中考数学专项复习：数与式（原卷版）

专题01数与式

易错点1:分母有理化

易错点2:分式新定义

分式与二次根式易错点3:分式中的倒数

易错点4:根式有理化

易错点5:复合二次根式

有理数专题

易错点:

1.混淆有理数和无理数：学生可能难以区分有理数和无理数。例如，无法正确识别无

限不循环小数(如m和J2)为无理数。

2.运算错误：在进行有理数的加、减、乘、除等运算时，学生可能会犯错误，如忽视

运算顺序、运算符号错误或处理复杂表达式时出错。

3.对绝对值理解不足：学生可能对绝对值的定义和性质理解不足，例如将负数的绝对

值理解为负数，或在处理涉及绝对值的复杂问题时出错。

4.对分数运算不熟悉：学生可能对分数的加、减、乘、除等运算不太熟悉，导致在处

理涉及分数的问题时出错。

5.对数轴理解有误：数轴是有理数的重要表示工具，但学生可能无法正确理解和使用

数轴，如无法正确标记有理数、无法理解数轴上的相对位置关系等。

6.对有理数的混合运算顺序不熟悉：在进行有理数的混合运算时，学生可能不清楚运

算的优先级，导致运算顺序错误。

7.忽视未知数的取值范围：在进行有理数的函数运算时，学生可能忽视位置上的取值

范围的重要性，导致答案不准确。

8.对概念理解不足：学生可能对有理数的某些概念理解不足，例如不清楚什么是整数、

什么是负数等。

易错点1：绝对值化简

例：若有理数°、6、c在数轴上的位置如图所示，则卜+"+上一4=()

[I[]»

caob

A.bcB.—b—cC.—2。—bcD.b—c

变式1：如果。，6都是有理数(MwO),那么回+工=—.

x,x>0

变式2：阅读下列材料：国=0,尤=0，即当x>0时，忖=±=1,当'<0时，忖=三=一1,

„XXXX

-x,x<0

运用以上结论解决下面问题：

(1)已知加，儿是有理数，当加〃〉0时，则回一@=；

mn

(2)已知/w,”，才是有理数，当？w"<0时，求㈣■-©-也■的值；

mnt

(3)已知机，"，/是有理数，m+〃+f=0,且机〃f<0,求上^----@-----—的值.

n+tm+tm+n

易错点2：绝对值最值

例：式子|x-2|+|x—4|+|x-6|+|x—8|的最小值是()

A.2B.4C.6D.8

变式1：当*=时,|x—l|+|x+2|+|x—3]+|X+4|H----bk+l()O|+|x—1。11的值最小,

最小值为.

变式2：学习“一次函数”时，我们从“数”和“形”两方面研究一次函数的性质，并积累了

一些经验和方法.小聪同学尝试运用积累的经验和方法对函数了=旧-1|-3的图象与性

质进行探究，下面是小聪同学的探究过程，请你补充完整.

⑴列表:

X2101234

y012a2b0

则",b=____

(2)描点并画出该函数的图象;

(3)①判断：函数了=卜-1|-3的图象(填“是”或“不是”)轴对称图形;

②观察函数图象，当-3“<-1时，x的取值范围是.

③观察函数图象，试判断函数V=|xT|-3是否存在最小值？若存在，直接写出最小值.

易错点3：绝对值方程

例：若同=2机+6,则仅2+4优的值为()

A.12B.-4C.5D.-3

变式1：已知：问=3,例=2,且卜+可<同+网，则0+6=

变式2：“数形结合”是一种非常重要的数学思想，它可以把抽象的数量关系与直观的几

何图形结合起来解决问题.

探究：方程卜-1|=2,可以用两种方法求解，将探究过程补充完整.

方法一、当x-l>0时，|x-l|=x-l=2；

当x-lVO时，

|x-l|==2.

方法二、卜-1|=2的意义是数轴上表示x的点与表示的点之间的距离是2.

-3-2-10123

上述两种方法，都可以求得方程卜-1|=2的解是.

应用：根据探究中的方法，求得方程|xT|+|x+3|=9的解是.

拓展：方程卜_1|_卜》一3|=；的解是.

