北京市某中学2024-2025学年高二年级上册9月月考数学试卷

2024北京首都师大附中高二9月月考

数学

一、选择题(共10小题，每小题4分，共40分，每题只有一个正确选项)

1.已知三=1一1,则目=()

A.OB.lC，V2D.2

2.如图，在平行六面体48cz)—4片。］£)］中，AB—AD-AAX—()

'.AC】B.4cC.D]BD.DB]

3.已知Z(2,-3,-1),8(—6,5,3),则标的坐标为()

A.(—8,8,—4)B.(-8,8,4)c.(8,—8,4)D.(8,—8,—4)

4.如图，己知正方体4BCD—HB'C'D的棱长为1,/.丽=()

A.lB，V2C，V3D.-1

5.设屋用分别是平面a,7的法向量,其中1=(1,%-2)同=(x,—2,1),若a〃尸则x+V=

()

6.已知直线4的方向向量为"=（0,0,1）,直线42的方向向量为旧=（0,6,-1）,则直线4与，2所成角的度数

为（）

A.30°B.60°C.120°D.150°

7.已知亢为平面a的一个法向量，G为直线/的一个方向向量，则“3,元”是“/〃a”的（）

A.充分不必要条件B,必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

8.己知点。,4民。为空间不共面的四点，且向量1=刀+砺+反，向量B=E+砺—玩，则与

不能构成空间基底的向量是（）

A.O4B.OSC.OCD.况或无

9.在空间直角坐标系。孙z中，点2（2,1,1）在坐标平面Oxz内的射影为点8,且关于丁轴的对称点为点

C,则民C两点间的距离为（）

A.V17B.3V2C.2V5D.V21

10.在棱长为1的正四面体（四个面都是正三角形）4BC。中，M,N分别为的中点，则/M和

CN夹角的余弦值为（）

二、填空题（共5小题，每小题4分，共20分）

11.已知向量5=（2,-3,1）,则与1共线的单位向量为.

12.已知向量1=（2,0,-1）,3=（7〃,一2,1）且〃3，则加=，卜+B卜.

13.己知直线I经过A（1,0,1）,5（2,0,0）两点，则点尸（2,1,4）到直线/的距离为.

14.在空间直角坐标系Oxyz中，己知方=（2,0,0）,%=（0,2,0）,通=（0,0,2）.则①与屈的夹角的

余弦值为；函在通的投影向量a=.

15.以下关于空间向量的说法：

①若非零向量2满足2〃B石〃则G〃己

②任意向量落反己满足（鼠孙?=晨（『同

③若｛04赤，灰｝为空间向量的一组基底，且砺砺—；瓦，则48,c,£)四点共面

_3-

④已知向量。=(1,1,x),3=(-3,x,9),若x〈而，则〈用3〉为钝角

其中正确命题的序号是.

三、解答题(共4道大题，共60分)

16.如图，在正方体Z5CD—44cl2中，48=2,£为线段的中点.

(1)求证：AAXLDXE.

(2)求平面ORE的法向量；

(3)求点4到平面ORE的距离.

17.如图，正三棱柱ABC—44。的底面边长为2,高为4,。为cq的中点，£为吊4的中点.

(1)求证：〃平面4瓦(；

(2)求直线5c与平面43。所成角的正弦值.

18.如图，在平行六面体ABCD-中，AB=4,AD=2,AAX=272,ZBAD=60°,

ZBAAX=45°,ZC与8。相交于点O,设方=万,诟=B,丽=乙

⑴试用基底忸方同表示向量函;

(2)求。4的长；

(3)求直线。4与直线所成角•

19.如图，四棱锥S-的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的后倍，尸为侧棱上的点.

(1)求证：ACLSD-.

(2)若5D_L平面尸/C,求平面尸/C与平面/CZ＞的夹角大小；

(3)在(2)的条件下，侧棱SC上是否存在一点E,使得成〃平面尸/C.若存在，求SE:EC的值;

若不存在，试说明理由.

参考答案

一、选择题(共10小题，每小题4分，共40分，每题只有一个正确选项)

1.【答案】C

【分析】利用复数的乘法求出z,再求出复数的模.

【详解】依题意，Z=(i-l)i=-l-i,则|z|=J(-l)2+(-l)2

故选：C

2.【答案】C

【分析】利用向量的加减法法则计算即可.

【详解】方-石-麴=丽-麴=丽-西

故选：C

3.【答案】B

【分析】利用空间向量坐标运算即可.

【详解】因为2(2,—3,—1),8(—6,5,3),

所以方=(—8,8,4)

故选：B.

4.【答案】A

【分析】结合图形利用空间向量的线性运算求解即可.

【详解】因为加=砺+砺=加—通+砺=益—诟+/，

且"方=0,"同=0,

所以Z?•丽=2?•(刀_而+刀)=/•刀—Z?•而+Z?2=]

故选：A.

