苏科版八年级数学上册重难点突破训练：勾股定理及其逆定理（原卷版+解析）

专题10勾股定理及其逆定理

聚焦考点

考点一用勾股定理解三角形考点二以直角三角形三边为边的图形面积

考点三勾股定理与网格问题考点四勾股定理与折叠问题

考点五利用勾股定理求两条线段平方和（差）考点六利用勾股定理证明线段平方关系

考点七判断三边能否构成直角三角形考点八在网格中判断直角三角形

考点九图形上与已知两点构成直角三角形的点考点十利用勾股定理逆定理求解

考点十一勾股定理逆定理解决实际问题

考点一用勾股定理解三角形

例题：（2022,湖南衡阳•八年级期末）在0ABe中，AB=3,BC=4,若0ABe是直角形，则AC的长应是（）

A.5B.币C.5或4D.5或随

【变式训练】

1.（2022•福建省福州屏东中学八年级期中）己知一个直角三角形的两边分别为3和4,则第三边的长可以

是.（写出一个即可）

2.（2022•全国•八年级专题练习）如图，已知是EABC中边上的高，AC=10,CD=8,BC=3AD.求

8C的长.

考点二以直角三角形三边为边的图形面积

例题：（2022•天津二中八年级期中）如图所示，三个大小不一的正方形拼合在一起，其中两个正方形的面积

为144,225,那么正方形A的面积是（)

A.225B.144C.81D.无法确定

【变式训练】

1.（2022・广东阳江•八年级期中）如图，直角三角形三边上的半圆面积之间的关系是

2.（2022•全国•八年级）如图是一株美丽的勾股树，所有四边形都是正方形，所有三角形是直角三角形，若

正方形A、B、C面积为2、8、5,则正方形。的面积为

考点三勾股定理与网格问题

例题：（2022•福建福州•八年级期末）在边长为1的小正方形组成的网格中，A、B、C、D、E在格点上，长

度是质的线段是（）

A.ABB.ACC.ADD.AE

【变式训练】

1.（2022•全国•八年级课时练习）如图，在网格中，每个小正方形的边长均为1.点A、B,C都在格点上,

若BD是0ABe的高，则3。的长为

A

2.（2022•辽宁鞍山•八年级期中）如图，每个小正方形的边长都为1.求出四边形A3CD的周长和面积.

考点四勾股定理与折叠问题

例题：（2022•湖北咸宁•八年级期末）如图是一张直角三角形的纸片，两直角边AC=6cm、BC=8cm,现将

折叠，使点5与点A重合，折痕为。区则BE的长为（）

A.4cmB.4.75cmC.6cmD.5cm

【变式训练】

1.（2022•全国,八年级）如图，在而AABC中，ZB=9Q°,AB=3,BC=4.将AABC折叠，使点8恰好落在边

AC上，与点5,重合，AE为折痕，贝葭EB'C的周长为.

2.（2022・全国•八年级课时练习）如图，在长方形ABCO中，AB=S,AO=10,点E为BC上一点，将0ABE

沿AE折叠，点B恰好落在线段。E上的点尸处，则BE的长为

D

考点五利用勾股定理求两条线段平方和（差）

例题：（2021•贵州六盘水,八年级阶段练习）在0ABe中，0C=9O°,AB=3,则人加+台^+人^的值为（）

A.6B.9C.12D.18

【变式训练】

1.（2022•全国•八年级课时练习）在中，ZC=90°,AB=10,则2AB?+AC?+BC?=（）.

A.100B.200C.300D.400

2.（2022•全国•八年级课时练习）如图，在0ABe中，AB=10,AC=13,AOSBC,垂足为。，〃为上任

一点，则等于.

考点六利用勾股定理证明线段平方关系

例题：（2022•全国•八年级课时练习）如图，在等腰放AABC中，NACB=90。，点。是AB上一点，作等腰

Rt^DCE,且/OCE=90°,连接AE.

⑴求证：ACEA沿ACDB；

(2)求证：BD2+AD2=DE2.

【变式训练】

1.（2022•福建•漳平市教师进修学校八年级阶段练习）如图，在R3ABC中，ZC=90°,AC=,在RtZXABD

中，ZD=90°,AD与BC交于点,E,且ZDBE=ZDAB.求证：

(1)ZCAE=ZDBC；

⑵AC2+CE2=4BD2.

考点七判断三边能否构成直角三角形

例题：（2022•广西柳州•八年级期中）以下列各组数为三边长，其中能构成直角三角形的是（）

A.1,2,3B.3,4,5C.4,5,6D.5,6,7

【变式训练】

1.（2022•江西萍乡•八年级开学考试）若44BC的三边长a,b,c满足（。-4+,+从=。，贝”c是

2.（2022•广东冻莞市松山湖莞美学校八年级期中）已知AA8C的三边a,6,c满足（a-5）?+（6-⑵？+|c

-131=0,贝必ABC是三角形.

