中考数学二轮复习：二次函数的应用（解决实际问题）（讲）原卷版

备战2019年中考二轮讲练测（精选重点典型题）

专题09二次函数的应用（解决实际问题）（讲案）

一销唐皮一考点梳理

二次函数的应用关键在于建立二次函数的数学模型，这就需要认真审题，理解题意，利用二次函数解

决实际问题，应用最多的是根据二次函数的最值确定最大利润、最节省方案等问题.

应用二次函数解决实际问题的一般思路：理解题意；建立数学模型；解决题目提出的问题.

（-）简单应用

对于题目明确给出两个变量间是二次函数关系，.并且给出几对变量值，要求求出函数关系式，进行简单

的应用（或者直接给出二次函数的解析式，进行简单应用）.解一答的关键是熟练运用待定系数法，准确求

出函数关系式..

（二）建模应用

利用二次函数解决抛物线型问题，一般是先根据实际问题的特点建立直角坐标系，设计合适的二次函

数的解析式，把实际问题中的已知条件转化为点的坐标，代入解析式求解，最后要把求出的结果转化为实

际问题的答案.

（三）销售问题

二次函数解决销售问题是我们生活中经常遇到的问题，这类问题通常是根据实际条件建立二次函数关

系式，然后利用二次函数的最值或自变量在实际问题中的取值解决利润最大问题.

（四）运用一二次函数求实际问题中的最值

即解二次函数最值应用题，设法把关于最值的实际问题转化为二次函数的最.值问题，然后按求二次函

数最值的方法求解，求最值时，要注意求的答案要符合实际问题.包括二次函数在没有限制条件下的最值,

二次函数在给定范围条件下的最值和分段函数求最值..

1.二次函数在没有限制条件下的最值：

二次函数的一般式、=。/+6戈+0（。。0）化成顶点式忏°（》_?）2+1,如果自变量的取值范围是全体

实数，那么函数在顶点处取得最大值（或最小值）.

2.二次函数在给定范围条件下的最值：

如果自变量的取值范围是否%,如果顶点在自变量的取值范围匹/内，则需要计算当X=X],

X=Xx=_2时，对应的函数值，比较结果，最大的函数值为最大值，最小的函数值为最小值，如果顶点

2a

不在此范围内，则只需要计算当X=X],x=%时的函数值，比较结果，最大的函数值为最大值，最小的函

数值为最小值（或者用二次函.数的增减性来解）.

二用题型——题型解析

（一）对简单应用的考查.

例1.一小球从距地面L"高处自由落下，每次着地后又跳回到原高度的一半再落下.

（1）小球第3次着地时，经过的总路程为m；

（2）小球第几次着地时，经过的总路程为m.

例2.小明家的洗手盆上装有一种抬启式水龙头（如图1）,完全开启后，水流路线呈抛物线，把手端点A,

出水口2和落水点C恰好在同一直线上，点A至出水管的距离为12cm,洗手盆及水龙头的相关数据如

图2所示，现用高10.2aw的圆柱型水杯去接水，若水流所在抛物线经过点。和杯子上底面中心E,则点E

到洗手盆内侧的距离EH为cm.

图1

（三）对销售问题的考查.

例3.经公司以30元/千克的价格收购一批农产品进行销售，为了得到日销售量p（千克）与销售价格元

/千克）之间的关系，经过市场调查获得部分数据如下表：

销售价格X（元/千克）3035404550

日销售量P（千克）6004503001500

（1）请你根据表中的数据，用所学过.的一次函数、二次函数、反比例函数的知识确定p与x之间的函数表

达式；

（2）农经公司应该如何确定这批农产品的销售价格，才能使日销售利润最大？

（3）若农经公司每销售1千克这种农产品需支出。元（«>0）的相关费用，当40M45时，农经公司的日

获利的最大值为2430元，求。的值.（日获利=日销售利润-日支出费用）

（四）对运用二次函数求实际问题中的最值的考查.

