立体几何中球与几何体的切接问题-高考数学复习重点题型归纳与方法总结（解析版）

【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）

素养拓展24立体几何中球与几何体的切接问题（精讲+精练）

、知识点梳理

一、外接球

如果一个多面体的各个顶点都在同一个球面上，那么称这个多面体是球的内接多面体，这个球称为多面体

的外接球.解决这类问题的关键是抓住内接的特点，即球心到多面体的顶点的距离等于球的半径.并且还

要特别注意多面体的有关几何元素与球的半径之间的关系，而多面体外接球半径的求法在解题中往往会起

到至关重要的作用.

二、内切球

球的内切问题主要是指球外切多面体与旋转体，解答时首先要找准切点，通过作截面来解决.如果外切的

是多面体，则作截面时主要抓住多面体过球心的对角面来作.当球与多面体的各个面相切时，注意球心到

各面的距离相等即球的半径，求球的半径时，可用球心与多面体的各顶点连接，球的半径为分成的小棱锥

的高，用体积法来求球的半径.

【常用结论】

①外接球模型一：墙角模型是三棱锥有一条侧棱垂直于底面且底面是直角三角形模型，用构造法（构造长

方体）解决.外接球的直径等于长方体的体对角线长（在长方体的同一顶点的三条棱长分别为a,b,c,外接

._____________+〃2+2

球的半径为R,则27?=尸。可）,秒杀公式：--一.可求出球的半径从而解决问题.有以

②外接球模型二：三棱锥的三组对棱长分别相等模型，一般用构造法（构造长方体）解决.外接球的直径等

于长方体的体对角线长，即2尺=行万17（长方体的长、宽、高分别为a、b、c）.秒杀公式：牛=1十广2

（三棱锥的三组对棱长分别为x、y、z）.可求出球的半径从而解决问题.

③外接球模型三：直棱柱的外接球、圆柱的外接球模型，用找球心法（多面体的外接球的球心是过多面体

的两个面的外心且分别垂直这两个面的直线的交点.一般情况下只作出一个面的垂线，然后设出球心用算

术方法或代数方法即可解决问题.有时也作出两条垂线，交点即为球心.）解决.以直三棱柱为例，模型如

下图，由对称性可知球心0的位置是4ABC的外心01与AA1B1C1的外心。2连线的中点，算出小圆01的半

卜力2

径A0i=r,OOi=-,/.R2=r2+一.

24

④外接球模型四：垂面模型是有一条侧棱垂直底面的棱锥模型，可补为直棱柱内接于球，由对称性可知

球心0的位置是4CBD的外心01与4A66的外心。2连线的中点，算出小圆01的半径A0i=r,OOX=-

⑤外接球模型五：有一侧面垂直底面的棱锥型，常见的是两个互相垂直的面都是特殊三角形且平面A8CU

平面3C。，如类型I,△ABC与都是直角三角形，类型II,AABC是等边三角形，△88是直角

三角形，类型III,△ABC与XBCD都是等边三角形，解决方法是分别过△ABC与4BCD的外心作该三角形

所在平面的垂线，交点。即为球心.类型W,AABC与△BCD都一般三角形，解决方法是过△8。的外心

。1作该三角形所在平面的垂线，用代数方法即可解决问题.设三棱锥A—8C。的高为〃，外接球的半径为R,

低2=~+加2,

球心为△5CZ）的外心为01,01到的距离为d,0与01的距离为处则《解得R可

[Rz=dz+（h—my,

用秒杀公式：其中「、生为两个面的外接圆的半径，/为两个面的交线的长）

D

⑥外接球模型六：圆锥、顶点在底面的射影是底面外心的棱锥.秒杀公式：R=f-（其中/?为几何体的

高，厂为几何体的底面半径或底面外接圆的圆心）

⑦内切球思路：以三棱锥尸一A8C为例，求其内切球的半径.

