几何压轴 突破训练（解析版）-2023年江苏省中考数学一轮复习

考点21几何压轴专题突破训练

诬真题过关

1.(2022•江苏淮安・统考中考真题)在数学兴趣小组活动中，同学们对菱形的折叠问题进行了探究.如图(1),

在菱形ABCD中，-3为锐角，E为BC中点,连接DE,将菱形ABCD沿DE折叠，得到四边形A8ED,

点A的对应点为点4,点8的对应点为点

图(1)图(2)图(3)

(1)【观察发现】AO与BE的位置关系是；

(2)【思考表达】连接3'C,判断/DEC与NB'CE是否相等，并说明理由；

(3)如图(2),延长。C交于点G,连接EG,请探究"EG的度数，并说明理由；

(4)【综合运用】如图(3),当/3=60。时，连接EC,延长DC交于点G,连接EG,请写出BC、EG、

OG之间的数量关系，并说明理由.

【答案】(1)AO〃〃E；

⑵NDEC=NB，CE,理由见解析；

(3)ZZ)EG=90°,理由见解析；

(4)DG2=EG2+^B'C2,理由见解析.

16

【分析】(1)利用菱形的性质和翻折变换的性质判断即可；

(2)连接B'C,BB'，由£B=EC=E3'可知点2、8,、C在以3c为直径,E为圆心的圆上，则/B3'C=90。,

由翻折变换的性质可得班DE,证明DE〃CB',可得结论；

(3)连接BC,DB,DB',延长DE至点H,求出NDG4'=180。一2元-y,ZGB'C=90°-^y-x,可得

ZCGA=2ZGB'C,然后证明GC=GB"可得EGLCBL进而得到DELEG即可解决问题.

(4)延长DG交的延长线于点T,过点。作DRLG4'交GA'的延长线于点R，设GC=G3'=x,

CD=AD=A'B'=2a,解直角三角形求出A'R=a,DR=岛,利用勾股定理求出x=ga,然后根据相似

47

三角形的判定和性质及平行线分线段成比例求出距'=§〃，DE=严,再根据勾股定理列式即可得出结

论.

【详解】(1)解：：在菱形ABCD中，AD//BE,

：.由翻折的性质可知，AD//B'E,

故答案为：AD//B'E；

(2)解：ZDEC=ZB'CE,

理由：如图，连接B'C,BB'，

为2C中点，

EB=EC=EB',

；.点B、B'、C在以BC为直径,E为圆心的圆上，

/M'C=90。，

BB'±B'C,

由翻折变换的性质可知BB'±DE,

DE//CB',

：.ZDEC=ZB'CE■,

(3)解：结论：Z£)£G=90°；

理由：如图，连接B'C,DB,DB',延长DE至点H,

由翻折的性质可知ZBDE=ZB!DE,

设ZBDE=NB'DE=x,ZA=ZA'=y,

•••四边形ABCO是菱形，

ZADB=ZCDB=ZB'DA',ZABC=180°-y,

ZADG=ZBDB'=2x,/DBE=NDB'E=90。-2

2

NOGA'=180°—2x—y,

NBEB'=ZBEH+/B'EH=ZDBE+ZBDE+/DB'E+ZBrDE=90°-^+x+90°-^+x=180°-y+2x,

•：EC=EB'，点、B、B\。在以5C为直径方为圆心的圆上，

ff

・•・AEB'C=ZECB=|ZBEB=90°-^y+x9

,:ND〃BE,

：.ZA5E=180。—y,

ZGBrC=NABE-ZEBfC=180。一y一190。—；y+x]=90。—gy一x,

・•・ZCGA=2ZGBrC,

■:ZCGA=NG?C+NGCE,

:.ZGBfC=ZGCB\

：.GC=GB,

EBr=EC,

：.EG工CB，,

,:DE〃CB,

:.DELEG,

：.ZDEG=9Q0；

49

(4)解：结论：DG2=EG2+—B'C2,

理由：如图，延长DG交E9的延长线于点T,过点。作。RLG4'交GA'的延长线于点R,

设GC=G5'=x,CD=AO=A5'=2a,

,/ZB=60°,

・•・ZA=ZDABr=120°,

：.ZDArR=60°,

AR=ArZ）-cos60°=a,DR=6a，

在RtADGJ?中，则有（2a+x）2=（耳『+（3Q-x）2,

,4

,・x=—a,

r4f6

：.GB=-a9AG=-af

,:TBr//DA,

：•ABTG〜A/VOG,

,TBfGBr

••市一市’

4

TBr_~sa

5

4

TBr=-a

3f

,:CB〃DE,

4

.CBrTBr3a4

7

DE=—CB'，

4

VZDEG=90°,

：•DG2=EG2-^DE2,

4Q

DG2=EG2+—BrC2.