考点八在网格中判断直角三角形

例题：（2022•湖北•谷城县教学研究室八年级期末）如图，每个小正方形的边长都为1,点A、B、C均在格

点上（即小正方形的项点上），则图中NA3c的度数为.

【变式训练】

1.（2022•吉林松原•八年级期末）如图，每个小正方形的边长都相等，A,B,C是小正方形的顶点，则0ABe

的度数为—.

2.（2022•青海西宁•八年级期末）如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都为1,回A8C的顶点都在格

点上，AC=A/5.

(1)BC=__________

⑵判断回ABC的形状，并说明理由.

考点九图形上与已知两点构成直角三角形的点

例题：（2022■全国■八年级专题练习）同一平面内有A,B,C三点，A,8两点之间的距离为5cm，点C到

直线AB的距离为2cm,且445C为直角三角形，则满足上述条件的点C有个.

【变式训练】

1.（2022・全国•八年级课时练习）如图，NBOC=60。，点A是BO延长线上的一点，04=10cm,动点P从

点A出发沿AB以3cm/s的速度移动,动点。从点。出发沿OC以lcm/s的速度移动，如果点尸，。同时出发，

用f（s）表示移动的时间，当/=s时，△尸。。是等腰三角形；当/=s时，△尸。。是直角

三角形.

2.(2022・全国•八年级专题练习)如图，在R/SABC中，回C=90。，AB=5cm,AC^cm,动点P从点B出发沿

射线BC以3cm/s的速度移动，设运动的时间为t秒.

备用图1备用图2

⑴求8C边的长；

⑵当0ABp为直角三角形时，求f的值；

⑶当0ABp为等腰三角形时，请直接写出此时f的值.

考点十利用勾股定理逆定理求解

例题：(2022•河北衡水•八年级期中)如图，已知在AABC中，BC=2AC=2y/5,48=岳.

(1)々AC的度数为;

(2)若。是的中点，则N7LDC的度数为

【变式训练】

1.（2022・福建福州•八年级期中）如图，在四边形A8CD中，AB=3,BC=4,CD=8,AD=底,fflACD=

90。，求回8的度数.

2.（2022•全国•八年级专题练习）如图，在中，AB=AC,8c=15,。是AB上一点，BD=9,CD=

12

⑴求证：CZJEL4B；

⑵求AC的长.

考点十一勾股定理逆定理解决实际问题

例题：（2022•湖南张家界•八年级期中）已知某开发区有一块四边形空地ABCD,如图所示，现计划在空地上

种植草皮，经测量EIA=90。，AB^3m,8C=12加，CO=13加，D4=4如若每平方米草皮需要300元，求一

共需要投入多少元.

【变式训练】

1.（2022•四川广安•八年级期末）城市绿化是城市重要的基础设施，是改善生态环境和提高广大人民群众生

活质量的公益事业.某小区在社区管理人员及社区居民的共同努力之下，在临街的拐角清理出了一块可以

绿化的空地，如图为该空地的示意图，己知AB=4m,BC=3m,AT>=12m,CD=13m,ZB=90°.现计

划在空地上种草，若每平方米草地造价30元，在这块空地上全部种草的费用是多少元?

2.（2022・四川宜宾・八年级期末）"村村通”公路是我国的一项重要的民生工程，如图，A,B,C三个村都分

别修建了一条互通公路，其中现要在公路边修建一个景点M（3,C,M在同一条直线上），

为方便A村村民到达景点M，又修建了一条公路AM,测得AC=13千米，CM=5千米，AM=12千米.

⑴判断0ACM的形状，并说明理由;

⑵求公路A8的长.

3.（2022・山东聊城•八年级期末）聊城市在创建"全国文明城市”期间，某小区在临街的拐角清理出了一块可

以绿化的空地.如图，经技术人员的测量，已知AB=9〃z,BC=12m,CD=17m,AD=Sm,0ABe=90。.若

平均每平方米空地的绿化费用为150元，试计算绿化这片空地共需花费多少元？

D

IV

，街道C

j课后训练：

♦•

一、选择题

1.（2022•江苏•海安市南莫中学八年级期中）下列四组数据不能作为直角三角形的三边长的是（）

A.3、4、5B.1、R2C.13、14、15D.8、15、17

2.（2022・福建龙岩•八年级期末）一个直角三角形有两条边分别是3cm4CM,则第三条边的长度是（）

A.5cmB.V?cmC.5cm或币c7rlD.以上都不对

3.（2022•辽宁铁岭八年级期末）己知|a-6|+V^+（c-10）2=0,则以a,6,c为三边长的三角形是（）

A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.不能确定

4.（2022•辽宁抚顺•八年级期末）在R/AABC中，NBAC=90。，AB=6,AC=8,。为8C边的中点，贝UAD

的长为（）.

