2025年高中数学公式及知识点速记之集合与简易逻辑、不等式、函数、三角函数、统计、平面向量

高中数学公式及知识点速记(一)

一'集合与常用的逻辑用语

1'集合

(])集合与元素

①集合元翥的三个特性：确定性、互异性、无序性.

②元素与集合的关系是属于或不属于关系，用符号e或C表示.

③常见数集的记法：

集合自然数集正整数集整数集有理数集实数集正实数集

符号NN+或N*ZQRR+

(2)集合间的基本关系

①子集：集合A中的任意元素都是集合B中的元素，记作4UB

②真子集：集合AUB,但存在元素x6B,且x£A,记作2呈B

③集合相等：集合A,B中元素相同，记作2=B

④注意：空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，即。[2,。气4(4力0；

任何集合都是自身的子集，即AUA；

。是指不含任何元素的集合，{。}是指以。为元素的集合，即。力{。}.

(3)集合的基本运算

①并集：AUB=(x|xGA,或xeB}

②交集：AnB={x|xeA,且XeB}

③补集：CUA={x|xeU,J!LxgA}

(4)集合的有关性质

①集合的传递性AcB,BUCnAUC.

②集合的子集个数：若集合A中有n个元素，则A的子集有2rl个，真子集有2"-1个，非空真子集有2n-2个.

③等价关系：4UB=AnB=4Q4UB=BoJA?

acBu>a=碱6*°

2、常用逻辑用语

(1)充分条件与必要条件：

若p以集合A的形式出现，q以集合8的形式出现，即p：A={x|p(x)},q：B={x|q(x)},贝!！

①若AIB,则p是q的充分条件

②若BQA,则p是q的必要条件

③若4则p是q的充分不必要条件

④若B星4则p是q的必要不充分条件

⑤若A=B,则p是q的充要条件

(2)全称量词命题，存在量词命题，命题的否定及其真假性

①全称量词命题“VxeM,x具有性质p(x)”的否定，是存在量词命题“mxCM,x不具有性质p(x)”

②存在量词命题"3XGM,x具有性质p(x)”的否定，是全称量词命题“VxCM,x不具有性质p(x)”

③全称量词命题与存在量词命题真假性相反

二'不等式

1、不等式的性质

(1)如果a>b,且b>c,那么a>c

(2)如果a〉b,那么a>c>b+c

(3)①如果a>6,c>0,那么ac>bc

②如果a>b,c<0,那么ac<be

(4)如果a>b,c>d,那么a/cAb/d

(5)①如果a>b>0,c>d>0,那么ac>bd

②如果a>b>Q,c<d<0,那么ac<bd

(6)当a>b>0时，an>bn,其中neN+，n>2

当a>6>0时，Va>Vb,其中n€N+，n>2

2、基本不等式

>—+>^[xy>当且仅当久=y时"=”成立

使用条件：一正(x,y都是正数)、二定(孙是定值或者％+y是定值)、三相等(x=y时等号成立)

①若积封是定值P，则当光二y时和x+y有最小值2折

②若和x+y是定值s,则当x=y时积孙有最大值;$2

3、用不等式解决恒成立、有解问题

①若对V%e[a,b],m>%恒成立,则zn>b⑤若G[a,b],使m>%成立,则m>a

②若对V%G[a,b)fm>%恒成立,则)？i>b⑥若三％E(a,b],使zn>%成立,则？n>a

③若对V%e[a,b],m>%恒成立,则m>b⑦若e[a,b],使7n>%成立,则m>a

④若对V%G[。/)，m>%恒成立,则m>b⑧若e(a,b],使TH>%成立,则m>a

三'函数

1、函数的定义

(1)函数的概念

①概念：给定两个非空数集4B,如果存在一个对应关系f,使得对任意一个久64存在唯一确定的数yeB与

之对应，则称对应关系/为定义在集合A上的一个函数，记作y=/0),XGA

②函数的判断：若x与y一—对应，或多个x对应1个y,则称y是x的函数

(2)定义域：指使函数解析式有意义的自变量的取值范围，常见基本初等函数的定义域如下：

①分式函数中分母不等于0

②偶次根式函数的被开方式大于或等于0

③y=x°的定义域是｛x|x丰0)

