广东省深圳某中学2024-2025学年高一年级上册第一阶段考试数学试题（含答案解析）

广东省深圳实验学校高中部2024-2025学年高一上学期第一阶

段考试数学试题

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

1.下列关系中，正确的是()

3

A.-2eN+B.兀gQC.OeND.-eZ

2.命题“*e(0,+8),使得x?+1<2x”的否定是()

A.Vxe(0,+oo),总有x?+l22xB.Vxe(0,+oo),总有尤？+1<2x

C.玉e(0,+8),使得x?+122xD.*e(0,+co),使得x?+122x

3.已知全集。=!<,集合/={x|x<-l或x>4},8={尤|-24尤〈3},那么阴影部分表示的集

合为（）

A.{%|-2<x<4}B.{x|-l<x<3}C.{x|x<3x>4}D.{x\-2<x<4]

4.关于x的不等式胃<°的解集为林若OeM,则实数加的取值范围是（

A.m<0B.m>0

C.加。0D.不确定

5.函数》=「x+万五的值域为（）

A.48,；B.[0,+oo）1

C.—,+ooD.5,+00

2

6.如图所示，圆柱形水槽内放了一个圆柱形烧杯，向放在水槽底部的烧杯注水（流量一定）,

注满烧杯后，继续注水，直至注满水槽，水槽中水面上升高度力与注水时间t之间的函数关

系，大致是（）

试卷第1页，共4页

7.已知函数f（x）=dmx、mx+l的定义域是R，则机的取值范围是（）

A.0<m<4B.0<m<4C.m>4D.0<m<4

8.如果对于任意实数x,[x]表示不超过x的最大整数，例如㈤=3,[0.6]=0,[-1.6]=-2,

那么“卜一^<i”是“国=[力”的（）.

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

二、多选题

9.若a>b>c>d,则下列不等式恒成立的是（）

A.a-c>d-bB.a+c>b+dC.ac>bdD.ad>be

10.下列各组函数是同一个函数的是（）

A./(x)=，一21一1与g«)=/2一2,一1

试卷第2页，共4页

B./(x)=x°与g(x)=l

1Y

c./(尤)=—与g(x)=一

D./(x)=Jx+1-Vx-1与g(x)=Vx2-1

11.已知二次函数、="2+乐+°(〃工0)的图象如图所示，则下列选项正确的是()

B.3a>2b

C.m(am+b)<a-b(冽为任意实数)

D.4a-2b+c<0

三、填空题

12.实数4，6满足-3«QV1,-1<6<3,则3Q-6的取值范围是.

13.函数/("=(/+2)+1匕的最小值为.

14.已知关于x的一元二次不等式V-g+Dx+aWO的解中有且仅有3个正整数解，则实数

。的取值范围是.

四、解答题

15.已知/是实数，集合/苏-3加+2，，5={0,6}.

(1)若加=2,请写出集合A的所有子集；

(2)求证：“加=2”是“4cB={0}”的充要条件.

试卷第3页，共4页

°I-x(x+4),x<0

16.已知函数〃x)=c

Ix,x>0

⑴求/V(-i))；

⑵若/S)=3,求。的值;

⑶若函数/(x)的图象与直线＞=机有三个交点，请画出函数/(X)的图象并写出实数机的取

值范围(不需要证明).

]

17.已知函数f(x+l)=

x~+2x+2

⑴求/'(x)的解析式;

(2)判断/'(x)在(0,+。)上的单调性，并根据定义证明.

18.购买黄金是一种常见的投资方式，现有两种不同的投资策略：第一种是每次购买黄金定

量为机克(加＞0),第二种是每次购买黄金定额为"万元(〃＞0);在黄金价格有波动的情况

下，选择一种策略购买黄金两次，以平均单价衡量，哪种购买方式更有利于控制投资成本？

19.对于定义域为/的函数/(尤),如果存在区间［九〃仁］,使得/(x)在区间上是单

调函数.且函数y=f(x),的值域是［〃?,〃］,则称区间［私力］是函数/(x)的一个“优

美区间

(1)求证：［0,1］是函数/(x)=/的一个，优美区间”；

⑵如果函数/(x)=/+。在［0,+e)上存在“优美区间，，，求实数。的取值范围；

⑶如果［九九］是函数〃x)=S+：)xT("0)的一个“优美区间”，求”机的最大值.

试卷第4页，共4页

参考答案:

题号12345678910

答案BABBCDDBABAC

题号11

答案ABC

1.B

【分析】根据自然数集、整数集、有理数集、空集的定义判断各选项中元素与集合的关系.

【详解】对于A,因为-2不是正整数，所以-2史N+，故A错误；

对于B,因为兀不是有理数，所以ireQ,故B正确；

对于C.,因为0是自然数，所以OeN,故C错误；

对于D,因为：不是整数，所以；eZ,故D错误.

22

故选：B.

2.A

【分析】特称命题否定为全称命题即可

【详解】因为命题“*w(O,+°°),使得V+l<2x”，

所以其否定为“Vxe(0,+oo),总有1+122%”

故选：A.

