高考数学专项复习：复数及其应用

专题10复数及其应用

（思维构建+知识盘点+重点突破+方法技巧+易混易错）

维构建・耀精向绐

复数的定义：形如a+bi（a,b£R）的敷叫做复数

其中实部是a,虚献b

诩(b=0))

题型复数的基本概念及应用

复数的分类01

K0知识点一复数的基本痴四（bw0）（a:0时为纯虚数））题型02根据复数相等求参数

题型03复数的模长计算

题型04共匏复数及其应用

1复数的有关概念〉<共姬复数）

1■（复数的模）

复

数「:空酗盛］I：耍直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面

题型01复数与复平面的点一对应

及

O知识点二复数的几何意义；实轴与虚轴娜U做实轴，y轴叫做虚轴题型02复数与复平面向量——对应

其题型03复数的模的几何意义及应用

蔓的几何薪

应

用.一._—,二、复数的运算法则一力口、减、乘、题型01复数的四则运算

知识点三复数的四则运算题型02复数的乘方运算

Y、__o_______:____________________，/〜复数运…算的几二个重要~结-论-----

题型03复数范围内解方程

辘的定义

蔓的辐角T）八、

-----------辐角主值

T：。知识点四复数的三角形式题型01复数的代数式与三角式互化

一复数的三角旃C：亘cos0+isine）题型02复数三角形式乘除法运算

复数的三角吩及运氟―卜；赢的乘法霞：）题型03复数的新定义问题

复数的除法^

口识盘点・置翡非煤

知识点1复数的基本概念

1、复数的定义：形如。+历3，6GR）的数叫做复数，其中实部是“，虚部是从

2、复数的分类：

实数6=0,

复数z=a+历

「纯虚数a=0,

a,Z?£R虚数厚（T

.非纯虚数存0.

3、复数的有关概念

复数相等a+Z?i=c+diu^a=c且Z?=d(a,b,c,d£R)

共粗复数a+Ai与c+di共辆0a=c且Z?=—d(a,b,c,d£R)

向量OZ的模叫做复数z=〃+Z?i的模，记作|z|或|〃+历

管粉的精

BP\z\=\a+bi\=r=yJa2+b2(r>0,a,b£R)

知识点2复数的几何意义

1、复平面的概念：建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面;

2、实轴、虚轴：在复平面内，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴，实轴上的点都表示实数；除原点以外，虚轴上

的点都表示纯虚数；

3、复数的几何表示：复数z="+bi«一一对应》复平面内的点zm，b)..・对应,平面向量无.

知识点3复数的四则运算

1、复数的运算法则

设+历，z2=c+di(a,b,c,d£R),则

(1)zi+z2=(〃+Z?i)+(c+di)=(〃+c)+S+4/)i；

(2)zi-Z2=(〃+bi)—(c+di)=(。—c)+(b—d)i；

(3)zi22=(〃+bi)(c+di)=(ac—bd)+(ad+bc)i；

Z1_a+bi_(a+bi)(c-di)ac+bdbe—ad八、

(4)

z2c+di(c+di)(c-di)

2、复数运算的几个重要结论

(1)|zi+z2|2+|zi—Z2|2=2(|Z1|2+|Z2|2).

(2)Z-z=|z|2=|ZI2.

(3)若z为虚数，贝”z|2先2.

(4)(1土i)2=±2i.

(5)i4"=l;i4"+l=i；i4"+2=—1；i4"+3=—i.

知识点4复数的三角形式

1、复数的辅角

(1)辅角的定义：设复数z=a+6i的对应向量为前，以X轴的非负半轴为始边，向量被所在的射线(射

线。Z)为终边的角。，叫做复数z的辅角.

(2)辅角的主值：根据辅角的定义及任意角的概念可知，任何一个不为零的复数辅角有无限多个值，且这

些值相差2兀的整数倍.

规定：其中在0W8<2兀范围内的辅角8的值为辅角的主值，通常记作wgz.

【注意】因为复数0对应零向量，而零向量的方向是任意的，所以复数。的辅角是任意的.

2、复数的三角形式及运算

(1)定义：任何一个复数都可以表示成2=「(°05。+15讥8)的形式，其中r是复数的模，。是复数的辅角.