④对数函数的真数大于0,指、对数函数的底数大于。且不等于1

⑤一次函数、二次函数的定义域均为R

(3)函数的对应法则：函数的对应法则(也称函数的解析式)是表示函数的一种方式，对于不是y=/(x)的形

式，求函数的解析式时，一定要注意函数定义域的变化，特别是利用换元法(或配凑法)求出的解析式

(4)函数的值域：指函数值构成的集合，常见基本初等函数的值域如下：

①反比例函数y=A1为常数且k力0)的值域为(―8,o)u(O,+8)

x

②一次函数y=kx+6(左为常数且原0)的值域为R

③二次函数y=a/+法+c(a,b,c为常数且aHO)

4-cic——h~

当a>0时，二次函数的值域为[,+oo),当a<0时，二次函数的值域为(-oo,]

4a4a

④指数函数y=a*的值域为(0,+8)

⑤对数函数y=伍x的值域为R

(5)函数的最值

前提设函数y=/(x)的定义域为/,如果存在实数“满足

①对于任意的xe/,者①对于任意的xe/,者

条件

②存在x()e/,使得/(%)="②存在x()e/,使得/(%)=/

结论M为最大值M为最小值

注意：①函数的值域一定存在，而函数的最值不一定存在

②若函数的最值存在，则一定是值域中的元素；若函数的值域是开区间，则函数无最值

2、函数的性质

(1)函数的单调性

①定义法：对V%i，%2e[a,b],且<x2

/(%1)-f(x2)<0/(x)在[a,切上是增函数

/(%1)-/(x2)>。o/(%)在[a,切上是减函数

②求导法：设函数y=/(x)在区间[a,6]内可导

若广(%)>0,则/0)在区间[a,b]上为增函数

若f'(x)<0,则/O)在区间[a,句上为减函数

③常用结论

❶若/(x),g(x)均为区间A上的增(减)函数，则/(x)+g(x)也是区间A上的增(减)函数

❷若左＞0,则4(%)与〃龙)的单调性相同；若左＜0,则4(兀)与"％)单调性相反

❸一些重要函数的单调性和图象：

对勾函数

①定义：若〃久)为偶函数，则f(-x)=f(x),其定义域关于原点对称，图象关于y轴对称

若/(久)为奇函数，贝行(-乃=-八＞),其定义域关于原点对称，其图象关于原点对称，若奇函数在0

处有定义，则/(0)=0

②拓展：若/■(久+a)为偶函数，贝!J/(-x+a)=y(x+a)

若/(x+a)为偶函数，贝好(一%+a)=-/0+a)

(3)函数的周期性

①定义：若对于定义域内任意的x都有/Q+T)=/(尤)，则/(%)是周期函数，其周期为T

②拓展：若对于定义域内任意的x都有f(x+a)=f(x+b),则/(%)是周期函数，其周期为g-a|

若对于定义域内任意的x都有f(x+a)=-/(%+b),则f(x)是周期函数，其周期为2g-a|

(4)函数的对称性

①定义：若/'(X)的对称轴方程为x=a,则/(x)=f(2a-x)

若/(久)的对称中心为(a,0),则f(x)=-f(2a-x)

②拓展：若对于定义域内任意的x都有/Q+a)=/(—%+6),则函数/O)有对称轴，其方程为x

若对于定义域内任意的x都有/Q+a)=—/(r+6),则函数/⑺有对称中心，其坐标为(手，0)

若对于定义域内任意的x都有/(X+a)=-f(-x+6)+c,则函数/(x)有对称中心，其坐标为(手,|)

3、反函数

①反函数的定义：将函数y=/(x)的久与y互换，然后通过移项等变形方式将y放到一边，称得到函数y=g(x),g(x)

与f(x)互为反函数，例如指薮函数y=a*(a为常数，a＞0且a*1)与对数函数y=log。x(a为常数，a＞0且a*1)

互为反函数，它们的定义域与值域正好互换

②反函数的性质：若两个函数互为反函数，则它们的图象关于直线y=x对称

4、二次函数

(1)二次函数解析式的三种形式

一般式：/(x)=ax2+bx+c(a丰0)

顶点式：f(x)=a(x—h)2+k(a+0)

两根式：/(x)—a(x—%!)(%—x2)(a丰0)

(2)二次函藏的图象和性质

/(%)=ax2+b%+c/(x)=ax2+b%+c

解析式

(a>0)(a<0)

图象\]j/

/°\\

定义域RR

[4ac—b2、/4ac—b2]

值域2a，।)(，2a]

在(—8,—盘上单调递减；在(—8,—/］上单调递增；

单调性

在卜〜+8)上单调递增在+8)上单调递减

对称性函数的图象关于直线X=-2对称

2a

5、塞函数

(1)幕函数的定义：一般地，形如丫=久。3为常数)的函数称为基函数.

