2024年高考数学一轮复习《导数》单元提升卷（解析版）

单元提升卷04导数

(考试时间：120分钟试卷满分：150分)

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要

求的。

1.如图所示的是y=的导函数y=/'(x)的图象，下列四个结论：

①在区间(-1,1)上是增函数；

②x=-1是“X)的极小值点；

③“X)的零点为-1和4；

④x=l是〃x)的极大值点.

其中正确结论的序号是()

C.③④D.①③④

【答案】A

【分析】利用导函数y=/'(x)的图象，对①②③④四个选项逐一分析可得答案.

【详解】由导函数丁=/'(力的图象可知,

当xe(-3,-1)时,f(x)<0,

当xe(-1,2)时,>0,

所以/(x)在区间(-3,-1)上单调递减，

在(-1,1)上单调递增，故①正确，②正确;

又-1和4是尸(同=0的零点(是极值点),

不是/(x)的零点，且x=l不是/(x)的极大值点，故③④均错误;

故选:A

2.已知/伍）=3，杷，国+2曾一〃修）的值是（）

A.3B.1C.2D.-

2

【答案】C

【分析】根据导数值的定义计算即可.

【详解】根据导数值的定义：lim“X。+2原）一"%）=2］而"无。+2垓）一,工了,（）=2.

-3Ax3-2Ax3

故选：C

1X1

3.已知函数/（尤）（无©R）满足"1）=1,且“X）的导函数八x）g,则/⑺的解集为（）

A.（-oo,0）B.（-℃,1）C.（0,+oo）D.（1,+℃）

【答案】D

【分析】根据题意，构造函数歹（x）=/（x）-：x,可得函数网X）在R上单调递减，再由其单调性即可求得

不等式.

1111

【详解】设/（尤）=/（同一5无，则〃（元）=/'（尤）一5,因为/'（尤）＜2,所以9（司=/（犬）一5＜0,即函数尸（X）

在R上单调递减，

则/（x）＜5+；，即/（元）一］＜/（1）-g,BPF（x）＜F（l）,

所以X＞1,即/'（x）＜］Y+；1的解集为（1,+s）.

故选:D

4-函数小,）、=［fx小siiw+,x冷＞0相。的导函数为,广、⑼则《，一3彳兀「、（）

兀兀

A.0B.1C.—D.1H—

22

【答案】B

【分析】根据分段函数的性质可得光£（-2兀,-兀）时〃%）=（%+兀）sinx,即可求导代入求解.

【详解】当%£（一2兀,一兀）时，贝|JX+71G（-7C,0）,X+27lG（0,7T）,

f（x）于（X+TI）=/（x+2兀）=（x+2兀）sin（%+2兀）=（x+兀）sinx,

止匕时/'(X)=sinx+(x+7i)cosx

所以尸]告卜出（号+（3+1«菅=1+0=1,

故选：B

5.函数，a）=sinx在（兀,0）处的切线方程为（）

A.九+y-兀=0B.%—y—兀=0

C.%+y+兀=0D.%一丁+兀=0

【答案】A

【分析】利用导数的几何意求解即可.

【详解】因为〃x）=sinx,所以广（x）=COSX,且点（兀,0）在/（X）的图像上,

所以〃%）在（兀,0）处的切线的斜率为k=/'（兀）=侬兀=-1,

所以f（x）在（兀,0）处的切线方程为。=-（%-兀）,即X+”7t=0.

故选：A.

6.已知函数/（%）=（1〃，若石<%2，且/（石）=/区），则％2-石的最小值为（）

[x+l,x<l一一

A.3-21n2B.4-2ln3

C.2D.e-1

【答案】A

【分析】由题意作出函数图象，可得巧的范围,得至lj赴一%=%—21nx2+1,令g(x)=x-21nx+l,xe(l,e],

再由导数求最小值即可.

2Inx,x>l

【详解】已知函数/（%）=,作出函数图象如图:

x+l,x<l

<x2/(x1)=y(%2),.-.l<x2<e.

由石+1=21n%2，得再=21口/2-1,则九2-石=光2-21口入2+1.