24

A.4B.5C.—D.10

5

5.（2022•陕西咸阳•八年级期末）如图，在长为2的线段上，用尺规作如下操作：过点8作8皿8,使

得BC=：AB,连接AC,在AC上截取CE=C8,在AB上截取A£）=AE,则3。的长为（）

A.V5-1B.V5-3C.3-乖D.V5+1

二、填空题

6.（2021•江苏镇江•八年级期中）在如图所示的直角三角形中，x=—.

7.（2022•河南许昌•八年级期末）如图，在0ABe中，0ABe=90.0ACB=6O°.BD^AC,重足为D若AB=6.则

DC的长为.

8.（2022・上海市风华初级中学八年级期末）如图，在a48c中，AB=6,BC=10,AC=8,点。是8C的中点,

如果将0ACD沿AD翻折后，点C的对应点为点E,那么CE的长等于.

9.（2022,辽宁沈阳•八年级期末）在AABC中，NBAC=9（F,NC=30o,AB=3,点。为AC的中点，点E在BC

边上，将△（7£>£沿着OE翻折，使点C落在点尸处，当FELAC时，FE=.

DC

10.（2022•青海西宁•八年级期末）如图，点A是射线3c外一点，连接AB,AB=5cm,点A到8c的距离

为3cm.动点P从点8出发沿射线3c以2cm/s的速度运动.设运动的时间为t秒，当/为秒时,

为直角三角形.

A

三、解答题

11.（2022•吉林白城•八年级期末）如图，在AABC中，0ACB=9O°,AB=20,AC=12,把AABC沿折叠,

使AB落在直线AC上.

（1）BC=；

⑵求重叠部分（阴影部分）的面积.

12.（2022・广东清远・八年级期中）已知AABC的三边分别为a,b,c,且a+6=3,ab=l,c=5.

⑴求a?+b2的值;

⑵试判断AABC的形状，并说明理由.

13.（2022•广东•汕头市蓝田中学八年级期中）如图，四边形48CD的四个顶点都在网格上，且每个小正方

形的边长都为1.

(1)8C=，AD=,连接B。，判断0A8D的形状为

(2)求四边形ABC。的面积.

14.(2022•山东聊城•八年级期中)如图，在AABC中，。是BC的中点，DELBC,垂足为£),交AB于点E,

^.BE2-AE2=AC-.

⑴判断AABC的形状，并证明你的结论;

(2)若DE=3,BD=4,求AE的长.

15.(2022•河南洛阳•八年级期末)如图，△ABC中，44cB=90。，AB=5cm,BC=3cm,若点尸从点A

出发，以每秒2cm的速度沿折线A-C-8-A运动，设运动时间为/秒(r>0).

(1)若点尸在AC上，且满足24=尸5时，求出此时/的值;

⑵若点尸恰好在NBAC的角平分线上，求才的值；

（3）在运动过程中，直接写出当,为何值时，△3CP为等腰三角形.

16.（2022,福建泉州•八年级期末）如图，在0ABe中，0ACB=9O。，。为A8中点，点E,尸分别在直线BC,

AC上（点E不与点8,C重合），DF^DE,连接EE

⑵如图2,当点F不与点A重合时，求证：A尸+B£2=E/;

(3)若AC=8,BC=6,EC=2,求线段CE的长.

专题10勾股定理及其逆定理

聚焦考点

考点一用勾股定理解三角形考点二以直角三角形三边

为边的图形面积

考点三勾股定理与网格问题考点四勾股定理与折叠问

题

考点五利用勾股定理求两条线段平方和（差）考点六利用勾股定理证明

线段平方关系

考点七判断三边能否构成直角三角形考点八在网格中判断直角

三角形

考点九图形上与已知两点构成直角三角形的点考点十利用勾股定理逆定

理求解

考点十一勾股定理逆定理解决实际问题

考点一用勾股定理解三角形

例题：（2022•湖南衡阳•八年级期末）在0ABC中，A8=3,BC=4,若0ABe是直角形，则

AC的长应是（）

A.5B.币C.5或"D.5或我

【答案】C

【解析】

【分析】

根据题意分为直角边和斜边两种情况讨论，根据勾股定理即可求解.

【详解】

解：VRtAABC,AB=3,BC=4,

①2C为直角边时，AC=^AB2+BC2=^+42=5.

②8C为斜边时，入。=JBCZ-AB、"—3?=夜,

故选C.

【点睛】

本题考查了勾股定理，分类讨论是解题的关键.

