平面向量系数和（等和线、等值线）问题（高阶拓展、竞赛适用）（学生版）-2025年高考数学一轮复习学案（新高考）

第04讲平面向量系数和（等和线、等值线）问题

（高阶拓展、竞赛适用）

（5类核心考点精讲精练）

I传.考情探究•

平面向量与代数、几何融合考查的题目综合性强，难度大，考试要求高。

平面向量是有效连接代数和几何的桥梁，已成为高考数学的一个命题热点。

近年，高考、模考中有关“系数和（等和线）定理”背景的试题层出不穷，学生在解决此类问题时，

往往要通过建系或利用角度与数量积处理，结果因思路不清、解题繁琐，导致得分率不高，而向量三点共

线定理与等和线巧妙地将代数问题转化为图形关系问题，将系数和的代数运算转化为距离的比例运算，数

形结合思想得到了有效体现，同时也为相关问题的解决提供了新的思路，大家可以学以致用

知识点1平面向量系数和（等和线）讲解

考点1"x+y"或"A+H"型综合

考点2"mx+ny"或"mA+np"型踪合

考点3"x-jT或"A-H"型综合

考点4"mx-ny"或"mA-nx"型踪合

考点5系数和（等和线、等值线）的琮合应用

知识讲解

如图，P为AAOB所在平面上一点，过O作直线///48,由平面向量基本定理知:

存在》/£火，OP=xOA+yOB

A

下面根据点P的位置分几种情况来考虑系数和x+y的值

①若尸e/时，则射线0P与/无交点，由///48知，存在实数4，使得历=九万

而刀=砺一次，所以丽=4•一/方，于是x+y=4-/l=0

②若尸时，

(i)如图1,当尸在/右侧时，过尸作CD//4B,交射线0408于C,。两点，则

A0CD〜A0AB,不妨设A0CD与A0AB的相似比为左

由P,C,。三点共线可知：存在4eR使得：

0P=A0C+(l-A)0D=kA0A+k(l-A)0B

所以x+y=左之+左(1-4)=左

(ii)当尸在/左侧时，射线。尸的反向延长线与48有交点，如图1作尸关于。的对称点P,由(i)

的分析知：存在存在4eR使得：

0P'=A0C+(l-A)0D=kA0A+(l-A)0B

所以万=-kXOA+-(1-2)05

于是x+y=-kA+-左(1-A)=-k

综合上面的讨论可知：图中而用方，砺线性表示时，其系数和x+.v只与两三角形的相似比有关。

我们知道相似比可以通过对应高线、中线、角平分线、截线、外接圆半径、内切圆半径之比来刻画。

因为三角形的高线相对比较容易把握，我们不妨用高线来刻画相似比，在图中，过。作A8边的垂线

设点尸在/'上的射影为尸‘，直线r交直线ZB于点片，则|幻=^^(左的符号由点尸的位置确定)，因

此只需求出|。尸'I的范围便知x+y的范围

考点一、“x+v”或以+〃”型综合

典例引领

1.(全国•高考真题)在矩形ABCD中，AB=1,AD=2,动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上.若屈=4

AB+^AD;则2+〃的最大值为

A.3B.272C.V5D.2

【答案】A

【法一：系数和】，分析：如图，

由平面向量基底等和线定理可知，当等和线/与圆相切时，2+〃最大，此时

,AFAB+BE+EF3AB

/I+，==--------=---=3,故选N.

ABABAB

【法二：坐标法】详见解析版

2,（衡水中学二模）边长为2的正六边形尸中，动圆0的半径为1,圆心在线段CD（含短点）上运

动，尸是圆0上及其内部的动点，设向量4?=加+（加〃£7?）,则加+〃的取值范围是（）

4（1,2]5.[5,6]C.[2,5]£>.[3,5]

AC：2

分析:如图，设4P=mAB+nAF由等和线结论，加+〃=白£=/2=2.此为加+〃的最小值；

ABAB

__.__►__►

同理，设4P=m4B+nAF,由等和线结论，m+n=-----=5.此为加+〃的最大值.

AB

综上可知冽+〃£[2,5].