,2r-2

令g(x)=x-21n尤+1,尤€(l,e|,贝I]g'(x)=l――=------,

XX

.•.当xe(l,2)时,g'(无)<O,g(x)单调递减；当尤e(2,e]时，g'(尤)>0,g(无)单调递增,

g(x)血n=g(2)=3-21n2,即马一者的最小值为3—21n2.

故选：A.

7.已知。=学，b=--ln—,c=~,则。，b,c的大小关系为()

244ee

A.a>b>cB.a>c>b

C.c>a>bD.b>c>a

【答案】B

【分析】观察b,c的形式构造函数，判断函数的单调性来比较大小.

In2el+ln2,1,1l+ln42_1+Ine

【详解】a=-----=--------,b=—In——=---------

2244e4ee

构造函数〃以=匕詈，贝厅'（司=空，当0<x<l时，制x）>。,函数f（x）=W递增;当x>l时,

（尤）<0,函数〃元）=平递减;

因为4>e>2>l,所以a>c>Z?

故选：B

8.若直线>=X+匕与曲线y=e"-ax相切，则力的最大值为（）

A.0B.1C.2D.e

【答案】B

【分析】利用导数的几何意义得到，=（a+l）［l-ln（a+l）］,然后利用导数分析单调性求最值即可.

【详解】设切点坐标为（毛,%）,因为y=ex-ax,

所以y'=e'-a,故切线的斜率为：^-a=l,

e阳=a+l,则％=ln（a+l）.

又由于切点（毛,%）在切线〉=尤+6与曲线,=ex-办上,

所以Xo+5=e&—ax。,所以b=(a+l)_Xo(a+l)=(a+l)[l_ln(a+l)].

令a+l=f,贝1]匕=[1一出。，设/⑺=,

-In?,令/⑺=0得：t=l,

所以当fe(O,l)时，f'(t)>0,/⑺是增函数;

当fe(l,田)时，f(t)<0,当t)是减函数.

所以/⑺max=川)=1.

所以人的最大值为：1.

故选:B.

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部

选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

9.如图，它表示跳水运动中高度随时间变化的函数/()=T.9/+6.5r+10的图象，根据图象判断以下说法

A.曲线〃«)在％附近增加

B.曲线力⑺在&附近减少

C.曲线“⑺在％附近比在芍附近增加的缓慢

D.曲线2)在马附近比在《附近增加的缓慢

【答案】AD

【分析】根据二次函数图象及导数的几何意义一一判断即可.

【详解】对于A、B选项，由图象可知，〃«)在乙与芍附近均增加，故A正确，B错误;

对于C、D选项，由图象及二次函数的单调性可知，

%与芍均在对称轴『=鲁左侧，函数单调递增，

但增加的趋势逐渐趋于平缓，且/⑺=-98+6.5,〃⑷故C错误，D正确.

故选：AD

3

10.可能把直线y=]X+根作为切线的曲线是()

A.y=--B.尸cosx

x

C.y=lnxD.y=e'

【答案】ACD

【分析】根据题意结合导数的几何意义逐项分析判断.

【详解】因为直线>=*3》+机的斜率左=3，

对于选项A：因为y=-L,则y'=±,

xx

令」=：，解得x=±逅，故A正确；

对于选项B：因为y=cosx,则炉=_sinx,

又因为—sinxe[—1,1],则方程-sinx=$>1无解，故B错误；

对于选项C：因为y=lnx,则y'=—,

x

132

令一=9,解得了=彳，故C正确；

x23

对于选项D：因为y=e",则J=e',

令解3得x=ln；3,故D正确；

故选：ACD.

11.已知函数〃力=^/3,则以下结论正确的是()

A.〃x)在R上单调递增

c

123

B./(log52)</e</(lnn)

\)

C.方程〃力=-1有实数解

D.存在实数左，使得方程/")=辰有4个实数解

【答案】BCD

【分析】对于A项，利用导函数计算即可判定，对于B项，通过求导判定函数单调区间，再比较自变量即

可；对于C项，求导判定函数的极值再数形结合即可判定，对于D项，分类讨论，分离参数求导函数及数

形结合即可判定.