【注意】复数的三角形式必须满足：模非负，角相同，余正弦，加号连.

(2)复数乘法运算的三角表示：已知Z]=r1(cos61+is讥。J,z2=r2(cos02+isin02),

则ZjZ]=r1r2[cos(01+02)+isin(%+02)]-

这就是说，两个复数相乘，积的模等于各复数的模的积，积的辅角等于各复数的辅角的和.

(3)复数除法运算的三角表示：已知Z]=r1(cos31+isin%),z2=r2(cos02+isin%)

则迫=斐。s7+is讥黑=3_+is讥(88)].

z2r2(cos02+^in02)r2

这就是说，两个复数相除，商的模等于被除数的模除以除数的模所得的商，

商的辅角等于被除数的辅角减去除数的辅角所得的差.

点突破•春分好•检

重难点01与复数有关的最值问题

求复数模的范围与最值问题的解题策略

(1)把复数问题实数化、直观化、熟悉化，即将复数问题转化为实数问题来处理，转化为实数范围内，求

模的范围与最值问题来解决；

(2)发掘问题的几何意义，利用几何图形的直观性来解答，把陌生的问题转化为熟悉的问题来解答；

(3)利用三角函数解决.

【典例1】(2024.山东烟台.三模)若复数z满足|z|=|z-2-2i|,则忖的最小值为()

A.1B.V2C.V3D.2

【答案】B

【解析】若复数Z满足|z|=|z-2-2i|,

则由复数的几何意义可知复数z对应的点集是线段的垂直平分线，其中。(0,0),4(2,2),

111----------L

所以|z|的最小值为卜七亚后=&.故选：B.

【典例2】(2024•云南・二模)已知i为虚数单位，复数z满足|z-l|=|z+i|,则|z-i|的最小值为()

A.3B.1C.-D.0

223

【答案】A

【解析】设z=x+”,(x,yeR),而|z—l|=|z+i|,^rUl(x-l)2+/=x2+(y+l)2,即y=-%

所以=击2+(y_])2=Jx2+(-X-l)2=也/+2x+l=[[x+g[+^->,

等号成立当且仅当y=-x=；,

综上所述，|z-i|的最小值为孝.故选：A.

重难点02共飘复数与复数运算的综合问题

共轨复数问题的求解技巧：

1、若复数Z的代数式已知，则根据共轨复数的定义，可以写出I,再进行复数的四则运算.

2、己知关于z和［的方程，而复数z的代数形式位置，求解z.解决此类问题的常规思路是：设

z=a+bi（a,bGR）,则三=a-历，代入所给等式，利用复数相等的充要条件，转化为方程（组）求解.

【典例1】（2024.福建泉州•一模）（多选）已知复数z满足z=l-L,则（）

Z

A.z-z=lB.z2=zC.z+z=-lD.|z-z|=A/3

【答案】AD

【解析】设复数Z=Q+历,3/£R）,可得z2=〃—/+21执

因为复数z满足z=l—,可得z?=z—1，贝!J4—〃+2aZ?i=a+bi—l,

z

可得a?一〃=a-i2ab=b，

由2Gh=Z?时，可得a=工或人=0,

2

当。=：时，可得6=±迫，止匕时z」±^i；当6=0时，方程/-“+1=0,无解;

2222

对于A中，当z=1+@i,可得W=_L_1i,可得2i=1；

2222

当Z=；-亭,可得马+争，可得Z-，所以A正确;

对于B中，当2=工+走i,可得z2=-工+li,且［='—立3则z2Hl所以B不正确;

222222一一

对于C中’当Z.+卓,可得。：一%可得Z+/1，所以c不正确;

对于D中，当z」+走i,可得可得z-I=",则上一目=石；

222211

当z」-巫i,可得也i,可得2-胃=一后，贝和一斗=若，所以D正确.故选：AD.

