2024-2025学年度八年级数学上册第12章全等三角形（一）重难点讲解

第12章全等三角形（1）——重难点

内容范围：12.1-12.2

◎重难点知识导航

鹿点才

知识点一：全等三角形的判定和性质

1.一般三角形的判定定理及推论比较

2.一般三角形全等判定的方法选择

我夹角（SAS）

已知两边找直角（HL）

找第三边（SSS）

'若边为角的对边，则找任意角（A4S）

已知一、力一角［找已知角的另一边（SAS）

天一心一用边为角的邻边找已知边的对角（A4S）

找夹已知边的另一角CASA）

口如而缶（找两角的夹边（ASA）

已知两角、4人上，》,、

［找任息一边（A4S）

3.如何选择三角形证全等

（1）可以从求证出发，看求证的线段或角（用等量代换后的线段、角）在哪两个可能全等

的三角形中，

可以证这两个三角形全等；

（2）可以从已知出发，看已知条件确定证哪两个三角形全等；

（3）由条件和结论一起出发，看它们一同确定哪两个三角形全等，然后证它们全等；

（4）如果以上方法都行不通，就添加辅助线，构造全等三角形.

4.全等三角形的性质

全等三角形的对应边一，对应角一，对应边上的高一，对应边上的中线一，对应角的平分线一，

周长面积二

典例精讲

例1.

1.如图，点尸是一R4C平分线AD上的一点，AC=7,AB=3,PB=2,则PC的长不可

能是（）

A.6B.5C.4D.3

例2.

2.如图，在5c中，4。_1_3。于点/）,£为47上一点，连结3石交4。于点尸,且族=4。,

试卷第2页，共12页

DF=DC.求证:

(1)BD=AD.

(2)BEAC.

o变式训练

变式1.

3.如图,2。是“BC的中线,E,尸分别是2。和2。延长线上的点，且CE||8/，连接3F,CE,

下列说法：

®DE=DF；

②AABD和AACD面积相等；

③CE=BF；

©ABDF^CDE；

⑤/CEF=NF.

其中正确的有()

A.1个B.5个C.3个D.4个

变式2.

4.综合与探究

【操作探索】

在生活中，我们常用实物体验图形变换的过程.小颖同学利用一块风筝纸片完成了如下的操

作：

如图1,已知四边形A5DC,AB=AC,BD=CD.

(1)操作一：沿AO所在的直线对折，如图1.你认为左右两侧对折后能完全重合吗？并说

明理由；

(2)操作二：对折后，将风筝纸片剪成两个三角形和"8，)，摆成如图2所示

的图形，80与AO'相交于点E,与CD相交于点厂.试说明3E=CF.

【应用拓展】

(3)如图3,在VABC中，AB=AC,AB>3C,点。在边BC上，BD=3CD,点E,F

在线段上，ZAEB=ZAFC=13Q°,ZBAC=50°,若VABC的面积为24,求人455与

VC£)9的面积之和.

难j

知识点二：全等三角形的常见模型

试卷第4页，共12页

2.图形特征全等模型

在典例精讲

例1.

5.如图，己知AD=AB,AC=AE,ZDAB=Z.CAE,DC,BE.

⑴求证：^BAE^DAC；

⑵若ZCW=135°,ND=20。,求—E的度数.

例2.

6.(1)如图1,已知△OA3中，OA=OB,ZAOB=90°,直线/经过点。，3CL直线/,

AD±直线/,垂足分别为点C,D依题意补全图/,并写出线段BC,AD,之间的数

量关系为;

(2)如图2,将(1)中的条件改为：在△OAB中，OA=OB,C,O,。三点都在直线/

上，并且有==请问(1)中结论是否成立?若成立，请加以证明；若

不成立，请说明理由；

(3)如图3,在VABC中，AB=AC,NCAB=90°,点A的坐标为(0,1),点C的坐标为(3,2),

请直接写出点B的坐标.

Q变式训练

变式1.

7.如图，在四边形ABCD中，AB=AD,ZB+ZD=180°,E,P分别是BC,CD上的点，

NEAF=g/BAD,线段BE,EF,FD之间的数量关系是.