16

12.（2022•江苏镇江•统考中考真题）操作探究题

i8oy

（1）已知AC是半圆。的直径，NAOB——（〃是正整数，且〃不是3的倍数）是半圆。的一个圆心角.

n

180V

操作：如图1,分别将半圆。的圆心角NAO8=——（〃取1、4、5、10）所对的弧三等分（要求：仅用

n

圆规作图，不写作法，保留作图痕迹）;

n=5n=10

图1

从上面的操作我发现,就是利用60n、播f所对的弧去找喀°的三分

之一即用?所对的孤.

___________________________________________________________________-

（180、。

交流：当〃=11时，可以仅用圆规将半圆。的圆心角=所对的弧三等分吗？

我发现了它们之间的数量关系是4x「鲁丫-60。书少

我再试试：当”=28时,圈|°、60»、匿|°之间存在数量关系

因此可以仅用圆规将半圆。的圆心角乙408=〔翦:所对的弧三等分.

180V

探究：你认为当，满足什么条件时，就可以仅用圆规将半圆。的圆心角14。2=—所对的弧三等分？说

n

说你的理由.

（2701°

（2汝口图2,3的圆周角N尸加。=［亍）.为了将这个圆的圆周14等分，请作出它的一条14等分弧CO（要

求：仅用圆规作图，不写作法，保留作图痕迹）.

【答案】（1）作图见解析；交流:

探究：正整数"（"不是3的倍数），理由见解析

（2）作图见解析

【分析】（1）由操作可知，如果（空）。可以用60。与（竺2）。的线性表示，那么该圆弧就可以被三等分

nn

（270V

（2）将圆周14等分就是把=1一厂J所对的圆周角NQOP所对弧三等分即可，给出一种算法:

°-5402X2=«

8077

【详解】（1）操作：

图中的C点即为三等分点

图中的。点即为三等分点

探究：设60°一（等°=［引°，解得〃=3左+1（左为非负整数）.

或设［詈1°-60。=［等°,解得九=3"1（%为正整数）.

180、。

所以对于正整数"(〃不是3的倍数)，都可以仅用圆规将半圆。的圆心角44。3=—所对的弧三等分;

n

3.(2022•江苏泰州•统考中考真题)已知：△ABC中，D为边上的一点.

(1)如图①，过点。作。交AC边于点E,若AB=5,BD=9,DC=6,求。E的长；

(2)在图②，用无刻度的直尺和圆规在AC边上做点尸，使/。朋=/A；(保留作图痕迹，不要求写作法)

(3)如图③，点尸在AC边上，连接8RDF,若/。矶=NA,△EBC的面积等于(CZ)・A3,以即为半径

作。尸，试判断直线BC与。尸的位置关系，并说明理由.

【答案】⑴2

(2)图见详解

(3)直线3C与。尸相切，理由见详解

【分析】(1)由题意易得WCD=2[,则有C然D后2根据相似三角形的性质与判定可进行求解；

BD3Co5

(2)作。T〃AC交A8于点T,作NTDF=NATD,射线。/交AC于点E则点B即为所求；

(3)作以〃CF交尸O的延长线于点R,连接CR,证明四边形A8RE是等腰梯形，推出AB=FR,由CF//BR,

推出S/FBuSQRnjAaCDnjFRC。，推出C。，。凡然后问题可求解.

(1)解：'：DE//AB,

：・ACDESACBA,

,DECD

**AB-cF?

VAB=5,BD=9,DC=6,

.DE6

,•-----=-------«

56+9

，DE=2；

(2)解：作。T〃4C交AB于点T,作NTDP=NATD,射线。F交AC于点尸，则点尸即为所求;

如图所示：点歹即为所求，

(3)解：直线8C与。尸相切，理由如下：

作交ED的延长线于点R,连接CR,如图,

ZDFA=ZA,

四边形是等腰梯形，

AB=FR1

'：AFBC的面积等于LCD・A8,

2

：

.S△CFroR=SACrFZVK=2-ABCD2=-FRCD,

CD±DF,

:尸。是。尸的半径，

直线BC与。P相切.