方法：等体积法，三棱锥P—A8C体积等于内切球球心与四个面构成的四个三棱锥的体积之和;

第一步：先求出四个表面的面积和整个锥体体积;

第二步：设内切球的半径为广，球心为。，建立等式：Vp-ABC=Vo-ABc+Vo-PAB+VO-PAC+VO-PBC^VP-ABC^

___________3A3C___________3V

第三步:角翠出r=

So-ABC~\~So-PAB+So—用c+So-PBC

二、题型精讲精练

【典例1】（2023•浙江•高三校联考期中）正四面体的所有顶点都在同一个表面积是36%的球面上，则该正

四面体的棱长是

【答案】2瓜

【解析】如图所示：

因为正四面体内接于球，则相应的一个正方体内接球，设正方体为ABC。-44GA，

则正四面体为A-CBQ,

设球的半径为R,则4万&=36%，

解得R=3,

所以AG=6则正方体的棱长为26，

所以正四面体的棱长为四=2",

故答案为：2册

【典例2】（2023・河南•开封高中校考模拟预测）已知四面体中，AB=CD=2后,=BD=729,

AD=BC=屈,则四面体ABCO外接球的体积为（）

A.45兀B.”互C.竺叵D.24君71

22

【答案】C

【解析】设四面体A3CD的外接球的半径为R,

则四面体ABC。在一个长宽高为a,b,c的长方体中，如图，

a2+Z>2=20,________

则=29,故我=五+/+°2V45

2

a2+c2=41,-

故四面体4BCZ＞外接球的体积为V=3位3=3兀X竺=竺反，

3382

故选：C

【典例3】（2023•黑龙江齐齐哈尔・高三齐齐哈尔市第八中学校校考阶段练习）设直三棱柱ABC-ABC的

所有顶点都在一个表面积是40万的球面上，且AB=AC=A\,ZBAC=120。，则此直三棱柱的表面积是（）

A.16+8/B.8+12A/3C.8+16函D.16+12石

【答案】D

【解析】设ABuACuM=2m，因为NBAC=120。，所以NACB=30。.

2Hz

于是=2,（〃是融。外接圆的半径），r=2m.

又球心到平面ABC的距离等于侧棱长AA）的一半，

所以球的半径为J（2w之+苏_

所以球的表面积为4兀•（班机）=4071,解得机=应.

于是直三棱柱的表面积是

2*2血x20+2而x2应+2x,x2夜x20sinl2O。=16+12技

2

【典例4】（2023•安徽宣城•高三统考期末）在三棱锥尸-ABC中，A48C是边长为3的等边三角形，侧棱

抬，平面ABC,且m=4,则三棱锥P-ABC的外接球表面积为.

【答案】28TI

【解析】根据已知，底面“1BC是边长为3的等边三角形，上4,平面ABC,

可得此三棱锥外接球，即以URC为底面以上4为高的正三棱柱的外接球.

设正三棱柱的上下底面的中心分别为M,N,则外接球的球心。为MN的中点，

p

■

B

△ABC的外接圆半径为r=4V=2x且乂3=石，d=0N=~PA=2,

322

所以球的半径为R=OA=yjr2+d2=77，

所以四面体P-ABC外接球的表面积为S=4TIR2=2阮，

故答案为：28兀.

【典例5】（2023•四川乐山・高三期末）已知正AABC边长为1,将AMC绕8C旋转至△ABC,使得平面

ASC4平面BCD,则三棱锥ABC的外接球表面积为.

【答案】＞

【解析】如图，

取3c中点G,连接4G,OG,则AGLBC,DGA.BC,

分别取AASC与ADBC的外心E,尸分别过E,尸作平面4BC与平面OBC的垂线，相交于O,则。为四面体

A—3co的球心，

AG=

所以正方形OEGF的边长为9G邛，贝!IOG=J］用一+国一邛,

所以四面体A-BCD的外接球的半径R=^OG2+BG2

球。的表面积为4

SJT

故答案为：y.

【典例6】（2023•山东滨州•高三校考期中）已知正四棱锥P-ABCD的底面边长为3后，侧棱长为6,则该

四棱锥的外接球的体积为.

【答案132sli

【解析】如图，P&是正四棱锥P—ABCD的高，而AB=3应,PA=6,贝!JAQ=竿=用2=3,

POl=JPT-AO：=34,显然正四棱锥P-ABC。的外接球的球心O在直线p«上,

令PO=AO=R,贝!JOQ=|34-R|,

在RL^AO］。中，7?2=AO2=AO^+OO^=32+（3y/3-R）2,解得R=2/，

442-r-

所以该四棱锥的外接球体积为v=§成3=针x（2指）3=32扃.