变式2.

8.如图，已知Rt^ABC中，ZBAC=90。,A3=AC,点。为直线BC上的一动点(点D不

与点8、C重合)，以4D为边作RtAAOE,ZDAE=90o,AO=AE,连接CE.

试卷第6页，共12页

E

图1图2图3

⑴发现问题：如图①，当点。在边BC上时.

①请写出和CE之间的数量关系为一，位置关系为二

②求证：CE+CD^BC-,

(2)尝试探究：如图②，当点。在边BC的延长线上且其他条件不变时，(1)中2C、CE、CD

之间存在的数量关系是否成立?若成立，请证明；若不成立，请写出新的数量关系，不证明.

(3)拓展延伸：如图③，当点。在CB的

延长线上且其他条件不变时，若3c=6,CE=2,求线段的长.并求ADEB的面积.

jr

难点

知识点三：全等三角形的常见辅助线

倍

截

长

补

短

法

典例精讲

例1.

9.如图,已知:AB=AC,BD=CD,ZA=60°,ZD=140°,则(

40°C.40°或70°D.30°

例2.

试卷第8页，共12页

10.倍长中线法与作平行线是构造全等三角形常见的辅助线.

图2

(1)如图1,在VABC中，AC=5,中线AD=7,求A8的取值范围.方法一：延长AD到E

使DE=AD，连接CE；方法二：过点C作AB的平行线交AD的延长线于E.请你从以上

两种方法中选一种方法证明AECDdABD,并直接写出A3的取值范围；

⑵如图2,在△AEC中，点从。在EC上，=0，点。是BC的中点，若平分

求证：AC=BE.

Q变式训练

变式1.

11.如图，在四边形ABCZ)中，w〃8,的是1衣4。的平分线，且AE_LCE.若

AC=a,BD=b,则四边形ABAC的周长为()

A.1.5(tz+&)B.2a+bC.3a—bD.a+2b

变式2.

12.已知：如图，在VABC中，/B=60。,D、E分别为AB、BC上的点，且AE、CD交于

点、F.若AE、CD为VABC的角平分线.

⑴求ZART的度数；

(2)若AD=6,CE=4,求AC的长.

建点

知识点四：全等三角形的综合应用

1.全等三角形与动点问题

(1)根据动点运动的路径，恰当分类，画出图形；

(2)把动点运动的路程转化为线段的长度；

(3)根据全等三角形的判定或性质，确定与动点相关线段与其对应边相等建立方程求解；

2.全等三角形新定义问题

(1)抓住新定义的图形的特征；

(2)把新定义的图形的特征转化为全等的条件，或利用全等的性质，把相等的边角转化为

识别新定义图形的条件；

3.全等三角形的实际应用

(1)指出在生产生活实际中，应用全等三角形的依据；

(2)用全等三角形的知识解决生产生活中的实际问题；

在典例精讲

例1.

13.如图，AB=8cm,NA=/3=60。，AC=BD=6cm,点P在线段A8上以2cm/s的速度

由点A向点B运动，同时，点。在线段8。上以xcm/s的速度由点8向点O运动，它们运动

的时间为f(s).当与VBPQ全等时，x的值是()

A.2B.1或1.5C.2或3D.1或2

例2.

14.在两个不全等的三角形中，有两组边对应相等，其中一组是公共边，另一组等边所对的

角对应相等，就称这两个三角形为“共边黄金三角形”，相等的边(非公共边)所对的相等的

角称为“黄金角

试卷第10页，共12页

图1图2图3

⑴如图1,BC=BD,贝UVABC与△ABD"共边黄金三角形”.（填“是”或“不是”）

⑵如图2,ZXACB与AACD是“共边黄金三角形"，BC=CD,ZBAD=62°,则ZXACB与

AACD的“黄金角”的度数为.

（3）如图3,已知AC平分/A£>,AB=AE,△ACB与AACD是“共边黄金三角形”，试说明

CD=CE.

Q变式训练

变式1.

