC中，cosC=『AC=4,BC=3,则cosB等于（）

1112

儿--c--

9B.32D.3

2.（2020•全国HI）已知sin0+sinf9+~J=l,则sin（。+豆）等于（）

1B也2也

A.-

B.3C，3D.2

3.在AABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且b=2,产上且3=1,B=g则a

1-cos2cb

的值为（）

A.A/3-1B.24+2

C.2-73-2D.木+#

4.在AABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,acosB+bcosA=2ccosC,c=巾,且

△ABC的面积为己一,则AABC的周长为（）

A.1+77B.2+V7

C.4+小D.5+小

A/53

5-若°,B都是锐角，且cosa=5,sin（a+B）q,则cosB等于（）

B-5

6.在AABC中，A,B,C的对边分别是a,b,c.若A=120°,a=l,则2b+3c的最大值为（）

Aon2y「R历D3小

A•oD.3ND.2

二、多项选择题

7.（2020・临沂模拟）在aABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,若b=2，ic=3,A

+3C=兀，则下列结论正确的是（）

A.cosC=B.sinB=亚

3

C.a=3D.SAABC=>\/2

JIcos29=n且mWn,则下列选项中与tan（丁一。）恒相

8.已知0<9若sin2。=m,

等的有()

nm1—n1—m

C.—D.----

A-T+^B-T+^mn

三、填空题

1•c2

9.（2020•保定模拟）已知tan（2+a-sinza-cosa

2-则

1+cos2a

10.在AABC中，a,b,c分别是内角A,B,C的对边,且如则卜=

11.（2020•全国I）如图，在三棱锥P—ABC的平面展开图中，AC=1,AB=AD=4,ABLAC,

AB±AD,NCAE=30°，贝！Icos/FCB=

D(P)

12.（2020•山东省师范大学附中月考）在△ABC中，设角A,B,C对应的边分别为a,b,c,

s

记aABC的面积为S,且4a2=^+2/,则f的最大值为

a

四、解答题

13.（2020•全国H）ZkABC中，sin2A-sin2B-sin2C=sinBsinC.

⑴求A；

⑵若BC=3,求AABC周长的最大值.

14.(2020•重庆模拟)在aABC中，a,b,c分别为内角A,B,C的对边,2b2=(b2+c2-a2)(1

—tanA).

⑴求角C；

(2)若C=2，T5,D为BC的中点，在下列两个条件中任选一个，求AD的长度.

条件①：AABC的面积S=4且B〉A；

条件②：cosB=—.

第3讲三角恒等变换与解三角形

【要点提炼】

考点一三角恒等变换

i.三角求值“三大类型”

“给角求值”“给值求值”“给值求角

2.三角恒等变换“四大策略”

(1)常值代换：常用到“1”的代换，l=sin2。+C0S7=tan45。等.

(2)项的拆分与角的配凑：如sin2a+2cos2a=(sin2a+cos2a)+cos2a,a=(a—B)+

B等.

⑶降次与升次：正用二倍角公式升次，逆用二倍角公式降次.

(4)弦、切互化.

【热点突破】

【典例】1⑴(2020•全国I)已知a£(0,Ji),且3cos2a—8cosQ=5,则sina等

于()

乖21A/5

A.B.~C.~D.

【答案】A

【解析】由3cos2a—8cosa=5,

得3(2cos2a—1)—8cosa=5,

即3cos2a—4cosa—4=0,

2、

解得cosa=—§或cosa=2(舍去).

又因为a£(0,兀)，所以sina>0,

所以sina二cos2a=乖

3,

⑵已知sina苕,sin(a—B)=一坐，a,B均为锐角，则B等于()

510

5JIJIJIJI

B-TC-TD-T

【答案】c

JIJI

【解析】因为a,B均为锐角，所以一万＜a—B〈5.

又sin(a—B)=一^^,所以cos(a—B)

▽•亚2^5

又sina=+~,所以cosa=—±—,

55

所以sinB=sin[a—(a—0)]

=sinacos(a—p)—cosasin(a—p)

=旦亚―域x[_®「也

JI

所以B

【方法总结】

(1)公式的使用过程要注意正确性,要特别注意公式中的符号和函数名的变换，防止出现“张

冠李戴”的情况.

(2)求角问题要注意角的范围，要根据已知条件将所求角的范围尽量缩小，避免产生增解.