【变式训练】

1.（2022•福建省福州屏东中学八年级期中）已知一个直角三角形的两边分别为3和4,则第

三边的长可以是.（写出一个即可）

【答案】布（或5）

【解析】

【分析】

根据题意分情况讨论，进而即可求解.

【详解】

解：,•・一个直角三角形的两边分别为3和4,

①当4为直角边长，则第三边为斜边，第三边的长为省宁=5.

②当4为斜边长，则第三边为直角边，第三边的长为，42_3?=布.

故答案为：币（或5）.

【点睛】

本题考查了勾股定理，分类讨论是解题的关键.

2.（2022•全国•八年级专题练习）如图，已知CD是0ABe中边上的高，AC=10,CD=8,

BC=3AD.求的长.

【答案】18

【解析】

【分析】

根据题意，在中，利用勾股定理求出AD=6,再结合8C=3A。即可得出结论.

【详解】

解：回是0ABe中48边上的高，

0CD0AB,

03Aoe=90°,

在R/EL4C。中，a4DC=90",AC=10,CZ）=8,由勾股定理得：AD=^AC1-CD1=6,

0BC=3AD=18,

EIBC的长为18.

【点睛】

本题主要考查了勾股定理，利用勾股定理求出的长是解题的关键，属于基础题.

考点二以直角三角形三边为边的图形面积

例题：（2022•天津二中八年级期中）如图所示，三个大小不一的正方形拼合在一起，其中两

个正方形的面积为144,225,那么正方形A的面积是（）

A.225B.144C.81D.无法确定

【答案】C

【解析】

【分析】

根据题意得出AEBG为直角三角形，然后利用勾股定理即可得出结果.

【详解】

解：如图所示，AEFG为直角三角形，

EEF2=GF2-GE2=225-144=81,

回正方形A的面积为81,

故选：C.

【点睛】

题目主要考查勾股定理的应用，理解题意是解题关键.

【变式训练】

1.（2022•广东阳江•八年级期中）如图，直角三角形三边上的半圆面积之间的关系是

【解析】

【分析】

由勾股定理求出三边之间的关系，根据圆的面积公式求出三个半圆的面积，即可得出答案.

【详解】

解：如图,

,-TTAC2+-7TBC2=-7rAB\

888

111

•/S=-X7T（-AC9）2=-7lAC?2,

}1228

2

同理§2=J万3c2,S3=—7rAB,

88

••S]+S2—S3f

故答案为：Sl+S2=S3.

【点睛】

本题考查的是勾股定理及圆的面积公式，熟知勾股定理是解答此题的关键.

2.（2022,全国•八年级）如图是一株美丽的勾股树，所有四边形都是正方形，所有三角形是

直角三角形，若正方形A、B、C面积为2、8、5,则正方形。的面积为.

【答案】15

【解析】

【分析】

根据勾股定理和正方形的性质即可得到结论.

【详解】

解：由勾股定理得，正方形。的面积=正方形A的面积+正方形8的面积+正方形C面积

=2+8+5=15,

故答案为：15.

【点睛】

本题考查的是勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于

斜边长的平方是解答此题的关键.

考点三勾股定理与网格问题

例题：（2022•福建福州•八年级期末）在边长为1的小正方形组成的网格中，A、B、C、D、

E在格点上，长度是而的线段是（）

A.ABB.ACC.ADD.AE

【答案】B

【解析】

【分析】

利用勾股定理求得各线段的长，即可求解.

【详解】

解：AB=712+22=75-

AC=Vl2+32=-\/10，

AD=］展+展=瓜,

AE=d于S=屈,

综上，只有B选项符合题意，

故选：B.

【点睛】

本题考查了勾股定理，正确计算是解题的关键.

【变式训练】

1.（2022•全国•八年级课时练习）如图，在网格中，每个小正方形的边长均为1.点A、B,

C都在格点上，若2。是0ABe的高，则3。的长为.

【解析】

【分析】

根据勾股定理计算AC的长，利用面积差可得三角形ABC的面积，由三角形的面积公式即

可得到结论.

【详解】

解：由勾股定理得：AC=d*+U=2也，

0SAABC=3x4-1-xlx2-1x3x2-|x2x4=4,

叫AC・BQ=4,

E|X2A/5BD=4,

回8D=递，

5

故答案为：拽.

5

【点睛】

本题考查了勾股定理，三角形的面积的计算，掌握勾股定理是解题的关键.

2.（2022•辽宁鞍山•八年级期中）如图，每个小正方形的边长都为1.求出四边形A8C。的

周长和面积.