4.(2022•江苏苏州•统考中考真题)(1)如图1,在AABC中，ZACB=2NB,CD平分，ACS,交A8于

点。，DE//AC,交BC于点、E.

图1

3

①若DE=1,BD=~,求BC的长；

2

②试探究笑一线是否为定值.如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由.

ADDE

(2)如图2,/C3G和NBC尸是△ABC的2个外角，/BCF=2/CBG,CD平分NBCF,交AB的延长线

于点。，DE//AC,交C3的延长线于点E.记△AC。的面积为加，△(?£)£的面积为邑，△出定的面积为

9

邑.若48二7对，求cosNCBD的值.

16

图2

QAZ?RFO

【答案】(1)①3C=J；②是定值，定值为1；(2)cosZCBD=-

4ADDE8

【分析】(l)①证明ACEDSACDB,根据相似三角形的性质求解即可；

ADADRF

②由可得:=由①同理可得CE=DE,计算不丁；^;=1;

ADDEADDE

5.ACBCS.BEBCBC9

(2)根据平行线的性质、相似三角形的性质可得寸=后=,，又寸=左，则」^二应，可得

匕DE

%D.d2Crsd2CE16

设则.证明可得过点。作。于凡分别求得

5C=9x,CE=16x△CDgs/Xca),CD=12x,HJL5CBDBH,

进而根据余弦的定义即可求解.

【详解】(1)①・・・。。平分NACB,

・•.ZACD=ZDCB=-ZACB.

2

•.・ZACB=2ZB,

:.ZACD=/DCB=/B.

3

・・・CD=BD=~.

2

DE//AC,

：.ZACD=ZEDC.

：.ZEDC=ZDCB=ZB.

：.CE=DE=1.

:.ACEDS^CDB.

.CE_CD

,9~CD~~CB'

9

・•・BC=-.

4

@VDE//AC,

.AB_BC

由①可得CE=DE,

.ABBC

**AD-DE'

.ABBE_BCBECE1

•ADDEDEDEDE

・・・M—是定值'定值为1.

ADDE

(2)VDE//AC,

:./\BDE^/\BAC

BCABAC

,~BE~BD~DE

S,ACBC

•,sjDEBE,

..S3BE

•~sl~~CE"

.S/S3_BC

*'5^-CE,

9

又・・・s.s=-s^9,

13lo

.BC_9

**CE-16"

设5c=9x,则CE=16x.

•:CD平分NBCF,

：.ZECD=/FCD=-ZBCF.

2

■:/BCF=2/CBG,

：.ZECD=ZFCD=4CBD.

・•・BD=CD.

■:DE//AC,

：./EDC=/FCD.

:./EDC=NCBD=/ECD.

：.CE=DE.

■:NDCB=/ECD,

：.ACDB^ACED.

.CDCB

••丘一五，

CD2=CBCE=144x2.

：.CD=12x.

如图，过点。作。于此

5.（2022.江苏连云港.统考中考真题）【问题情境】在一次数学兴趣小组活动中，小昕同学将一大一小两个

三角板按照如图1所示的方式摆放.其中NACB=NDEB=90。，NB=3O。，BE=AC=3.

【问题探究】小昕同学将三角板岫绕点3按顺时针方向旋转.

A

E

图3图4

(1)如图2,当点E落在边AB上时，延长DE交8c于点尸，求所的长.

(2)若点C、E、。在同一条直线上，求点。到直线BC的距离.

(3)连接DC,取。C的中点G,三角板DEB由初始位置(图1),旋转到点C、B、。首次在同一条直线上

(如图3),求点G所经过的路径长.