222211

【典例2】（2324高三下•湖南娄底•阶段练习）（多选）已知复数4，%的共辗复数分别为.，三，下列结论正

确的是（）

A.若与为纯虚数，则4+^=0

B.若z；+z；=0,则Z1=Z2=。

C.若［Z］—z?|=0,则4—z2=0

D.若|z-l|=|z+l|,则z在复平而内对应的点的轨迹为直线

【答案】ACD

【解析】对于A,设Z]=—bi,故4+4=。成立，故A正确，

对于B,设z1=i,z2=lf则满足z；+z；=0,但4wZ2wO,故B错误，

对于C,设4=〃+历，z2=c+dx,则Z]=a-历，z2=c-di,

22

故Zi—Z2=(〃—c)+3—d)i,IZj-z21=yl(a—c)+(b—d)=0,

解得Q=C,b=d,则4—Z2=(Q_c)+(d_/?)i=0,故C正确，

对于D,^z=x+yi,因为|z_q=|z+l|,|z-l|=J(x-l)2+y2,

|z+l|=J(x+l)2+y2,所以J(x+l)2+y2=J(x—l)2+y2,

化简得％=o,故z在复平而内对应的点的轨迹为直线，故D正确.故选：ACD.

法技巧•逆境学霸

一、复数的分类

对于复数。+历，

（1）当且仅当6=0时，它是实数；

（2）当且仅当a=6=0时，它是实数0；

（3）当厚0时，叫做虚数；

（4）当。=0且以0时，叫做纯虚数.

【典例1】（2024•广东东莞•模拟预测）若复数z满足0+i）（l+i）=4,则复数z的虚部是（）

A.2B.-2C.3D.-3i

【答案】C

【解析】设2=口+历，根据题意，可得（。一历+i）（l+i）=4,

化简为(a+b-l)+(a-"l)i=4,

a+b—1=4(1=2

根据复数相等，得,解得

a—b+l=Ob=3

所以z=2+3i,即复数z的虚部是3.故选：C

【典例2】（2324高三上•甘肃庆阳•阶段练习）（多选）下列各式的运算结果是实数的是（）

A.z=i(l-i)2B.z=(l+i)2

8-6i

C.z=(l+i)(l+2i)(l+3i)D.z=-------

3+4i

【答案】AC

【解析】A项中，z=i(l-i)2=i(-2i)=-2i2=2,故A正确；

B项中，z=(l+i)?=2i,故B错误；

C项中，z=(l+i)(l+2i)(l+3i)=(-l+3i)(l+3i)=-10,故C正确；

CT否rH8-6i(8-6i)(3—4i)—50i士.门希〜口加、土入厂

D项中，z=-------=-----------------=------=-21,故D错厌.故选：AC.

3+4i2525

二、求复数标准代数式形式的两种方法

1、直接法：将复数用已知复数式表示出来，利用复数的四则运算化简为复数的标准代数式；

2、待定系数法：将复数设为标准式，代入己知的等式中，利用复数相等的条件列出关于复数实部和虚部的

方程（组），通过解方程（组）求出复数的实部与虚部.

【典例1】（2024.新疆三模）复数z满足|z+2i|=|z|,则z的虚部为（）

A.-iB.iC.-ID.1

【答案】C

【解析】设2=。+历且,贝l]z+2i=a+bi+2i=a+（b+2）i,

因为|z+2i|=|z|,所以/+g+2）2=片+心解得：b=_i,贝”的虚部为-1.故选：C

【典例2】（2024•福建泉州•模拟预测）已知复数z满足忖=2,|z-2|=2,贝心+口（）

A.2垂>B.2C.2D.-273

【答案】B

【解析】设复数z=o+历，a,b^R,

由|z-2|=|z|=2,得2）一=y/a2+b2=2,解得a=l,b=土百，

••-z=l±V3z，•••z+z=2.故选：B.

三、复数的几何意义

（1）任一个复数z=a+历（a,>GR）与复平面内的点Z（a,b）是——对应的.

（2）一个复数2=。+历（访bGR）与复平面内的向量下=（a,6）是---对应的.

【典例1】(2024•四川自贡.三模)在复平面内，复数4，为对应的向量分别是次=(-2,3),OB=(3,-2),

则复数对应的点位于()

Z1+Z?

