福建省宁德市古田县某中学2024-2025学年高三第一次模拟考试数学试卷（含答案解析）

福建省宁德市古田县第一中学2024-2025学年高三第一次模拟

考试数学试卷

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

1.设全集U=R,集合A={x|d+6x+5<0},8={x[x<-3},则4仆(6/)为().

A.(-3,-1)B.[-3,5)C.[—3,-1)D.0

2.函数/（X）在（-8,+◎单调递减，且为奇函数，若/（1）=一1,贝|满足-1</（无一2）41的了的

取值范围是.

A.[-2,2]B.[-1,1]C.[0,4]D.[1,3]

3.命题“\^€艮/+2了+2\0”的否定为()

A.\/xeR,x2+2x+2<0B.不存在xeR,x2+2x+2<0

C.3x0GR,XQ+2x0+2>0D.3x0GR,+2x0+2<0

/?=1043

4.设。=log,0.3,§1°-,c=0.4°-,则a,b,c的大小关系为()

2

A.a<b<cB.c>a>bC.b<c<aD.a<c<b

abxx-a

5.定义=ad-bc,若关于x的不等式c>2在R上恒成立，则实数。的取值范

ca2x

围为（）

A.1臼B.］一臼C."JD.3

—,+00

2

6.若两个正实数x,y满足4x+y=2冲，且不等式x+-根有解，则实数加的取值范

围是（）

A.{m|-l<m<2}B.{m|根v—l或机>2}

C.{m|-2<m<1}D.{mlm<—2^m>l]

7.甲、乙、丙、丁四位同学在玩一个猜数字游戏，甲、乙、丙共同写出三个集合:

A={%|0<Ax<2},B={x|-3<x<5},C=[x0<x<11,然后他们三人各用一句话来正确

描述“A”表示的数字，并让丁同学猜出该数字，以下是甲、乙、丙三位同学的描述，甲:

此数为小于5的正整数；乙：xeB是xeA的必要不充分条件；丙：xeC是尤eA的充分不

必要条件.则“A”表示的数字是（）

A.3或4B.2或3C.1或2D.1或3

xJnx2—x2Inx1〉1

8.若对任意的4,%2G(m,+oo),且石<则m的取值范围是（)

%一马

1

B.一,+勿C.[e,+oo)D.[e2,+coj

e

二、多选题

9.已知命题P：a>%2,命题（7：BxeR,x2+4x+a=0,若命题P与命

题q一真一假，则实数a的可能值为（）

7

A.5B.-C.A/17D.4

10.对于集合M,N,我们把属于集合M但不属于集合N的元素组成的集合叫做集合M与

N的“差集”，记作M-N,即=且xgN}；把集合M与N中所有不属于

McN的元素组成的集合叫做集合M与N的“对称差集”，记作即

M^N={x\xeM[_jN,且尤eMCN}.下列四个选项中，正确的有（）

A.若M-N=M,则AfcN=0B.若M—N=0,则M=N

c.MAN=（MUN）—（MPIN）D.AMN=（M-N）U（N-M）

11.设函数/（幻=2/_3加+1,则（）

A.当。>1时，fO）有三个零点

B.当a<0时，尤=0是f（x）的极大值点

C.存在a,b,使得x=b为曲线y=/（x）的对称轴

D.存在a,使得点为曲线>=/（x）的对称中心

三、填空题

12.写出一个定义域不为R的奇函数〃x）=.

13.已知不等式依之+5x+6>0的解集是{x|2<x<3},贝U不等式历，一5无+。<0的解集是,

14.已知因表示不超过了的最大整数.例如[2.1]=2,[-1.3]=-2,[0]=0,若

A={y|y=尤-田},B^{y\0<y<m],才A是yeB的充分不必要条件，则加的取值范围

试卷第2页，共4页

是

四、解答题

15.已知集合A={乂一〃叱尤一2V相},B={x|x4-2或尤24},R为实数集.

（1）若aU3=R，求实数加的取值范围；

⑵若“xeA”是的充分不必要条件，且A/0,求实数机的取值范围.

2

16.已知函数〃到=。-瓦日.

⑴求〃。）；

（2）探究/（x）的单调性，并用函数的单调性定义证明你的结论；

（3）若〃x）奇函数，求满足〃依）＜/（2）的x的取值范围.

