高考数学复习：圆与圆的位置关系及圆的综合性问题 专项训练（基础+重难点）解析版

【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）

第40练圆与圆的位置关系及圆的综合性问题（精练）

【A组在基础中考查功底】

一、单选题

1.圆/-8工+必+12=0与圆/+/一6>-7=0的位置关系是（）

A.相离B.相交C.内切D.外切

【答案】B

【分析】根据两圆圆心距离与半径和差的关系判断即可.

【详解】因为圆，-舐+必+12=0的圆心为（4,0）,半径2,圆尤2+/一6丁-7=0的圆心为（0,3）,半径4,

则两圆圆心距离为“2+3?=5，两圆半径之差为4-2=2,两圆半径之和为4+2=6,

因为2<5<6,所以两圆相交.

故选：B.

2.已知圆。：x2+y2=l和。2：+y2-6x+5=0,则两圆的位置关系是（）

A.内切B.外切C.相交D.外离

【答案】B

【分析】根据两圆的圆心距与两圆半径和差的比较即可判断两圆位置关系.

【详解】因为圆G：/+/=1的圆心（0,0）,半径为1,

圆G：x2+/-6x+5=0即（x-3）2+/=4的圆心（3,0）,半径为2,

所以两个圆的圆心距匕。21=3,又两个圆的半径和为2+1=3,

所以圆。与圆的位置关系是外切.

故选：B.

3.圆G：/+/=1与圆C2+必-6y+5=0的公切线有（）

A.1条B.2条C.3条D.4条

【答案】C

【分析】根据两圆的位置关系即可求解.

【详解】圆C?的标准方程为尤2+（V_3）2=4,圆心坐标为（0,3）,半径为2.

圆G与圆G的圆心距为3,等于两个圆的半径之和，所以圆。与圆。2外切，故圆。与圆的公切线有3

条.

故选：C

4.圆尤2+/=3与圆工2+/一3尤+3y-3加=0的公共弦所在的直线与两坐标轴所围成的三角形面积为2,则m

的值为（）

A.-3B.-1C.3D.3或-1

【答案】D

【分析】根据题意，联立两个圆的方程，可得两圆的公共弦所在的直线的方程，由直线的方程可得该直线

与xj轴交点的坐标，进而可得gx|l-刈x|帆-1|=2,解可得偿的值，即可得答案.

【详解】根据题意，圆一十丁=3与圆工2+歹2一3工+3^-3冽=0,

fY2-p2_a_Q

即22「.、7两式相减可得：x-y+m-l=0,

[x+y-3x+3y-3m=0

即两圆的公共弦所在的直线的方程为x-y+/-l=0,

该直线与x轴的交点为（1-加,o）,与了轴的交点为（0刈-1）,

若公共弦所在的直线和两坐标轴所围成图形的面积为2,则有;,

变形可得：（〃-1）2=4,

解可得：加=3或-1；

故选:D

5.圆（尤+2）2+必=6关于点*1,1）对称的圆的方程为（）

A.（X-4）2+（J/-2）2=6B.x2+（y-4）2=6

C.（x+2）2+（y+2>=6D.x2+（y+4）2=6

【答案】A

【分析】求得圆心关于点P的对称点的坐标，由此求得对称圆的方程.

【详解】圆（尤+2）2+/=6的圆心为（-2.0）,半径为几，

（-2.0）关于点尸（1,1）的对称点为（4,2）,

所以对称圆的方程为（尤-4尸+（了-2尸=6.

故选：A

6.已知在圆C:(x-a)2+(y-2a)2=20上恰有两个点到原点的距离为石，则。的取值范围是(

A.(1,3)B.(1,9)

C.(-3,-l)u(l,3)D.(-9,-l)U(l,9)

【答案】C

【分析】根据圆与圆的位置关系求得。的取值范围.

【详解】圆C:(x-a)2+(y-2.)2=20的圆心为C(a,2a),半径为2君,

依题意可知，以原点。(0,0)为圆心，半径为石的圆，与圆C相交，

\OC\=s/5\a\,所以2石一石＜石同＜20+石，

即1＜时＜3,所以ae(-3,-1)51,3).

故选：C

7.圆G：/+/-4x+2y+l=0与圆C?-2y-3=0相交于43两点，贝同等于()

A.2GB.2V2C.V3D.V2

【答案】B

【分析】先求出相交弦4B所在直线的方程，然后根据圆的弦长的求法求解即可.