即时性测

1.在矩形4BC。中，AB=1,AD=2,动点尸在以点C为圆心且与AD相切的圆上,

若万=4万+〃彳万，则4+〃的最大值为（）

A3B2V2CV5D2

2.如图，正六边形48。。£尸，尸是ACDE内（包括边界）的动

点，^AP=aAB+j3AF（a,/3eR）,则a+尸的取值范围是

3.如图在直角梯形/8C。中，AB//CD,ABLAD,AD=DC=\,AB=3,动点尸在以C为圆心,

且与直线RD相切的圆内运动，^~AP=ocAD+pAB{a,/3&R）

则a+夕的取值范围是

3.在A/8C中，AB=6,BC=8,ABIBC,M是外接圆上一动点，若加=2万+〃就，则之+〃

的最大值是（）

54

A.1B.-C.-D.2

43

4.（22-23高三上・江苏苏州•阶段练习）在“8C中，A8=4,BC=3,C4=2,点尸在该三角形的内切圆

上运动，若万=机刀+〃就（加，”为实数），则小+"的最小值为（）

5.（22-23高一下•广东珠海•期末）在A48c中，AB=1,AC=2,ABAC=60°,尸是“3C的外接圆上的一

点，若万=加罚+〃就，贝1］加+〃的最大值是（）

31二

A.1B.-C.-D.V3

2，

考点二、“+”或“+”型综合

典例引领

1.已知。是“BC内一点，且E+砺+玩=。,点/在AOBC内（不含边界），若而=2万+〃就，则

4+2〃的取值范围是

2.已知A48C为边长为2的等边三角形，动点尸在以8C为直径的半圆上.若刀=4万+〃k,则

22+〃的取值范围是

3.若点C在以尸为圆心,6为半径的弧AB上，且PC=xPA+yPB，则2x+3y的取值范围为

4.设长方形ABCD的边长分别是AD=LAB=2,点、P是ABCD内（含边界）的动点，设AP^xAB+yAD,

则x+2y的取值范围是

1.在矩形ABCD中，48=1,AD=y/3,P为矩形内一点，且=.若万=2砺+〃通,则

几+石〃的最大值为（）

a3RV6r3+V30V6+3V2

2244

2.2023•安徽淮南•一模）已知G是的重心，过点G作直线AW与48,/C交于点MN,且寂=苫刀,

AN=yAC,（x,y>0）,则3x+y的最小值是

87542/-

A.-B.-C.-D.-+-V3

32233

3.已知。是AA8C内一点，S.OA+OB+OC=0,点M在AO8C内（不含边界），若翔=2次+〃/，则

2+2〃的取值范围是

4.（22-23高三上•江苏南通•开学考试）在“8C中，AB=3,AC=2,A=g过AASC的外心O的直线（不

经过点A）分别交线段/8,/C于。,E,且石=/冠，AE=^AC,则％+〃的取值范围是（）

11+4n13H+4#23-

—18一，历—is—，TJ

,14+3街13一14+3e23

—18—,10—is一，!?

考点三、“/或型综合

典例引领

,）1►----------►-----------►

1.如图，已知O为锐角三角形N8C的外心,/=§,且CM=xOB+yOC,求2x—y的取值范围？

即时性测

1.（2023•全国•高三专题练习）在矩形ABC。中，48=1,40=6，动点P在以点C为圆心且与BD相切

的圆上.若万=448+。，则2-〃的最小值为（）

A.V3B.1C.-1D.-V3

考点四、或型综合

典例引领

1.（2023•浙江•高三专题练习）如图，在直角梯形/BCD中，ABLAD,AB//DC,AB=2,

AD=DC=l,图中圆弧所在圆的圆心为点C,半径为且点P在图中阴影部分（包括边界）运动.若

AP=xAB+yAC,其中x，y&R,则4x-y的取值范围是（）

C」3一立,3+立］D」3一姮,3+晅

4222

2.2022春•安徽六安•高三阶段练习）在直角梯形/BCD中，AB±AD,DC||AB,AD=DC=1,AB=2,E、

尸分别为AB、3C的中点，点尸在以A为圆心，为半径的圆弧DE上变动，（如图所示），若

AP=AED+/JAF,其中则2彳-〃的取值范围是.

即时检圆

1.（2023・四川•校联考三模）在直角梯形/BCD中，ABLAD,AD//BC,AB=BC=2AD=2,E,尸分

别为3C,。。的中点，以A为圆心，为半径的半圆分别交A4及其延长线于点可，N,点尸在丽上

运动（如图）.若方=2衣+〃游，其中彳，〃eR,则24-5〃的取值范围是

D.[-20,2&]

考点五、系数和（等和线）的综合应用

典例引领

1.如图所示，A/18C中，NC=3,点加■是3C的中点，点N在边NC上，且AN=2NC,与8N相交于

点尸，艮PN=2PM,则AIBC面积的最大值为

5.5.2.我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“勾股圆方图"，后人称其为"赵爽弦图".如图，

它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形.已知形=2E8,M为线段48的中点，设

尸为中间小正方形EFGH内一点（不含边界）.若砺=XME-MB,则2的取值范围为.