(2)哥函数的性质

①幕函数在(0,+8)上都有定义，在第一象限都有图象，在第四象限都没图象

②当a>0时，幕函数的图象都过点(0,0)和(1,1),且在(0,+8)上单调递增

❶当0<a<1时，幕函数的图象增长速度越来越慢

❷当a>1时，塞函数的图象增长速度越来越快

③当a<0时，幕函数的图象都过点(1,1),且在(0,+8)上单调递减.

P

④募函数y=x1(p、q互质)在二、三象限的图象，用函数的奇偶性来确定

❶当:为整数时，W为偶数，则f(x)为偶函数，:为奇数，则f(x)为奇函数

❷当彳为分数时，若q为偶数，则/Q)为非奇非偶函数

若q为奇数P为奇数，则/(乃为奇函数

若q为奇数P为偶数，则/(无)为偶函数

(3)常见幕函数的图象：---------------------------------------------->

6、指数函数

(1)分数指数累

m___

an=(a>0,m,neN*,且〃>1)

-%11*

an=——=,—Qa>a,m,neN*,且〃>1)

生

Q〃7a

(2)根式的性质

当九为奇数时，=a

当〃为偶数时，=\a\=\a，a^°

-a.a<Q

(3)有理指数嘉的运算法则

"=优%>0",5£。)

(a)=a"(Q>0,r,5GQ)

{ab)r=arbr(a>0,Z?>0,re0

(4)指数函数的定义：一般地，形如y=a%(a为常数，a>0且QW1)的函数称为指数函数.

(5)指数函数的性质和图象

底数a>\0<a<l

\y)=帝

图象

~~0\XO\i

定义域为R,值域为(0,+8)

图象过定点(0,1)

性质当x>0时，恒有y>l当尤>0时，恒有0<y<l

当x<0时，恒有0<y<l当尤<0时，恒有y〉l

在定义域R上为增函数在定义域R上为减函数

7、对数函数

(1)对数的定义：

一般地，若心=N,那么数b称为以a为底N的对数，记作logaN=b,其中a叫作对数的底数，N叫作真数,

即log。N=人=a"=N(a>0,aw1,N>0),且：=N(a>0,且awl,N>0)

(2)对数的运算法则：

①loga(MN)=logaM+logaN

②l°gaW=10gaM-10gaN

NN

③logaMbN=-logb=log"b=loga6瓦

IV1aaN

logN

(3)对数的换底公式：logqN=--—(〃>0,且awl,相>0,且加wl,N>0)

log,”a

推论：logb=——,logb-logc=logc

alog匕aa6a

(4)对数函数的定义：一般地，形如y=log。*(a为常数，a>0且a力1)的函数称为对数函数.

(5)对数函数的性质和图象：

底数a>\0<a<l

y%=1

y=loga%71,。).

图象

07w)J0

7=10^%

定义域：(0,+°0)

值域：R

图象过定点(1,0),即恒有logal=0

性质

当x>l时，恒有y>0；当x>l时，恒有y<0；

当0<%<1时，恒有y<0当0<x<l时，恒有y>0

在(0,+8)上是增函数在(0,+8)上是减函数

8、图象的变换

(1)平移变换(a>0,b>0)

函数/(乂+公+人的图象：可由函数f(x)的图象向左平移c个单位，向上平移b个单位得到

函数/(x-a)-b的图象：可由函数/(%)的图象向右平移c个单位，向下平移6个单位得到

口诀：上加下减，左加右减

(2)伸缩变换(3>1,2>1)

函数的图象：可由函数/。)图象的横坐标缩短为原来的工，纵坐标伸长为原来的4倍得到

3

函数:/©")的图象：可由函数f(X)图象的横坐标伸长为原来的3倍，纵坐标缩短为原来的彳导到

(3)对称变换“'