易错点4：数轴动点

例：如图1,圆的周长为4个单位.在该圆的4等分点处分别标上字母/、n、p、q.如

图2,先将圆周上表示p的点与数轴原点重合，然后将该圆沿着数轴的负方向滚动，则

数轴上表示-2024的点与圆周上重合的点对应的字母是（）

A.mB.nC.pD.q

变式1：如图，边长为3的正方形/BCD的边在数轴上，数轴上的点A表示的数为

-4.将正方形/BCD在数轴上水平移动，移动后的正方形记为43'C'D',点A、3、C、

。的对应点分别为H、B',C、点E是线段44,的中点，当△BED面积为15时,

点/表示的数为.

DC

AB01

变式2：【背景知识】数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地

结合.研究数轴我们发现了许多重要的规律：若数轴上点/、点3表示的数分别为0、

b,则4,2两点之间的距离/3=|。-耳，线段N8的中点表示的数为审.

【问题情境】如图，数轴上点/表示的数为-3,点8表示的数为7,点尸从点/出发,

以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时点。从点2出发，以每秒3个

单位长度的速度向左匀速运动.

设运动时间为/秒G>0).

【综合运用】

ABAB

I1_____________________________________I1_____________________________________

-307-307

备用图

(1)填空：

①/、3两点间的距离48=,线段的中点表示的数为；

②用含f的代数式表示：/秒后，点P表示的数为______；点。表示的数为.

⑵求当，为何值时，尸、0两点相遇，并写出相遇点所表示的数；

⑶求当/为何值时，PQ=^AB；

(4)若点"为尸N的中点，点N为的中点，点尸在运动过程中，线段的长度是否

发生变化？若变化，请说明理由；若不变，请求出线段的长.

易错点5：数轴新定义

例：已知数轴上两点/,2对应的数分别为-2,4,点尸为数轴上一动点，其对应的数

为Xp.

AOB

―।-1---1--1--1-1--1--1--1--1--1~>

-5-4-3-2-1012345

(1)若点尸为线段AB的中点，则点P对应的数与=；

(2)点P在移动的过程中，其到点/、点8的距离之和为10,求此时点P对应的数%的

值;

(3)对于数轴上的三点，给出如下定义：若当其中一个点与其他两个点的距离恰好满足2

倍关系时，则称该点是其他两个点的“友好点”.如图，原点。是点4,2的友好点.现

在，点/、点3分别以每秒3个单位长度和每秒1个单位长度的速度同时向右运动，同

时点尸以每秒2个单位长度的速度从表示数5的点向左运动.设出发，秒后，点尸恰好

是点4,8的“友好点”,求此时的f值.

变式1：【定义新知】在数轴上点”和点N表示的数为〃?、"，则可以用绝对值表示点

M和点N之间的距离d(M,N),即

【初步应用】

(1)在数轴上，点/、B、C分别表示的数为-2、1、x,解答下列问题：

①d(A,B)=；

②若dQ,C)=2,则x的值为；

③若d(4C)+d(2,C)=d(48),且x为负整数，则x的值为.

【综合应用】

(2)在数轴上，点。、E、尸分别表示数-3、5、12,动点尸沿数轴以每秒3个单位长

度从点。开始向点/运动，到达尸点后立刻原速返回到。点；同时，动点。沿数轴以

每秒1个单位长度从点£开始向点尸运动，到达厂点后停止.设点尸的运动时间为f

秒，在整个运动过程中，若4(尸,。)=：/(。,£),求:的值.

O

变式2：在平面直角坐标系xOy中，对于点P,点河给出如下定义：如果点P与原点O

的距离为。，点W与点尸的距离是。的左倍(后为整数)，那么称点W为点尸的“左倍关

⑴当月(-1.5,0)时,

①如果点月的3倍关联点M在x轴上，那么点W的坐标为________.

②如果点M（x,y）是点月的左倍关联点，且满足尤=-1.5,-20W4,那么整数上的最大

值为________.

（2）已知在Rt^4BC中,ZABC=90°,ZACB=3O°,A（b,O）,B（b+l,O）.若巴（-1,0）,且

在“3C的边上存在点鸟的2倍关联点。，求6的取值范围.