17.己知函数=-依+4.

⑴若x=l是函数/（X）的极值点，求“X）在处的切线方程.

⑵若。＞0,求在区间［0,2］上最大值.

18.为发展空间互联网，抢占6G技术制高点，某企业计划加大对空间卫星网络研发的投入.

据了解，该企业研发部原有100人，年人均投入。（。＞0）万元，现把研发部人员分成两

类：技术人员和研发人员，其中技术人员有无名（xeN+且45VXV75）,调整后研发人员

的年人均投入增加4x%,技术人员的年人均投入为彳川-||1万元.

（1）要使调整后的研发人员的年总投入不低于调整前的100人的年总投入，则调整后的技术

人员最多有多少人？

（2）是否存在实数〃z,同时满足两个条件：①技术人员的年人均投入始终不减少；②调整后

研发人员的年总投入始终不低于调整后技术人员的年总投入？若存在，求出机的值；若不

存在，说明理由.

19.约数，又称因数.它的定义如下：若整数〃除以整数〃，（根工0）除得的商正好是整数而没有

余数，我们就称。为机的倍数，称加为。的约数.设正整数。共有七个正约数，即为

⑴当左=4时，若正整数〃的左个正约数构成等比数列，请写出一个〃的值;

⑵当小4时,若%—…,%—/-1构成等比数歹U，求正整数。；

(3)记A=4%+/的+…+，求证：A<a2.

试卷第4页，共4页

参考答案:

题号12345678910

答案CDDDCBCDACACD

题号11

答案AD

1.C

【分析】根据一元二次不等式求集合4再根据集合间的运算求解.

2

【详解】由题意可得：A={.Y|X+6^+5<0}={^|-5<X<-1),6[；B={X|^>-3},

则AI0/)=[-3,-1).

故选：C.

2.D

【详解】〃x)是奇函数，故/(-!)=—/(1)=1；又/(x)是减函数，-1W/(X-2)V1,

即/2)</(-1)则有—1VX-2V1,mi<x<3,故选D.

3.D

【分析】通过改量词，否结论，即可容易求得结果.

【详解】命题“VxeR,/+2x+2N0”的否定为"叫eR,君+2%+2<0”.

故选：D.

4.D

【分析】根据指数以及对数的单调性即可求解.

【详解】因为k)g20.3<log21=0,所以。<0,因为Iog1°.4=-log20.4=log21>log22=：l,

22

所以>>1.

因为0<0.4°3<0.4°=1,所以0<c<l,所以。<c<6.

故选：D

5.C

,ab,xx—a一。

【详解】由=ad-bc,可得>2等价于必一2(%一〃)>2,即2Q>—f+2%+2,

ca2x

3

因为—X2+2x+2=—(x—I)2+3W3,所以2a>3,所以a〉^,

所以实数。的取值范围为

答案第1页，共11页

故选：c.

6.B

【分析】根据题意，利用基本不等式求得X+V的最小值，把不等式X+一根有解，转

44

化为不等式/-机＞2,即可求解.

14

【详解】由两个正实数x，y满足4%+＞=2◎，得—+—=2,

xy

2+2f5

则>—=2,

4~2

4xy

当且仅当——二六，即y=4%=4时取等号，

y4x

又由不等式x+-机有解，可得加2_机＞2,解得机＜-1或机＞2,

4

所以实数机的取值范围为{加加v-1或相＞2}.

故选：B.

7.C

【分析】根据此数为小于5的正整数得到A=[xO＜x＜|j,再推出C是A的真子集，A是

B的真子集，从而得到不等式，求出Ae|,3）得到答案.

【详解】因为此数为小于5的正整数，所以A={x[O＜Ax＜2}=，x[o＜x＜£，，

.因为xe8是xeA的必要不充分条件，xwC是尤eA的充分不必要条件，

所以C是A的真子集，A是8的真子集，

所以2且2解2得2;VA＜3,所以“A”表示的数字是1或2,故C正确.

AA35

故选：C.