(4)如图4,G为。C的中点，则在旋转过程中，点G到直线A2的距离的最大值是

【答案】⑴28

⑵#±1

小

(3)——

6

(4)拽

4

【分析】(1)在放△8所中，根据余弦的定义求解即可；

(2)分点E在8c上方和下方两种情况讨论求解即可；

(3)取3C的中点。，连接GO,从而求出OG=g,得出点G在以。为圆心，6为半径的圆上，然后根

据弧长公式即可求解；

(4)由(3)知，点G在以。为圆心，白为半径的圆上，过。作于X,当G在OH的反向延长

线上时，GH最大,即点G到直线AB的距离的最大，在中求出0H,进而可求GH

【详解】(1)解：由题意得，"EF=NBED=90°,

BF

「在HrABE尸中，ZABC=30°,BE=3cosZABC=——

BF

3

BF=———=26.

cosZABCcos30°

(2)①当点E在BC上方时，

如图一，过点。作垂足为//,

AD

E

B

图1

:在AABC中，ZACB=90°,ZABC=30°,AC=3,

Ar1

：.tanZABC=—,

BC

AC3

BC==30.

tanAABCtan30°

•:在ABDE中,ZDEB=90°,/DBE=ZABC=30。,

DF

BE=3,tanZDBE=—

BE

•••DE=BE-tan30°=^.

;点C、E、。在同一直线上，且"£B=90。，

ZCEB=180°-NDEB=90°.

又：在△CBE中，ZCEB=90°,BC=36,BE=3,

CE=y/BC2-BE2=372>

:.CD=CE+DE=38+8

:在△BCD中，SABOT=^CDBE=^BCDH,

：.DH=CDBE=^6+1.

②当点E在BC下方时,

如图二，

A

M

C'、、

D

图2

在ABCE中，VZCEB=90°,BE=3,BC=373,

CE=VfiC2-fi£2=30•

:.CD=CE-DE=3&S

过点。作加垂足为M.

在ABDC中，SABDC二BCDM=gcDBE，

:.DM=R1.

综上，点D到直线8C的距离为#±1.

GO=-BD=y/3

则2

图3

二点G在以。为圆心，6为半径的圆上.

当三角板DEB绕点B顺时针由初始位置旋转到点C、B、D首次在同一条直线上时,点G所经过的轨迹为150°

所对的圆弧，圆弧长为空'2%'君=逑万.

3606

/.点G所经过的路径长为更力.

6

（4）解：由（3）知，点G在以0为圆心，6为半径的圆上,

如图四，过。作。于H,

A

/

图4DE

当G在OH的反向延长线上时，GH最大,即点G到直线AB的距离的最大,

在放A8。“中，ZBHO=90°,ZOBH=30°,BO=-BC=—,

22

OH=BO-sinZOBH=—•sin30°=—,

24

/.=+=+—=—,

44

即点G到直线AB的距离的最大值为拽.

4

在模型检测

1.(2022.江苏泰州•模拟)过三角形的顶点作射线与其对边相交，将三角形分成两个三角形.若得到的两个

三角形中有等腰三角形，这条射线就叫做原三角形的“友好分割线”.

(1)下列三角形中，不存在“友好分割线”的是(只填写序号).

①等腰直角三角形；②等边三角形；③顶角为150。的等腰三角形.

(2)如图1,在AASC中，ZA=60°,4=40。，直接写出AABC被“友好分割线”分得的等腰三角形顶角的度

数；

(3)如图2,AABC中，ZA=30°,。为AB边上的高，BD=2,E为AD的中点，过点E作直线/交AC于

点、F,作CM，/,DNLI,垂足为M,M若射线CD为AABC的“友好分割线”，求CN+DN的最大值.

【答案】⑴②

(2)20°,40°,60°,80°或100°

(3)4

【分析】(1)根据“友好分割线”的定义判断即可；

(2)分三种情形：当“友好分割线”经过点C,当“友好分割线”经过点A,当“友好分割线”经过点8,分别画

出图形求解即可；

(3)证明ADNEMAAGEIASA),推出Z)N=AG.在RtdG尸和Rt^CMF中，ZCMF=—AGF=90。推出

CM<CF,AG<AF,推出C0+AGWCF+AT,即C0+AGWAC,由此可得结论.

【详解】(1)根据“友好分割线”的定义可知，

如图，等腰直角三角形，顶角为150。的等腰三角形存在“友好分割线”.

等边三角形不存在“友好分割线

故答案为：②；

(2)Q?A60革匕8=40?,

\1ACB180?60?40?80?,

如图，

当EC=E4时，^AEC=60°,

当FC=P3时，Z3FC=100。,

当BC=BG时，NB=40。.

如图,

当C4=CW时，/C=80。,

如图，

综上所述，满足条件的等腰三角形的顶角的度数为：20。，40°,60°,80。或100。；

(3)解：如图2中，作AG，/于点G.

?.NCDB=ZCDA=90°.

ZACD=90°—/A=60°.