【答案】周长为5君+旧+2/河；面积为26

【解析】

【分析】

根据勾股定理分别求出ASBC,CD,的长即可得到四边形ABC。的周长；根据四边形

ABC。的面积等于其所在的长方形面积减去周围四个三角形面积求解即可.

【详解】

解：根据勾股定理得=5+2?=26，BC=招+32=3#>,CD=V32+22=713-

仞=后+2、=2回,

故四边形A8CO的周长：2石+34+J1H+2a=5占+JB+2M；

四边形ABC。的面积：6x8--x2x4--x6x3-l--x3x2--x2x6=26.

2222

【点睛】

本题主要考查了勾股定理与网格问题，熟知勾股定理是解题的关键.

考点四勾股定理与折叠问题

例题：（2022•湖北咸宁•八年级期末）如图是一张直角三角形的纸片，两直角边AC=6cm、

BC=8cm,现将EABC折叠，使点8与点A重合，折痕为DE,则BE的长为（）

A.4cmB.4.75cmC.6cmD.5cm

【答案】D

【解析】

【分析】

根据勾股定理可求出AB的长，由AB的长度可求出BE的长度.

【详解】

解：0AC=6cm>BC=8cm,

在0ABe中，由勾股定理可知：AB=>]AC2+BC2=V62+82=1O.

团将0ABe折叠，使点8与点A重合，

故E为AB的中点，

^\AE=BE=5,

故选：D.

【点睛】

本题考查勾股定理的应用，折叠变换，能够熟练应用勾股定理是解决本题的关键.

【变式训练】

1.（2022•全国•八年级）如图，在RMABC中，ZB=90°,AB=3,BC=4.将AABC折叠，使

点8恰好落在边AC上，与点3'重合，AE为折痕，则AEB'C的周长为.

【解析】

【分析】

首先利用勾股定理求出AC=5,根据折叠得到£C=2,求出三角形的周长.

【详解】

解：Rt^ABC，EB=90°,

0AC=7AB2+BC2=A/32+42=5，

由折叠知AB'=AB=3,

回B'C=AC-A2'=5-3=2,

回△B'EC的周长为B'C+EC+B'E=B'C+EC+BE=B'C+CB=2+4=6,

故答案为6.

【点睛】

本题考查折叠的性质以及勾股定理，解决问题的关键是分清折叠前后的对应的关系.

2.（2022•全国•八年级课时练习）如图，在长方形ABC。中，AB=S,AD=10,点E为BC

上一点，将0A8E沿AE折叠，点8恰好落在线段QE上的点尸处，则的长为.

【答案】4

【解析】

【分析】

设3E=x,则CE=10-x,由折叠的性质可知AF=8,EF=x,在放AACIF中利用勾股定

理表示出。尸，在处△CDE中，利用勾股定理列方程求解x.

【详解】

解：设=则CE=10—x,

由折叠的性质可知，AF=AB=8,EF=BE=x,ZAFE=ZB=90°.

在吊AAZ）尸中,DF=\lAD2-AF2=A/1O2-82=6-

DE—EF+DF=x+6.

在&△CDE中，Cb+CE?=DE"即8?+（10-尤y=（x+6）2,

解得x=4.

BE的长为4.

【点睛】

本题考查了勾股定理的应用，折叠的性质，熟练掌握勾股定理是解题的关键.

考点五利用勾股定理求两条线段平方和（差）

例题：（2021•贵州六盘水•八年级阶段练习）在0ABe中，回C=90。，AB=3,则A¥+BC^+AC?

的值为（)

A.6B.9C.12D.18

【答案】D

【解析】

【分析】

根据/C=90。，利用勾股定理可得A52=3C2+AC2,据此求解即可.

【详解】

解：如图示，ZC=90°

A

Ca------------、B

团在Rti^ABC中，AB2=BC-+AC2

EAB2+BC2+AC2=AB2+AB2=2AB2=2x32=18,

故选：D.

【点睛】

本题主要考查了勾股定理的性质，掌握直角三角形中，三角形的三边长。，b,c满足

片+>2=02是解题的关键.

【变式训练】

1.（2022•全国•八年级课时练习）在RtZXABC中，ZC=90°,AB=10,贝12AB?+AC?+3C?=

（）.

A.100B.200C.300D.400

【答案】C

【解析】

【分析】

根据题意NC=90。，那么A2就为斜边，则根据勾股定理可得：AC2+BC2=AB2,那么原

式则为3AB,，再将A3的值代入即可求出答案.

【详解】

解：团在Rt^ABC中，且NC=90。，

0A8为Rt^ABC的斜边，

团根据勾股定理得：AC2+BC2=AB2,

02AB2+AC?+BC2=3AB2=3xl02=300,

故选：c.

【点睛】

本题主要考查了勾股定理，正确对应斜边并能灵活运用勾股定理是解题的关键.