【详解】由圆C]:/-4x+2y+1=0与圆C2:+-2y-3=0,

将两圆方程相减整理得直线N5的方程：尤-y-l=0,

又C1:x2+y2-4x+2y+l=0,即(x-27+(y+1/=4,

圆心为G(2,-l),半径为-2,

所以G(2,T)到直线x-y-l=0的距离为d=g及，

所以|力同=2^/r2—d1=2yl4-2=2^2.

故选：B.

8.若圆一十/十2优＞o)与圆％2+/+2%一4＞+4=o有公共点，贝什满足的条件是()

A.0</<有+1B.r>V5+1

C.|r-V5|<lD.|r-V5|<l

【答案】D

【分析】根据圆与圆的位置关系求得正确答案.

【详解】由一+/+2工一4了+4=0得（x+l『+（y-2『=1,圆心为（-1,2）,半径为1,

圆/+/中2的圆心为（0,0）,半径为厂.

两圆圆心距为42+2?=4，

由于两圆有公共点，所以”1区君分+1,解得后-1"V6+1,

所以卜-码41.

故选：D

9.已知圆M:（x+l）2+（y-2a）2=（VI-l）2与圆N:（x-a1+y2=（近+1）2相交,则。的取值范围是（）

A.（-U）B.13°]口[1[]

C.D.KW川

【答案】D

【分析】根据两圆相交时圆心距和半径的关系列不等式，然后解不等式即可.

【详解】圆W的圆心为M（-l,2a）,半径为血-1，圆N的圆心为N（a,0）,半径为a+1.

依题意可得收+「（后-1）<|跖V|<0+1+收-1,即2<“/+1）2+（-20）2<2上,解得

4一二1〉（1,1；

故选：D.

10.已知圆G:尤2+/=1和圆c?:（x-。）一+y2=16,其中a>0,则使得两圆相交的一个充分不必要条件可

以是（）

A.3<a<5B.3<Q<6C.4<a<5D.2<a<5

【答案】c

【分析】根据圆与圆的位置关系求参数范围，结合充分、必要性定义确定答案即可.

【详解】由G（0,0）且半径6=1,。2（。，0）且半径々=4,结合a大于0,

所以弓一1<。<4+八时，两圆相交，贝！）3<。<5,

由选项可得A选项为3<a<5的充要条件；

B、D选项为3<5的必要不充分条件；

C选项为3<。<5的充分不必要条件；

故选：C

11.已知动圆过点/(TO),并且在圆8：(X-3)2+J?=100的内部与其相切，则动圆圆心的轨迹方程为()

.x2j2x2y2x2y2x2y2

A.——+—=1B.——+—=1C.——+—=1D.—+—=1

1671692592516

【答案】D

【分析】根据圆与圆的位置关系，整理等式，根据椭圆的定义，可得答案.

【详解】由圆B:(X-3)2+V=IOO,则其圆心8(3,0),半径为火=10,

设动圆的圆心为C,半径为厂，

由圆C在圆3的内部与其相切，则尺-r=C2,

由圆。过点A,贝！|R-C/=C5,即10=C4+C2,

所以动点C的轨迹为以42为焦点的椭圆，则。=5,°=网=3,

2

6=病=7=4,所以其轨迹方程为5+1=1.

故选：D.

12.已知两圆相交于两点8(6,4),且两圆圆心都在直线x+y-3=0上，则漏的值为()

A.-3B.-2C.0D.1

【答案】D

【分析】根据两圆的相交性质进行求解即可.

【详解】由直线x+y-3=o的方程可知该直线的斜率为T,

直线的斜率为3=2，线段"的中点坐标为冷〕，

b+ab+aI22J

因为两圆相交于两点/(-。,2),8(6,4),且两圆圆心都在直线x+y-3=0上，

-1-^—=-1

所以有1.na=b=lnab=l,

-a+b2+4,八

--------+---------3=0

I22

故选：D

13.已知圆C：(x+3)2+(y-4)2=4和两点S(-a,0)(a>0),若圆C上至少存在一点尸，使得

AAPB>90°,则实数。的取值范围是()

A.(3,7)B.(3,+<»)C.(3,7]D.(0,7)

【答案】B

【分析】根据已知条件可得圆C：(x+3)2+(y-4)2=4与圆O：。>0)位置关系为相交、内

切或内含即可满足题意，进而求得a的值.

【详解】圆C：(x+3)2+O-4尸=4的圆心C(-3,4),半径为」=2,

因为圆C上至少存在一点尸，使得/2尸3>90。，

所以圆C：(尤+3)2+"-4)2=4与圆O：/+/=/(。>0)位置关系为相交、内切或内含，如图所示，

所以10cl<2+。，

又因为|OC|=3)2+4。=5,所以5<2+a,即。>3.

故选：B.