例4..交通工程学理论把在单向道路上行驶的汽车看成连续的流体，并用流量、速度、密度三个概念描述车

流的基本特征，其中流量q（辆/小时）指单位时间内通过道路指定断面的车辆数；速度v（千米/小时.）指

通过道路指定断面的车辆速度，密度上（辆/千米）指通过道路指定断面单位长度内的车辆数.

为配合大数据治堵行动，测得某路段流量q与速度v之间关系的部分数据如下表：

速度V（千米/小时）51020324048

流量q（辆/小时）55010001600179216001152

（1）根据上表信息，下列三个函数关系式中，刻画分v关系最准确的是（只填上正确答案的序号）

320002

①q=90v+100；©q=^^-.®^=-2V+120V.

v

（2）请利用（1）中选取的函数关系式分析，当该路段的车流速度为多少时，流量达到最大？最大流量是

多少？

（3）已知q,V,左满足请结合（1）中选取的函数关系式继续解决下列问题.

①市交通运行监控平台显示，当123<18时道路出现轻度拥堵.试分析当车流密度上在什么范围时，该路

段将出现轻度拥堵；

②在理想状态下，假设前后两车车头之间的距离d（米）均相等，求流量q最大时d的值.

例5有一家苗圃计划植桃树和柏树，根据市场调查与预测，种植桃树的利润%（万元）与投资成本x（万

元）满足如图①所示的二次函数为种植柏树的利润%（万元）与投资成本x（万元）满足如图②

所示的正比例函数%=kx.

（1）分别求出利润%（万元）和利润为（万元）.关于投资成本x（万元）的函数关系式；

（2）如果这家苗圃以10万元资金投入种植桃树和柏树，桃树的投资成本不低于2万元且不高于8万元，

苗圃至少获得多少利润？最多能获得多少利润？

三错方法—一方法点睛

一、转化思想--------实际问题中的最优化问题转化为求二次函数的最值问题.

1、方案设计最优问题：费用最低？利润最大？储量最大？等等.

2、面积最优化问题：全面观察几何图形的结构特征，挖掘出相应的内在联系，列出包含函数，自变量

在内的等式，转化为函数解析式，求最值问题.

二、建模思想--------从实际问题中发现、提出、抽象、简化、解决、处理问题的思维过程.

1、建立图像模型.：自主建立平面直角坐标系，构造二次函数关系式解决实际问题.

2、方程模型和不等式模型：根据实际问题中的数量关系，列出方程或不等式转化为二次函数解决问题.

3、根据实际问题情境抽象出二次函数模型.

三、分类讨论的思想--------二次函数与其他知识的综合题时经常用到.

西依实题——随堂小练

1.足球运动员将足球沿与地面成一定角度的方向踢出，足球飞行的路线是一条抛物线，不考虑空气阻力，

足球距离地面的高度/7（单位："Z）与足球被踢出后经过的时间f（单位：S）之间的关系如下表：

t01234567

h08141820201814

9

下列结论：①足球距离地面的最大高度为20侬②足球飞行路线的对称轴是直线右二；③足球被踢出9s时

2

落地；④足球被踢出1.5s时，距离地面的高度是11加，其中正确结论的个数是（）

A.1B.2C.3D.4

3

2.飞机着陆后滑行的距离s（单位：米）关于滑行的时间f（单位：秒）的函数解析式是s=60f-1/，则

2

飞机着陆后滑行的最长时间为秒.

3.某商场购进一批单价为20元的日用商品，如果以单价30元销售，那么半月内可销售出400件，根据销

售经验，提高销售单价会导致销售量的减少，即销售单价每提高1元，销售量相应减少20件，当销售量单

价是元/时，才能在半月内获得最大利润.

4.随着新农村的建设和旧城的改造，我们的家园越来越美丽，小明家附近广场中央新修了个圆形喷水池，

在水池中心竖直安装了一根高为2米的喷水管，它喷出的抛物线形水柱在与水池中心的水平距离为1米处

达到最高，水柱落地处离池中心3米.