15.为了捍卫国家主权，2022年中国人民海军多次在东海进行军事演习.在某次军事演习

中，舰艇甲在指挥中心（。处）北偏西30。的A处，舰艇乙在指挥中心南偏东70。的B处，并

且Q4=O8.接到指令后，舰艇甲向正东方向迅速前进，同时舰艇乙沿北偏东50。的方向迅

速前进.指挥中心观测到3小时后甲、乙两舰艇分别到达E、尸处，NEOF=70。，跖=180

海里，且甲与乙的速度比为2:3,则甲舰艇的速度为海里/小时.

16.已知四边形ABCD中，ABLAD,BCLCD,AB=BC,ZABC=120°,ZMBN=60°,

ZMBN绕B点旋转,它的两边分别交A。，DC（或它们的延长线）于E,F.

（1）当NMBN绕8点旋转到AE=CF时（如图1）,求证：AE+CF=EF.

（2）当绕2点旋转到AEHCFF时，在图2和图3这两种情况下，上述结论是否成

立？若成立，给出证明；若不成立，线段在CF,跳又有怎样的数量关系？请写出你的

猜想，并给予证明.

小明第（1）问的证明步骤是这样的：

延长。C到。使CQ=AE,连接BQ,

证出ABAERBCQ得到BE=BQ,ZABE=ZCBQ；

再证ABEF也ABQ尸，得到EF=FQ,证出£7上（7尸+（7。，即AE+CF=£F.

请你仿照小明的证题步骤完成第（2）问的证明.

试卷第12页，共12页

参考答案:

1.A

【分析】在AC上取AE=AB=3,然后证明△用三“IBP,根据全等三角形对应边相等得

到尸E=PB=2,再根据三角形的任意两边之差小于第三边即可求解.

【详解】在AC上截取AE=AB=3,连接PE,

•.♦AC=7,

:.CE=AC-AE=l-3=4,

:点尸是/BAC平分线力。上的一点,

ACAD=ABAD,

在△&/>£1和AAPB中，

'AE=AB

<ZCAP=ZBAD,

AP=AP

:.^APE=AAPB（SAS）,

:.PE=PB=2,

•.♦4—2<PC<4+2,

解得2<PC<6,

故选A.

【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、三角形的三边关系；通过作辅助线构

造全等三角形是解题的关键.

2.⑴见解析

（2）见解析

【分析】此题考查全等三角形的判定和性质，关键是掌握全等三角形的判定方法.

（1）根据ADJ_BC,得出/3D4=/4DC=90。，再根据SAS证明ABFO名AACD,即可推

答案第1页，共20页

出结论；

(2)因为/友％=/位＞。=90。，则/D4C+/C=90。，根据△MD0AACD,NBFD=NC,

得出/ZMC+/BFD=90。.又因为/哥D=贝1J/ZMC+/AFE=90。，得出

ZAEF=90°.

【详解】⑴VAD1BC,

：.^BDA=^ADC=90°f

'：BF=AC,DF=DC,

：.^BFD^ACD(HL),

:.BD=AD.

(2)ZBDA=ZADC=90°,

・・・/n4C+/C=90。，

'：ABFD'ACD,NBFD=NC,

：.ZDAC+ZBFD=9^.

•；NBFD=NAFE,

；./DAC+/AFE=90。,

：.^AEF=90°,

：.BE±AC.

3.B

【分析】根据三角形中线的定义可得&)=CD,然后利用“边角边”证明上£方和△CDS全等,

根据全等三角形对应边相等可得CE=57"全等三角形对应角相等可得/=/CED,再根

据内错角相等，两直线平行可得5分||。石，最后根据等底等高的三角形的面积相等判断出②

正确.

【详解】解：・・工。是△ABC的中线，

：.BD=CD,

在△&)尸和史中，

BD=CD

<ZBDF=ZCDE,

DF=DE

：.△BDF^ACDE(SAS),故④正确

答案第2页，共20页

:.CE=BF,/F=/CED,故①正确，

:NCEF=NCED,

:*NCEF=NF,故⑤正确，

：.BF\\CE,故③正确，

;BD=CD,点A到曲CD的距离相等，

•••△ABD和AACD面积相等，故②正确，

综上所述，正确的有5个，

故选：B.

【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定方法并准确识图是

解题的关键.

