2024年人教版初中九年级数学下册同步讲义：相似三角形的性质及应用

第6课相似三角形的性质及应用

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课程标准

1、探索相似三角形的性质，能运用性质进行有关计算；

2、通过典型实例认识现实生活中物体的相似，能运用图形相似的知识解决一些简单的实际问题（如何把

实际问题抽象为数学问题）.

施刘识精讲

知识点。相似三角形的性质

相似三角形的性质及应用

1.相似三角形的对应角相簧，对应边的比相笠.

2.相似三角形中的重要线段的比等于相似比.

相似三角形对应高,对应中线,对应角平分线的比都等于相似比.

要点诠释：

要特别注意“对应”两个字，在应用时，要注意找准对应线段.

3.相似三角形周长的比等于相似比

MBCS.B&，则半=半=与=匕

A'B'B'CC'A'

由比例性质可得：一+&C+C4=kA'B'+kBC+kC'AZ

A'B'+B'C'+C'A'A'B'+B'C'+C'A'

AJ

Bc1

4.相似三角形面积的比等于相似比的平方

在48csM'B'C'，则处=匹_=£1;

i=匕分别作出MB。与AA'BO的高AD和©D，则

A'B'B'C1CAf'

c-BCAD-kB'C'k-AD'

)△ABC—_JI________—2_____________—e

S晨F。-B'C'AD'-B'C'AD'

22

释：相似三角形的性质是通过比例线段的性质推证出来

的.

'知识点02相似三角形的应用

1.测量高度

测量不能到达顶部的物体的高度，通常使用“在同一时刻物高与影长的比例相等”的原理解决.

相似三角形的性质及应用

要点诠释：测量旗杆的高度的几种方法：

平面镜测量法影子测量法手臂测量法标杆测量法

2.测量距离

测量不能直接到达的两点间的距离，常构造如下两种相似三角形求解。

1.如甲图所示，通常可先测量图中的线段DC、BD、CE的距离（长度），根据相似三角形的性质，求出

AB的长.

2.如乙图所示，可先测AC、DC及DE的长，再根据相似三角形的性质计算AB的长.

要点诠释:

1.比例尺：表示图上距离比实地距离缩小的程度，比例尺=图上距离/实际距离;

2.太阳离我们非常遥远，因此可以把太阳光近似看成平行光线.在同一时刻，两物体影子之比等于

其对应高的比;

3.视点：观察事物的着眼点（一般指观察者眼睛的位置）

4.仰（俯）角：观察者向上（下）看时，视线与水平方向的夹角.

U能力拓展

考法01相似三角形的性质

【典例1］如图，在口ABCD中，点E在边BC上，点F在边AD的延长线上，且DF=BE,EF与CD交于点

G.

(1)求证：BD//EF；

(2)若理_=2,BE=4,求EC的长.

【思路点拨】（1）根据平行四边的判定与性质，可得答案；

（2）根据相似三角形的判定与性质，可得答案.

【答案】B.

【解析】（1）证明：：四边形ABCD是平行四边形，

；.AD〃BC.

VDF=BE,

.•.四边形BEFD是平行四边形，

；.BD〃EF；

（2）:四边形BEFD是平行四边形，

；.DF=BE=4.

VDF/7EC,

.♦.△DFGsCEG,

•DG,DF

"CGCE）

x3=6.

...CE=DF»CG=4

DG2

【总结升华】本题考查了相似三角形的判定与性质，利用了平行四边形的判定与性质，相似三角形的判

定与性质.

【即学即练11在锐角4ABC中，AD,CE分别为BC,AB边上的高，4ABC和4BDE的面积分别等于18和2,

DE=2,求AC边上的高.

A

【答案】过点B做BFXAC,垂足为点F,

VAD,CE分别为BC,AB边上的高，

AZADB=ZCEB=90°,

又；/B=NB,

ARtAADB^RtACEB,

BDABBDBE

/.—=——，即m——=—,

BECBABCB

且/B=NB,

AEBD^ACBA,

.SMED/呵：2」

,•S-CAUCJ1891

••D•E—―,

AC3

又；DE=2,

/.AC=6,

••♦Sx；Ad8，，BF=6.

A

A

C

D

【典例2】己知：如图,在ZkABC与4CAD中,DA〃BC,CD与AB相交于E点,

且AE：EB=1：2,EF〃BC交AC于F点，Z\ADE的面积为1,求4BCE和4AEF的面积.

【答案与解析】；DA〃BC,

.,.△ADE^ABCE.

22

••SAADESABCE-AE;BE.

VAE：BE=1:2,

••SAADE:S/\BCE=1：4•

•SAADE-1,

••SABCE=4.

,**SAABC:S/\BCE二AB:BE=3:2,

••SAABC=6.

VEF//BC,

AAEF^AABC.

VAE:AB=1:3,

22

**•SAAEFSAABC-AE:AB—1:9.

._62

•・SAAEF—---•

93

【总结升华】注意，同底（或等底）三角形的面积比等于该底上的高的比；同高（或等高）三角形的面积

比等于对应底边的比.当两个三角形相似时，它们的面积比等于对应线段比的平方，即相似比的平方.