实数专题

易错点：

I.混淆有理数和无理数的概念：

有理数是可以表示为两个整数之比的数，而无理数则无法表示为有限小数或无限循环

小数。

2.混淆实数的运算性质：

（1）实数具有加法、减法、乘法和除法的运算性质，例如结合律、交换律等。

（2）容易忽视实数的运算性质，导致在运算中出现错误。

3.对绝对值的理解不足：

（1）绝对值表示一个数距离0的距离，正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的

相反数。

（2）容易忽略绝对值的定义，导致在处理绝对值时出现错误。

4.对平方根的理解不足：

（1）平方根是一个数的非负值，即正平方根和零的平方根。

（2）容易忽略平方根的定义，导致在处理平方根时出现错误。

5.对无理数近似表示的误解：

（1）无理数可以用有理数进行近似表示，例如“可以使用分数进行近似表示。

（2）容易将无理数的近似表示误认为是无理数的准确值，导致在计算中出现错误。

6.对实数的大小关系理解不足：

（1）实数的大小关系可以通过数轴来表示，正数大于0,负数小于0,正数大于一切

负数。

(2)容易忽略实数的大小关系，导致在比较实数大小时出现错误。

易错点1：算术平方根与立方根的规律

例：已知：VK6=4.858,而％=1.536,则J0.00236=()

A.0.1536B.15.36C.0.04858D.48.58

变式1：小明用计算器求了一些正数的平方，记录如下表.

X1515.115.215.315.415.515.615.715.815.916

X2225228.01231.04234.09237.16240.25243.36246.49249.64252.81256

下面有四个推断:

①(2.2801=1.51

②一定有3个整数的算术平方根在15.5〜15.6之间

③对于小于15的两个正数，若它们的差等于0.1,则它们的平方的差小于3.01

④16.22比16.『大3.23

所有合理推断的序号是.

变式2：爱学习爱思考的小明，在家利用计算器计算得到下列数据：

V0.0324,0.324V324V324V324V3240,32400

0.180.5691.85.691856.9180

(1)你发现的规律是被开方数扩大100倍，它的算术平方根扩大」

⑵已知百。1.732(精确到0.001),并用上述规律直接写出各式的值：Vo^3

V300

(3)已知V10404=102,4=102,6=1020,则x=_,y=_.

(4)类似小明的探究，把表中所有平方根换成立方根，你能根据3。1.442,直接说出

V300和W3000的近似值吗？

易错点2：整数部分与小数部分

例：已知〃〈庄＜〃+1,且〃是整数，贝!|〃=（）

A.4B.5C.6D.7

变式1:定义因为不大于x的最大整数，如闭=2,[曰=1,[4』=4,则满足[6]=5,

则n的最大整数为.

变式2：阅读下面的对话，解答问题.

小红：正是无理数，是无限不循环小数，因此它的小数部分我们不可能表示出来，对

吗？

小高：你说的不对，我们知道，它住2和3之间，它的整数部分是2,用它本身减去整

数部分2就可以表示它的小数部分.

（1）、历的整数部分是，小数部分是；

⑵若5+退的小数部分为4-石的整数部分为6,求a-回的值；

（3）若4a+1的算术平方根是7,36-2的立方根是-5,c是的整数部分，求4a+6+3c

的平方根.

易错点3：无理数的估算

例：估计Gx（省+百）的值应在（）

A.4和5之间B.5和6之间C.6和7之间D.7和8之间

变式1:已知1r=133L123=1728,133=2197,=2744.若〃为整数，且〃＜独而＜〃+1

则n=.

变式2：任意一个无理数介于两个整数之间，我们定义，若无理数T：掰＜T＜",（其

中加、〃为建绫的整数），则称无理数的“美好区间”为（私"），如1＜后＜2，所以及的

“美好区间”为（1,2）.

⑴无理数-旧的“美好区间”是；

⑵若一个无理数的“美好区间”为（加,〃），且满足10（加+血＜20,其中厂“二是关于x，

[y=y/n

y的二元一次方程5-行=。的一组正擎戮解，求C的值.