4.(1)能完全重合，理由见解析；(2)证明见解析；(3)6

【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，折叠性质，正确掌握相关性质内容是解题的

关键.

(1)通过三边分别相等得出△AB£>0A4CD(SSS),即可作答.

(2)同理得出AABD以AACD',得出/3=NC,ZBAD=ZCAD',再结合=

证明△ABE丝△ACR(ASA),即可作答.

(3)因为NA£B=NAFC=130。以及角的运算得出=再证明

△ABE=/\CAF(AAS),则工人郎+$△CAF+^ACDF=^ACAD，因为BD=3CD,得出

S^CAD:SA4BC=CD：BC=1：4,即可作答.

【详解】解：(1)能完全重合.

理由：在与AACD中，

AB=AC

<BD=CD,

AD=AD

：.AABD丝AACD(SSS),

对折后能完全重合.

(2)同理得出AMD/AACD',

/.ZB=ZC,ZBAD=ZCAD',

：.ZBAiy+/DAD=Z.CAD+ZZ7AD,

答案第3页，共20页

：.ZBAE=ZCAF.

在石和ZXAC「中，

ZB=ZC

<AB=AC,

ZBAE=ZCAF

；.AABE且AAC尸(ASA),

：.BE=CF.

(3)VZAEB=130°,

・•・ZEAB-^-ZABE=1800-ZAEB=5Q°.

ABAC=ZEAB+ZCAF=50°,

：.ZABE=ZCAF.

在△AaE1和VG3中，

ZAEB=ZAFC

</ABE=/CAF,

AB=AC

；.AABEgAC4F(AAS),

•・°AABE一°ACAF，

,•S^ABE+S^CDF=^ACAF+^ACDF=*^ACAD•

BD=3CD,

：.CD:BC=1:4,

•e•S/\CAD:^AABC=CD：BC=1*4.

SJBC=24,

••S^ABE+S4CDF=24+4=6.

5.(1)见解析

⑵N石=25。

【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质；

(1)根据题意由NZMB+NB4C=NC4E+NBAC,可得/DAC=/BAE,即可求证;

答案第4页，共20页

(2)由AB4E丝A/MaSAS),可得ZE=NC,再由内角和为180。即可求解.

【详解】(1)证明：：/ZMB=NC4E,

ZDAB+NBAC=ZCAE+ABAC,

：.ZDAC=ZBAE,

又：AD=AB,AC=AE,

：.ABAE丝AD4c(SAS)；

(2)：ABAE包DAC(SAS),

NE=NC,

VZC4D=135°,ZD=20°,

：.ZC=180°-ZCAD-ZD=180°-135°-20°=25°,

ZE=ZC=25°.

6.(1)补全如图所示见解析；CD=BC+AD；(2)成立，证明见解析；(3)点8的坐标

为。,-2).

【分析】(1)依题意补全图，易证贝1|有AO=C。，OD=BC,从而可得

CD=BC+AD；

(2)利用三角形内角和易证N2=/3,再证明A3CO丝AO/M,同(1)即可证明结论；

(3)过8、C两点作y轴垂线，构造如(1)图形，即可得三角形全等，再将线段关系即可

求出点B坐标.

【详解】(1)补全图1如图所示，CD=BC+AD；

图1

证明：；ZAO3=90°,直线/,AD±直线/,

：.ZBCO=ZODA=90°,

：.ZBOC+ZOBC=90°,

又：ZAOB=90°,

答案第5页，共20页

・•・ZBOC+ZAOD=90°,

：.ZOBC=ZAOD,

在△人0。和405。中

ZBCO=ZODA

</OBC=/AOD,

BO=AO

：.AAOD^AOBC(AAS)

：.AD=CO,OD=BC,

•；CD=OD+CO,

：.CD=BC+AD.

(2)成立.

证明：如图，

图2

Z1+Z2=180°-ZBOA,Zl+Z3=180°-ZBtM,ZBOA=ZBCO

：・N2=N3

在△5CO和M0D4中

Z3=N2

<ZBCO=ZODA

BO=OA

：.ABCO^ODA(AAS)

/.BC=OD,CO=AD

：.CD=CO+OD=AD+BC

(3)点8的坐标为(1,-2).