14.已知点尸为直线V=x+1上的一点，M,N分别为圆G：(尤-4『+(夕一1『=1与圆。2：X2+(J/-4)2=1±

的点，则值+的最小值为()

A.5B.3C.2D.1

【答案】B

【分析】分别求得圆C1，G的圆心坐标和半径，求得|CG|=5,结合图象，得1PMi+|郎|25-彳-马，即可

求解.

【详解】如图所示，由圆C|：(x-4)2+(y-l)2=l,可得圆心G(4,l),半径为4=1,

圆C：/+(懵4)2=1,可得圆心。2(。，4),半径为2=1,

可得圆心距k7(4-0)2+(1-4)2=5,

如图，闫PC-小|/W|N|PC21r

所以|尸"l+l尸N但pcj+pc?卜〃一々=?5卜「。2卜226。2+2=3,

当w,N，a，G，尸共线时，取得最小值,

故1PMl+|PN|的最小值为3.

二、多选题

15.已知两圆G：/+V=9©:/+r-6x+8y+21=0,直线/:x+2y-l=0,则()

A.圆G的面积为9万B.圆G的圆心为(-3,4)

C.圆G与直线/相切D.圆。与圆C2外切

【答案】AD

【分析】由圆的一般方程写出圆的圆心与半径，运用几何法比较圆心到直线的距离与半径的大小来判断直

线与圆的位置关系，比较两圆心距与两圆的半径之和、半径之差的绝对值的大小来判断圆与圆的位置关系.

【详解】解：对于选项A,由题意得，圆。的半径为3,所以圆的面积为9〃，故选项A正确；

对于选项B,,圆。2：x2+/-6x+8y+21j=0,即：(x-3)2+(7+4)2=4,

.•.圆。2的圆心为G(3,-4),半径2=2,故选项B错误；

对于选项C,由题得，圆。的圆心为G(0,0),半径外=3,

所以圆心。到直线1的距离为：d魄,则“＜耳，所以圆G与直线/相交，故选项C错误；

对于选项D,由题得，|。。2|=5=外+々，所以圆。与圆C2外切，故选项D正确.

故选：AD.

16.已知圆0:尤2+/=9与圆G：(x-3)2+(y-4)2=16,下列说法正确的是()

A.。与c?的公切线恰有4条

B.。与G相交弦的方程为3x+4y-9=0

C.。与。2相交弦的弦长为?12

D.若尸，。分别是圆G.C?上的动点，则1尸。二=12

【答案】BD

【分析】由根据两圆之间的位置关系确定公切线个数；如果两圆相交，进行两圆方程的做差可以得到相交

弦的直线方程；通过垂径定理可以求弦长；两圆上的点的最长距离为圆心距和两半径之和，逐项分析判断

即可.

【详解】由已知得圆G的圆心G（o,o）,半径斗=3,

圆G的圆心。2（3,4）,半径％=4,

22

|^2|=7（3-0）+（4-0）=5,4-rx<d<rx+r2f

故两圆相交，所以£与的公切线恰有2条，故A错误；

做差可得G与C2相交弦的方程为3x+4y-9=0,

G到相交弦的距离为|，故相交弦的弦长为2小^|：=］，故C错误；

若尸,0分别是圆G，G上的动点，则I尸0ks=2。2|+6+4=12,故D正确.

故选：BD

17.已知圆Cj/+卜+6°『=9与圆的：（五一42+必=1有四条公切线，则实数。的取值可能是（）

A.-4B.IC.272D.3

【答案】ACD

【分析】首先得到圆心坐标与半径，依题意可得两圆相离，利用圆心距大于半径之和求出参数的取值范围.

【详解】解：由圆。和。2的方程可知，

圆G的圆心G（O,-G@,半径〃=3,

圆G的圆心。2（。，0），半径4=1，

因为两圆有四条公切线，所以两圆外离,

两圆圆心距d=#Z(/^/=2M，贝！]2同>3+1,

解得a<—2或a>2,即aw2)U(2,+oo),

所以实数。的取值可以是-4,2a，3,不能是1.

故选：ACD.

18.已知点尸在圆G：(x-2)?+/=4上，点。在圆C2:/+/+2x-8y+13=0上，贝I]()

A.两圆外离B.忸。|的最大值为9

C.|尸。|的最小值为1D.两个圆的一条公切线方程为3x-4y+4=0

【答案】ABC

【分析】将两圆的方程化为标准方程，求出两圆的圆心和半径，再逐项分析.