（1）请你建立适当的平面直角坐标系，并求出水柱抛物线的函数解析式；

（2）求出水柱的最大高度的多少？

5.某商店经销一种双肩包，已知这种双肩包的成本价为每个30元.市场调查发现，这种双肩包每天的销

售量y（单位：个）与销售单价无（单位：元）有如下关系：y=-x+60（30<x<60）.

设这种双肩包每天的销售利润为w元.

（1）求w与x之间的函数解析式；

（2）这种双肩包销售单价定为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？

（3）如果物价部门规定这种双肩包的销售单价不高于48元，该商店销售这种双肩包每天要获得200元的

销售利润，销售单价应定为多少元？

6.青岛市某大酒店豪华间实行淡季、旺季两种价格标准，旺季每间价格比淡季上.涨1.下表是去年该酒店

3

豪华间某两天的相关记录：

淡季旺季

未入住房间数100

日总收入（元）2400040000

（1）该酒店豪华间有多少间？旺季每间价格为多少元？

（2）今年旺季来临，豪华间的间数不变.经市场调查发现，如果豪华间仍旧实行去年旺季价格，那么每天

都客满；如果价格继续上涨，那么每增加25元，每天未入住房间数增加1间.不考虑其他因素，该酒店将

豪华间的价格上涨多少元时，豪华间的日总收入最高？最高日总收入是多少元？

7.怡然美食店的A、8两种菜品，每份成本均为14元，售价分别为20元、18元，这两种菜品每天的营业

额共为1120元，总利润为280元.

（1）该店每天卖出这两种菜品共多少份？

（2）该店为了增加利润，准备降低A种菜品的售价，同时提高8种菜品的售价，售卖时发现，A种菜品售

价每降0.5元可多卖1份；B种菜品售价每提高0.5元就少卖1份，如果这两种菜品每天销售总份数不变，

那么这两种菜品一天的总利润最多是多少？

8.某厂按用户的月需求量尤（件）完成一种产品的生产，其中x>0,每件的售价为18万元，每件的成本y

（万元）是基础价与浮动价的和，其中基础价保持不变，浮动价与月需求量无（件）成反比，经市场调研发

现，月需求量x与月份“（w为整数，1刍S2）,符合关系式k2川-2如+9（行3）（左为常数），且得到了表

中的数据.

月份n（月）12

成本y（万元/件）1112

需求量X（件/月）120100

（1）求y与x满足的关系式，请说明一件产品的利润能否是12万元;

（2）求左，并推断是否存在某个月既无盈利也不亏损；

（3）在这一年12个月中，若第加个月和第（/77+1）个月的利润相差很大，求"2.

9.如图，某日的钱塘江观潮信息如图:

'3S174XJIX9,1七仙BlUt：Ilf

；II:❸育，,也或㈱舞触出精遍

:12;/*叁添财也诔物*。军和哥妣2蚓5谕*向伶】

<12t3$时，案*用越用急射鹿，幅04.都也1零&*T,

按上述信息，小红将“交叉潮”形成后潮头与乙地之间的距离S（千米）与时间t（分钟）的函数关系用图3

表示，其中：“11：40时甲地，交叉潮，的潮头离乙地12千米”记为点A（0,12）,点8坐标为Gn，0）,曲

线可用二次函数s=▲产+4+c屯c是常数）刻画.

125

（1）求机的值，并求出潮头从甲地到乙地的速度；

（2）11：59时，小红骑单车从乙地出发，沿江边公路以0.48千米/分的速度往甲地方向去看潮，问她几分

钟后与潮头相遇？

（3）相遇后，小红立即调转车头，沿江边公路按潮头速度与潮头并行，但潮头过乙地后均匀加速，而单车

最高速度为0.48千米/分，小红逐渐落后.问小红与潮头相遇到落后潮头1.8千米共需多长时间？（潮水加

2

速阶段速度v=%+—-30）,w是加速前的速度）.

10.某农场拟建一间矩形种牛饲养室，饲养室的一面靠现有墙（墙足够长），己知计划中的建筑材料可建围墙

的总长度为50机.设饲养室为长为无（机），占地面积为.