过程如下：过5、C两点作y轴垂线，垂足分别为M、N,

答案第6页，共20页

图3

同理(1)可得，CN=AM,AN=MB,

:点A的坐标为(0,1),点C的坐标为(3,2),

：.CN=AM=3,ON=2,OA=1,

：.MB=AN=ON-OA=1,OM=AM-OA=2,

•.•点8在第四象限，

...点8坐标为：(1,-2).

【点睛】主要考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质、图形与坐标变换,

构造出全等三角形是解本题的关键.

7.EF=BE+DF

【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，延长ED至点H,使得。"=连接A8,

可证AABE/AAD"(SAS)得到=ZBAE=ZDAH,进而由=可得

ZHAF=ZEAF,即可证得△AEF四△A77F(SAS),得到=即可由必=

得至“EF=BE+DF,正确作出辅助线是解题的关键.

【详解】解：如图，延长ED至点使得DH=BE,连接AH,

VZB+ZADF=180°,ZADF+ZADH=180°,

ZB=ZADH,

在和AMH中，

BE=DH

<ZB=ZADH,

AB=AD

：.AABE^ADH(SAS),

：.AE=AH,ZBAE=ZDAH,

答案第7页，共20页

ZEAF=-ZBAD,

2

NBAE+ZFAD=ZBAD-ZEAF=-/BAD,

2

即/HAD+ZDAF=NHAF=-/BAD,

2

ZHAF=ZEAF,

在△AEF和AAHF中，

AE=AH

<ZEAF=ZHAF,

AF=AF

：.AAEF四△AHF(SAS),

:.HF=EF=HD+DF,

,/HF=HD+DF,

:.EF=HD+DF

又•:DH=BE,

，EF=BE+DF.

8.⑴①BD=CE,BD±CE；②见解析

(2)不成立，存在的数量关系为CE=BC+CD,理由见解析

(3)CD=8,S^DEB=2

【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质的运用，等腰直角三角形的性质：

(1)①根据条件AB=AC,ZABC=ZACB=45°,AD=AE,ZADE=ZAED=45°,判定

△ABD丝AACE(SAS),即可得出80和CE之间的关系；②根据全等三角形的性质，即可得

至1"+8=比；

答案第8页，共20页

(2)根据已知条件，判定AABZ泾AACE(SAS),得出BD=CE,再根据3£>=3C+CD,即

可得到C£=3C+CD；

(3)根据条件判定AABZ在AACE(SAS)，得出3。=CE,进而得到CD=BC+BD=BC+CE,

最后根据3c=6,CE=2,即可求得线段CD的长，根据全等三角形的性质以及等腰直角三

角形的性质得出EC_LCD,进而根据三角形的面积公式，即可求解.

【详解】(1)①如图1，由题意，AB=AC,ZABC=ZACB=45°,AD=AE,

ZADE=ZAED=45°,ZBAC=ZZME=90°,

:.ZBAD=ZCAE,

在AABD和AACE中，

AB=AC

<ZBAD=NCAE,

AD=AE

:.^ABD^AACE(SAS),

:.BD=CE,NB=ZACE=45°,

:.ZBCE=90°,即BD_LCE；

故答案为：BD=CE,BDLCE；

②由①得AABD^AACE(SAS),

BD=CE,

:.BC=BD+CD=CE+CD；

(2)不成立，存在的数量关系为。石=5。+8.

理由：如图2,由⑴同理可得，

在和八4。£中，

'AB=AC

<ABAD=/CAE,

AD=AE

/.△ABD^AACE(SAS),

/.BD=CE,

BD=BC+CD,

答案第9页，共20页

.•.CE=BC+CD；

(3)如图3,由⑴同理可得，

在和中，

'AB=AC

<NBAD=NCAE,

AD=AE

/.△ABZ)^AACE(SAS),

:.BD=CE,ZABD=ZACE

CD=BC+BD=BC+CE,

vBC=6,CE=2,

.•.CD=6+2=8.