AGM不是等腰三角形.

：C。为AABC的“友好分割线”，

•••阳和AQM中至少有一个是等腰三角形.

...△CD3是等腰三角形，且CD=30=2.

/A4c=30。，

AC=2CD=4.

,?DN上I于N,

NDNE=NAGE=90°.

为A£）的中点,

/.DE=AE.

在AQNE和AAGE中,

AAGE=ZDNE

<DE=AE

ADEN=ZAEG

ADAE^AAGE(ASA),

：.DN=AG.

在Rt^AGF和RIACMF中,ZCMF=ZAGF=90°,

：.CM<CF,AG<AF,

：.CM+AG<CF+AF,

即CM+AGWAC,

二CM+DN<4,

CM+DN的最大值为4.

2.（2022.江苏无锡•校考二模）如图1,在矩形A3CD中，AB=4,BC=5,点E在AZ）上，ED=3.动点尸

从点8出发沿BC方向以每秒3个单位的速度向点C运动，过点尸作P尸〃CE,与边54交于点尸，过点尸

BC,与CE交于点G,当点b与点A重合时，点尸停止运动，设点P运动的时间为f秒.

⑵如图2,作点。关于CE的对称点当尸G恰好过点。，时，求，的值.

（3）如图3,作△尸GP的外接圆当点尸在运动过程中.

①当外接圆。。截线段CE所得线段GQ=FP时，请求出f的值；

②当外接圆。O的圆心。落在A/GP的内部（不包括边上）时，直接写出，的取值范围.

【答案】⑴书,5t

7

（2*=二时，M落在尸G上.

⑶①”*■或"至也二”；②当枭忑时，外接圆。。的圆心。落在的内部.

3441346

PFRFRP

【分析】⑴由APFBSAECD,得名=差=黑，由此即可解决问题.

ECCDDE

(2)如图2中，由ADMGSACDE,得萼=丝，求出MG,根据PB=CG=CM-MG,列出方程即可解决

CDED

问题.

(3)①需要对四边形GQFP进行分类讨论，当为一般的矩形时和为特殊的正方形两种情况进行讨论；②需

要分情况讨论，当？FPG90?时，当NFGP=90。时，求出两种特殊位置/的值即可判断.

【详解】(1)解：如图1中，

图1

四边形ABCD是矩形，

AB=CD-4,BC=AD=5>ZB=ND=90。，AD//BC,

在Rt/XECD中，・・・ND=90。，ED=3.CD=4,

:.EC=^ED1+CD1=5，

・；PF〃CE,FG〃BC,

二•四边形尸FGC是平行四边形，

:.ZFPB=ZECB=ZDEC,

:APFBSAECD,

.PFBFBP

"~EC~^D~~DE'

•PF_BF_3/

,,==，

543

BF=4-t,PF=5t,

故答案为务，5t.

(2)解：如图2中,

国2

，D、W关于CE对称,

:.Diy±CE,DM=MD,

-.DE.DC=-.EC.DM,

22

:.DM=D'M,CM=-JCD2-DM2=y

D'MMG

由ADMGSACDE,得

CDED

12

50_MG,

43

9

5

.-.PF=CG=CM-MG,

u169

..5t=-------

55f

7

t=—.

25

7

不时，次落在FG上.

(3)解：①当外接圆。。截线段CE所得线段GQ=EP时,

■.■GQ//FP,

.•.GQFP为平行四边形，

•••£P,G,Q四点都在圆上，则圆心到四点的距离相等，

四边形GQW为矩形或正方形，

当四边形GQFP为矩形时，

:.ZFPG^90°,

在RUFBP和RUPGC中,

•：FP//EC,

ZFPB=ZPCG,

/.Rt^FBPsRt/GC,

.FPBP

^PC~~CGJ

由(1)(2)可得：FP=5t,PC=5—3t,BP=3t,CG=5t,

5t_3t

5—3/5t

解得：f=ll

当四边形GQFP为正方形时，

：.FP=GP=5t,FG=PC=5—3t,

FG2=FP2+GP2

(5-3r)2=(5r)2+(5r)2

解得：Z=25A/2-15；

41

,当外接圆。。截线段CE所得线段GQ=FP时，r=¥250-15

34-41-

②如图6中，当？FPG90?时，

如图7中，当NFGP=90。时,

t=一5,

6

观察图象可知：当时，外接圆。。的圆心。落在AFGP的内部.