8.D

x,In%,-x,Inx,“Inx,1Inx1

【分析】首先得出根＞0,再将^--一-一L＞1整理为一--一＜—L-一，构造函数

X

X]-x2尤22尤1X]

/（x）=-其中xe（0,+8）,当机＜玉＜%时，7（-^2）＜/（%1）＞即在（加,+»）,/（X）单

调递减，求出（（无），分析得出f（x）减区间，即可得出机的取值范围.

【详解】由题可知，m＞0,

答案第2页，共11页

x.Inx、-x.Inx,

因为」~~~L>1,且0<%<9，

xx-x2

所以x11nx2-马山花<x1-x2,两边同时除以％吃得，

Inx、Inx11Inx、1Inx1

---------<------,即--------<--------,

x2石x2国x2x2再石

设函数/(尤)=皿一L其中xe(O,+s),

XX

因为当机<%%时，/(%)</(不)，

所以/(%)在(m,w)单调递减，

因为(。)=江史，

X

令/(x)=0,x=e2,

当无40,e2)时，f'(x)>0,即f(x)在(0,e2)上单调递增，

当xe(e2,+e)时，f'(x)<0,即/(x)在『2,+8)上单调递减,

所以加2en,

故选：D.

9.AC

【分析】考虑夕真9假和P假4真两种情况，分别求解，再逐项判断即可.

【详解】如果p真乡假，对于4之一，有〃之3,对于玉：,X2+4X+«=0为假，

则V兀,X2+4X+<7^0为真，即A=42—4O<0,a>4,所以当p为真q为假时，a>4；

如果P为假q为真，贝,使得aV无2成立，即a<3,

q为真，则A=42-4aN0,aW4,所以。<3；

综上，〃和a一真一假，则。<3或〃>4,

对于A,5>4,可以；对于B,3<-<4,不可以；对于C,717>716=4,可以；对

于D,不可以；

故选：AC.

10.ACD

【分析】根据集合的新定义得到A正确，当"UN时，M-N=0,B错误，根据定义知

C正确，画出集合图形知D正确，得到答案.

【详解】若M—N=M,则VcN=0,A正确；

答案第3页，共11页

当时，M-N=0,B错误；

MNN={x\x&M{]N,且x£MnN}=("UN)-(MnN),C正确;

MNV和(M-N)U(N-M)均表示集合中阴影部分，D正确.

故选：ACD.

11.AD

【分析】A选项，先分析出函数的极值点为x=O,x=a,根据零点存在定理和极值的符号判

断出了(x)在(-1,0),(0,。),(a,2a)上各有一个零点；B选项，根据极值和导函数符号的关系进

行分析；C选项，假设存在这样的。力，使得x=b为/'(x)的对称轴，则〃x)=/(26-x)为

恒等式，据此计算判断；D选项，若存在这样的。，使得(L3-3“)为/'(x)的对称中心，则

/(x)+f(2-^)=6-6a,据此进行计算判断，亦可利用拐点结论直接求解.