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【答案】D

【解析】因为复数Z-Z2对应的向量分别是函=(-2,3),OB=(3,-2),

所以Z]=—2+3i,z2=3—2i,

所以Z23-2i(3-2i)(l.i)J5j

Z!+z2-2+3i+3-2i(l+i)(l-i)22，

所以复数一^对应的点为位于第四象限.故选：D

4+Z2122)

【典例2】(2024.安徽马鞍山.三模)已知复数z满足z与=2(z+彳)=4,若z在复平面内对应的点不在第一象

限，则2=.

【答案】1-V3i

【解析】设z=〃+0i,a,0wR,则N=a-历，

因为z•三=2(z+z)=4,

z-~z=(a+bi)(a-bi\=a1+b2=4\a=\\a=\

则_/.、/…，解得厂或厂

2(z+z)=2[(Q+0i)+(Q-Z?i)]=4a=4\b=V3\b=-v3

又因为Z在复平面内对应的点不在第一象限，可知b<0,

a—1

可知<，所以z=1-yfii-

b=-43

故答案为：

四、虚数单位i的乘方

计算复数的乘积要用到虚数的单位i的乘方，i"有如下性质：

i1=i,i2=­1,i3=i-i2=—i,i4=i3i=—ii=L

从而对于任何〃GN+,都有i4,,+1=i4"-i=(i4),!-i=i>

同理可证i4”+2=—1,i4«+3=-i,i4«+4=l.

这就是说，如果"GN+,那么有i4"+l=i,i4"+2=_1,i4"+3=_j,i4#4=i.

由此可进一步得(l+i>=2i,(1-i>=-2i,^4=­1,-i.

【典例1】(2024•湖北・二模)已知复数z=^(l+i),则22侬=()

A.1B.—1C.—iD.i

【答案】A

【解析】因为z=.(l+i),所以z2=；(l+2i+i2)=i,

22

所以严=(z2r虫产=1.故选：A

【典例2】(2024•河北三模)已知复数力满足Z(i2023+i2期)=坪5,贝丘的共软复数的虚部是()

【答案】D

［解析］由Z(i2023+i2024)=i2°25,可得Z@3+4*505+1+4x506)=产4x506,

j_i(l+i)-1+i

所以Z"i)=i,所以-_+1

l-i(l-i)(l+i)222

_iii

所以z=所以！的共辗复数的虚部是[.故选：D.

五、复数方程的解

在复数范围内，实系数一元二次方程a/+法+c=0(a丰0)的求解方法：

(1)求根公式法：

①当心。时，%=生理王②当△<0时，%=]

2a2a

(2)利用复数相等的定义求解，设方程的根为％=TH+ne/?),

将此代入方程a%2+必+c=0(a。0),化简后利用复数相等的定义求解.

【典例1](2324高三下•西藏拉萨•阶段练习)已知z=l-i是方程z2+2az-6=0(a/£R)的根，则♦+/?=(

A.-3B.-1C.2D.3

【答案】A

【解析】由题意，得(l—i)2+2a(l—i)—6=0,即2a—人+(—2—2a)i=0,

所以2a-b=。，且-2-2a=0,解得a=-=

所以a+Z?=—3.故选：A.

【典例2】(2024•江苏盐城•模拟预测)(多选)已知4,Z2为方程f+2%+3=0的两根，则()

+

A.Izj-z2|=272B.~=

11Z1Z23

C.团+以=26D.Z]—z2=Z]+z2

【答案】BC

【解析】方程Y+2x+3=0的两根分另U为一1+6和一1-",且Z]+Z[=-2,z「Z]=3,

所以不妨设Z]=—1+J5i,z2——l—y/li,

^=-l+V2i,所以上「司=卜1+")-卜1+")|=0,故A错误；

11_Zj+z2

(I——2——故B正确;

Z[Z[Z]z23

z22

|z,|+I2|=2^(-1)+(A/2)=2A/3,故C正确;

Z]_z°=_2^21»Z]+z?=_1_>/2i-I+A/ZI-—2,

所以Z-z?#Zi+z2,故D错误.故选：BC.

六、复数的三角表示

将复数z=a+历(a,bGR)化为三角形式z=r(cos9+is讥8)时,要注意以下两点：

(1)r=y/a2+b2,

(2)cos。=；,sind-其中8终边所在象限与点(a,6)所在象限相同，

当a=0,b>0时，argz=

【注意】每一个不等于零的复数有唯一的模与辅角的主值，并且由它的模与辅角的主值唯一确定。因此，

两个非零复数相等当且仅当它们的模与辅角的主值分别相等.