【详解】圆G：(x-2)?+y2=4的圆心坐标C"2,0),半径厂=2,

圆Q：/+/+2x-8y+13=0,即(x+l)。+(y—4『=4的圆心坐标C?(—L4),半径夫=2,

所以圆心距CC2I='(-1-2)2+(4-0)2=5,

因为|。夕2]>7?+「=4,所以两圆外离.故A正确；

因为P在圆G上，。在圆。2上，所以忸。|g=|。。2卜火一厂=1，俨。\=|℃2|+火+厂=9,故B、C正确；

/、1-1x3-4x4+41

因为圆心C2(-l,4)到直线3x-4y+4=0的距离d=J—^=-=-—L=3*R,所以3x-4y+4=0不是两圆公

切线，故D错误；

故选：ABC.

19.已知圆G：x?+必-6y+5=0和圆G：+了?—8x+7=0,则下列结论正确的是()

A.圆G与圆。2外切

B.直线V=尤与圆。相切

C.直线了=》被圆C?所截得的弦长为2

D.若分别为圆。和圆。2上一点，则的最大值为10

【答案】ACD

【分析】利用配方法，根据两圆相切、圆的切线性质、垂径定理、两圆的位置关系逐一判断即可.

【详解】圆G：Y+y2-6y+5=0化为尤2+(了-3)2=4,圆心坐标为(0,3),半径为2,

圆。2：/+/一8》+7=0化为(》一4)2+/=9,圆心坐标为(4,0),半径为3.

因为两个圆的圆心距为巧4=5,等于两个圆半径的和，所以两个圆外切，A正确.

乍1=¥片2,所以直线y=x与圆。不相切，B错误.

圆Q的圆心到直线V=x的距离为

A/22

\q=2后，直线>=x被圆G所截得的弦长为2后二日否=2,C正

圆C的圆心到直线V=x的距离为

2V2

确.

若分别为圆£和圆C2上一点，贝的最大值为2x2+2x3=10,D正确.

故选：ACD

20.点尸在圆G：/+/=1上，点0在圆C2：/+/-6x+8y+24=0上，贝！］()

A.|尸0|的最小值为3B.|尸@的最大值为7

4

C.两个圆心所在的直线斜率为D.两个圆相交

【答案】ABC

【分析】根据题意，由圆的方程求出两个圆的圆心分别为CI(0,0)、C2(3,-4),半径分别为R=l、r=l;根

据两点间距离公式求出圆心距|qc2|,与两圆半径之和或半径之差比较即可判断两圆的位置关系，判断选项

D；的最小值为可判断A；|尸。|的最大值为|GC』+R+r可判断B；根据经过两点直线斜率计

算公式即可计算经过两圆圆心的直线斜率，从而判断C.

【详解】根据题意，圆G：Y+r=1,其圆心G(0,0),半径尺=i,

2

HC2:X+/-6X+8^+24=0,即(x-3)2+(y+4)2=l,其圆心C2(3,-4),半径厂=1,圆心距

|CC|=J16+9=5>R+r,故两圆外离，故D错误；

则|尸。|的最小值为|CG|-Rf=3,最大值为|CC|+A+「=7,故A正确，B正确；

-4-04

对于C,两个圆心所在的直线斜率上=GY=-W，故C正确.

3—。3

故选：ABC.

三、填空题

21.圆W：x2+y2-4y^0,圆N：x2+y2-6x-}2y-4=0,则圆M与圆N的位置关系是.(选

择以下答案填空：“相离”,“外切”，“相交”，“内切”，“内含”)

【答案】内切

【分析】首先计算两圆圆心之间的距离，利用圆心距与两圆半径作比较即可判断.

【详解】由题意可得圆/+(y-2)2=4的圆心为(0,2),半径12；

圆N：(X—3)2+(了-6)2=49的圆心为(3,6),半径々=7,

两圆圆心距[=7(0-3)2+(2-6)2=5,

因为所以两圆内切，

故答案为：内切

22.已知圆C:(x-3)2+3-4)2=r2+25keN*),M(-l,0),N(l,0),若以线段儿W为直径的圆与圆。有

公共点，贝什的值可能为.(写出一个即可)

【答案】1(2,3均可)答案不唯一

【分析】根据题意，由已知利用圆与圆的位置关系即可求解.

【详解】由题意得，圆/+丁=1与圆。:卜―3丫+(歹—4丫=/+25有公共点，

Jr?+25—1<力.+4、<A/r1+25+1»,------，且r>0，

[j「+25W6

解得0<rV而；故r=l,2,3均可.

故答案为：1(2,3均可)

23.已知圆G:/+V=4与圆C2：/+(y-a)2=9(a>0)外切，此时直线/:x+y-3=0被圆C?所截的弦长

为.