故答案为：32石兀

【典例7］（2023・高三课时练习）边长为1的正四面体内切球的体积为（）

A咽B.正C.-D.如

8126216

【答案】D

【解析】将棱长为1的正四面体ABC。补成正方体AEC厂-GBHD,则该正方体的棱长为正,

2

设正四面体ABCD的内切球半径为r,正四面体ABCD每个面的面积均为f=走,

44

由等体积法可得VA_BCD=^=|r（SAABC+S^CD+SAABD+SABCD）=*r,解得厂=噂，

因此，该正四面体的内切球的体积为丫=2兀曰］=旦兀.

故选：D.

【题型训练1-刷真题】

一、单选题

1.（2022•全国•统考高考真题）己知正三棱台的高为1,上、下底面边长分别为36和4代，其顶点都在同

一球面上，则该球的表面积为（）

A.100兀B.12871C.144KD.1927r

【答案】A

【分析】根据题意可求出正三棱台上下底面所在圆面的半径小2,再根据球心距，圆面半径，以及球的半

径之间的关系，即可解出球的半径，从而得出球的表面积.

【详解】设正三棱台上下底面所在圆面的半径小4,所以有=小三,2%=与-,即弓=3,弓=4,设球心

1sin60°2sin60°

到上下底面的距离分别为4,右,球的半径为R,所以4=依-9,d2=五一16，故|4-蜀=1或4+4=1,

即yFX-TF叫=i或灰二？+VF二话=i,解得尺2=25符合题意，所以球的表面积为

5=4兀△2=1007t.

故选：A.

2.（2022•全国•统考高考真题）已知球。的半径为1,四棱锥的顶点为O,底面的四个顶点均在球O的球面

上，则当该四棱锥的体积最大时，其高为（）

A.-B.1C.BD.受

3232

【答案】C

【分析】方法一：先证明当四棱锥的顶点O到底面ABCD所在小圆距离一定时，底面ABCD面积最大值

为2r2,进而得到四棱锥体积表达式，再利用均值定理去求四棱锥体积的最大值，从而得到当该四棱锥的体

积最大时其高的值.

【详解】［方法一］:【最优解】基本不等式

设该四棱锥底面为四边形ABCD,四边形ABCD所在小圆半径为r,

设四边形ABCD对角线夹角为a,

则5的8=?4。2。q111<32。3£>《；2厂2厂=2户

（当且仅当四边形ABCD为正方形时等号成立）

即当四棱锥的顶点O到底面ABCD所在小圆距离一定时，底面ABCD面积最大值为2，

又设四棱锥的高为K则产+川=八

考

当且仅当r2=2/即〃邛时等号成立.

故选：C

［方法二］：统一变量+基本不等式

由题意可知，当四棱锥为正四棱锥时，其体积最大，设底面边长为。，底面所在圆的半径为，，则一务,

所以该四棱锥的高人

W考

(当且仅当即片=:时，等号成立)

所以该四棱锥的体积最大时，其高/Z

故选：C.

［方法三］:利用导数求最值

由题意可知，当四棱锥为正四棱锥时，其体积最大，设底面边长为“，底面所在圆的半径为「，贝=

2

所以该四棱锥的高。=行手，V=令1="0</<2),V=设/⑺=产一;，贝!)

r⑺=2〜

0<r<1,f(t)>0,单调递增，1<f<2,f(t)<0,单调递减,

所以当f=g时，v最大，此时,=1=冬

故选：C.

【点评】方法一：思维严谨，利用基本不等式求最值，模型熟悉，是该题的最优解;

方法二：消元，实现变量统一，再利用基本不等式求最值；

方法三：消元，实现变量统一，利用导数求最值，是最值问题的常用解法，操作简便，是通性通法.

3.(2022•全国•统考高考真题)已知正四棱锥的侧棱长为/,其各顶点都在同一球面上.若该球的体积为36%,

且3W”3石，则该正四棱锥体积的取值范围是()

811「27811「27641…

A.18,—B.—C.—D.F11O8,27

L4JL44JL43J

【答案】C

【分析】设正四棱锥的高为〃，由球的截面性质列方程求出正四棱锥的底面边长与高的关系，由此确定正

四棱锥体积的取值范围.