【即学即练2】如图，已知MBC中，＜8=5,5C-3.0C=4,点尸在乂。上,(与

点4。不重合)，Q点在3。上.

(1)当NQC的面积与四边形以刁Q的面积相等时，求。尸的长.

(2)当加5QC的周长与四边形R1BQ的周长相等时，求。尸的长.

【答案】(1)^iiPCQ=S四114加0B

^HfCQ"

■.•PQHAB

.­.ECQsMCR

..独=(丐2

SMOSCA

.CP_yf2

"CA~~

：.CP~2-J2-

(2)•••APQC的周长与四边形R43Q的周长相等.

CP+CQ+PA+AB+BQ

•.CP+CQ=^(AC+BC+AB')=6,

rPQHAB

®CQsMCB

CP_CQ

~AC~CB

CP_CP+CQ

~AC~AC+BC

CP__=6_

4_7

考法02相似三角形的应用

【典例3】如图，直立在B处的标杆AB=2.4m,直立在F处的观测者从E处看到标杆顶A、树顶C在同一

条直线上（点F,B,D也在同一条直线上）.己知BD=8m,FB=2.5m,人高EF=1.5m,求树高CD.

【答案与解析】解：过E作EHLCD交CD于H点，交AB于点G,如下图所示:

由已知得，EF±FD,AB±FD,CD±FD,

EH±CD,EH±AB,

四边形EFDH为矩形，

二EF=GB=DH=L5米，EG=FB=2.5米，GH=BD=8米，

AG=AB-GB=2.4-1.5=0.9米，

EH±CD,EH±AB,

AGIICH,

...△AEG-ACEH,

AG=EG

CH西

-0.9_2.5

-CH-2.5+8；

解得：CH=3.78米，

DC=CH+DH=3.78+1.5=5.28米.

答：故树高DC为5.2米.

【总结升华】本题考查了相似三角形在实际问题中的运用，关键是正确作出辅助线，构造出相似三角形.

【即学即练3】已知：如图，阳光通过窗口照射到室内，在地面上留下1.5m宽的亮区DE.亮区一边到窗

下的墙脚距离CE=1.2m,窗口高AB=1.8m,求窗口底边离地面的高度BC.

【答案】作EFLDC交AD于F.

VAD^BE,：.AFDE=£BEC

又•：4DEF=4ECB=90。，

:•ADEFSAECB，

.DEEF

•-----=----.

ECCB

VAB/7EF,AD〃BE,

四边形ABEF是平行四边形,

.\EF=AB=1.8m.

3处空=理』却

DE1.5

【典例4】如图，正方形ABCBi中，AB=1.AB与直线1的夹角为30。，延长CB1交直线1于点Ai,作正

方形A1B1C1B2,延长C1B2交直线1于点A2,作正方形A2B2c2B3,延长C2B3交直线1于点A3,作正方形

【思路点拨】本题考查相似三角形的判定与性质以及正方形的性质，根据已知条件得到AAi=2,

同理：A2A3=2（遂）2,A3A4=2（V3）\从而找出规律答案即可求出.

【答案与解析】2（加）2。14

解：：四边形ABCBI是正方形,

AB=ABi,ABIICBi,

/.ABIIAiC,

・,.ZCAiA=30°,

AIBI=A/3»AAI=2,

.e*AIB2=AIB1=^/3,

AiA2—

同理：A2A3=2（遂）2

A3A4=2（V3）3

'''AnAn+l=2（＞/"§）”，

.A2014A2015=2（V3）2014,

故答案为：2（5）2014.

【总结升华】本题是相似性质的运用与找规律相结合的一道题，要注意从特殊到一般形式的变换规律.

羔分层提分

题组A基础过关练

1.如果一个直角三角形的两条边长分别是6和8,另一个与它相似的直角三角形边长分别是3和4及x,

那么x的值（）

A.只有1个B.可以有2个C.有2个以上，但有限D.有无数个

【答案】B.

【解析】x可能是斜边，也可能是直角边.

2.若平行四边形ABCD中，AB=10,AD=6,E是AD的中点，在AB上取一点F,使△CBFs/\CDE,则BF的

长为（）.

A.1.8B.5C.6或4D.8或2

【答案】A.

3.己知△ABCS/IDEF,若aABC与4DEF的相似比为之，则AABC与4DEF对应中线的比为（）

4

A.工B.-1C.2D.也

43169

【答案】A.

【解析】VAABC^ADEF,AABC与4DEF的相似比为S,/.△ABC与4DEF对应中线的比为

44

4.如图G是AABC的重心，直线/过A点与BC平行.若直线CG分别与AB、/交于D、E两点，直线BG与

AC交于F点，则4AED的面积：四边形ADGF的面积=()

A.1：2B.2：1C.2：3D.3：2

【答案】D.

5.如图，四边形ABCD是平行四边形，点E在BA的延长线上,点F在BC的延长线上，连接EF,分别交

AD,CD于点G,H,则下列结论错误的是()

AEA-EGnEG-AGpAB—BC

BEEFGHGDAECF0・翻

【答案】C.