【答案】2疗

【分析】根据两圆外切，可得圆心距离为半径之和，可得。，接着计算到直线的距离，最后根据圆的弦

长公式计算可得结果.

【详解】由题意可得：a=2+3=5,

即圆C2:/+(y-of=9(a>0)的圆心为(0,5),半径为3,

即圆心到直线/：x+y-3=0的距离为d=W=夜，

故所截弦长为2A/9^2=277.

故答案为：2疗

24.已知圆Q:无2+/=1,圆。2：。+4/+3-。）2=25,如果这两个圆有且只有一个公共点，则常数

【答案］±2有或0

【分析】根据题意，分两圆内切与外切，即可得到结果.

【详解】•••两个圆有且只有一个公共点，.•.两个圆内切或外切，

当两圆内切时，可得J16+a?=4>

当两圆外切时，可得加6+川=6,

-**a=±2A/5或0.

故答案为：±2若或0

25.过点M（2,4）作圆C：/+V-8x+12=0的两条切线，设切点分别为4B,则直线N3的方程为.

【答案】a2尸2=0

【分析】求出以MC为直径的圆的方程，可得AB的方程为两圆的公共弦所在的直线方程，两圆方程相减

可得答案.

【详解】丁+户8》+12=0可化为：（X-4）2+/=4,

圆心为C（4,0）,半径为，=2,

/.MC的中点为（3,2）,MC=J（4-2『+（O-4）2=2证,

以MC为直径的圆的方程为：（x-3『+（y-2>=5,

即*+J?-6x-4y+8=0

'：MA1AC,MBIBC,

AM,A,C,B四点共圆，

.,.AB的方程为两圆的公共弦所在的直线方程，

两圆方程相减得直线AB的方程为x-2y-2=0.

故答案为：x-2y-2=0.

26.已知圆C满足下列条件：①圆心C在第三象限；②与圆尸:一+/-6x+4y+4=0外切；③圆C的一条

切线方程为y=i,则圆。的标准方程可能是.（写出一个即可）

【答案】（X-3）2+（k2『=1（答案不唯一，但圆心坐标需满足。2_6a+66+3=6|b-l],（“>0,6>0））

【分析】设所求圆的圆心和半径，根据条件得到关于％加•的方程组，即可求解.

【详解】设圆心坐标为6）,由①可知。<。力<0,半径为r>0,

|Z>—11=r

由②③可知,I--------------,整理可得矿—6a+66+3=6卜—,la>0,b>0）

y/（a-3）2+（b+2）2=r+3

当6=2时，«=3,r=l,所以其中一个同时满足条件①②③的圆C的标准方程是（x-3y+（y-2）2=l.

故答案为：（A3『+（y-2『=L

27.已知点/&%）,BQ2出-m）,若圆C:x2+V+2x=0上有且只有一点尸，使得尸/±PB,则实数的

一个取值为.（写出满足条件的一个即可）

【答案】石+2（答案不唯一）

【分析】根据题意，分析圆C的圆心坐标以及半径，设N3中点为由的坐标分析M的坐标以及M却

的值，可得以48为直径的圆，进而分析，原问题可以转化为圆C与圆M相切，结合圆与圆的位置关系，

即可求解.

【详解】由题知，圆C:x2+y2+2%=0,

即（X+1）2+J?=l,圆心为半径r=1,

设中点为因4（1"）,5（1,25/5-m）,

则W（l,右），[48|=22一郎

以48为直径的圆为（X-1）2+（y一=（6-机），

因为圆C：/+V+2x=0上有且只有一点P,使得PN±PB,

则圆。与圆W相切，

X|WC|=^（-1^1）2+（A/5-0）2=3,

即有杉一加|+1=3或2-〃《-1=3,

解得m=V5±2或机=V5±4.

故答案为：V5+2

,,11

28.若a,6eR且而工0,圆£：（x+4+/=4和圆C2：/+（y-=9有且只有一条公切线，则j+,

的最小值为.

【答案】4

【分析】首先根据题意得到圆C1与圆C?内切，从而得到/+〃=1,再利用基本不等式求解即可.

【详解】圆G的圆心为（-。，0），半径为2；圆的圆心为（0/）,半径为3.

因为圆。和圆C?只有一条公切线,

所以圆。与圆。2内切，所以行1=3-2，即/+〃=1,

lb2a1

所以二十三=>2+2=4，

abW-F

当且仅当。』J时等号成立，所以：+）的最小值为4.

故答案为：4

四、解答题

29.判断下列两个圆的位置关系：

（1）（》+2）2+。一2『=1与（》一2）2+（、-5）2=16；

（2）/+/一2》-3=0与丁+/-4工+2歹+3=0.