346

3.（2022.江苏镇江.统考一模）【探究发现】

在AASC中，ZACB=90°,AC=BC,/是边AC上一点，将AABM沿折叠得到ANBM.如图1,若BN

与线段AC相交，连接⑷V、CN,在8M上取一点尸，使/5CP=NACN,CP交BN于点、Q,①证明：

ZNAC=ZMBC；②探究CP与CN的数量关系，并写出探究过程；

【类比学习】

如图2,在AASC中，ZACS=90°,tan/84C=〃，/是边AC上一点，将AABM沿折叠得到ANSM,

CP

若BN与线段AC相交，连接⑷V、CN,在创1上取一点尸，使/BCP=NACN,CP交BN于点Q,—=

CN-

（用含n的式子表示）；

【拓展应用】

在前面的发现和探究的经验下，当〃=变时，/是AC的中点时，若AN-NQ=12,求CP的长.

2

图1图2

【答案】【探究发现】①见解析；②CP=CN,证明见解析；【类比学习】〃；【拓展应用】CP=2.

【探究发现】①设/钻"=打，利用折叠的性质和等腰三角形的性质求解即可；②通过证明ACPB2CW即

可求解；

【类比学习】通过证明求解即可；

【拓展应用】延长加交AN于点E,利用垂直平分线以及相似三角形的性质得到KON2，设CP=X,

求得Ml、QN,即可求解.

【详解】解：【探究发现】①设NABM=a,

由折叠的性质可得：ZAPM=ZNBM=a,AB=BM

：.ZABN=2a.ZNAB=1(180°-ZABN)=90°-a,

VZACB=90°fAC=BC,

：.ZCAB=ZCBA=45°,

：.ZNAC=ZNAB-ZCAB=45°-a,ZCBP=ZCBA-ZABM=45°-a,

：.ZNAC=ZMBC；

②在尸和△C4N中

ZBCP=ZACN

<ZNAC=ZPBC

AC=BC

：.^CBP^CAN(AAS)

：.CP=CN；

解：【类比学习】设NABM=a,ACAB=/3

由折叠的性质可得：ZAPM=/NBM=a,AB=BM

：.ZABN=2a,ZNAB=1(180°-ZABN)=90°-«,

・・.ZNAC=ZNAB-ZCAB=900-a-/3,

ZACB=9Q°,

：.ZABC=90°-/3,

：.ZCBP=ZABC-ZABM=900-a-/3,

：./CBP=ZNAC,

又•；/BCP=ZACN

：.ACPBS^NA,

,CPBC

**GV-BA；

在RLABC中，tanX.BAC=----=n；

BA

.CP_

••-----Yl;

CN

解：【拓展应用】延长5M交AN于点石,

则跳1垂直平分⑷V,

又・・・M为AC的中点

J.ME//CN,ME=-CN

2f

：.ZANC=ZAEB=90°fZBPC=ZNCP,/CNQ=/PBQ

,:ACPBSACNA,

：./CPB=NCNA=9H

CPi八CM

----=tanNCBP=----_-V|

BPBC_2

设CP=a则3尸=缶

•：4CPBS&CNA

.BCBPV2.c

---------=—,即HnANAT=2x,NE=x

ACAN2

..CPV2

•--=---

CN2

・・・CN=VL:,^CN=BP

・・.△CQN%PQ3(ASA)

：.NQ=BQfBP=PE,即5£=2后

._________3

由勾股定理可得：BN=^B它+N/=3x，NQ=-X

3

AN-NQ=2x--x=12,解得x=2,负值舍去，

即CP=2.

4.（2022・江苏盐城•校考三模）如果一个四边形的对角线相等，我们称这个四边形为美好四边形.

图①图②图③

【问题提出】

（1）如图①，点E是四边形ABCD内部一点,且满足EB=EC,EA=ED,NBEC=ZAED,请说明四边形ABCD

是美好四边形；

【问题探究】

（2）如图②，^ABC,请利用尺规作图，在平面内作出点。，使得四边形ABCD是美好四边形，且满足

AD=皮）.保留作图痕迹，不写画法；

（3）在（2）的条件下，若图②中AABC满足：ZABC=90°,AB=4,BC=3,求四边形ABCD的面积；

【问题解决】

（4）如图③，某公园内需要将4个信号塔分别建在A、B、C、。四处，现要求信号塔C建在公园内一个湖

泊的边上，该湖泊可近似看成一个半径为200m的圆，记为G）E已知点A到该湖泊的最近距离为500m,是

否存在这样的点。，满足AC=3D.且使得四边形ABCD的面积最大？若存在，求出最大值，若不存在，

请说明理由.