【详解】由/⑺=ex-x3n:⑴=.炉.(*+3),

显然当x<-3时，­(无)<0,即y=/(x)在(9,-3)上单调递减,

当x>-3时，>0,即y=/(x)在(-3,—)上单调递增，故A错误;

1]]/—

2

对于B项,易矢口In兀>lne=l二e°>e=-j=>—=log5J5>log52>-3,由y=/(x)在(-3,+s)上单调递增可知

Ve2JJ

B正确;

对于C项，由上知y=/(x)在x=-3处取得极小值，M/(-3)=-27e-3<-l,故C正确，如图所示;

对于D项，/(x)=Ax,gpe'-x3=,当尤=0,显然成立，即x=0是其一根，当"0时，原方程

等价于k=ex-x2,令g(x)=ev-x2=>g'(x)=ex-x-(x+2),

令g'(x)<0,解得-2〈尤<0,即y=g(x)在(-2,0)上单调递减,

令g'(x)>0,解得了<—2或x>0时，即y=g(x)在(。,+也)和上单调递增，故〉=8(无)在x=—2处

4

取得极大值，在x=0处取得极小值，g-2)==遥0)=0,

e-

又Xf-8时，y=g(x)fO+,可得y=g(x)的大致图象，如图所示，

当上时，左=^々2有三个不同的根，且均不为零，综上所述D正确;

故选：BCD

12.设函数为R上的奇函数，/（x）为〃x）的导函数，/（2^+l）-/（2-2x）=4x-l,"1）=1,则下

列说法中一定正确的有（）

A-⑵=2B.戒=|。.《号）=1D.少原卜59

【答案】ACD

【分析】由"X）为R上的奇函数，f（2x+l）-f（2-2x）=4x-l,〃1）=1可得〃»的性质，可判断A,B；

对/（》）=—/（f），〃2x+l）—〃2-2x）=4x—1求导可得导函数尸⑺的性质，即可判断C,D.

【详解】因为函数〃x）为R上的奇函数，所以〃尤）=-〃-x），因为/（2X+1）-〃2-2X）=4X-1,〃1）=1,

所以当x=0得/⑴―〃2）=-1,所以42）=2,故A正确;

又f（2x+lj-f（2—2xj=4x-l,可得f（2x+l）—（2x+l）=〃2-2x）—（2—2x）,则/（%）-尤=/（3-x）-（3-x）,

所以函数关于直线x=T对称，故/的值无法确定，故B不正确；

因为/（力=一〃一力，则（⑺4-八-切;八一”①，所以尸（力关于y轴对称，

又/（2x+l）-/（2-2x）=4x_l,所以2r（2x+l）+2/'（2_2x）=4,gp/,（2x+l）+/,（2-2x）=2,所以尸（x）

关于点（I，j对称，贝|/'（x）=—广（3-x）+2②，

由①②得/'（—1）=—/'（3—"+2,所以/'（3—耳=一/'（6—x）+2,贝ij/'（一x）=/'（6—x）,

故尸（x）的周期为6,由②可得（（|）=+2,即/（I，1,所以广j=l,故C正确；

由②得/'（x）+r（3-x）=2,所以/'［（）+/［纥3=2，

则

故D正确.

故选：ACD.

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.已知函数/（x）=flx-a-lnx,且的最小值为0,则。的值为

【答案】1

【分析】利用导数求出/(尤)*=/(1)，结合已知最小值可得结果.

a

【详解】/(x)=«x—a—Inx的定义域为(0,+刈，

f\x)=a--,

X

当aWO时，/V)<0,/(x)在(0,+⑹上为减函数，此时〃无)无最小值，不合题意；

当a>0时，令/'(x)<0,得0<x<L；令/'(x)>0,得x>,，

aa

/⑴在(o,)上为减函数，在d,+«)上为增函数，

aa

所以/(尤)3=fd)=l-a+lna=O，

a

令g(a)=l-〃+lna,gf(a)=-l+—,

a

4gf(a)>0,得Ovavl,令"(a)<0,得a>l,

所以g(。)在(0,D上为增函数，在(1,y)上为减函数，

所以当。=1时，g(。)取得最大值g⑴=0,

故a=1.

故答案为：1.

14.已知曲线y=与曲线y=_3-：(x<0)有公切线/,贝心的方程为.