【答案】（1）外切

⑵相交

【分析】（D求得两圆的圆心坐标和半径，结合圆心距与两圆半径的关系，即可求解；

（2）化简两圆为标准方程，求得两圆的圆心坐标和半径，结合圆心距与两圆半径的关系，即可求解.

【详解】（1）解：由圆（x+2『+（y-2）2=1与（x-2『+（y-5）2=16,

可得两圆的圆心坐标分别为C1（-2,2）,。2（2,5）,半径分别为11和々=4,

可得两个圆的圆心距d=，［2_（_2）了+（5-2）2=5，所以1=4+勺

所以两个圆外切.

22

（2）解：将两个圆的方程都化为标准方程，可得（x-l『+y2=4,（X-2）+（7+1）=2,

则两圆的圆心坐标分别为G（l，0）C（2,-l）,半径分别为12和々=后,

可得两个圆的圆心距d=^(1-2)2+[0-(-1)]2=£，

因为卜-修</<《+2’所以两个圆相交.

30.已知圆/-4x+2y=0,x2+y2-2y-4=0.

(1)求过两圆交点的直线方程；

(2)求过两圆交点，且圆心在直线2x+4y-1=0上的圆的方程.

【答案】⑴x-y-l=0

【分析】(1)两圆方程直接作差即可整理得到所求直线方程;

(2)将过两圆交点的直线方程与圆的方程联立可得交点坐标；采用待定系数法，代入交点坐标和圆心所满

足的直线方程可构造方程组求得圆心和半径，由此可得圆的方程.

[详解]⑴将两圆方程作差得：-4x+4y+4=0,^x-y-l=0,

；•过两圆交点的直线方程为x-y-l=0.

"

2+

「Ml一I得:，

(2)由

V26

即两圆交点的坐标为平+1,平和-萼+1，-"

(22J<22J

设过两圆交点的圆的方程为(x-a)2+(y-&)2=r2(r>0),

3

Q二一

2

1

解得:b=-

2

2。+46—1=0V14

2

,过两圆交点的圆的方程为(x-0+[+£)=j-

31.圆。:/+j?=4内有一点4(1,1),过乙的直线交圆于48两点.

(1)当弦被[平分时，求直线的方程；

(2)若圆。与圆C:(x+l)2+(y+l)2=10相交于瓦尸两点,求|即|.

【答案】(l)x+y-2=0

(2)272

【分析】(1)首先根据题意得到幻B自昂=T,从而得到心=-1,再利用点斜式求解直线方程即可.

(2)首先根据题意得到公共弦方程为无+y-2=0,再求弦长即可.

因为弦AB被1平分，所以如%o=-l,即七B=T

所以直线/8为,即x+y-2=0.

，（x+l）2+（y+l）』°=x+y一2=0.

（2）

x+y—2=0

原点(o,o)到直线x+y-2=0的距离d=

则怛刊=2/彳同=2乃.

32.已知圆C：x2+y2-6x-8y+21=a

(1)若直线4过定点/(L1),且与圆C相切，求直线4的方程;

⑵若圆。的半径为3,圆心在直线£x-y+2=0±,且与圆C外切，求圆。的方程.

【答案】⑴x=l或5x-12y+7=0

(2)(x+l『+g)2=9或(ip+dp=9

【分析】(1)由点到直线的距离等于半径，即可分情况求解，

(2)由两圆外切圆心距与半径之和的关系，即可列方程求解.

【详解】(1)圆Gx2+j/2-6x-8y+21=0

化为标准方程为(x-3)2+(歹-4)2=4,

所以圆C的圆心为（3,4）,半径为2.

①若直线4的斜率不存在，即直线为尤=1,符合题意.

②若直线乙的斜率存在，设直线4的方程为了一1=左（》-1）.即6一了一4+1=0.

由题意知，圆心（3,4）到已知直线lA的距离等于半径2,

解得左=3,所以直线方程为5x-12y+7=0.

综上，所求直线4的方程为尤=1或5x-12y+7=0.

（2）依题意，设。（。,。+2）.

又已知圆C的圆心为（3,4）,半径为2,

由两圆外切，可知|C必=3+2=5,

所以7（a-3）2+（£z+2-4）2=5,

解得a=T或°=6.所以。（-1,1）或。（6,8）,

所以所求圆D的方程为（尤+1『+（y-l）2=9或（x-6）2+（y-8）2=9.