【解析】•••四边形ABCD是平行四边形，

；.AD〃BF,BE〃DC,AD=BC,

•••E“AE-G,--EG'AG,-H-F--FC--CF,

BE-EFGH-GDEH-BC-AD

故选c.

6.如图，在OABCD中，E为CD上一点，DE：CE=2：3,连结AE、BE、BD,且AE、BD交于点F,则

SADEF：SAEBF：SAABF等于（）

A.4：10：25B.4：9：25C.2：3：5D.2：5：25

【答案】A.

DEDF2

【解析】OVBCD中，AB〃DC,ADEF^AABF,

_（DE]_4S^FF_DF_2_4

豆罚=25-^7=5F=5=i0

（△DEF与AEBF等高，面积比等于对应底边的比），所以答案选A.

题组B能力提升练

7.将一副三角板按图叠放，则AAOB与ADOC的面积之比等于.

D

BC

【答案】1：3.

【解析】VZABC=90°,ZDCB=90°

；.AB〃CD,.,.Z0CD=ZA,ZD=ZAB0,

.".△AOB^ACOD；又；AB：CD=BC：CD=1：遂

AAOB与ZXDOC的面积之比等于1：3.

8.如图，ZXABC中，点D在边AB上，满足NADC=NACB,若AC=2,AD=1,贝i|DB=.

【答案】3.

ACADAC222

【解析】VZADC=ZACB,ZDAC=ZBAC,AAACD^AABC,/.——=——,AB=----=——=4,

ABACAD1

；.BD=AB-AD=4T=3.

9.如图，在APAB中，M、N是AB上两点，且APilN是等边三角形，△BPMs^PAN,则NAPB的度数是

【答案】120。.

【解析】ABPM^APAN,NBPM=/A,

△PMN是等边三角形，/A+NAPN=60°,即NAPN+/BPM=60°,

：.NAPB=/BPM+/MPN+NAPN=60°+60°=120°.

10.若aABC与ADEF相似且面积之比为25：16,则AABC与4DEF的周长之比为

【答案】5：4.

【解析】:△ABC与4DEF相似且面积之比为25：16,

.,.△ABC与4DEF的相似比为5：4；

.二△ABC与aDEF的周长之比为5：4.

11.如图，丁轩同学在晚上由路灯AC走向路灯BD,当他走到点P时，发现身后他影子的顶部刚好接触到

路灯AC的底部，当他向前再步行20m到达Q点时，发现身前他影子的顶部刚好接触到路灯BD的底部，

已知丁轩同学的身高是L5m,两个路灯的高度都是9m,则两路灯之间的距离是

【答案】30m.

12.如图，锐角4ABC中,AD,CE分别为BC,AB边上的高，AABC和4BDE的面积分别等于18和2,DE=2,

则AC边上的高为.

【答案】6.

【解析】；AD,CE分别为BC,AB边上的高，

ZADB=ZBEC=90°,ZABD=ZEBC

ARtAABD^RtACBE

.ABBD

••一,

BCBE

.'.△ABC^ADBE

•..相似三角形面积比为相似比的平方,

.•/四］=更=9,.•i=3,

\DE）2DE

；.AC=3DE=3X2=6

h=2S_AABC/AC=2X18/6=6

即AC边上的高是6.

题组C培优拔尖练

13.为了测量图（1）和图（2）中的树高，在同一时刻某人进行了如下操作：

图（1）：测得竹竿CD的长为0.8米，其影CE长1米，树影AE长2.4米.

图（2）：测得落在地面的树影长2.8米，落在墙上的树影高1.2米，请问图（1）和图（2）中的树高

各是多少？

【解析】（1）VACDE^AABE,A—=——，

AEAB

又竹竿CD的长为0.8米，其影CE长1米，树影AE长2.4米,

AB=L92米.即图1的树高为1.92米.

（2）设墙上的影高落在地面上时的长度为x,树高为h,

:竹竿CD的长为0.8米，其影CE长1米，

•J_=二

"0.81.2

解得x=l.5（m）,

...树的影长为：1.5+2.8=4.3(m),

,J_=43

解得h=3.44(m).

14.某车库出口处设置有"两段式栏杆”，点A是栏杆转动的支点，点E是栏杆两段的连接点，当车辆经过时,

栏杆AEF升起后的位置如图1所示（图2为其几何图形）.其中AB±BC,DC±BC,EFIIBC,ZEAB=150°,

AB=AE=1.2m,BC=2.4m.

（1）求图2中点E到地面的高度（即EH的长.%=1.73,结果精确到0.01m,栏杆宽度忽略不计）；

（2）若一辆厢式货车的宽度和高度均为2m,这辆车能否驶入该车库？请说明理由.

【解析】解：（1）如图，作AMLEH于点M,交CD于点N,

则四边形ABHM和MHCN都是矩形，

ZEAB=150°,ZEAM=60°,

又AB=AE=1.2米，

EM=0.6后0.6x1.73=1.038=1.04（米），

EH=2.24（米）；

（2）如图，在AE上取一点P,过点P分别作BC,CD的垂线，垂足分别是Q,R,PR交EH于点K,不

妨设PQ=2米，

下面计算PR是否小于2米；