【详解】•.•球的体积为36万，所以球的半径R=3,

［方法一］:导数法

设正四棱锥的底面边长为2a,高为〃,

贝!）/2=2a2+/,32=2a2+（3—/z）2,

所以6%=/，2a2=l2-h2

11774721（/6

所以正四棱锥的体积丫=W劭=刀*4/*"=^*（/2一）x丁=八L一或

3333669136

所以V'=((4/3—g

八O

当34/W2#时，S>0,当2指<”3有时，/<0,

所以当/=2"时，正四棱锥的体积V取最大值，最大值为日,

27Q1

又/=3时，V=时，V=—,

所以正四棱锥的体积丫的最小值为9一7，

所以该正四棱锥体积的取值范围是.

故选：C.

［方法二］:基本不等式法

由方法一故所以V=：a%=：（6/?-〃2）/z=，12-2〃）/zx九，;xM-2?+〃+〃=日（当且仅当九=4取到|）,

当吟时,得“浅，则%=E寸强冶弓

当/=3g时，球心在正四棱锥高线上，此时〃=>34，

冬=岁"=察，正四棱锥体积匕=#〃=；（等吗=日若，故该正四棱锥体积的取值范围是耳，争.

4.（2021.全国•统考高考真题）已知42,C是半径为1的球0的球面上的三个点，且AC，3cAe=3C=1,

则三棱锥ABC的体积为（）

A.正B.@C.受D.且

121244

【答案】A

【分析】由题可得AABC为等腰直角三角形，得出AABC外接圆的半径，则可求得。到平面ABC的距离，

进而求得体积.

【详解】••・AC，BC,AC=3C=1,.•△A5C为等腰直角三角形，=

则"RC外接圆的半径为正，又球的半径为1,

2

设0到平面ABC的距离为d,

则公卜一审I%

5XX1X1X

所以%-ABC=14ABC-^=11^-=^--

故选：A.

【点睛】关键点睛：本题考查球内几何体问题，解题的关键是正确利用截面圆半径、球半径、球心到截面

距离的勾股关系求解.

二、填空题

5.（2023•全国•统考高考真题）已知点S,A,B,C均在半径为2的球面上，413C是边长为3的等边三角形，SA1

平面ABC,则SA=.

【答案】2

【分析】先用正弦定理求底面外接圆半径，再结合直棱柱的外接球以及求的性质运算求解.

【详解】如图，将三棱锥S-ABC转化为正三棱柱MVW-ABC,

设AABC的外接圆圆心为。，半径为「，

2r==3_2J3

则sin/ACBB,可得厂=g,

T

设三棱锥S-ABC的外接球球心为0,连接0AOOX,则。4=2,OQ=|sA,

因为042=00：+。人2,即4=3+；&42,解得S1=2.

故答案为：2.

【点睛】方法点睛：多面体与球切、接问题的求解方法

（1）涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时，一般过球心及多面体的特殊点（一般为接、切点）或线作截面，

把空间问题转化为平面问题求解；

（2）若球面上四点P、A、B、C构成的三条线段PA、PB、PC两两垂直，且PA=a,PB=b,PC=c,一

般把有关元素“补形”成为一个球内接长方体，根据4R2=a2+b2+c2求解；

（3）正方体的内切球的直径为正方体的棱长；

（4）球和正方体的棱相切时，球的直径为正方体的面对角线长；

（5）利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系，或只画内切、外接的几何体的直观图，确定球心的位

置，弄清球的半径（直径）与该几何体已知量的关系，列方程（组）求解.

【题型训练2-刷模拟】

一、单选题

1.（2023秋•四川成都•高三四川省成都市新都一中校联考开学考试）边长为1的正方体的外接球表面积为（

371

A.兀B.3兀C.—兀D.——

44

【答案】B

【分析】正方体的对角线就是其外接球的直径，代入对角线公式，即可求解.

【详解】其外接球直径2r=JF+F+/=百,所以5=兀（2.）2=3兀.

故选：B.

2.（2023秋•四川成都■高三树德中学校考开学考试）已知四面体ABCD满足A8=CZ）=A/LAD=BC=也,

AC=BD=2,且该四面体A3CD的外接球的表面积是（）

A.2兀B.6兀

C.—D.4兀

11

【答案】B

【分析】将将四面体A3CD放入长方体中，求出长方体的体对角线，进而得到外接球半径，得到表面积.