【B组在综合中考查能力】

一、单选题

1.已知点尸（4,。），若圆。：/+必=4上存在点N,使得线段我的中点也在圆。上，则。的取值范围是

A.[-373,373]B.12石,2码

-OO,-3A/3JU[3A/3,+00

【答案】B

【分析】由题意知，A在圆O上，PA中点也在圆上，根据中点位置列出方程式解得中点的轨迹为

(X-2)2+=1,然后根据两圆的位置关系求得a的取值范围.

【详解】设A的坐标为/(%,%),PA的中点坐标为。(羽田,

4+%

2

则有：

2

解得：卜仁丫

又线段PA中点也在圆上，所以两圆有公共点,

所以IV(0-2『+

解得：a2<20,

解得：-2y/5<a<2y/5,

故选：B.

2.在直角坐标系内，己知43,5)是以点C为圆心的圆C上的一点，折叠该圆两次使点/分别与圆上不相同

的两点(异于点/)重合，两次的折痕方程分别为x-y+l=0和X+尸7=0,若圆。上存在点P,使得

MP(CP-CN)=Q,其中点-见0)、N(机,0),则加的最大值为()

A.7B.6C.5D.4

【答案】B

【分析】利用圆的性质先确定圆C,结合向量数量积得出M、N、尸三点共圆，再利用两圆的位置关系数形

结合即可.

[x—y+1=0fx=3

【详解】由题意可得圆心在两折痕方程上，联立方程得「八0”，

[x+7-7=03=4

即圆心C(3,4),半径|C4|=1,MP.(CP-CN)=MP.NP=0,即必N、尸三点共圆，

该圆以MN为直径，故圆心为原点.

如图所示连接OC交圆C于B点，当尸8重合时此时两圆相内切，1MM最大，

即|O7V|=|O5|=|OC|+1=m=6.

故选：B

3.已知圆C：(x-2)2+(y-3)2=4,若点尸在直线x-y-4=0上运动，过点尸作圆。的两条切线尸/,PB,

切点分别为N,B,则直线N5过定点坐标为()

【答案】D

【分析】求出(x-2)，(y-3)2=4的圆心和半径，由几何关系得到尸,4C,5四点共圆，设尸(孙加-4),得

到尸,4C,2的圆的方程，与(x-2y+(发3)2=4相减后得到直线48的方程，求出直线过定点坐标.

【详解】圆C：(x-2『+(k3)2=4①的圆心为C(2,3),半径为2,

过点P作圆C的两条切线PN,PB,切点分别为A,B,故尸,4C,8四点共圆，

其中尸C的中点为该圆心，尸C为直径，

设尸则PC的中点为［(一,一--1=1^-，^―I,

\PC\=^(m-2)2+(m-4-3)2=,

故过尸,4C,8的圆的方程为卜一等;+口——j=(加一2)丁-7)2,

变形得到尤2-(»?+2)x+y2-(m-{)y=-5m+\2@,

由①②相减可得直线48的方程，即("L2)X+(〃L7)>=5加-21,

整理得冽(x+y-5)-2x-7y+21=0,

14

x=一

x+y-5=05

令-2x-7y+21=0'解得'

11，

故直线过定点坐标后，引.

故选：D

4.圆Af:（尤-2）2+（y-l『=1,圆N:（x+2『+（y+l『=1,则两圆的一条公切线方程为（）

A.x+2y=0B.4尤+3y=0

C.x-2y+45=0D.x+2y-V5=0

【答案】C

【分析】由圆与圆位置关系的判断可知两圆外离，得公切线条数；根据两圆半径相同可确定两条公切线过

（0,0）,两条公切线平行于假设公切线方程，利用圆心到直线距离等于半径可构造方程求得公切线.

【详解】由两圆方程得:圆心N（-2,-1）,半径斗=々=1,

•••两圆圆心距d=J（2+2）+（1+.=2亚,外+4=2,即两圆外离，公切线共有4条；

•••两圆半径相同，，两圆两条公切线经过中点（0,0）,两条公切线与MN平行，

・••经过中点的公切线斜率显然存在，可设为：y=kx,

.•・七力=1,解得：左=0或左=g,即公切线方程为：歹=0或4x—3y=0；

1-（-1）11

.・.%v=o1<二不，・二与MV平行的公切线方程为y=+人即x—2>+2/=0,

，一（一，）L2

=解得：t=4,即公切线方程为x-2y+e=0或x-2y-石=0；

综上所述：两圆的公切线方程为：'=0或4x-3y=0或尤-2）/+行=0或x-2y-石=0.

故选：C.

2222

5.己知OQ：x+y-2mx+2y-Q,QO2：x+y-2x-4my+1=0,则下列说法中，正确的个数有（）

个.