【答案】x-y-1^0

【分析】分别设出直线与两曲线相切的切点，然后表示出直线的方程，再根据切线是同一条直线建立方程

求解.

【详解】设直线与曲线y=hx相切于点(41叫)，

因为y=lnx,则)/=!，

所以该直线的方程为yTn%=J(X-尤J,即y=Jx-l+lnX|,

设直线与曲线>=-3一％<0)相切于点。2，-3」］(々<0),

X(x2)

因为y=-3-，(x<o),则y=4，

XX

、c11/、12。

所以该直线的方程为y+3+—=-(x-x2),即y==x-----3,

*^2*^2

X]

所以2c,消去4得ln(-%)+—+1=0,

-1+1呻=-2-3%

、X2

令£=-々，因为x,<。，所以r>o,所以lnf-1+l=0,

t

4/z(0=ln?--+l,所以，0)=工+]>0,则〃⑺=lnf_1+l为增函数,

tttt

所以h(t)=InfFl最多一个零点，容易知道h(l)=0—-+1=0,

t1

所以lnf-；+l=0只有一个解r=l,所以％=-1,所以X]=x；=l,

所以该直线的方程为1=无-1,即x-y-l=0.

故答案为：x-yT=0.

15.设函数〃尤)=耘+3(左一1)尤2d?+1在区间(0,4)上是减函数，则上的取值范围是.

【答案】吟

［分析］y(x)=13+3("1)炉一产+1在区间(0,4)上是减函数转化为f'(x)=3kx2+6(k一X0在(0,4)上恒

成立，进而可得.

【详解】S/(x)=kx3+3(k-l)x2-k2+1,

f'(x)=3kx2+6(k-l)x,

若左=0,f(x)=-6x,当Iw(0,4)时，f(x)=-6x<0,符合题意,

当左。0时，/'(%)=3丘2+6(左一1)九40得

左(3—+6x)<6x,因x£(0,4),

,,,6x2

i^k<--=-

3x+6xx+2

9

由题意上<三在(。，4)上恒成立，

设g(%)=*,XG(0,4)则g(%)在(0,4)上单调递减,

'7x+24+23

故kwO,

综上

故答案为：左v；

16.设函数〃x)=Mlnx-ot)(aeR)在区间(0,2)上有两个极值点，则a的取值范围是.

【-答案】(fl二n2+l方

【分析】求得/'(尤)=lnx+l-2依，根据题意转化为2a=R4在(0,2)上有两个不等的实数根，转化为

g(x)=W±l和>=2〃的图象有两个交点，求得g，("=普，求得函数的单调性与最值，即可求解.

［详解］/,(x)=lnx-ar+x|--cz|=lnx+l-2ar,

由题意知lnx+1-2办=0在(0,2)上有两个不相等的实根,

将其变形为24=虹口，设g(x)="W,则gQJTnlInx

XXX

当0<x<l时，g'(x)>0,g(x)单调递增；当1Vx<2时，g'(x)<0,g(x)单调递减,

g⑺的极大值为g⑴=1，又g(3=0,8⑵=空把>0,

e2

画出函数g(X)的大致图象如图,

四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步聚。

17.曲线/(力=尤2上哪一点处的切线满足下列条件?

(1)平行于直线y=4尤-5；

(2)垂直于直线2x-6y+5=0；

(3)倾斜角为135°.

【答案】(1)尸(2,4)是满足条件的点.

(2)P(-U3)Q是满足条件的点.

24

(3)尸(-旨)是满足条件的点.

【分析】(1)设尸(%,%)时满足条件的点，求得/'(%)=2%，由切线与直线＞=4尤-5平行，列出方程，即

可求解；

(2)由切线与直线2x-6y+5=0垂直，歹岫方程2%x；=T,即可求解；

(3)由切线的倾斜角为135。，得到2%=-1,即可求解.

【详解】(1)解：设外毛,为)时满足条件的点，

由函数/(x)=f,可得尸(x)=2x,可得/'(%)=2/，即切线的斜率为左=2%

因为切线与直线＞=4尤-5平行，所以2%=4,解得巧=2,可得%=/(2)=4,

所以点P(2,4)是满足条件的点.