【详解】将四面体ABCD放入长方体中，如图，

则四面体A8CO的外接球，即为长方体的外接球，

a2+b2=3

设长方体中FA=a,FB=b,FC=c,贝！]</+H=4,

Z?2+c2=5

三式相加得2d+k+）=12,故/+/+=6,

所以四面体ABCD的外接球半径为r=+1=Yf,

22

故四面体ABCD的外接球表面积为4兀，=6?t.

故选：B

3.（2023•全国•高三专题练习）在直三棱柱4BC-ABC中，ABLBC,BC=1,AB=^3,朋=2右，则该

直三棱柱的外接球的体积为（）

8兀-16兀-32兀―64兀

A.——B.—C.——D.——

3333

【答案】C

【分析】将直三棱柱放入长方体中，借助长方体的外接球求解.

【详解】如图所示，将直三棱柱ABC-A4G补成长方体，则长方体的外接球即直三棱柱的外接球.

长方体的体对角线长为J（26『+（6『+]=4

设长方体的外接球的半径为R,则2R=4,得R=2,

4

所以该直三棱柱的外接球的体积U=］兀&=蓝£.

故选:C.

4.（2023秋・四川眉山•高三校考阶段练习）已知圆柱的高为1,它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球

的球面上，则该圆柱的体积为（）

【答案】C

【分析】设圆柱的底面半径为广，利用勾股定理求出厂，再根据圆柱的体积公式计算可得.

【详解】设圆柱的底面半径为,，则严解得/=迫或r=_立（舍去）,

22

2

13兀

所以圆柱的体积丫=兀，〃=xl=——

4

故选：C

5.（2023•河南郑州•校联考二模）如图，在三棱锥BCD中，AD=CD=2,AB=BC=AC=2丘,平面

ACDL平面48C,则三棱锥A-3CD外接球的表面积为（）

-28

71C.—兀D.8兀

33

【答案】B

【分析】由题意说明△ADC为等腰直角三角形，根据面面垂直性质推出由平面A8,进而结合球的几

何性质，确定三棱锥A-3。外接球球心位置，求出外接球半径，即可求得答案.

【详解】由于AD=CD=2,AC=2®,AD2+CD2=AC2,

即AWC为等腰直角三角形，

取AC的中点为M,连接

DR工-----------（J

----------------------Ap

因为48=3。=4。=2及，即AABC为正三角形，故BM_LAC,

由于平面ACD_L平面ABC,平面ACDfl平面A6C=AC,BMu平面ABC,

故3Ml平面AC。，DMu平面ACZ）,故BMLDM；

又M为AWC的外心，

则三棱锥A-BCD外接球的球心必在BM上，

设44BC的中心为O,贝！|O在BM上且OA=OB=OC=2x2应x3=地，

323

而OM=-BM=-x2s/2x^=^-,MD=-AC=yj2,

33232

则OD=飞MD。+MO。=J|==半，

即。4=o3=oc=a>,

即o点即为三棱锥外接球的球心，

故外接球半径为R=手，所以外接球表面积为s=4无&=F兀，

故选：B

【点睛】关键点睛：解答本题的关键在于要能根据条件，结合球的几何性质，确定出三棱锥外接球球心的

位置，进而求得半径.

6.（2023秋•江苏南通•高三统考开学考试）已知AABC是边长为4的等边三角形，将它沿中线AD折起得四

面体A-BCD,使得此时BC=2g,则四面体A-BCD的外接球表面积为（）

A.16KB.18KC.217rD.28兀

【答案】D

【分析】根据题意可得AD，平面3a>,将四面体A-BCD转化为直三棱柱4卯-BCD,四面体A-3CD

的外接球即为直三棱柱AEF-BCD的外接球，结合直三棱柱的性质求外接圆半径.

【详解】因为AABC为等边三角形，且AD为中线，则AD13C,

即AD_LBD,>1D_L£）C,且Br>nDC=£>,■Br）,r>Cu平面3CD,

可得AD_L平面3CD,

设△BCD的外接圆圆心为J,半径为小

因为BD=CD=2,BC=2/,由余弦定理可得cosZBDC=十一一''=4+4T2=二，

2BDCD2x2x22

且23。。6（0,兀），贝!|/2DC=&,所以r=———=2,

32sinNBDC

将四面体A-BCD转化为直三棱柱AEF-BCD,四面体A-BCD的外接球即为直三棱柱AEF-BCD的外

设四面体A-BCD的外接球的球心为。，半径为R,

则0。=工48=有，贝！］长=002+产=7,

2

所以四面体A-BCD的外接球表面积为4兀改=28兀.