（3）实数x,V,加满足如下关系式：

(2x+3y+m)2+(3x+2y-3m)2=yly-2024^2024-x-y,求加的算术平方根的“美

好区间

代数式专题

易错点：

1.对代数式的理解不深刻：有些学生可能对代数式的概念和表示方法理解不够深入，

导致在解题时出现混淆或错误。

2.变量与常数混淆：在代数式中，学生有时会将变量与常数混淆，影响解题的正确性。

3.运算顺序错误：在复杂的代数式中，运算的顺序（如先乘除后加减）容易被忽略，

导致结果错误。

4.括号处理不当：括号在代数式中具有优先级。学生在处理括号时，可能会忽略或错

误地处理，导致答案不正确。

5.对函数表达式的理解偏差：有些学生可能对函数表达式和其对应的函数图像理解不

清晰，影响后续的分析和应用。

6.忽略实际意义：在某些问题中，代数式的取值范围或实际意义可能受到限制。学生

如果不注意这一点，可能会导致答案不合理或错误。

7.化简过程中出错：在化简代数式的过程中，学生可能会因为粗心或计算错误而导致

结果不正确。

8.对代数式的变换不熟悉：对于一些常用的代数式变换技巧，如提公因式、分组分解

等，有些学生可能还不够熟练，导致解题效率低下或出错。

9.对代数式的应用场景不明确：代数式在不同的数学问题和实际应用中有不同的作用

和意义。学生如果对应用场景不明确，可能会误解题意或应用不当。

易错点1：整式中的整体代入

例：已知代数式尤-2y的值是一3,则代数式4y-2x+5的值是（）

A.-1B.2C.11D.8

变式1:若加是方程/-2x-4=0的一个根，则代数式2032-2/+4m的值为.

变式2：阅读材料：我们知道，4尤-2x+x=（4-2+l）x=3x,类似地，我们把（。+6）看

成一个整体，贝1」4（。+6）-2（。+9+（。+6）=（4-2+1）（。+9=3（。+6）.“整体思想”是

中学教学解题中的一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛.

尝试应用：

(1)把(。―6)看成一■个整体，合并-6(a-b)+2(Q-b)=；

(2)已知％2-2y=4,求-6>-21的值；

拓广探索：

(3)已知Q-5b=3,5b—3c=—5,3c—d=10,求(a-3c)+(56-d)-(56-3c)的值.

易错点2：代数式中的规律

例：一个容器装有1升水，按照如下方法把水倒出：第1次倒出J升水，第2次倒出

水量是;升的《，第3次倒出水量是（升的第4次倒出水量是1升的!，…，第"次

233445

倒出水量是，升的工.按照这种倒水的方法，〃次倒出的水量共为（）

n〃+1

nf〃2+〃—1f

A.1升BQ升c需升D.2升

n+n

变式1:已知a>0,E=,，&=一鸟一1,8=$4=-$3-1…当〃为

a>

大于1的奇数时，5.=一一；当"为大于1的偶数时，

3〃-1

（1）§3=；（用含。的代数式表示）

（2）52024=.（用含。的代数式表示）

变式2：【问题提出】

如果从1,2,3……m,加个连续的自然数中选择"个连续的自然数加），有多少

种不同的选择方法？

【问题探究】

为发现规律，我们采用一般问题特殊化的策略，先从最简单的问题入手，再逐次递进,

最后得出一般性的结论.

探究一：

如果从1,2,3……m,加个连续的自然数中选择2个连续的自然数，会有多少种不

同的选择方法？

如图1,当机=3,力=2时，显然有2种不同的选择方法；

如图2,当加=4,〃=2时，有1,2；2,3；3,4这3种不同的选择方法；

如图3,当机=5,〃=2时，有种不同的选择方法；

由上可知：从加个连续的自然数中选择2个连续的自然数，有一种不同的选择方法.

探究二：

如果从1,2,3……50,50个连续的自然数中选择3个，4个……”(”《50)个连续的自

然数，分别有多少种不同的选择方法？

我们借助下面的框图继续探究，发现规律并应用规律完成填空

123...43444546474950

从50个连续的自然数中选择3个连续的自然数，有-----种不同的选择方法；

从50个连续的自然数中选择4个连续的自然数，有-----种不同的选择方法；

由上可知：如果从1,2,3……50,50个连续的自然数中选择〃("450)个连续的自然

数，有种不同的选择方法.

【问题解决】

如果从1,2,3……m,加个连续的自然数中选择〃个连续的自然数有

种不同的选择方法.

【实际应用】

我们运用上面探究得到的结论，可以解决生活中的一些实际问题.

(1)今年国庆七天长假期间，小亮想参加某旅行社组织的青岛两日游，在出行日期上，他

共有种不同的选择.