(兀\(兀)cos28

【拓展训练】1(1)已知0,—bB£0,丁，tana=----:~~—则(

[2)\2)1—sin26)

JIJI

A.a+B=—B.a—B=—

JIn

C.a+BD.a+20

42

【答案】B

cos2Pcos2B-sin2B

【解析】tanQ1—sin28cos2P+sin20—2sinBcosB

cosB+sinBcosP-sinP

cosB—sinB2

cos8+sin81+tanBtanf—+B}

cosB-sinB1—tanB

JTJT

因为ael0,0el0,—

27

itJI

所以&=彳+B，即a—B=—

cos10

(2)(tan10°

sin50

【答案】-2

/cr、cos10°c、cos10°

【解析】(tan10—4)•而前「=(ztan10—tan60)

sin50°

<sin10°sin60°cos10°_____sin-50°cos10°1

(cos10°cos60°

sin50°cos10°cos60°sin50°cos60°

【要点提炼】

考点二正弦定理、余弦定理

1.正弦定理：在AABC中，一*=」==——=2R(R为AABC的外接圆半径).变形：a

sinAsinBsinC

ab.c.

=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC,sinsinB=TT,sinC=T^,a：b：c=sinA：sinB：

ZKZKZK

sinC等.

2.余弦定理：在ZkABC中,a2=b2+c2—2bccosA.

变形:b2+c2—a2=2bccosA,cosA=-----

2bc

3.三角形的面积公式：S=~absinC=%csinB=~bcsinA.

【热点突破】

考向1求解三角形中的角、边

【典例】2在AABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,且产中。=后

1—cosAY

⑴求角A的大小；

(2)若b+c=10,4ABC的面积SAABC=4小,求a的值.

解(1)由正弦定理及「‘me第一

1—cosAv

.QsinAsinCr~

得1A一:sinC,

1—cosAv

VsinCWO,sinA=/(l—cosA)

sinA+/cosA=2sin(A+~^j=，

3,

•・sin")—*'

JI兀4兀

又0<A<叮,<A+—,

Jl23TJI

・・A+2-，..A—.

OOJ

(2).SAABC—2bcsinA—^-bc—4^/3,

.'.be=16.

由余弦定理，得2bccos7-=(b+c)2—2bc—bc=(b+c)2—3bc,

)

又b+c=10,,・・@2=1。2-3义16=52,.\a=2^13.

考向2求解三角形中的最值与范围问题

【典例】3(2020•新高考测评联盟联考)在：①a=/csinA-acosC,②(2a—b)sinA

+(2b—a)sinB=2csinC这两个条件中任选一个，补充在下列问题中，并解答.

已知aABC的角A,B,C的对边分别为a,b,c,c=/,而且________.

⑴求角C；

⑵求AABC周长的最大值.

解(1)选①：因为a=/csinA—acosC,

所以sinA=/sinCsinA—sinAcosC,

因为sinAWO,所以/sinC—cosC=l,

即sin]V

JIJI5n

因为0<C<n，所以一T〈C—

666

JIJIJI

所以C--即C=W.

ob3

选②：因为(2a—b)sinA+(2b—a)sinB=2csinC,

所以(2a—b)a+(2b—a)b=2c2,

即a2+b2—c2=ab,

匚匚Ia2+b2-c21

所以cosC=-2^b-=5'

JI

因为O〈C<Jt,所以C=k.

JI

(2)由(1)可知，C=—,

在AABC中，由余弦定理得

a2+b2—2abcosC=3,即a2+b2—ab=3,

o|i2

所以(a+b)=3=3abW7，

所以a+bW2/，当且仅当a=b时等号成立，

所以a+b+cW34，即△ABC周长的最大值为队

【方法总结】(1)利用余弦定理求边，一般是已知三角形的两边及其夹角.利用正弦定理求

边，必须知道两角及其中一边，且该边为其中一角的对边，要注意解的多样性与合理性.

(2)三角形中的最值与范围问题主要有两种解决方法:一是利用基本不等式求得最大值或最小

值；二是将所求式转化为只含有三角形某一个角的三角函数形式，结合角的范围确定所求式

的范围.