【详解】A选项，(x)=6f-6ax=6x(尤-a),由于

故xe(-力,0)+力)时f\x)>0,故f(x)在(-oo,0),(a,+00)上单调递增，

尤e(0,a)时，/'(尤)<0,/(x)单调递减，

则于(X)在％=0处取到极大值，在x=a处取到极小值，

由/(0)=1>0,f(a)=l-a3<0,则〃0)/(a)<。，

根据零点存在定理f(x)在(0,a)上有一个零点，

又/(一1)=一l-3a<0,/(2a)=4a3+l>0,则/(—1)/(0)<0"(a)f(2a)<0,

则/(x)在(TO),32。)上各有一个零点，于是。>1时，/(x)有三个零点，A选项正确；

B选项，f'(x)=6x(x-a),。<0时，xe(a,0),/,(x)<0,/(x)单调递减，

xe(0,+8)时fr(x)>0,f(x)单调递增，

此时在x=0处取到极小值，B选项错误；

C选项，假设存在这样的心使得x=b为"x)的对称轴，

答案第4页，共11页

即存在这样的a，b使得/(x)=fQb-尤),

即2元3_3o?+1=2(26-x)3-3a(26—尤了+1,

根据二项式定理，等式右边(26-x)3展开式含有d的项为2C；(2»°(T)3=-2尤3,

于是等式左右两边/的系数都不相等，原等式不可能恒成立，

于是不存在这样的。涉，使得x=b为/(x)的对称轴，C选项错误；

D选项，

方法一：利用对称中心的表达式化简

f(l)=3-3a,若存在这样的"，使得(1,3-3a)为/(x)的对称中心，

则/■(x)+/(2-x)=6-6a,事实上，

/(%)+/(2-x)=2x3-3ax2+1+2(2-%)3-3a(2-x)2+1=(12-6a)x2+(12G-24)x+18—12。，

于是6-6a=(12-6a)/+(12a-24)x+18-12a

12-6a=0

即12a-24=0,解得a=2,即存在a=2使得(1J⑴)是f(x)的对称中心，D选项正确.

18—12〃=6—6〃

方法二：直接利用拐点结论

任何三次函数都有对称中心，对称中心的横坐标是二阶导数的零点，

f(x)=2x3-3ax2+1,/'(%)=6x2-6ax,f,r(x)=12x-6a,

由广(x)=0ox=］,于是该三次函数的对称中心为［，/切，

由题意(14⑴)也是对称中心，故］=lo“=2,

即存在a=2使得(11(D)是的对称中心，D选项正确.

故选：AD

【点睛】结论点睛：⑴/(X)的对称轴为x=bof(x)=1/(»-刈；(2)/(x)关于(。力)对

称of(x)+f(2a-x)=26；(3)任何三次函数/(x)=加+加+cx+d都有对称中心，对称

中心是三次函数的拐点，对称中心的横坐标是/5)=0的解，即卜是三次函

数的对称中心

答案第5页，共11页

12.-（答案不唯一）

X

【分析】根据题意，可举例函数f（x）=3结合函数奇偶性的定义，即可求解.

【详解】令/（久）=[，可得函数的定义域为（f，0）U（0,+8）,关于原点对称，

且满足〃-%）=」1-=-12=尤），所以函数/（久）=1工为定义域不为R的奇函数.

-xXx

故答案为：-（答案不唯一）

X

13.上卜弓或…雪

22

（分析]根据不等式ax+5x+b>0的解集是{x12<x<3},得至IJ2和3是方程ax+5X+b=0

的两个根，利用韦达定理列方程解得“，b,然后代入不等式法2-5x+a<0,解不等式即

可.

【详解】因为不等式g2+5彳+方>0的解集是{x[2<x<3},

所以2和3是方程ox?+5%+〃=0的两个根，

5b

所以2+3=_巳，2x3=-,解得Q=-1,〃=_6,

aa

代入区2一5%+。v0,W—6x2—5x—1<0,

即6x?+5尤+l>0,解得或尤〉一；.

故答案为:“卜或

14.

【分析】由题可得4={引y=x-[x]}=[0,l）,然后利用充分不必要条件的定义及集合的包含

关系即求.

【详解】：国表示不超过X的最大整数，

[x]<x,0<x-[x]<l,即A={y|y=x-[x]}=[0,l）,

又yiA是ywB的充分不必要条件，B={y|O<y</77},

：.A^B,故根21,即机的取值范围是

故答案为：[L”）.

答案第6页，共11页

15.⑴[4,y)

(2)[0,2)

【分析】⑴确定A={x|-m+2VxWm+2},根据AUB=R得到+一，解得答案.

(2)确定A是a8的非空真子集，得到-2〈-加+2«M+2<4,解得答案.

【详解】(1)由不等式一切解得一冽+2VXV7〃+2,则A={x|—根+24x4m+2},

(,[—in+2V—2

5={xxV-2或x24},AUB=R，贝U,,,解得加24,

11[m+2>4

即实数加的取值范围为[4,心).

(2)B={x|x4-2或％24},”={尤|-2<x<4},

若“尤eA”是“x£43”的充分不必要条件,则A是48的真子集，

又由题意知A#0,所以人是"8的非空真子集，一2<-"?+247九+2<4,

解得0<加<2,所以实数机的取值范围为[0,2).

16.(l)a-l

(2)f(x)在R上单调递增，证明见解析

(3)(f2)

【分析】(1)根据函数/(尤)的解析式，代入运算，即可求解.

(2)根据题意，利用函数的单调性的定义和判定方法，即可求解；

(3)由“X)为奇函数，列出方程求得。=1,把不等式转化为〃x)<〃2),结合函数〃元)

的单调性，即可求解.