(2)星期天，小明、小强和小华三个好朋友去电影院观看《我和我的祖国》，售票员李阿

姨为他们提供了第七排3号到16号的电影票让他们选择，如果他们想拿三张连号票，则

一共有种不同的选择方法.

易错点3：代数式中的新定义

例：定义：对于一个两位自然数，如果它的个位数字不为零，且它正好等于其个位和十

位上数字和的"倍("为正整数)，我们就说这个自然数是一个“〃喜数”.例如：27就

是一个“3喜数，，，因为27=3x(2+7)；25就不是一个“"喜数”，因为25H(2+5)”.小晖

发现十位数字是个位数字2倍的两位数都是“"喜数”，则〃的值为()

A.3B.7C.3或7D.21

变式1：定义：若。+6=",则称。与b是关于数〃的“平衡数”.比如3与-4是关于T

的“平衡数”，5与12是关于17的“平衡数”.现有a=6/一8代+4与6=-2(3/一2丫+人)

(左为常数)始终是数〃的“平衡数”，则它们是关于—的“平衡数”.

变式2：定义：对于一个两位数x,如果x满足个位数字与十位数字耳不相回，且都不

为零，那么称这个两位数为“相异数”.将一个“相异数”的个位数字与十位数字对调后得

到一个新的两位数，将这个新两位数与原两位数的求和，再除以11所得的商记为S(x).

例如，。=13,对调个位数字与十位数字得到的新两位数31,新两位数与原两位数的和

为13+31=44,和44除以11的商为44+11=4,所以S(13)=4.

(1)下列两位数：40,51,77中，“相异数”为；

⑵计算：5(65)的值；

(3)若一个“相异数勺的十位数字是左，个位数字是2人-1,且S(y)=8,求相异数分

易错点4：整式与几何应用

例：现有/、8、C三种不同的矩形纸片若干张(边长如图)，小智要用这三种纸片无

重合无缝隙拼接成一个大正方形，先取/纸片9张，再取2纸片1张，还需取C纸片

的张数是()

A.2B.4C.6D.8

变式1：如图所示的是我国古代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”，

它是由4个全等的直角三角形与1个小正方形拼成的一个大正方形，若大正方形的边长

为5,小正方形的边长为2.

（1）如图1,若用正数a、b表示直角三角形的两条直角边（。＜6）,贝!|9=；

（2）如图2,若拼成的大正方形为正方形48CD,中间的小正方形为正方形跖，

连结/C,交3G于点尸，交。E于点则S^»-SACGP=

变式2：现有如图1的8张大小形状相同的直角三角形纸片，三边长分别是。、b、J用

其中4张纸片拼成如图2的大正方形（空白部分是边长分别为。和b的正方形）；用另外

4张纸片拼成如图3的大正方形（中间的空白部分是边长为c的正方形）.

（1）观察：从整体看，整个图形的面积等于各部分面积的和.所以图2和图3的大正方形

的面积都可以表示为（。+6）2,结论①;

图2中的大正方形的面积又可以用含字母“、6的代数式表示为：,结论②

图3中的大正方形的面积又可以用含字母。、b、。的代数式表示为：,结论③.

⑵思考：

结合结论①和结论②，可以得到个等式

结合结论②和结论③，可以得到个等式

（3）应用：若分别以直角三角形三边为直径，向外作半圆（如图4）,三个半圆的面积分

别记作E、邑、$3,且.1+邑+号=20,求邑的值.

（4）延伸：若分别以直角三角形三边为直径，向上作三个半圆（如图5）,直角边。=3,6=4,

斜边c=5,求图中阴影部分面积和.