故选：D.

7.（2023・山西吕梁・统考二模）在三棱锥尸一ABC中，已知PAL底面ABC,C4=CB=R4=2,AC1BC,

则三棱锥P-ABC外接球的体积为（）

A.16KB.4扃C.48兀D.12扃

【答案】B

【分析】设中点O',以中点。，由直角三角形外接圆为斜边中点，且由题意可知OO7/P4,所以OO'，

底面ABC,则。为三棱锥尸-ABC外接球的球心，可解.

【详解】设43中点O',R4中点。，

由C4=CB=2,AC1BC,所以AABC的外接圆直径2r=A8=20，

且圆心为O',

由于PA_L底面ABC,OO'UPA,所以底面ABC,

则。为三棱锥尸-ABC外接球的球心，

所以外接球的直径2R=PB=2。

4L

所以外接球的体积V=-TIR3=4岛.

故选：B

8.（2023・四川成都•校联考二模）在三棱锥尸-ABC中，尸A=PC=2",AC=4应，/ABC=90。，平面PAC，

平面ABC,若三棱锥尸-ABC的所有顶点都在球。的表面上，则球。的半径为（）

A.273B.3C.2A/5D.4

【答案】B

【分析】根据三棱锥中线面关系可先确定球心。点在上，再利用勾股定理求解即可.

取AC的中点为。1，连接PQ,因为尸A=PC=2",AC=4后,

所以尸O]_LAC,AQ=1AC=2A/2,

所以PQ=JPA?-AO；=J（2府-（2应了=4.

又因为平面PACJ■平面ABC,平面PACCl平面ABC=AC,

所以尸&_L平面ABC,又一ABC=90。，则球心0在直线P«上,

连接Q4,设球。的半径为R,则。4=。尸=R,

即有|4-R『+(2&)2=R2,得R=3,

故选:B

9.（2023秋•陕西西安•高三校联考开学考试）在三棱锥P-ABC中，“LBC是边长为3的等边三角形，侧棱

PAL平面A3C,且PA=2石，则三棱锥尸-ABC的外接球的表面积为（）

A.32兀B.28兀C.26TID.24兀

【答案】A

【分析】应用补体法，将三棱锥外接球问题转化为三棱柱外接球问题，找到球心，求解半径即可.

【详解】由底面“RC是边长为3的等边三角形，丛，平面ABC,

可得此三棱雉的外接球即以“1BC为底面，上4为高的正三棱柱的外接球.

设正三棱柱的上、下底面的中心分别为N,

则外接球的球心。为MN的中点，

AABC外接圆的半径r=W=与3二6，

32

球心到下底面的距离d=ON=^PA=y[5,

所以球的半径氏=04=，2+/=20,

所以三棱锥P-ABC外接球的表面积S=4兀氏2=32兀.

B

10.（2023春•四川绵阳•高三绵阳南山中学实验学校校考阶段练习）已知四棱锥尸-ASQ）的体积是366，

底面ABCO是正方形，△上4B是等边二角形，平面PABJ_平面A3CD,则四棱锥P-ABCD外接球表面积为

A.89TIB.88KC.84兀D.81兀

【答案】C

【分析】过P点作PEL■于E,则PE为四棱锥的高，据此求出正方形棱长.再根据几何关系找出外接球

球心，根据勾股定理求出外接球半径即可.

p

【详解】

设正方形ABC。的边长为2x,在等边三角形上4B中，过尸点作PEJ_AB于E,

由于平面PAB_L平面ABCD,二PEJ_平面ABCD.

由于人/如？是等边三角形，则PE=&%,

2

Vp-ABCD=1­^co-PE=1x（2x）X^3x=3673,解得x=3.

设四棱锥外接球的半径为R,。1为正方形ABCD中心，。2为等边三角形PAB中心，

O为四棱锥P-ABCD外接球球心，则易知。。2£。为矩形，

1?）

贝1=EQ=-AD=尤=3,PO,=—PE=—3拒=26,

233

R=0P=y]00；+P0；=J9+12=后,

外接球表面积S=4兀x（01）2=84TI.