【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）2721+3;（4）存在，最大值为405000m2

【分析】⑴连接AC,功》,证明△ACE/S3E即可；

（2）分别以点AB为圆心，大于长度为半径画弧，两弧交于两点，连接两弧交点，即作A2的垂直平

分线，以8为圆心，AC长度为半径画弧交的垂直平分线于点。，则点。即为所作；

（3）过点。作小上至于点E,根据等腰三角形的性质可得==根据勾股定理求出AC,则

2

BD已知，然后根据S四边形ABCD=^VABD+SvBCD进行计算即可；

（4）当美好四边形的对角线不垂直时，过点。作AC于点及过点区作MlAC于点尸，可得

DE+BF<BD-,当美好四边形对角线互相垂直时，S四边形=248+24理=lAC-（OD+O8）=gACB。，

^\^AC-（DE+BF）<^ACBD,则当美好四边形的对角线垂直时面积最大，从而解决问题.

【详解】解：（1）连接AC3。,

A

BC

,：ZBEC=ZAED,

：.ZBEC+ZCED=ZAED+ZCED,即ZBED=ZAEC,

在△AEC和△DEB中,

AE=DE

ZAEC=/DEB,

EC=EB

:.AAEC、DEB0AS),

：.AC=BD,

/.四边形ABCD是美好四边形;

(2)如图即为所作;

图②

(3)过点。作。于点E,

,:AD=BD,

/.AE=BE=-AB,

2

VZABC=90°,AB=4,BC=3,

AC=5,BE=—x4=2,

2

•.•四边形ABCD为美好四边形，

AC=BD=5,

DE=VBD2-BE2=752-22=国，

S.D=；.AB.DE=gx4x厅=2后,S^BCD=^BC-BE=^x3x2=3,

,,S四边形钻c£>=S〉ABD+SABCD=2V21+3;

(4)存在，

当美好四边形的对角线不垂直时，

如图，过点。作DE1AC于点E,过点8作BR1AC于点尸，

则S四边形ABCD=S-ACD+S&ACB=5AC.(DE+BF),

,/DE<DO,BF<BO,

/.DE+BF<BD,

'：-AC-(DE+BF)<-ACBD,

22

当美好四边形的对角线垂直时面积最大，

如图，当AC过圆心E,AC最长，四边形A3CD中，AC13。时，其面积最大,

;湖泊的半径是200m,点A到该湖泊的最近距离为500m,

・•・AC=500+200x2=900m，

111

29

力刑4Am=S+S=-AC-(OD+OB)=-ACBD=-X900X900=405000m.

四12形AHCOACAZCJD△AGAOCR2'，22

5.（2022•江苏扬州•校考二模）（1）【尝试探究】已知Rt/XABC中，ZACB=90。，点。是的中点，作

ZPOQ=90°,分别交AC、BC于点P、Q,连接尸。.

①如图1,若AC=BC,试探索线段"、BQ、琅之间的数量关系;

②如图2,试探索①中的结论在一般情况下是否仍然成立；

（2）【解决问题】如图3,已知RtaABC中，ZC=90°,AC=6,BC=8,点。是AB的中点，过C、。两点

的圆分别交边AC、BC于点P、Q,连接PQ,求△PCQ面积的最大值.

【答案】⑴①4尸+8。=尸。；©AP2+BQ2=PQ2,在一般情况下仍然成立，过程见解析

（2）当彳=当时，S,也。有最大值祟，即△PCQ面积的最大值为祟

69o9o

【分析】（1）①证明AAOP三ACOQ,求出AP=CQ,同理求出CP=BQ,勾股定理即可求出；②延长。。至

D,使OAOQ,连接仞、PD,证明四边形A。。。是平行四边形，得出AD〃台。AD=BQ,在RtAR4D

中，由勾股定理得：AP2+BQ2=PQ2,即可得答案;

(2)连接0尸、OQ,则ZPOQ=90。，由(2)知，AP2+BQ2=PQ2,设CP=x,CQ=y,推出

2s—3丫1

（6-x）02+（8-y）02=x2+y2,求出y=,代入口==：孙，用二次函数的性质求出答案即可.