因式分解专题

易错点：

1.未能正确理解因式分解的定义：因式分解是将一个多项式表示为几个整式的积的形式。

学生需要明确理解这一概念，才能正确进行因式分解。

2.提公因式时系数提取错误：在进行因式分解时，需要找出各项系数的最大公约数，并

提取出来作为公因式。如果学生在此过程中出现错误，就会影响因式分解的结果。

3.漏掉常数项：在进行提公因式时，学生可能会忽略常数项。这是常见的错误，因为常

数项在多项式中容易被忽视。

4.未能正确应用公式：在因式分解中，一些特定的多项式可以通过应用公式进行分解。

如果学生未能正确应用这些公式，就会导致因式分解的结果不正确。

5.混淆了因式分解与整式的乘法：因式分解与整式的乘法是两个不同的概念。学生需要

明确区分两者，以免在解题过程中出现混淆。

6.未能正确判断能否进行因式分解：对于一些多项式，可能无法进行因式分解。学生需

要学会判断哪些多项式可以进行因式分解，哪些不能。

易错点1：分组分解法

例：因式分解/+.%一a/一/的值为（）

A.（a-bp+6）B.（Q+b）2（q-b）C.ab^a+b^D.ab^a-b^

变式1:分组分解法指通过分组分解的方式来分解用提公因式法和公式法无法直接分解

多项式.

例如：

m2+n2-2mn+m-n=（m2-2mn+w2）+（m-w）=（加一〃/+（加一〃）=（冽一〃）（冽一〃+1）.

根据上述方法，解决问题：已知a、b、。是AZSC的三边，且满足/一/+qc-6c=0,

则“3C的形状是.

变式2：先阅读下面的材料，再完成后面的任务.

材料一材料二

如果把一个多项式各个项分

组并提出公因式后，它们的另在因式分解中，把多项式中某些部分看作一个整体，用

一个因式正好相同，那么这个一个新的字母代替，不仅可以简化要分解的多项式的结

多项式就可以利用分组的方构，而且能使式子的特点更加明显，便于观察如何进行

法来分解因式，这种因式分解因式分解，我们把这种因式分解的方法称为“换元法”.例

的方法叫做分组分解法.（X2+2川/+2工+3）-4进行因式分解的过程：

例am+an+bm+bn

^x2+2x=y,原式=y（y+3）-4=j2+3y-4

=Q（加+几）+6（加+〃）

二（y-1）（y+4）=，+2x-1）（J+2x+4）

=（加+〃）（a+6）

（1）填空：因式分解加2+=；

22

⑵因式分解（写出详细步骤）：（a-a）（a-a-2）-24;

⑶若AABC三边分别为a,6,c,其中a=3,b2+c2-6b-6c+l8=0,判断力3C的形

状，并说明理由.

易错点2：因式分解的应用

例：对于一个几何拼接图形，通过不同的方法计算它的面积，可以解释一些数学等式.如

图b先单个计算阅览室（正方形）、卫生间尸（正方形）和图书室（长方形）的面积，

然后整体计算面积，可以得到数学等式：，+2如心（“+吃

,教学楼墙

图

图

书AF..D

书

阅览室室阅览室//

G-室

门：

图书室PBC

图4

（1）观察图2,填空（。+6）（。+26）=；

（2）因式分解：a2+ab-2b2,图3表示面积为1+尤-2/的几何拼接图，请你补布宛擘

（涂上阴影）；

（3）学校准备利用现有教学楼墙重建图书馆，重建资金额定（即墙厚度和总长度为定

值).图4是图书馆地面一层的平面设计图，由1个长方形阅览室和2个正方形图书室

组成，各开了一个1米宽的门相通.若计算面积时不考虑墙体厚度，用总长67米的墙

重建长方形/BCD图书馆的地面一层.问重建后，图书馆地面一层最大面积是多少平方

米？

变式1：【实践探究】

小青同学在学习“因式分解”时，用如图1所示编号为①②③④的四种长方体各若干块,

进行实践探究:

©

①②

(1)现取其中两个拼成如图2所示的大长方体，请根据体积的不同表示方法，写出一个代

数恒等式:

(2)【问题解决】

若要用这四种长方体拼成一个棱长为x+2y的正方体，其中②号长方体和③号长方体

各需要多少个?试通过计算说明理由;

(3)【拓展延伸】

如图3,在一个棱长为了的正方体中挖出一个棱长为x的正方体，请根据体积的不同表

示方法，直接写出/一尤3因式分解的结果，并利用此结果解决问题：已知。与2〃分别

是两个大小不同正方体的棱长，且。3-8〃3=(a-2〃乂4-4的)，当"2〃为整数时，求助

的值.

变式2：学习整式的乘法时可以发现：用两种不同的方法表示同一个图形的面积，可以

得到一个等式，进而可以利用得到的等式解决问题.