故选：C.

11.（2023•江西南昌•南昌市八一中学校考三模）已知四棱锥尸-ABCD的底面ABCD是矩形，高为

AD=2娓,AB=2,ABLPD,PA=PD,则四棱锥P-ABC。的外接球的表面积为（）

256

A.12-$/6?1B.48A/6TIC.36TID.it

【答案】C

【分析】作出辅助线，求出平面PAD外接圆半径，再利用勾股定理求出外接球的半径，即可求出球的表面

积.

【详解】如图，在矩形A5CD中，连接对角线AC,B。，记ACc3r>=R,则点f为矩形A5CD的外接圆圆

心，

取AD的中点E,连接「瓦竹，记△以£>的外接圆圆心为G,易知所//AB,即=：42=1,尸石，相）,且尸,及3

共线.

因为4。,产。（=平面外。，所以AB2平面PAD,

所以平面PAD,PEu平面PAD,EFLPE,EF[}AD=E,所,AT>u平面ABC。,

所以PEJ_平面ABC。，所以尸E=应，所以PA=P£>=，（指/+（逝『=20，易得NAP£>=120。,

ADL

所以由正弦定理得APAD的外接圆半径为..二皿=2框,即GP=20.

2sinxAPD

过G作GO_L平面尸AD,且GO=£F=1,连接产。，由GO_L平面PAD,

可知GO//EF,则四边形EBOG为矩形，所以FO//PG,则平面ABCD.

根据球的性质，可得点。为四棱锥P-ABCD的外接球的球心，

因为PO=JPG?+OG2=18+1=3,所以四棱锥P-ABCD的外接球的表面积为4兀x3?=36兀.

P

故选：C

12.（2023秋•陕西西安•高三校联考开学考试）已知在三棱锥尸-ABC中，PA+BC=4,AB1AC,PA，平

面ABC,则三棱锥尸-ABC的外接球表面积的最小值为（）

A.兀B.4兀C.8兀D.12K

【答案】C

【分析】通过补形的方法，求得外接球半径的表达式，结合二次函数的性质求得半径的最小值，进而求得

外接球表面积的最小值.

【详解】将三棱锥补成直三棱柱，如图所示，设点。，。为上下底面的外心，

则D2分别是BC,3G的中点，

点0为直棱柱的外接球的球心，则。为。2的中点，

AD为底面外接圆的半径，设％=x,BC=4-x,

所以OD=3，AO=t=2-q,

222

得外接球半径R=AO=J[]]+[-1=J；（x-2y+2,

当尤=2时，R有最小值为0,此时球0的表面积为：4兀x（应了=8兀.

故选：C

【点睛】求解几何体外接球有关的问题，关键点在于找到球心的位置，然后计算出外接球的半径.方法有直

接法和补形法，直接法是根据几何体的结构来找到球心；补形法是补形成直棱柱、长方体（正方体）等几

何体，并根据这些几何体的结构找到球心并求得半径.

13.（2023秋•湖南衡阳•高三衡阳市田家炳实验中学校考阶段练习）球。内接三棱锥A-BCD,AC，平面BCD,

BDLCD.若BD=1,球。表面积为9兀.则三棱锥A-BCD体积最大值为（）

235

A.1B.-C.-D.-

322

【答案】B

【分析】利用线面垂直的性质有AC人3C,AC1BD,根据线面垂直的判定得即上面ACO,进而易得

AABCAAL旨都为直角三角形，找到外接球的球心为A8的中点。，根据已知求球体半径，结合

VB_ACD=；BDXS.ACD和基本不等式求体积最大值•

【详解】由AC_L平面BCD,BC,BDu面BCD,则AC13C,AC1BD,

又BDLCD,ACC\CD=C,AC,C£>u面ACD,所以面ACD,

由ADu面ACD,故3。，短）,

所以都为直角三角形，且AB为它们的斜边，

所以的中点。为棱锥外接球球心，如下图示，即球体半径H=04=06=0。=8,

311

由471穴2=9兀，则R=；,即AB=3,而Vg—cD=；，B£)XSAACD=：x_BDxACxCD,

236

又BD=\,BD1+CD1+AC2^AB2,CD1+AC2^8>2CDAC,

故CDACW4,仅当AC=CD=2取等号，

2

所以（七一人⑺）1mx

故选：B

14.（2023秋•四川成都•高三树德中学校考开学考试）已知四面体ABCD满足A5=CD=百，AO=BC=如，

AC=BD=2,且该四面体ABCD的外接球的球半径为%,四面体的内切球的球半径为&,则今的值是（）

22

A.^/1TB.—V1TC.-\/6D.—V6

【答案】A

【分析】将四面体补全为长方体，根据它们外接球相同求出外接球半径，利用等体积法求内切球半径，即

可得结果.