2.(2022•全国•八年级课时练习)如图，在EL4BC中，AB=1O,AC=13,ADBBC,垂足为

M为AO上任一点，则MC2-MB2等于.

【答案】69

【解析】

【分析】

在Rl^ABDRRtSADC中可分别表示出2》及CD2,在R/0BDW及R/EICDM中分别将BD2

及CD的表示形式代入表示出原印和MC2,然后作差即可得出结果.

【详解】

解：在R/EL4BO和R/S4OC中，

BD2=AB2-AD2,

CD^^AC^-AD2,

在RfS\BDM和Rf3\CDM中，

BM2^BD2+MD2^AB2-AD2+MD2,

MO=B+MD2=AC1-AD2+MD2,

(AC^-AD^+MD2)-(AB2-AD2+M£>2),

=132-102,

=69.

故答案为：69.

【点睛】

此题考查了勾股定理的知识，解题的关键是熟练掌握勾股定理，分别两次运用勾股定理求出

MC2和

考点六利用勾股定理证明线段平方关系

例题：(2022•全国•八年级课时练习)如图，在等腰中，ZACB=90°,点。是48上

一点，作等腰HAOCE,且NDCE=90。，连接AE.

⑴求证：MEA学ACDB；

(2)求证：BD2+AD2^DE2.

【答案】⑴见解析

⑵见解析

【解析】

【分析】

(1)根据等腰直角三角形的性质可得AC=3C,CD=EC,ZACB=ZDCE=90°,根据角

的和差关系可得NACE=/BCD,利用SAS即可证明EICEAEECDB；

(2)根据回CEAEECDB可得13cAE=EIB=45°,BD=AE,即可得出团胡。=90°,根据勾股定理即

可得结论.

⑴

回AABC和ADCE都是等腰直角三角形，

SAC^BC,CD=EC,ZACB=ZDCE=90°,

EZACB-ZACD=Z.DCE-ZACD,

0/ACE=/BCD,

AC=BC

在△CDB与AC£4中，,NACE=ZBCD,

EC=CD

BACDB^ACEA.

(2)

回A"C是等腰直角三角形，

0ZB=ZBAC=45°,

由(1)得ACDBgACEA,

BZEAC=ZB=45°,BD=AE,

团ZE4D=NEAC+ZBAC=45°+45°=90°,

AE2+AD2DE2，

0BD2+AD2=DE2-

【点睛】

本题考查全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质及勾股定理，熟练掌握相关性质

及判定定理是解题关键.

【变式训练】

1.（2022•福建•漳平市教师进修学校八年级阶段练习）如图，在RtAABC中，ZC=90°,

AC^BC,在Rt/XABD中，ZD=90°,AD与3c交于点E,且/DBE=/DAB.求证：

⑵AC2+CE2=4BD2.

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析

【解析】

【分析】

（1）根据三角形内角和定理确定NCE4+/C4£=90。，ZDEB+ZDBC=90°,再根据等角

的余角相等即可证明；

（2）延长3。交AC延长线于点尸.先根据全等三角形的判定定理得到AW尸丝△4）3,

进而得到BF=2BD,再根据全等三角形的判定定理得到△ACE■丝△3CF,进而得到

AE=2BD,最后根据勾股定理即可证明.

【详解】

证明：（1）如下图所示，标出Nl,Z2,Z3.

0Z1+Z3=9O°,Z2+Z£)BC=90°.

团N1和N2是对顶角，

团N1=N2.

回/3=ZDBC,BPZCAE=ZDBC.

（2）在（1）中图延长交AC延长线于点尸.

由（1）可知Z3=ZDBC,即N3=NOBE.

⑦ZDBE=ZDAB,

团N3=ND4B.

国/ADB=90°,

团NA£＞尸=90。.

^\ZADF=ZADB.

在△"＞/和ZXAT应中，

N3=/DAB,

中AD=AD,

ZADF=NADB,

团Z\ADFg△4）3（ASA）.

国FD=BD.

BBF=2BD.

0ZACB=9O°,BPZACE=90°,

团NBC尸=900.

BZACE=ZBCF.

由（1）可知/3=/D3C,即N3=NCBb.

在△ACE和ZXBC/中，，

N3=ZCBF,

回＜AC=BC,

/ACE=/BCF,

回AACE^ABCF（ASA）.

^AE=BF.

国AE=2BD

团在RSACE中，AC2+CE2=AE2,

团AC2+CE2=（230）2=4502

【点睛】

本题考查三角形的内角和定理，等角的余角相等，全等三角形的判定定理和性质，勾股定理,

综合应用以上知识点是解题关键，同时注意等价代换思想的使用.