/ZABD=ZACE=1800-ZABC=135°fNACB=45。

ZDCE=AACE-ZACB=90°,即CE_LDC

：.SAUntFLRD=-2DBxCE=-2x2x2=2.

图3

9.B

【分析】连接AD,可证△ABDGAACD,根据全等三角形对应角相等可以得到

NBAD=NCAD=；NBAC,ZADB^ZADC,代入角度即可求出N3AD和-W3的度数,

最后利用三角形内角和定理即可求解.

【详解】连接4),如图，

在△ABD与AACD中

答案第10页，共20页

AB=AC

<BD=CD,

AD=AD

：.AABD之AACD(SSS),

ABAD=ACAD=-ABAC,ZADB=ZADC,

2

NA=60°,

ZBAD=ZCAD=30a,

"=140°,

ZADB=ZADC=1(360°-140°)=110°,

/BAD+ZADB+/B=180°,

ZB=40°.

故选：B.

【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理，添加正确的辅助线是解

题的关键.

10.(1)9<AB<19

(2)证明见解析

【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形的三边关系，解题的关键是熟练掌握

全等三角形的判定方法以及能正确作出辅助线；

(1)方法一中利用SAS证明△ECD9则AB=EC,再根据三角形的三边关系来确

定取值范围即可；

(2)先用SAS证明得出NBAD=NCFD,AB=FC,再用AAS证明

AFCA^AABE,即可解答.

【详解】(1)解：选方法一来证明△ECDgZWBD,

是VABC的中线，

:.BD=DC

在AECD和△ABD中

答案第11页，共20页

BD=DC

NADB=/EDC

AD=DE

/.A^CD^AABD(SAS),

AB=EC,

在△AEC中，

AE-AC<EC<AE+AC,

2AD-AC<AB<2AD+AC,

即：14—5vABvl4+5,

:.9<AB<19,

(2)解：延长AD到尸使。尸=4),连接b,如图所示;

:.BD=DC,

在△ABD和△bCD中，

BD=DC

<NADB=ZFDC,

AD=DF

\AABD^AFCDCSAS),

:.ZBAD=ZCFD,AB=FC,

A5平分//ME,

.\ZBAD=ZEAB,

NCFD=NEAB,

在△/C4和aAB石中，

ZCFD=ZEAB

<ZCAD=ZE,

CF=AB

答案第12页，共20页

/.△FC4^AABE(AAS),

AC=BE.

11.B

【分析】在线段AC上作AF=AB,证明△AEF之Z^AEB可得NAFE=NB,ZAEF=ZAEB,

再证明△CEF之ZiCED可得CD=CF,即可求得四边形ABOC的周长.

【详解】解：在线段AC上作AF=AB,

・•・NCAE=NBAE,

又TAE=AE,

.,.△AEF^AAEB(SAS),

AZAFE=ZB,NAEF=NAEB,

VAB/7CD,

.'.ZD+ZB=180°,

VZAFE+ZCFE=180°,

AZD=ZCFE,

VAE1CE,

AZAEF+ZCEF=90°,ZAEB+ZCED=90°,

.'.ZCEF=ZCED,

在^CEF和^CED中

/D=NCFE

・；［/CEF=NCED,

CE=CE

.•.△CEF^ACED(AAS)

ACE=CF,

四边形ABDC的周长=AC+AB+BD+CD=AC+AF+CF+BD=2AC+BD=2〃+Z;,

答案第13页，共20页

故选：B.

【点睛】本题考查全等三角形的性质和判断.能正确作出辅助线构造全等三角形是解题关键.

12.⑴120度

(2)10

【分析】本题考查等腰三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、角平分线的定义等

知识，解题的关键是学会添加常用辅助线构造全等三角形解决问题.

(1)由题意/B4C+/BC4=120。，根据

ZAFC=180°-ZFAC-NFCA=180°-1(ZBAC+ZBCA),即可解决问题；

(2)在AC上截取AG=AD=6,连接FG.只要证明△AD/丝△AGE,推出

ZAFD=ZAFG=60°,ZGFC=ZCFE=60°,再证明4CG5也△(7砂，推出CG=CE=4,

由此即可解决问题.