【拓展训练】2(1)在AABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若AABC的面积为S,

且a=l,4S=b2+c2—1,则AABC外接圆的面积为()

JI

A.4几B.2兀C.几D.—

【答案】D

【解析】由余弦定理得，b2+c2—a2=2bccosA,a=L

所以b'+c?—l=2bccosA,

XS=-|bcsinA,4S=b2+c2—1,

所以4X；bcsinA=2bccosA,

~兀

即sinA=cosA,所以A=1,

」17=2R,得R邛

由正弦定理得,

slnT

Jl

所以4ABC外接圆的面积为万.

⑵在AABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若A=3B,畤勺取值范围是（）

A.(0,3)B.(1,3)C.(0,1]D.(1,2]

【答案】B

_._._sinAsin3Bsin2B+Bsin2BcosB+cos2BsinB

【解析】A=3B0――=――=----——=-------------------------=

sinBsinBsmBsinB

2sinBCOS2B+COS2BsinB,asinA,

-----------:------------=2cos9B+cos2B=2cos2B+L即nrl/=—:~~~=2cos2B+1,

sinB--------------------------------bsinB

又A+Bw(0,n),即4BG(0,n)n2Be(0,^jncos2Be(0,1),(1,3).

12__

⑶在AABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若tanC=《~,a=b=^/13,BC边

U

上的中点为D,贝Usin/BAC=,AD=.

【答案】平

12125

【解析】因为tanC=—,所以sinC=—,cosC=—,

51313

又a=b=dT5,所以luX+b,—ZabcosC=13+13—2X-\yi3X-\^13X^=16,所以c=4.

由a_cV13_4

出sin/BACsinC'付sin/BAC12'

13

解得sin/BAC=、gl

1J

因为BC边上的中点为D,所以CD=|,

所以在AACD中，AD2=b2+[^)2-2XbX^XcosC=学，所以AD=芈.

、乙JLJT：乙

专题训练

一、单项选择题

2

1.(2020•全国HI)在aABC中，cosC=-,AC=4,BC=3,则cosB等于()

o

1112

-艮-c--

A.932D.3

【答案】A

2

【解析】由余弦定理得AB'Ad+BCZ—2AC•BCcos0=4432—2><4><3><g=9,所以AB

=3,

.AB2+B-—AC29+9—161

所CCIJ,cosB=_2AB•BC-=2X3X3=9'

等

20+i0+JI1i0+JI于

s3--Xsn6-

12

RcV1

2-3-D.2

【答案】B

【解析】因为sin9+sinf0+y

(JIJI(JIJI

=sinl6+y-+sinl9+-+-

=sin(8+-j[(nAn

cos——cosQ+-sin+

6I6/6

(nAJI(nAJI

sinl。+"^-Icos-+cosl。+-Isin-

所以sin|0+看=

3,

sin2C11rl

3.在AABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且b=2,l-cos2C=LB=T则a

的值为（）

A.y[3一1B.2斓+2

C.2小一2D.@十#

【答案】D

sin2C_

【解析】在AABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且b=2,l-cos2C=1,

~…2sinCeosC〜…JI

所以--2sin2c---=1'所以tanC=l,c=z-

JI7n

因为B=E，所以A=LB-C=^

JIJ[JIJIJtV2+V6

所以sinA=sin了+可sin-cos—+cos-sin

3434

a2

由正弦定理可得----—,贝！Ja=^/2+^/6.

・木+乖一sin-

40

4.在AABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,acosB+bcosA=2ccosC,c=，7,且

△ABC的面积为己一,则AABC的周长为（）

A.1+木B.2+小

C.4+小D.5+S

【答案】D

【解析】在Z^ABC中，acosB+bcosA=2ccosC,

贝!JsinAcosB+sinBcosA=2sinCeosC,

即sin(A+B)=2sinCeosC,

1JI

Vsin(A+B)sinCWO,AcosC=~,.\C=~,

/o

由余弦定理可得，a2+b2—c2=ab,

即(a+b)2—3ab=c2=7,

小3小

又S=gabsinC=^-ab=~?ab=6,

・•.(a+b)2=7+3ab=25,即a+b=5,

.,.△ABC的周长为a+b+c=5+巾.