考点七判断三边能否构成直角三角形

例题：（2022•广西柳州•八年级期中）以下列各组数为三边长，其中能构成直角三角形的是

（）

A.1,2,3B.3,4,5C.4,5,6D.5,6,7

【答案】B

【分析】根据勾股定理的逆定理：如果三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那这个三

角形就是直角三角形，逐一判断即可.

【详解】解：A,12+22^32,不能构成直角三角形，故选项不符合题意；

B、32+42=52,能构成直角三角形，故选项符合题意；

C、4?+5?#6?,不能构成直角三角形，故选项不符合题意；

。、52+62^72,不能构成直角三角形，故选项不符合题意.

故选：B.

【点睛】此题主要考查了勾股定理逆定理的应用，已知三边的长，只需要利用逆定理判断即

可.

【变式训练】

1.（2022•江西萍乡•八年级开学考试）若AABC的三边长6,c满足伍-6）2+/+廿-。2卜0,

则AABC是.

【答案】等腰直角三角形

【分析】根据平方的结果是非负数、绝对值的结果为非负数，再根据勾股定理的逆定理、等

腰三角形的判定进行判定即可.

【详角星】解：S（a-b-）2+\a2+b2-c2\=0

>0,|a2+b2-c2|>0

回。-6=0、a2+b2-c2=0

回。=6、a1+b2=c2

回AABC是等腰直角三角形

故答案为：等腰直角三角形.

【点睛】本题考查了非负数的性质、勾股定理的逆定理、等腰三角形的判定等知识点，解答

此题的关键是得出a—6=0、a1+b~—c1=0.

2.（2022•广东•东莞市松山湖莞美学校八年级期中）己知“BC的三边a,b,c满足（a-5）

2+（b-12）2+|c-13|=0,则AABC是三角形.

【答案】直角

【分析】先根据非负数的性质求出。、6、c的值，然后根据勾股定理的逆定理判断即可.

【详解】回伍-5）2+（况12尸+1。131=0,

0o-5=O,£>-12=0,c-13=0,

回。=5,b=12,c=13,

052+122=132,

Ea2+Z>2=c2,

fflABC是直角三角形.

故答案为：直角.

【点睛】本题考查了非负数的性质及勾股定理逆定理，如果三角形两边的平方和等于第三边

的平方，那么这个三角形是直角三角形，在一个三角形中，即如果用a,b,c表示三角形的

三条边，如果。2+炉=^,那么这个三角形是直角三角形.

考点八在网格中判断直角三角形

例题：（2022•湖北•谷城县教学研究室八年级期末）如图，每个小正方形的边长都为1,点A、

B、C均在格点上（即小正方形的项点上），则图中NA3c的度数为.

【答案】90。##90度

【分析】先利用勾股定理求出A9,BG,AC2,再利用勾股定理的逆定理证明AABC是直角

三角形，即可解答.

【详解】解：由题意得：482=22+42=20,

CB2=22+12=5,

AC2=32+42=25,

EL4B2+BC2=AC2,

回0ABe是直角三角形，

EEABC=90°,

故答案为：90°.

【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，勾股定理，熟练掌握勾股定理的逆定理，以及勾股

定理是解题的关键.

【变式训练】

1.（2022•吉林松原•八年级期末）如图，每个小正方形的边长都相等，A,B,C是小正方形

的顶点，则0ABe的度数为一.

【答案】450

【分析】根据勾股定理得到AB,BC,AC的长度，再判断0ABe是等腰直角三角形，进而得

出结论.

【详解】解：如图，连接AC.

由题意，AC=722+12=A/5，BC=d吩=非,AB=712+32=V10>

0AC=BC,AB2^AC1+BC2,

团0ABC是等腰直角三角形，且0ACB=9O。，

EHABC=I2CAB=45°.

故答案为：45°.

【点睛】本题考查了勾股定理及其逆定理，等腰直角三角形的判定与性质，判断出AABC

是等腰直角三角形是解决本题的关键.

2.（2022•青海西宁•八年级期末）如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都为1,回ABC

的顶点都在格点上，AC=45.

（1）BC=；

⑵判断回ABC的形状，并说明理由.

【答案】⑴26

⑵直角三角形，理由见解析

【分析】（1）根据勾股定理，已知直角三角形的两条直角边可以求出斜边长.

（2）根据勾股定理的逆定理可判定回A3C是直角三角形.

<1）由图知Be?=42+22=2OEBC=^=2A/5故答案为2君

（2）国A3C是直角三角形，理由如下：AC=-j5,BC=2卮AB=5S

AU+BC?=（4尸+（2右了=25,又回AB?=52=25回AC?+3C?=Ng2HliABC是直角三角形

（如果三角形的两边平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形）

【点睛】本题主要考查了勾股定理和它的逆定理.根据勾股定理，已知直角三角形的两边长

可以求出第三条边长.而勾股定理的逆定理的作用是：已知一个三角形的三边长，判定这个

三角形是否为直角三角形，注意运用时不要弄混淆.