（1）如图1,问饲养室为长x为多少时，占地面积y最大？

（2）如图2,现要求在图中所示位置留2%的门，且仍使饲养室占地面积最大.小敏说：“只要饲养室长比

（1）中的长多2机就行了."请你通过计算，判断小敏的说法是否正确.

12.（2017金华）甲、乙两人进行羽毛球比赛，羽毛球飞行的路线为抛物线的一部分，如图，甲在。点正

上方的P处发出一球,羽毛球飞行的高度与水平距离尤（旭）之间满足函数表达式y=a（x-4）2+/?,

已知点0与球网的水平距离为5m,球网的高度为1.55根.

（1）当斫-工时，①求//的值；②通过计算判断此球能否过网.

24

12

（2）若甲发球过网后，羽毛球飞行到点O的水平距离为7加，离地面的高度为不根的Q处时，乙扣球成功,

求。的值.

“r：

到——预测提升

i.某旅游景点的收入受季节的影响较大，有时候出现赔本的经营状况.因此，公司规定：若无利润时，该

景点关闭.经跟踪测算，该景点一年中的利润w（万元）与月份X之间满足二次函数W=-x2+16x-48,则

该景点一年中处于关闭状态有（）月.

A.5B.6C.7D.8

2.某公司在甲、乙两地同时销售某种品牌的汽车.已知在甲、乙两地的销售利润y（单位：万元）与销售

量x（单位：辆）之间分别满足+10x，＞=2x，若该公司在甲，乙两地共销售15辆该品牌

的汽车，则能获得的最大利润为

A.30万元B.40万元C.45万元D.46万元

3.一件工艺品进价为100元，标价135元售出，每天可售出100件.根据销售统计，一件工艺品每降价1

元出售，则每天可多售出4件，要使每天获得的利润最大，每件需降价的钱数为（）

A.5元B.10•元C.0元D.3600元

4.如图，在梯形■8CD中，=■.点■，■分别在边修，■上运

动，并保持MN趺?/趺城E,ME剑团B,N尸剑团B,垂足分别为E，F.四边形MEFN面积的最大值是（）

5.某服装店购进单价为15元童装若干件，销售一段时间后发现：当销售价为25元时平均每天能售出8件,

而当销售价每降低2元，平均每天能多售出4件.当每件的定价为元时，该服装店平均每天的销

售利润最大.

6.国际风筝节在潍坊市举办，王大伯决定销售一批风筝，经市场调研：蝙蝠型风筝进价每个为10元，当售

价每个为12元时，销售量为180个，若.售价每提高1元，销售量就会减少10个，请回答以下问题：

（1）用表达式表示蝙蝠型风筝销售量y（个）与售价x（元）之间的函数关系（12WXW30）；

（2）王大伯为了让利给顾客，并同时获得840元利润，售价应定为多少？

（3）当售价定为多少时，王大伯获得利润最大，最大利润是多少？

7.某旅行社组团去外地旅游，30人起组团，每人单价800元.旅行社对超过30人的团给予优惠，即旅行

团的人数每增加一人，每人的单价就降低10元.当一个旅行团的人数是人时，这个旅行社可以获得

最大的营业额.

8.“丹棱冻耙”是眉山著名特色小吃，产品畅销省内外，现有一个产品销售点在经销时发现：如果每箱产品盈

利10元，每天可售出50箱；若每箱产品涨价1元，日销售量将减少2箱.

（1）现该销售点每天盈利600元，同时又要顾客得到实惠，那么每箱产品应涨价多少元？

（2）若该销售点单纯从经济角度考虑，每箱产品应涨价多少元才能获利最高？

9.经统计分析，某市跨河大桥上的车流速度v（千米/小时）是车流密度x（辆/千米）的函数，当桥上的车流

密度达到220辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0千米/小时；当车流密度不超过20辆/千米时，车流

速度为80千米/小时，研究表明：当20WXW22