5.【答案】D

一一1y—2

【分析】本题根据图形关系得到〃1〃々，得到一=—=——，解出即可.

x—21

【详解】---a//13,且)凡分别是平面a源的法向量，则

1y-217

则有一=J=一,故》=一一,y=4,则x+y=-.

x-2122

故选：D.

6.【答案】B

__u-v

【分析】根据空间向量夹角公式cos<M,n>=m^,代入即可得到向量夹角，同时注意直线夹角的范围.

【详解】直线4方向向量江=(0,0,1),

直线方向向量E=(0,G,—l),

一_M-V-11

COS<M,V>=।...=---------1==——

同归力2，

所以两向量夹角为120°，

二直线4和，2所成角为60°，

故选：B.

7.【答案】B

【分析】根据线面平行的性质及其法向量和方向向量的关系判断即可.

【详解】防为平面a的一个法向量，G为直线/的一个方向向量，

若方，则/ua或/〃a,充分性不成立，

若/〃a,则1,亢，必要性成立，

所以“3，方”是“/〃a”的必要不充分条件.

故选：B.

8.【答案】C

【分析】利用空间向量的基底的意义即可得出.

【详解】•.•OC=1(5-6)=|(a4+O5+OC)-1(d3+O5-OC),

.•.瓦与区很不能构成空间基底；

故选：C.

9.【答案】D

【分析】先求得民c的坐标，再用两点的距离公式求解

【详解】因为点2(2,1,1)在坐标平面Oxz内的射影为点8,

所以8(2,0,1),

因为点幺(2,1,1)关于歹轴的对称点为点C,

所以C(―2,1,-1),

所以忸C|=J(-2-2)2+(1—0)2+(—1—1)2=V21,

故选：D

10.【答案】A

【分析】根据正四面体性质取8N的中点为尸，即可知N3P即为异面直线4M和CN的夹角的平面

角，计算出各边长利用余弦定理即可求得结果.

【详解】连接5N,取5N的中点为尸，连接4P,10,如下图所示：

由正四面体的棱长为1用得AM=CN=BN=

2

又",P分别是8C8N的中点，所以MP〃CN,且MP==CN=型,

24

所以/4WP即为异面直线4W和CN的夹角的平面角，

又易知BNLAN,J!LPN=—BN=>所以4P=JAN。+PN?=Al--+—=—

24V4164

337

—1-----------2

因此cos/AMP=——詈_隼=-,

°J3J33

2x——x——

24

即AM和CN夹角的余弦值为

3

故选：A

二、填空题(共5小题，每小题4分，共20分)

3V14JV143V14

n.【答案】或—一丁，…

14714

।,,a

【分析】求出同，再根据土同求解即可.

【详解】因为向量1=(2,-3,1),所以同=也2+(_3)2+12=9,

a（2,—3,1）3V14

所以土曰=±\J

同V1414

3届V14^JV143V14

所以与2共线的单位向量为14'N)[―_1~，14

3AV14^JV143V14

故答案为:14'N尸[―"r’14

12.【答案】（1）-##0.5（2）亚I##工商

222

【分析】利用空间向量的垂直关系即可求解；根据向量的加法及模的运算即可求解.

【详解】因为万=（2,0,-1）石=（机,—2,1）,

当时，所以2机一1=0,

所以加=-；

因为1=(2,0,-Q,B=K，—2,1

2+B=R—2,0

故答案为：—；2^1.

22

13.【答案】3

【分析】根据坐标求出cos〈不，刀然后得到|4P[,最后用勾股定理求忸P|即可得到点尸到

直线/的距离.

【详解】

如图，过点尸作?于点尸'

|1-3|_V22

由题意得，2P=(l,l,3),A8=(l,0,-l),cos<AP,2g>=

VnxVi_11'

|AP|=Vl+1+9=VTT,所以|ZP[=|AP|-COS<AP,AB>=后尸尸[=Vll-2=3.

故答案为：3.

14.【答案】①（②（1,一1,0）

【分析】先根据空间向量的坐标运算求出函与赤的坐标，然后由向量夹角的运算公式和投影向量的计

算公式即可求出结果.

【详解】因为方=（2,0,0）,%=（0,2,0）,诙=（0,0,2）,

所以函=力—k=（0,-2,2）,而=益—%=（2,—2,0）,

CDCB4_1

所以cos<CD.CB>=

20x2后一万

CB

团在屈的投影向量为阴cos<CD,CB>R=(I0).

故答案为：—.

15.【答案】①③

—■1—■1—.

【分析】根据向量共线定理可判断①；由向量数量积的运算律可判断②；根据幺。=—N8+—C8可判断

33

③；当x=—3时可判断④.