3.B

【分析】阴影部分表示的集合为8n4/,根据补集定义求出备/,再根据交集定义即可求

解.

【详解】因为全集［/=口，集合N={x|x<-1或x>4},

所以々/={x|74x44},

阴影部分表示的集合为8m/-2W3}n{x|T4x44}={xT4x43},

故选：B.

4.B

【分析】根据元素与集合的关系得出参数的取值范围即可.

【详解】因为OeM,所以鲁^°，加)°.

故选：B.

答案第1页，共9页

5.C

【分析】令在右=入(，20)，可得y=利用函数单调性求值域.

【详解】令Ji==t,(/>o),贝|]尤=(，

所以函数y=l+[l+f=：+r+；="T，函数在[o,+8)上单调递增，

f=0时，>有最小值：，

2

所以函数y=l-x+”二五的值域为

故选：C

6.D

【分析】分析水槽内水面上升的高度的速度，可得问题答案.

【详解】开始注水时，水注入烧杯中，水槽内无水，高度不变；

烧杯内注满水后，继续注水，水槽内水面开始上升，且上升速度较快；

当水槽内水面和烧杯水面持平以后，继续注水，水槽内水面继续上升，且上升速度减慢.

故选：D

7.D

【分析】函数/(x)=Vmx2+mx+1的定义域是R，等价于不等式加一+冽工+]之。对任意

[m>0

恒成立，分加=0和人,八两种情况求出实数加的取值范围即可.

[A<0

【详解】因为函数/(x)=Vmx2+mx+1的定义域是R，

所以不等式加一+加x+i>0对任意xGR怛成立，

当加=0时，1>0,对任意％wR恒成立，符合题意；

fm>0fm>0

当相。0时，5,即(2,八，解得：0<冽《4,

[A<0[m-4Am<0

综上，实数冽的取值范围是OK加04;

故选：D

8.B

【分析】根据充分、必要条件以及新定义[同等知识来确定正确答案.

【详解】对于,一“<1,如x=-0.4,y=0.5,

答案第2页，共9页

则人一计=卜0.4_0.5卜0.9<1,[x]=[-0.4]--l,[.v]=[0.5]=0,

此时[小[v].

对于[司=3，贝Ux,ye5,〃+1),〃eZ,

贝+,

则x-ye(-1,1讣-y|<1.

“|x-y|<1”是“[x]=[y]"的必要不充分条件.

故选：B

9.AB

【分析】采用作差法可知AB正确；通过反例可说明CD错误.

【详解】对于A,(a-c)-(t/-6)=(a-c)+(6-d),

Qa>b>c>d,a-c>0,b-d>0,

c)-(d-b)〉0,a—c>b—d,A正确；

对于B,(〃+c)―0+d)=(Q_b)+(c_d),

Qa>b>c>d,:.a-b>0,c-d>0,

.\(d;+c)-(/?+J)>0,即q+c>b+d,B正确；

对于C,当a=3,b=0,c=-2,d=-3时，ac=-6<0=bd,C错误；

对于D,当q=3,b=2,c=lfd=0时，ad=0<2=be,D错误.

故选：AB.

10.AC

【分析】根据函数的“三要素”判断是否为同一个函数.

【详解】对A：只是用不同的字母表示变量，所以是同一个函数，故A正确；

对B：因为函数/(%)的定义域为(-8,0)D(0,+8),函数g(x)的定义域为R，所以/(X)与g(x)

不是同一个函数，故B错误；

对C：函数“X)与g(x)的定义域都是(-8,0)3。,+8),对应关系一样，故它们是同一个函

数，故C正确；

答案第3页，共9页

对D：函数〃x)=Jx+1-Jx-l的定义域是:口,+℃),函数g(x)的定义域是：

定义域不一致，所以它们不是同一个函数，故D错误.

故选：AC

11.ABC

【分析】根据题目中的函数图象和二次函数的性质，可以判断各个选项中的结论是否正确，

从而可以解答本题.

【详解】因为抛物线开口向下，则。<0,

又因为抛物线的对称轴为直线x=-§=-l,贝防=2*可得6<0,

且抛物线与y轴的交点在x轴上方，则c>0,

对于选项A：可得abc>0,故A正确；

对于选项B：因为6=2。，则26-3。=4。-3。=a<0,

所以3a>26,故B正确；

对于选项C：抛物线的对称轴为直线x=-l,可知当x=-l时，y有最大值，

则am2+6〃z+cVa-6+c(加为任意实数)，

所有加(a〃?+b)Va-b为任意实数)，故C正确；

对于选项D：因为抛物线的对称轴为直线x=-l,且抛物线与x轴的一个交点在点(0,0)和

(1,0)之间，

则抛物线与x轴的另一个交点在点(-3,0)和(-2,0)之间，

可知当x=-2时，>0,所以4a-26+c>0,故D错误.

故选：ABC.

12.[-12,4]

【分析】根据题意利用不等式的性质运算求解.