【详解】(1)解：CD为VABC的角平分线，

ZFAC=|ABAC,ZFCA=gZBCA

•/ZB=60°,

：.ZBAC+ZBCAF^120°,

：.ZAFC=180°-ZFAC-ZFCA=180°-1(ZBAC+ZBCA)=120°

(2)解：在AC上截取AG=AD=6,连接FG.

,:AE、CD为VABC的角平分线.

AZFAC^ZFAD,/FCA=NFCE,

ZAFC=120°,

ZAFD=/CFE=60。,

•：AD=AG,AF=AF

AAADF^AAGF,

ZAFD=ZAFG=&)°,

答案第14页，共20页

NGFC=NCFE=60。,

又,：CF=CF,

AACGF^ACEF

:.CG=CE=4,

：.AC=AG+GC=10.

13.C

【分析】本题考查了全等三角形的判定：熟练掌握全等三角形的5种判定方法是解决问题的

关键；选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件.

根据题意得AP=2rcm,BQ=t^cm,则8尸=(8-2r)cm,由于/A=/3=60°,根据全等三角

形的判定方法，当AC=3P,人尸=8。时可判断/\?1。尸二43尸。，即8-2/=6,2t=tx-,当

AC=BQ,AP=B尸时可判断八4€7＞丝ABQP,即M=6,2t=8-2t,然后分别求出对应的

尤的值即可.

【详解】解：根据题意得AC=6cm,AP=2rcm,BQ=txc\R,贝1|8尸=AB-AP=(8-2/)cm,

-.■ZA=ZB=60°,

..当AC=B尸，=时，AACP四尸。(SAS),

BP8-2r=6,2t=tx,

解得：t=l,x=2；

当AC=BQ,AP=3P时，AAC尸父JQP(SAS),

即xf=6,2t-S-2t,

解得：t=2,x=3,

综上所述，当△ACP与V8PQ全等时，x的值是2或3.

故选：C.

14.⑴是

(2)31°

(3)理由见解析

【分析】本题考查了新定义、全等三角形的判定与性质，角平分线的定义，正确掌握相关性

质内容是解题的关键.

(1)根据共边黄金三角形的定义找到公共边AB,NA=N4,即可得出.

(2)根据共边黄金三角形的定义得出出=/D4C,再结合NA4D=62。，则

答案第15页，共20页

ZC4B=ZZMC=31°,即可作答.

(3)先由角的平分线的定义得出/S4C=/E4C,然后证明AABC丝AAEC(SAS),得

BC=EC,再运用共边黄金三角形的定义，得出3C=CZ),即可作答.

【详解】(1)解：：VABC与具有公共边

又•：BC=BD,且ZA=ZA,

.-.AABC与AABD是共边黄金三角形，

•••故答案为：是.

(2)解：：AACB与AACD是“共边黄金三角形"，BC=CD,

ZCAB=ZDAC,

,：ZBAD=62°,

：.ZCAB=ZDAC=-ABAD=-x62°=31°；

22

则AAC3与△ACD的“黄金角”的度数为31。.

(3)解：：AC平分44£>,

，ZBAC^ZEAC.

AB=AE

在VABC和△AE'C中，</BAC=ZEAC,

AC^AC

：.AABC^AA£C(SAS),

:.BC=EC.

,/则AACB与AACD是共边黄金三角形，

:.BC=CD,

：.CD=CE.

15.24

【分析】本题考查了全等三角形的应用，如图，连接EF,延长AE、跖相交于点C,延长

CB到G,使=根据全等三角形的判定和性质即可得到结论.

【详解】如图，连接跖，延长AE、3/相交于点C,延长CB到G,使8G=AE,

答案第16页，共20页

・・•Z.OBC=70°+50°=120°,

NO5G=60。，

:.ZA=/OBG,

\-OA=OB,

・・・AAOE学△BOG(SAS),

:.OE=OG,ZAOE=/BOG,

ZAOB=30°+90°+(90°-70°)=140°,

ZEOG=140°,

・・・N£Ob=70。，

:"EOF=/GOF,

•：OF=OF,

：.AEOF^AGOF(SAS),

，EF=GF=BG+BF=AE+BF=180(海里)，

设甲的速