(2)解：由(1)知，切线的斜率为左=2%,

因为切线与直线2x-6y+5=0垂直，所以2x°x：1=-l,解得/=-]3,可得%=：9,

所以点尸(一3釜9)是满足条件的点.

(3)解：由(1)知，切线的斜率为k=2%,

因为切线的倾斜角为135。，所以其斜率为-1,可得2尤。=-1,解得与=一;，可得%=；,

所以点尸是满足条件的点.

24

18.求下列函数的导数：

⑴y=xcosx-2；

X

小、(l+x2)ex

(2)y-'---1—；

X

(3)y=+2x—l^e2'.

【答案】(l)y'=cosx-xsin无一1

(2)y=^±^_L£zle-

闭)/="+3户2-x

【分析】根据复合函数的求导法则计算可得答案.

【详解】(1)/=cosx-xsinx--—

(2)y=1-+xle%,y=1---+-+X+1lex

2

//+2片彳-/y=Qe'无+2e?-e/—Ze'x+e+*+^_x

(3)

19.已知函数=-2（zr+lnx（a为常数）.

⑴当a=l时，求曲线y=〃x）在点（L〃l））处的切线方程;

⑵设函数〃x）的两个极值点分别为毛，巧（西<龙2）,求）的范围.

【答案】（i）y=43

⑵H

【分析】（1）由导数的几何意义求解，

（2）根据函数有两个不相等的极值点得到a>1,再+%=2。,%>1，故〃々）=-gx；-l+ln%，变形得到函

数g⑺=-卜-1+小四,（/=后>1），求导得到其单调性，得到g⑺的值域，得到答案.

【详解】（1）当a=l时，无）=,工2-2x+lnx,f'（x）=x-2+—,

2x

所以/⑴=-5,尸⑴=o,

故曲线y=/（力在点（1,7（1））处的切线方程为y=-1.

（2）若f（x）在定义域内有两个极值点，贝I玉,2是方程/（司=彳-2。+工=0即/一2分+1=0的两个不相等

X

的正根，

A=4a2-4>0

从而得至『西+3=2。>。，即。>1,

xxx2=1>0

又0<再<%，故々>1，且2ax?=xf+1

/(%2)=；考-2ax2+lnx2

1

+1

2

=一;*-1+^lnxf

令/=%；〉1,贝!J/(%)=g⑺=一万%—l+]lnf,

，/、11-t+1

g(力=一+—=<0,

V；2It2t

所以g(。在(1，y)上单调递减，

所以g⑺<g⑴=-!，即g⑺的值域为1-巩-1

所以/(%)的范围是［巩一1:

20.已知函数/'(x)=x—alnx.

(1)若/(x)在［1,+s)上单调递增，求。的取值范围.

(2)求/(x)的单调区间.

【答案】⑴(…用

(2)答案见详解

【分析】(1)求导，分和。>0讨论可得；

(2)根据(1)中结论可得单调区间.

【详解】⑴〃x)的定义域为(。,+8)，尸(幻=1'=2

XX

当时，((劝>0,人力在(0,+A)单调递增，满足题意；

当。>0时，令r(x)=?20,解得x<0(舍去)^x>a,要使/(X)在［1,+⑹上单调递增，贝股41,所

以0<aVL

综上，。的取值范围为(YO』］.

(2)由(1)可知，当a40时，”X)在(0,+8)单调递增,

当。>0时，/(x)在(。,+«>)单调递增，

Y—/7

令/，(X)=——<0,解得0<x<〃，/(%)在(0,。)单调递减.

x

综上，当aWO时，的单调递增区间为(0,+s)；

当。＞0时，/(x)的单调递增区间为(。,田)，单调递减区间为(0,。).

21.已知函数/(耳=加+加，在点处的切线方程是＞=-3.

⑴求a,力的值；

(2)设函数g=eR),讨论函数g⑺的零点个数.

【答案］⑴6=3,a=_2

(2)见解析

【分析】(1)由导数的几何意义求解即可；

(2)g(x)=f(x)-m=0,求函数g(x)的零点个数即y=/(x)与y=加图象的交点个数，对f(x)求导,求

出y=/(x)的单调性和极值，画出y=/(x)的图象，结合图像即可