材料：如图1,图形面积的两种计算方法如下，

第一种方法：

看成2个正方形和2个长方形的面积和，化简得«2+2ab+b2.

第二种方法：

看成一个大的正方形计算面积+，

得到一个等式a2+2ab+b2=(a+Z))~.

根据上述材料的解题方法解决下列问题：

⑴如图2是由边长分别为加，"的正方形和长为〃、宽为加的长方形拼成的大长方形，

根据图形的面积，可以把1+2/+3〃?〃因式分解：l+zmz+sm”一；

(2)①如图3是由几个小正方形和小长方形拼成的一个边长为a+b+m的大正方形，用不

同的方法表示这个大正方形的面积，得到的等式为「(求多个图形的面积和的式子要化

简)

②已知a+b+%=10,a2+b2+m2=64,利用①中所得到的等式，求代数式。6+加1+。加

的值.

分式与二次根式专题

易错点：

1.分母不为零：分式的分母不能为零，这一点学生常常会忽略。在解决分式问题时，

一定要确保分母不为零。

2.二次根式的有意义：对于二次根式，被开方数必须是非负数。学生常常会忽略这一

点，导致解答错误。

3.分式与整式的混淆：分式和整式在结构上有很大的不同，分式的特点是分母中含有字

母。学生有时会混淆这两者，导致解题错误。

4.运算顺序：在复杂的数学表达式中，运算的顺序（先乘除后加减，先括号后根式等）

非常重要。学生有时会因为运算顺序的错误而导致答案错误。

5.负整数指数幕的运算：对于负整数指数早，学生常常会忘记除以相应的基数的正整数

指数幕，导致答案错误。

6.最简二次根式的判断：最简二次根式是指被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，

以及分母中不含有根号的分式。学生常常会忽略这一点，导致答案错误。

7.二次根式的化简：二次根式需要化简到最简形式，但学生常常在这一步出现错误，比

如忘记开方或者合并同类项等。

易错点1：分母有理化

例：已知X—一。22=。，则代数式""的值为（）

A.2021B.2024C.2027D.2030

变式1：已知。是方程2024x+l=0一个根，则/—2023a+一1的值为______

a+1

变式2：探究题：观察下列各式的变化规律，然后解答下列问题：

1_111_111_111_11

U2--292^3-2-3,7^4-3-4?4^5-_4_5；

1

⑴计算：若〃为正整数，猜想“〃+1)=

1111

，xx(x+1)(x+1)(%+2)(x+2014)(%+2015)

(3)若|。6-2|+0-1]=0,求々+;---1二人八+71cl的值

1111ab(〃+1)(6+1)(〃+2)

易错点2：分式新定义

例：对于任意实数Q,b,我们定义新运算“*"：a^b=a2+2ab-b\例如:

3*5=32+2X3X5-52=14.若加，〃是方程（x+2）*3=0的两个实数根，则工+工的值

mn

为（）

A,3110

B.3C.一D.——

777

m+n—6

变式1：在实数范围内定义运算“※”：冽※〃二(加〃。0).请解决下歹！J问题:

mn

(1)3X2=；

AR

(2)若(x-+2)=H-------,贝!)2/-8=.

变式2：通过小学的学习我们知道，分数可分为“真分数”和“假分数”，而假分数都可化

oA-I-?79

为带分数.如：r—=2+r2-.我们定义：在分式中,对于只含有一个字母的

分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”;当分子的次数小

于分母的次数时，我们称之为“真分式”.

V—1丫23

如刀,上这样的分式就是假分式；)K这样的分式就是真分式・类似地，

假分式也可以化为带分式(即：整式与真分式的和的形式).

如：口=(》+1)-2=1_2；上=--1)心7+1-+1」.

x+1x+1x+1x-1x-1X-.

解决下列问题：

(1)分式20吗24是分式(填“真”或"假”)；

X

(2)将假分式=x+3化为带分式；

x+2

(3)求所有符合条件的整数x的值，使得更上1一曰+二・L的值为整数.

x+1xx+3%

易错点3：分式中的倒数

、的值是(

例：已知小r则？

X+1

11

A.-B.8C.-D.6

86

什。bcr/2。+26+。心/+、r

变式1:若;一=——=-则——K的值为_____.

b+cc+aa+ba+b-3c

变式2：阅读理解：

1