2222

3.（2023•黑龙江哈尔滨•一模）如图，椭圆=+4=1（。>6>0）与双曲线二-4=1（加>0,">0）有公共焦

abmn

点片（-c,0）,月（c,0）（c>0）,椭圆的离心率为G，双曲线的离心率为ez,点？为两曲线的一个公共点，且

13_

N单岑=60。，则=+?=____；/为△片尸鸟的内心，耳/G三点共线，且否."=0，》轴上点45满足

e\e2

Q=彳"，BG=ILIGP,则22+4的最小值为.

即照测

1.Q024高三•全国•专题练习）在“8C中，三个内角分别为/,3,C,AB=4,ZC=3,BC=2,H^）^4BC

的垂心.若4H=x4B+y4C,则乙=.

X

2.（22-23高二下•广东汕尾•期末）如图，在“8C中，点。在线段48上，且=E是CD的中点,

延长4E交BC于点X,点P为直线上一动点（不含点/）,且万=2万+〃就（％〃eR）.若/2=4,

且/UC=〃5C,贝IJAC4/的面积的最大值为.

3.（20-21高一・江苏•课后作业）已知AABC中，CD=-^BC,EC=^AC,AF=^AB,若点P为四边形AEDF

内一点（不含边界）且加=-；皮+无方，则实数x的取值范围为.

III.好题冲关.

能力提〜

1.（2023高三・全国•专题练习）在正方形A8CD中，AC与BD交于点O,E为边8c上的动点（不含端点）,

一______21

AE=ZAC+]LIDO,则不+一的最小值为____.

Z/LI

2.（2023高三•全国•专题练习）如图，四边形CM8C是边长为1的正方形，点。在04的延长线上，且

/。=1,点尸是ABC。（含边界）的动点，设而=2反+〃历，则4+〃的最大值为.

3.（22-23高一下•四川眉山•阶段练习）已知点G是。8c的重心，过点G作直线分别与/用工。两边相交于

点、M,N两点（点N与点、B,C不重合），设9=x而，AC=yAN,则一7+七的最小值为____.

x-iy-i

4.（2023高三•全国•专题练习）如图，边长为2的等边三角形的外接圆为圆。，P为圆。上任一点，若

AP=xAB+yAC,则2x+2y的最大值为

5.（2023高三•全国•专题练习）如图，在“8C中，M为边8C上不同于8,C的任意一点，点N满足

AN=2.NMAN=xAB+yAC,则炉+9y2的最小值为.

6.（22-23高一下•河南省直辖县级单位•阶段练习）如图，四边形/BCD是边长为1的正方形，延长CD至

E,使得DE=2CD.动点尸从点/出发，沿正方形的边按逆时针方向运动一周回到/点，

7.（23-24高三下•安徽•阶段练习）已知正方形/BCD的边长为2,中心为O,四个半圆的圆心均为正方形

N8CZ）各边的中点（如图），若尸在病上，且万=2万+〃疝5,则彳+〃的最大值为.

8.（23-24高一下•天津•期中）如图，在“3C中，AD=；AB,AE=；AC,CD与BE交于点、P,4B=2,

AC=3,APBC=1,则就.就的值为;过点尸的直线/分别交/反）。于点MN,设赤=优存,

AN=nAC（m>0,n>0）,则加+2〃的最小值为.

9.（21-22高三上•河南郑州•阶段练习）如图，在扇形0/5中，408=120。，04=03=2,点河为05的

中点，点尸为曲边“八四区域内任一点（含边界），若加=加厉+〃两，则加+〃的最大值为.

10.（22-23高三下,上海宝山•开学考试）如图所示，NBAC=w，圆M与NC分别相切于点。，E,

AD=1,点尸是圆M及其内部任意一点，S.AP=xAD+yAE（x,yeR）,则2x+3y的取值范围是

11.（2024高三下•全国•专题练习）如图，平面内有三个向量次，OB，OC，其中方，砺=120。

OA,OC=30°,且画=烟=1,|oc|=2百，若双=〃而+〃砺，则加+〃=.

12.（22-23高二上・上海宝山•阶段练习）设点P在以A为圆心，半径为1的圆弧3C上运动（包含B、C两

2______

个端点），ABAC=-K,^.AP=xAB+yAC,则x+了+孙的取值范围为.

13.（19-20高一上•黑龙江牡丹江•期末）如图，扇形的半径为1,圆心角NA4c=120。，点P在弧8c上运

动，AP=xAB+yAC,则3x+.y的最大值为.

14.（22-230高三上•浙江台州•期末）如图，己知正方形/5CD,点E,F分别为线段3C,8上的动点，且

\BE\=1\CF\,设就=x荏+y箫（x,jeR）,则x+y的最大值为.

15.（22-23高三・浙江•阶段练