（1）若（LT）在。Q内，则"此0；

（2）当〃?=1时，与。色共有两条公切线;

(3)当加=2时，oq与。Q的公共弦所在直线方程为2x-10y+l=0；

(4)3meR,使得。。与。仪公共弦的斜率为

A.IB.2C.3D.4

【答案】B

【分析】根据点与圆的位置关系判断方法判断(1);利用两圆的位置关系判断(2)；

通过判断圆与圆的位置关系确定与。仪的公共切线的条数，通过将两圆方程相减，

确定两圆的公共弦的方程，判断(3)(4).

2222

【详解】因为。x+y-2mx+2y=0,OO2：x+y-2x-4my+1=0,

222222

所以(x-m)+(y+1)=m+19OO2：(x-1)+-2m)=4m,

2

则。rx=V^+1,O2(l,2m),r2=2\m\,则加w0,

由(1,T)在OOi内，可得F+(-l『-2加-2＜0,即机＞0,故(1)错误；

当m=l时，。](1,—1),4=及，O2(1,2),r2—2,

所以|O0je(2-行,2+收)，所以两圆相交，共两条公切线，故(2)正确；

2222

当加=2时，x+j；-4x+2j=0,OO2：x+j-2x-8y+1=0,两圆相交

由。q—。。2，得：—+1Oy—1=0,即2x—10y+1=0故(3)正确；

公共弦所成直线的斜率为耳，令/=：,无解，故(4)错误.

2+4m2+4m2

故选：B.

6.在平面直角坐标系中，圆。：/+/=/什＞0)与圆跖卜-2省『+。+2)2=4相交于4,3两点,

若对于直线上的任意一点尸，均有访.同720成立，则半径r的取值范围是()

A.[2,2问B.[2遥,6)

C.[2V3,2V5]D.(2,6)

【答案】B

【分析】根据题意可知。，M与直线AB位置关系，利用圆与圆的位置关系即可得出r的范围.

【详解】圆O的圆心为。(0,0),半径为r,圆M的圆心为“(2后,-2),半径为2.

OM\=J(-2.+2厅=4,

•.•圆。与圆M相交，

2<r<6.

•.•对于直线AB上任意一点P,均有丽・丽^0成立，

^OMLAB,当直线AB过点M时，网=dMA2+OM?=2版.

2石<r<6.

故答案为：［2石,6).

7.若圆尤2+/=4与圆x?+/+2x+°y-8=0的公共弦长为2a,贝！1。=()

A.±2B.±4C.2D.4

【答案】A

【分析】利用两圆方程相减求出公共弦所在直线方程，根据点到直线的距离公式，利用几何法求弦长列出

方程，解方程即可.

【详解】圆，+/+2》+即-8=0与圆/+/=4两式相减，

整理得公共弦所在直线方程为2x+ay-4=0,

又X2+/=4,圆心为0(0,0),半径为2,公共弦长为2后，

则圆心。(0,0)到直线2x+即一4=0的距离

化简得2(/+4)=16,

解得：a=±2.验证知符合题意.

故选：A.

8.已知圆G:（x-2/n）~+（7-2机）一=9（加-2）与圆C2:x?+/_8x-8y+34-/n=0,则“加=4"是"圆£与圆C2

外即，的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】C

【分析】利用两圆相切圆心距与两半径之和相等，分别证明充分性和必要性是否成立即可得出答案.

【详解】根据题意将圆c2化成标准方程为（X-4）2+口-4）2=加-2；

易知优-2>0,

所以可得圆心C1（2〃?,2«7）,半径为二I,圆心。2（4,4）,半径为弓=向？，

可得C。?|=J⑵2-4）2+（2加-4）2=2逝M_2|,两半径之和6+々=4ylm-2；

若〃?=4,圆心距|GG|=4夜，两半径之和外+4=4逝，此时CG|=6+々=4夜，

所以圆£与圆。2外切，即充分性成立；

若圆G与圆G外切，贝!）26■帆一2|=4病工，解得机=4或根=2（舍），

所以必要性成立；

即“刃=4”是“圆£与圆G外切”的充分必要条件.

故选：C

9.己知集合/={（x,y）|x2+_/-2x=0},B={（x,y）|x2+/-8x+8y+m=0},若/c8恰有一个元素，则加的

值可以为（）

A.-1B.-2C.-3D.-4

【答案】D

【分析】根据恰有一个元素，得到两圆只有一个公共点，分两圆相外切和内切求解.

【详解】解：x2+y2-2x^0,即卜一1丫+/=1,

则该圆的圆心为。（1,0）,半径为4=1,

x2+v2-8x+8v+«=0,即（x—4/+（y+4『