A(53

5.若a,B都是锐角，且cosa=*-,sin(a+P)则cosB等于()

55

【答案】A

【解析】因为a,B都是锐角，且cosa=q-〈］,

itJI

所以丁<a〈万，

「/।八\3,13市

又sin(a+B)=£,而〈牛，

5252

3JI5兀

所以一^<a+B<—,

4b

_________________4

所以cos(a+B)=­yl1—sin2a+B=——,

「l---------------2—2A/5

又sina=y1—cosa,

所以cos8=cos(a+B—a)=cos(Q+B)cosa+sin(a+p)•sina=

25,

6.在4ABC中，A,B,C的对边分别是a,b,c.若A=120°,a=l,则2b+3c的最大值为（）

A.3B.均总C.3镜D.警

【答案】B

【解析】因为A=120°,a=l,所以由正弦定理可得

b_c_a_12yj3

sinBsinCsinAsin12003

2^3-2#.

所以bu=^-sinDB,c="z-sinC,

jo

故2b+3c=¥sinB+24sinC

=^^sin（60°-C）+2（sinC

4^3.福.仆工小、

sinC+2cosC=--sin（C+（P；

A2\[7

其中sin6=*/一21，cos6，

所以2b+3c的最大值为零.

二、多项选择题

7.（2020•临沂模拟）在AABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,若b=2小，c=3,A

+3C=it,则下列结论正确的是（）

J3

A.cosC=^-B.sinB—

C.a=3D.

【答案】AD

【解析】因为A+3C=兀，A+B+C=：

_J_gn_^3_高，所以cosC邛，故A正确；因为cosC邛,所以sin

sinC'2sinCeosC

\[Q2c=2sinCeosC=2X^^X-^=—故B错误；因为cosB=

C=,所以sinB=sin

o12、历

cos2C=2cos2C—1=——,所以sinA=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC=~X

5#22222

n*近—近1,贝!JcosA=，所以a=b+c—2bccosA=(2^3)+3—2X2-\/3X3X-

3399

SAABc=,|bcsinA=1x2^3X3X-^=-^2,故D正确.

1,所以a=l,故C错误;

JI且m#n,则下列选项中与tanf—■一°，亘相

8.已知0<9<—,若sin20=m,cos29=n

等的有（)

nm1—n1—m

AC.—D.----

-l+^B-1+^mn

【答案】AD

【解析】Vsin29=m,cos20=n,

Gn』，.•.口=£,

n1+m

/.tanf—■-01—tan9_cos0—sin0

1+tan0cos0+sin0

cos0—sin0cos9—sin91—sin291—mn

cos0+sin0cos。—sin9cos20n1+m,

三、填空题

1•2

9.（2020•保定模拟）已知tanG+a-sin2na-cos

2-则

1+cos2a

【答案】-7

6

JI

/、rtan-+tana

fAl4

【解析】因为tan|JI^+aj=5,所以---------------

1—tan-tana

4

1+tana11

即1—tana=亍解得tana=

3,

15

22

sin2a—cosa_2sinacosa—cosa_a-----

所以1+cos2a—=2cos2a二26.

10.在AABC中，a,b,c分别是内角A,B,C的对边，且亲=券普六，则A=

JI

【答案】丁

【解析】由正弦定理一邑不=一二=」不，

smAsmBsinC

b+a2asinB-c

得za—=—;------，

cb—a

整理得b?—a2=2acsinB—c2,

即b2+c2—a2=2acsinB=2bcsinA,

由余弦定理得，b2+c2—a2=2bccosA,

.*.2bccosA=2bcsinA,即cosA=sinA,

JI

tanA=l,.*.A=—

11.（2020•全国I）如图，在三棱锥P—ABC的平面展开图中，AC=1,AB=AD=A/3,AB±AC,

AB±AD,ZCAE=30°，贝I]cosZFCB=.

1

答案4-

【解析】在4ABD中，・.・AB_LAD,AB=AD=*\^,♦,.BD=加，，FB=BD=m.

在Z\ACE中，VAE=AD=J3,AC=1,ZCAE=30°,

EC=N事,+12—2x4XIXcos30°=1,

；.CF=CE=L

又BC=^AC2+AB2=y/f+y[32=2,

...在4FCB中，由余弦定理得

CF'+BC=FB。0+22—乖z_1

cosZFCB-2XCFXBC=2X1X2

12.（2020•山东省师范大学附中月考）在4ABC中，设角A,B,C对应的边分别为a,b,c,

s

记aABC的面积为S,且4a2=b?+2c2,则=的最大值为

a

【答案】平

6

【解析】由题意知，4a2=b2+2c2=>b2=4a2—2c2=a2+c2—2accos