【详解】由题设，可将四面体补全为如下长方体，长宽高分别为g,3,1,

所以，四面体外接球即为长方体外接球，则半径0=在土出=',

122

由题意，四面体的四个侧面均为全等三角形，cos4M=网上"二雪=学二=3，NABD为三角

2ABBD4V36

形内角，

所以sin/48£>=叵，则5AM=！x2xj^x^=①，

6A262

=X1

又^A-BCD6X^/2xl—4x—X石X—X\/2xl=,且VA-BCD=—X4X5AAgD,

所以工xR,x4x^="，即凡=半，

3-232而

综上，5=而.

用

故选:A

___jr

15.（2023•河南开封・统考三模）在三棱锥尸-ABC中，PA^AB,PAL平面ABC,ZABC=~,AB+BC=6,

则三棱锥尸-ABC外接球体积的最小值为（）

A.8^671B.16A/6TIC.24娓兀D.32后兀

【答案】A

【分析】将三棱锥尸-ABC可以补成长方体，从而得到PC为三棱锥P-ABC的外接球的直径，要想体积最

小，则PC最小即可，设=表达出因=,3（尤-2）2+24,从而得到1Pq=2#,进而求出外接球

体积的最小值.

【详解】根据题意三棱锥尸-ASC可以补成分别以BC,AB,PA为长、宽、高的长方体，其中PC为长方体的

对角线，

则三棱锥P-A3C的外接球球心即为PC的中点，要使三棱锥P-ABC的外接球的体积最小，则尸C最小.

设=贝!|H=x,BC=6-x,\PC\=^AB2+PA2+BC2=^3（%-2）2+24,

所以当尤=2时，|PC1mm=2",则有三棱锥尸-ABC的外接球的球半径最小为卡，

所以嗑n=白收=8A/67T.

故选：A

16.（2023・河南・统考三模）如图，该几何体为两个底面半径为1,高为1的相同的圆锥形成的组合体，设它

的体积为匕，它的内切球的体积为丫2,则匕：匕=（）

【答案】D

【分析】轴截面四边形PAP8的内切圆的半径即为该几何体内切球的半径，求出半径，再根据球的体积公

式和圆锥的体积公式即可得解.

【详解】如图，四边形尸AP3为该几何体的轴截面，

则四边形W3的内切圆的半径即为该几何体内切球的半径，

设内切球的半径为小

由OP-OA=1,得r=，

2

则匕=3"3=叵，

233

V：=2x-7txl2xl=—,

33

所以乂:匕=0:1.

17.（2023•福建宁德•校考模拟预测）将一个半径为2的球削成一个体积最大的圆锥，则该圆锥的内切球的

半径为（）

A,四B,2（用1）

33

c.2pMD.4GM

33

【答案】D

【分析】设圆锥的底面半径为广，则圆锥的高为2+"^慧，表示出圆锥的体积，换元后利用导数可求出体

积的最大值，从而可求出圆锥的底面半径和高，再求出母线长，作出圆锥的截面，然后利用三角形相似可

求出圆锥内切圆的半径.

【详解】设圆锥的底面半径为小则圆锥的高为2+Q7,

所以圆锥的体积丫=：兀/（2+"^7?）,

令力=,4—，（0«/＜2）,贝！］产=4—产，

所以VQ)=g兀(4-〃)(2+"=(兀(-3-2/+由+8),

则口«）=；兀（一3产一4r+4）=—；兀（1+2）（3/-2）,

当owr＜（时，V,（r）＞0,当g＜2时，F（r）＜0,

所以V⑺在0中上递增，在悖21上递减，

所以当”;2即『=卓时，圆锥的体积最大，此时圆锥的高为g