【详解】对于①，因为扇是非零向量，且满足故存在实数使得万=彳3,

b=/JC,故5=4〃己，所以2〃己，故①正确；

对于②，因为仇?不一定共线且向量的数量积为实数，所以卜=不一定成立，故②不正

确；

对于③，若｛厉，砺，灰｝为空间向量的一组基底，所以4民C三点不共线，

--2--2--1->----1--2--1--1/->—-\1/----1

OD=-OA+-OB——OC,且00—04=——OA+-OB——OC=-(OB-OA]+-(OB-OC

3333333、,3、

—►1—►1—►

所以2。=—48+—C8,则4民。,。四点共面，所以③正确;

33

对于④，当x=-3时，用3反向共线，有B=-31,1,3为180°，所以④不正确.

故答案为：①③.

三、解答题（共4道大题，共60分）

16.【答案】（1）证明见解析；

（2）（2,-1,1）,答案不唯一;

⑶半

【分析】（1）根据线面垂直的性质，即可证明线线垂直；

（2）建立空间直角坐标系，求得对应点的坐标，利用向量法即可求得结果；

（3）根据（2）中所求平面的法向量，求得而在平面法向量上的投影向量的长度即可.

【小问1详解】

因为ABCD-44cl2是正方体，故可得幺41面44。〃,

又DXEu面AiBlClDl,故可得4411DXE.

【小问2详解】

以。为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系，如下所示:

则可得：^(0,0,2),5(2,2,0),£(1,2,2),4(2,0,2),

字=(1,2,0),阮=(-1,0,2),葩'=(-2,0,0)

设平面25E的法向量为应=（x,y,z）,

m-D[E=0x+2y=0

则即…2z=。’取A?，可得—1，

m-BE=0

故平面25E的一个法向量为（2,-1,1）.

【小问3详解】

设点4到平面DXBE的距离为d,

4〃同_4_276

贝Ud=

\m\J4+1+13

故点4到平面D[BE的距离为巫

3

17.【答案】（1）证明见解析

（2）

5

【分析】(I)由已知建立空间直角坐标系，求出直线GE的方向向量和平面的法向量，利用线面

平行的向量判定方法求解即可；

(2)根据线面角的向量求解公式求解即可.

【小问1详解】

如图以/为坐标原点，以ZC,所在直线为〉轴，z轴，在平面48C内做与/C垂直的直线为x轴

建立空间直角坐标系,

G（O,2,4）,5（G,l,O）,£＞（O,2,2）,£?,g,4，4（0,0,4）,C（0,2,0）

_.（ha、—.—.

所以C]£=^,--,0,&B=（瓜1,-4）,BD=（-51,2）

设平面4助的法向量为为=（%〃/）,

n-A,B-0fV3x+y-4z=0

所以1，，即《厂,

n•BD=0[-J3]+y+2?=0

令x=,所以z=l,歹=1,

即万=(G,1,1)为平面4Ao的一个法向量，

所以印•拓=年义6+[—[]xl+0xl=0,

又因为qE(z平面4Ao,

所以〃平面4AD；

【小问2详解】

由(1)知5c=(—6,1,0),为=(6,1,1),

设直线5C与平面4AD所成角为巴

所以smO^cos（前，引=”=患=?，

所以直线5c与平面4AD所成角的正弦值为工1.

5

—■]_1—

18.【答案】（1）OA,——ci—bc

22

⑵V3

【分析】（1）利用空间向量的线性运算求解即可；

—■11-

（2）由（1）可知。4=——而——b+c,然后利用数量积求模长即可；

22

（3）利用空间向量线线角的向量法求解即可.

【小问1详解】

----***1/>->\*1>11**11—*

OA=04+44=——（AB+AD]+AA=——AB——AD+AA=——a——b+c;

12、/12222

【小问2详解】

】=

AB=4,4。=2,44=2①NBAD=60°,NBAAZDAAX=45°,

所以=|5||6|cos60°=4x2x^-=4,

BN=问同cos45°=2x2-V2x=4，

5

a-c=|5||c|cos45°=4x2-72x-8，

—►1一1-一

由（1）知OA——a—bc,

X22

所以=\--a-—b+cI=-a2+~b2+c2+-a-b-a-c-b-c=3>

[22J442

所以W=g；

【小问3详解】

BC=AD=b^

OA,-BC=\——a一一b+c\-b=——a-b——b2+b-c=O,

1I22J22

cos(西，正卜"青=0,

--»__»7T

所以。&与8c所成角为万，

JT

所以直线。4与直线3。所成角为

19.【答案】（1）证明见解析；（2）30°；（3）存在，SE-EC=2-A.

【分析】（1）由题设知，连BD,设NC交于8。于O,由题意知SO_L平面48c。似O为坐标原点，

砺，反，砺分别为x轴、歹轴、z轴正方向，建立空间直角坐标系，求得向量反与丽，结合数量积即

可证明/CLS。；

（2）分别求出平面尸/C与平面48的一个法向量，求法向量的夹角余弦值，即可求出结果；

（3）要使3E〃平面尸/C,只需砺与平面的法向量垂直即可，结合（2）中求出的平面尸/C的一个法

向量，即可求解.

【详解】（1）证明：连接助，设AC交BD于O,由题意知S