【详解】因为一34a41,-1<Z?<3,则一9W3a43,-3<-6<1,

可得-1243。-644,

所以的取值范围是

故答案为：

答案第4页，共9页

【分析】换元令，=犬+2,可得g(/)=f+J,结合对勾函数单调性求最值.

【详解】令，=/+2±2,贝Ug(f)，+；,

可知g«)在［2,+8)内单调递增，则g«)在［2,y)内的最小值为g(2)=|,

所以函数/(x)的最小值为

故答案为：

2

14.3<a<4

【分析】将x?—+l)x+a40化为(x—l)(x—a)W0,分a=l,a<1,a>l三种情况讨论即

可求.

【详解】由x2-(a+l)x+aW0可得(尤一l)(x-a)VO,

当。=1时，不等式的解集为｛1｝,不符合题意，舍，

当。<1时，不等式的解集为｛x|aV尤VI｝,其正整数解至多有1个，不符合题意，舍，

当。>1时,不等式的解集为｛x|lVxVa｝,

因为有且仅有3个正整数解，故整数解为1,2,3,

所以，3<a<4.

综上，实数。的取值范围是3Va<4.

故答案为：3<«<4

15.(1)0,也，g,网，［g,｛叫，加，旧，。｝

(2)证明见解析

【分析】(1)结合子集的概念列出即可；

(2)分别判断充分性和必要性，结合集合的互异性判断取值即可.

【详解】(1)若m=2,则/所以A的所有子集为：

0>｛；｝‘网'｛I。｝‘｛J’。｝,H,。｝.

(2)证明：若优=2,则N=所以Nc8=｛0｝,故充分性成立；

答案第5页，共9页

若NcB={0},贝因为2•/(),所以苏一3加+2=0,

m

解得加=1或冽=2,当加=1时，1=—,不满足互异性，故舍去，

m

当加=2时，/=，1,t,0，，满足互异性，故必要性成立.

所以、=2”是“，c8={0}”的充要条件.

16.(1)3；

(2)〃=—3或Q=—1,〃=3；

(3)图见解析，(0,4).

【分析】(1)运用代入法，结合函数解析式进行求解即可；

(2)运用代入法，分类讨论进行求解即可；

(3)根据一次函数和二次函数的性质画出函数图象，再运用数形结合思想进行求解即可.

【详解】(1)/(/(-1))=/(3)=3；

(2)当a>0时，〃a)=3na=3；

当aWO时，/⑷=3=>-a(a+4)=3=>/+4a+3=0=>a=-1,或a=-3,

所以Q=—3或〃=—1,a=3；

最大值为〃X)1mx=4,由数形结合思想可知：函数;'(X)的图象与直线了=加有三个交点，只

需0<机<4,故实数加的取值范围为(0,4).

17.⑴小上告

(2)/(x)在(0,+8)上单调递减，证明见解析

答案第6页，共9页

【分析】(1)由配凑法可得函数解析式；

(2)根据函数单调性的定义证明即可.

【详解】(1)因为/(》+1)=7—

(X+1)+1

所以

(2)/(x)在(。,+⑹上单调递减.

证明如下：

令0<<%2,贝|J—再>0，

f(f(\__!______1=(%2+/)(12—石)0

"xJ八x=君+1-(X；+1猛+lj'

即/(尤1)>/(%),

所以/'(尤)在(0,+8)上单调递减.

18.第二种购买方式更有利于控制投资成本.

【分析】分别求出两种投资方式的黄金平均单价，利用作差法比较它们的大小，可得结论.

【详解】设两次黄金的单价分别为尤，y(x>o,y>0,尤RJO.

第一种购买方式，黄金的平均单价为：吟”=中；

2m2

2n_2xy

第二种购买方式，黄金的平均单价为：nn~x+y.

xy

2

.x+y2xy(%+»-4孙(x-y)旧品八A

由--———-廿—/)、,因为x>0,>>0,

2x+y2(x+y)2(x+y)

所以(p2>o,即第二种购买方式，黄金的平均单价较低.

2(x+y)

故第二种购买方式更有利于控制投资成本.

19.(1)证明见解析

⑵心

⑶孚

【分析】(1)根据“优美区间”的定义证明即可.

答案第7页，共9页

（2）问题转化为：方程一+0=》在［0,+8）有两个不同的解，再求。的取值范围.

（3）由新定义及函数定义域，确定相应方程f（x）=尤有两个同号的不等实根，由此求得参

数范围.

【详解】（1）结合二次函数的图象可知：函数/（x）=f在［0,1］上单调递增，

且/（。）=0,/⑴=1，所以当x«0,l］时，函数/（无）的值域亦为［0,1］.

所以：［0,1］是函数/（X）=/的一个“优美区间

（2）函数+a在［0,+句上存在“优美区间”，

转化为：方程x2+a=尤在［0,+<»）有两个不同的解.

由x2+a=xnx2-x+a=0，

因为方程在［0,+e）上有两个不同的解，