①函数/(-尤)的图象：可由函数/(X)的图象关于y轴对称得到

函数-/(久)的图象：可由函数f(x)的图象关于％轴对称得到

函数-/（-久）的图象：可由函数f（x）的图象关于原点对称得到

②函数八|X|）的图象：

可由函数/（*）图象的，乂<0部分删掉，乂>0部分左翻（关于y轴对称到另一边），尤>0部分保留得到

函数1"久）1的图象：

可由函数/（久）图象的，y<0部分上翻（关于x轴对称到另一边），y<0部分删掉，y>0部分保留得到

四、三角函数'三角变换

1、弧度制与角度制的转化

1°=—radx0.017rad

180

Irad=f—«57。18'

\7T/

2、三角函数的定义

yx

若角a的终边上存在一点P（%,y）,则sina=二.,cosa=-i===

y/x2+y2>Jx2+y2

3、象限角与轴线角

终边在第一象限的角（2之植+2女江）终边在第二象限角C+2kn,TC+2kn）

终边在第三象限角（7T+2版冷+2附终边在第四象限角（等+2/CTT,27r+2/CTT

终边在无轴上的角久=kn终边在y轴上的角％=5+々兀

4、同角三角函数的基本关系式

sin2e+cos。8=1,tan8=s/，

cos。

5、正弦、余弦的诱导公式

(1)sin(2kn+a)=sina,cosQkn+a)=cosa,tan(2kn+a)=tana

(2)sin(ji+a)=~sina,cos(ji+a)=—cosa,tan(ji+a)=tana

(3)sin(—or)=—sina,cos(—a)=cosa,tan{—a)=—tana

(4)sin(ji—a)=sina,cos(ji—a)=—cosa,tan(ji—a)=—tana

n

(5)sin——a=cosa,cos\a=sina,tan(--a)=cota

、2\2

(6)sin+a=cosa,cos+a=—sina,tan(]+a)=—cota

口诀：对于sin(a土等)或cos(a土等)，可使用“奇变偶不变，符号看象限”进行化简

6、和角与差角公式一,

sin(a±/?)=sinacos(3±cosasin

cos(a±/?)=cosacosP^.sinasinJ3

tan(a±0=tana土tan)

1不tanatan0

7、二倍角公式

sin2a=2sinacosa

cos2a=cos2a-sin2a=2cos2a-l=l-2sin2a

C2tana

tan2a=-------------

1-tana

7a1—cosa

变形（半角公式）：cos2^=ii詈，Sin2]=上箸tanz-=--------

214-cosa

8、和差化积、积化和差公式

口诀：□口之和仍口口，口□只差负赛赛，赛赛之和是赛口，赛赛只差变□赛

和差化积积化和差

cose+coscp=2cos号，cos/cosacosfi=|[cos(a+S)+cos{a—£)]

c.G+(p.0-(p

cos3—cos(p=—2sin------sin-----sinasinp=--[cos(a+夕)-cos^a—0)]

22

.8+(p0-(p

sind+sin(p=2Qsin----•cos-----sinacos^=-[sin(a+S)+sin(a—£)]

22

.0-(p

sind—sincp=2cos^^~■sin-----cosasin^=-[sin(a+/?)—sin(a—/7)]