【典例1】(2324高三下•江苏苏州•阶段练习)(多选)任何一个复数z=a+历(。，beR,i为虚数单位)

都可以表示成z=r(cos6+isine)(r>0,6>GR)的形式，通常称之为复数z的三角形式.法国数学家棣莫

弗发现：[r(cos0+isin6»)]"=r"(cosnd+isinnd)(〃eN*),我们称这个结论为棣莫弗定理，则下列说法正

确的有()

A,复数z=1-后的三角形式为z=2^cosj-is呜)

232024

B.当厂=1,时，z+z+z+...+z=0

TT

C.当r=2,§时，z3=—8

D.当/'=3,e=rTT时，""为偶数”是“z"为纯虚数”的充分不必要条件

4

【答案】BC

【解析】复数z=l-Gi的三角形式为z=21cos9+isin^J,故A错误；

、[/八兀nt.71..71.

力〃=1,"=—,z=cos—F1sin—=i,

222

因为i4W+i4k+2+i4t+3+i«+4=0,keZ,

所以z+z?+z3+…+z2°24=0,故B正确；

当r=2,8=5时，z=2(cos]+isin]),

z3=|^2^cosy+isiny^=23(cos7i+isin7i)=-8,故C正确；

当厂=3,8=四时，z=3|cos—+isin—I，

4I44j

n兀・•兀)TJ几R..〃兀、

LI44〃I44J

九兀八

cos——=0

A

若z〃为纯虚数，则，则n与jr==jr+E,所以〃=4左+2,k£Z,

.rm42

sin——w0n

[4

虽然〃=4左+2,左eZ是偶数，但是偶数还有〃=43左eZ的形式的数，

所以“"为偶数”是“z"为纯虚数”的必要不充分条件，故D错误.故选：BC.

【典例2】(2024.黑龙江哈尔滨.三模)复数z=。+历(a,6eR,i是虚数单位)在复平面内对应点为Z,设

r=|OZ|,0是以x轴的非负半轴为始边，以OZ所在的射线为终边的角，贝ijz=a+历=r(cos6+isin。)，把

/•(cosd+isin。)叫做复数。+历的三角形式，利用复数的三角形式可以进行复数的指数运算，

[r(cos夕+isin。)]"=r"(cosa，+isin〃0)(〃eN*),例如：一!+且^i]=(cos"+isin处[=COS2K+isin2?i=1,

(l+i)4=[夜]cos：+isin："=4(cos7i+isin7i)=-4,复数z满足：z=l+i，则z可能取值为

)

【答案】D

【解析】设z=r（cos9+isin9）,

兀..兀

贝Uz3=1+i=V2cos—+isin—=r3(cos30+isin36),

44

所以厂=蚯，3。=2而+弓,左eZ,即。=^+3，%eZ,

2AJT7T2kji7i

所以z=——-+一+isin----十一,keZ

312312

17TT17K..17K

故％=2时,*五’故，可取------Fism-----,故选：D

1212

X笏庇笏错•联券在半信

易错点1忽视复数2=。+切是纯虚数的充要条件

<2=0

点拨：对复数为纯虚数理解不透彻，对于复数2=。+切为纯虚数0,八，往往容易忽略虚部不等于0.

b不0

【典例1】（2425高三上•湖南•开学考试）己知复数4=2-i,Z2=a+i（aeR）,若复数z「z?为纯虚数，则实

数。的值为（）

A.—B.gC.2D.2

22

【答案】A

【解析】由已知，复数z/z?=（2-i）（a+i）=（2a+l）+（2-a）i为纯虚数，

2a+1=0,得。=-）.故选：

所以A.

2—aw0,

【典例2】（2324高三上•广西・开学考试）已知i是虚数单位，若2=牛%是纯虚数，则实数。=（）

1-1

B

A.—2-4C.1D-

【答案】C

1+ai_(l+m)(l+i)_1-aa+1.

【解析】z=1-i-(l-i)(l+i)~~r+~2Tlj

因为z=总是纯虚数，所以;二解