2?

【详解】(1)解：由函数y(x)=。一汴，可得〃0)=。一药=。一1.

(2)解：函数/'(x)在R上单调递增；

答案第7页，共11页

证明如下：因为函数/'(X)的定义域为R,任取％,尤2eR,且王<马,

贝U/(xJ_/(X2)=a——-—一a+二一=2(2"一2刃

2"+12*+1⑵+1)(2*+1)

因为函数>=2,在R上为单调递增函数，且占<々，

所以0<2为<2*,且2'，+1>0,2"+1>0,所以(2：：)(；11)<0，即,(芯)</(9)，

所以，函数f(x)在R上单调递增.

(3)解：因为函数”X)为奇函数，所以〃T)=-“X),即a一域\=_°+于二,

222(2X+1)

即2a=---------1--------二2，所以a=1,

2-x+l2X+12X+1

又由〃依)<〃2),即为〃尤)<〃2),

又因为函数/(x)为单调递增函数，所以x<2,所以x的取值范围为(-82).

17.(1)、=5

(2)答案见解析

【分析】(1)根据函数的导数在极值点出的函数值为零，求得々的值，继而可求得点的坐标,

及切线的斜率，即可求得切线方程；

(2)根据函数的单调性，分类讨论比较〃0)=。和/(2)=8-a的大小，即可求得.

【详解】(1)f'(x)^3x2-a,

又x=l是函数的极值点，

/，(1)=3-a=0,即a=3

/(x)=x3-3x+3,x)=3x2-3

r(-i)=o

在(-1,“-功处的切线方程为y-5=0(x+l),即y=5,

所以〃尤)在㈠"(-功处的切线方程是>=5

(2)/'(x)=3f-a,令尸(尤)=0,得了=土口,

答案第8页，共11页

”(无)在网鼻单调递减，在宙,+8单调递增

而了⑼“，〃2)=8-。

①当(728—即a24时，f(^)mx=a

②当0<a<8-a,即0<a<4时，111ax=8-a

综上，当aN4时，/(x)1mx=";

当0<a<4时，〃x)1rax=8-a

18.(1)75A

⑵存在，7

【分析】(1)由题意列不等式(100-尤)U+(4x)%]aZ100a,(a>0),求解即可；

(2)由技术人员的年人均投入始终不减少得机-||[上。，调整后研发人员的年总投入始

终不低于调整后技术人员的年总投入得(100-x)[l+(4x)%]a,综合得

2Y100x

三+14"7wW+卷+3,根据X的范围由不等式恒成立求得，力值.

25元25

【详解】(1)依题意可得调整后研发人员人数为100-X,年人均投入为(l+4x%)a万元，

则(100-x)[l+(4x)%]o>100n,(a>0),

解得0WxW75,

又45VxW75,xeN+,所以调整后的技术人员的人数最多75人；

(2)假设存在实数机满足条件.

由技术人员年人均投入不减少得a\m--\>a,解得+

由研发人员的年总投入始终不低于技术人员的年总投入有

(100-x)[l+(4x)%]6i>加一卷)〃，

两边同除以。龙得(竺1][1+卷]之根-三，

Vx八25J25

整理得相工图+二+3,

x25

答案第9页，共11页

2%1/100x.

故有一+l<m<——+—+3,

25x25

因为?争3川呼100或X+3=7,当且仅当一。时等号成立，所以隆7,

25

9_r

又因为45VxV75,xeN+,所以当工=75时，天+1取得最大值7,所以加27,

/.7<m<7,即存在这样的相满足条件，其值为7.

19.(1)8

⑵a=$T,仅")

(3)证明见解析

【分析】(I)正整数。的4个正约数构成等比数列，贝打,2,4,8满足题意，即。=8；

aa

(2)由题意可知。l=L以=〃，以一l=—，W—2=一，结合。2—q，。3—。2,…，W—ak-l可推出〃3是

d?C^3

全平方数，进而可得。3="2，由止匕亘T知%—%，。3—。2，，，,，〃2一以一I/J

〃2—I—〃2'…2,即可求得〃；

(3)由题意知4以=。,%以_1…,卬％1…,。4