2

9、辅助角公式

y=asinx+bcosx=Va2+b2sin(x+R)其中CQTIR=g

y=asinx+bcosx=7dz+b2cos(x—g)其中tazig=三

10、图象变换：将函数y=s讥%的图象变成函数丁=$抽(刃工+0)的图象

（1）先移动后伸缩

①将函数y=s讥％的图象向左（p>0（右（p<0）平移同个单位长度，得到函数、=+0）的图象

②将函数丁=s〃（％+0）的图象上所有点的横坐标伸长0）<1（缩短o）>l）到原来的一倍（纵坐标不变），

（D

得到函数y=s讥（a%+0）的图象

③将函数y=S讥（3%+0）的图象上所有点的纵坐标伸长4>1（缩短AVI）到原来的4倍（横坐标不变），

得到函数y=Asin^x+g）的图象

（2）先伸缩后移动

①函数y=s讥％的图象上所有点的横坐标伸长3<1（缩短o）>l）到原来的,倍（纵坐标不变），

CD

得到函数y=s讥3］的图象

②将函数y=s讥3%的图象向左甲>0（右（pV0）平移阿个单位长度，得到函数y=s讥（3%+9）的图象

co

③将函数y=s讥（3%+租）的图象上所有点的纵坐标伸长/>1（缩短AVI）到原来的4倍（横坐标不变），

得到函数y=sin（a）x+夕）的图象

11.正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质

攵y=sinxy=cosx>=tan%

卜卜

yy¥2

厂、红

图象/1\兀22兀

~0~07T4

定义域rw左4+^,A：wZ

RR\,42\

值域-1,1;[T/R

jr当x=2上万（ksZ）时，

当%=2左万+万（kGZ）时，

•Vmax=1；当X=2左万+»

Xnax=1；

最值（左eZ）时，Jmin=-l.既无最大值也无最小值

当尤二2左万一5（ZEZ）时，

Xnin=T•

周期性2712TT71

奇偶性奇函数偶函数奇函数

在2k/v--,2k7v+—

一22_

在［2左万一万,2左万］（kEZ）上是（7717*

（keZ）上是增函数；在krc----，左"+一

增函数；122；

单调性

在［2左肛2左右十句（左£Z）上是

在2k7v+—,2k7v+—（左eZ）上是增函数.

_22减函数.

（keZ）上是减函数.

%»+/,（）］（左

对称中心（左肛0）（左eZ）eZ）（年，°）（左eZ）

对称中心对称中心

对称性兀

对称轴%=左万十万（左GZ）

对称轴X二ki（kGZ）无对称轴

五、统计

1、样本均值与方差

均值：一个容量为九的样本，它们的变量值分别为%广上，……外则均值（平均数）元=1当产1=5£忆］

方差：一个容量为九的样本，它们的变量值分别为%1，上，……Xn,均值为元，

则方差s2=：£Ni（々一君2,标准差s=金犬1（々一元）2

2、百分位数,

计算一组几个数据的第p百分位数的步骤

①按从小到大排列原始数据.

②计算i=nxp%

若i不是整数，而大于i的比邻整数为/,则第p百分位数为第/项数据

若i是整数，则第p百分位数为第i项与第i+1项数据的平均数空

3、频率分布表、频率分布直方图及其相关的计算、-------

由频率分布表或频率分布直方图进行有关计算时，要掌握下列结论万一--厂

①小长方形的面积=组距X黑=频率厂厂

②各小长方形的面积之和等于1III」__U__.

ah组距

③券=频率，可变形为禁=样本量，样本量X频率=频数

样本量频率

④频率分布直方图中P百分位数的计算方法

如图，若贝物百分位落在区间（a㈤内，且「=。+竺『（i

4、一元性回归

（1）散点图:两组容量为n的样本，它们的变量值分别为小,X2,……/和％，为，……%，将点（%,％）在平面直角

坐

标系中描出得到的图称为散点图

（2）线性拟合：在散点图中，如果所有点（看,力）分布在某条直线附近，则可以用一条直线去拟合它们，由于不可能

所有点都在拟合曲线上，故用Q=-（匕阳+a）f来衡量所有点与直线的整体接近程度（即相关性强弱）

①所有点（%,％）距直线越近（竖直距离的平方和越小），误差Q最小，相关性越强，相关系数r最大，称该直线

方程为两组变量的线性回归方程

②所有点（久〃%）距直线越远（竖直距离的平方和越大），误差Q最大，相关性越弱，相关系数r最小，此时直线

方程无意义

（3）样本相关系数

对于两组样本变量孙％,样本相关系数r=I器।=漆小车"双，且|川<1,

222

gg-WjEk（yt-y）^tx?-x^iy?-y

|r|越大，两组样本变量的相关性越强''

|r|越小，两组样本变量的相关性越弱

\r\=0,两组样本变量不相关

\r\=1,此时所有的样本对应的点都会在线性回归方程的图象上，但仍然不能认为两组样本变量是函数关系（样

本只是总体的一部分，保证不了没被抽取到的样本对应的点也在回归方程的图象上）

（4）线性回归方程

两组容量为n的样本，它们的变量值分别为%,X2,久n和乃，刃，%,通常设线性回归方程为y=bx+a

,_（%一/（尢-9）_Id=1xiyt-nxy

2a=y—bx

{x