【详解】⑴解：①连接CO,

c

•.•△ABC是等腰直角三角形，点。是A5的中点，

/.AO=CO,ZA=ZOCQ=45°,COLAB,

・・・NR9Q=90。，

/.ZAOP=ZCOQf

「.△AO尸二△COQ,

:.AP=CQ,

AC=BC,

：.CP=BQ,

・.・NACB=90。，

:.CP2+CQ2=PQ2,

AP2+BQ1=PQ2；

②4尸2+5。2=尸。2仍然成立，

如下图，延长。。至。，使。。=。。，连接AZ）、PD,

•・・•、。。互相平分，

.•・四边形AD3Q是平行四边形，

:.AD//BQ,AD=BQ,

•・・ZC=90°,

:.ZPAD=90°f

AP2+BQ2=AP2+AD2=PD2,

•・•R9垂直平分。。，

■.PQ=PD,

AP2+BQ2=PQ2；

（2）如下图，连接OP、OQ,

•l-ZC=90°,过C、。两点的圆分别交AC、3c于点尸、Q,

■■P。是圆的直径，

，NPOQ=90°,

由(2)知，AP2+BQ2=PQ2,

设CP=x,CQ=y,

贝IJAP=6_x,BQ=8-y,

（6-x）-+（8-y）2=x2+y2,

,•,S"C2=g孙，

。125-3x3f25丫625

..S=-X,---------=X------H----------,

iPpCrne248(6J96

.♦.当x=之时，S"有最大值察，即△PC。面积的最大值为票.

OVO90

6.(2022•江苏扬州•校考三模)如图1,在一平面内，线段AB=12,M、N是线段A3上两点，且

AM=BN=\.点C从点M开始向终点N运动，分别以AC,3c为边在线段A3同侧作等边AACD和等边

ABCE.

图1图2

EE

MC

(1)直接写出8和BE位置关系：___________;

(2)如图2,连接AE,BD,求证：AE=BD；

(3)如图3,设DE的中点为P,在点C从点M开始运动到终点N的过程中，求点P移动路径的长;

(4)如图4,点G、点H分别是8、3E的中点，求当线段G”取得最小值时"CE的面积.

【答案】(1)互相平行

(2)见解析

⑶5

(4匣

【分析】(1)由N4CD=NCBE=60?可知；

(2)通过证明AACE丝即可；

(3)分别过DE作A3的垂线构造直角梯形，点尸为直角梯形的中位线的一个端点，由该直角梯形上底与

下底之和为定值，

则知点尸运动轨迹为一条平行于A3的线段，分别计算运动开始与结束的位置即可；

(4)通过构造有关GH长度变化的表达式，计算GH最短时点C的位置即可.

【详解】(1)•・•△ACD与ABCE都为等边三角形，

ZACD=NCBE=60?,

.­.CD//BE(同位角相等，两直线平行)，

故答案为：互相平行.

(2),・・△ACE与△DCB都为等边三角形，

AC=DC,CE=CD,NACE=ZDCB=ZDCE+60?,

•••在AACE与ADCB中有：

AC=DC

，NACE=ZDCB

CE=CD

AACE^DCB(SAS),

AE=BD(全等三角形对应边相等)，

故命题得证.

(3)如下图所示：过点。作垂足为/,过点尸作垂足为衣,过点E作EO_L至垂足为。,

由作图知：线段网为直角梯形。/OE的中位线，

PR=：(£>/+E0),

DI=—AC,EO^—BC,

22

PR=；(£»/+EO)=¥(AC+BC)=乎AB=3A/3,

点尸的路径为一条平行于AB的线段，

当AC=1时，AI=-AC=0.5,同理，BO=-BC=5.5,

22

：.IO=AB-AI-BO=6,

：.IR=-IO=3,

2

，此时，AR=AI+IR=3.5,

当AC=11时，A/=gAC=5.5,同理，BO=\BC=0.5,

：.IO=AB-Al-BO=6,

：.1R=-IO=3,

2

此时，AR=AI+IR=8.5,

由上两种位置计算可得：R移动距离为8.5-3.5=5,即点P移动距离为5,

故答案为：5.

(4)如下图所示：分别过G"作AB的垂线，构造直角梯形GAZH,由已知条件及作图知,

CK=-AC,KG=—AC,CL=-BC,HL