考点九图形上与已知两点构成直角三角形的点

例题：（2022•全国•八年级专题练习）同一平面内有A,B,C三点，A,8两点之间的距离

为5cm,点C到直线A3的距离为2cm,且AABC为直角三角形，则满足上述条件的点C有

______个.

【答案】8

【分析】该题存在两种情况；（1）AB为斜边，则NC=90。；（2）AB为直角边，AC=2CM或

BC=2cm；

【详解】（1）当A2为斜边时，点C到直线A3的距离为2cm,即A8边上的高为2cm,符

合要求的C点有4个，如图：

（2）当为直角边时，AC=2cm^BC=2cm,符合条件的点有4个，如图;

符合要求的C点有8个；

故答案是8.

【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，准确分析判断是解题的关键.

【变式训练】

1.（2022•全国•八年级课时练习）如图,ZBOC=60。，点A是30延长线上的一点，OA=10cm,

动点尸从点A出发沿AB以3cm/s的速度移动，动点0从点。出发沿OC以lcm/s的速度移

动，如果点P，。同时出发，用r（s）表示移动的时间，当/=s时，△POQ是等腰

三角形；当/=s时，△P。。是直角三角形.

【分析】根据AP。。是等腰三角形，分两种情况进行讨论：点尸在A0上，或点尸在3。上；

根据APOQ是直角三角形，分两种情况进行讨论：PQLAB,或PQLOC,据此进行计算

即可.

当尸时，io-3r=r,

解得/=：；

如图，当尸时，△尸。。是等腰三角形,

.•.当PO=QO时，3f—10=/,

解得t=5；

如图，当尸。，钻时，△尸。。是直角三角形，且QO=2OP,

c

.•.当Q0=20P时，r=2x（3r-10）,

解得f=4；

如图，当PQ_LOC时，AP。。是直角三角形，且2QO=OP,

.•.当2。。=。尸时,2t=3t-W,

解得：/=10.

故答案为：;或5；4或10.

【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质以及直角三角形的性质，解决问题的关键是进行

分类讨论，分类时注意不能遗漏，也不能重复.

2.(2022•全国•八年级专题练习)如图，在R/0A8C中，EIC=900,AB=5cm,AC=4cm,动点尸

从点B出发沿射线BC以3cm/s的速度移动，设运动的时间为f秒.

备用图2

⑴求边的长;

(2)当为直角三角形时，求r的值;

⑶当0ABp为等腰三角形时，请直接写出此时f的值.

【答案】(1)3。相

(2)1或年

(3)f=：5或2或£25

【分析】(1)根据题意，在A0ABe中，利用勾股定理求解即可；

(2)由题意可知，分两种情况：®ZAPS=90°；②N3AP=90。，代值求解即可；

(3)由题意可知，分三种情况：①BA=BP；@AB=AP-.(?)PA=PB,分别结算求解

即可.

(1)

解：团在R/a48c中，ZACB=9(y,AB=5cm,AC=4cm,

回201AB。-AC。=3cm；

⑵

解：由题意可知，分两种情况：(1)ZAPS=90°；②/B4P=90。，

设BP=3fcm,回历90°：

①当她尸8=90。时，易知点尸与点C重合，

QBP=BC,即3f=3,

0r=l；

②当SR4B=90。时，如下图所示：

^\CP=BP—BC=(3/一3)cm,

25

22222222

^AC+CP=AP=BP~ABf即42+(3/—3)=(3力-5,解得：t=—,

25

综上所述：当AWP为直角三角形时，或互；

(3)

解：由题意可知，分三种情况：①BA=3P；②=③丛=依,

①当BA=BP=5cmHt,如图所示：

5

"?=3：

②当AB=AP=5cm时，如图所示:

根据等腰三角形〃三线合一〃可知，AC是AABP边族上的中线,

/.BP=2BC=6cm,

③当％=尸8时，如图所示:

设尸C=x,贝1］收=3。+/<?=3+尤=%，

在用AAPC中，ZACP=90°,PC=x,PA=x+3,AC=4,则由勾股定理可得

7

AC2+PC2^PA2,即4?+x2=（尤+3）9-,解得尤=:，

6

725

BP=BC+PC=3+-=—cm,

66

25r25

t=------3=—

618f

5?5

综上所述：vg或2或三.

3lo

【点睛】本题考查三角形中的动点问题，涉及到勾股定理求线段长、三角形为直角三角形的

讨论和三角形为等腰三角形的讨论等知识，熟练掌握相关知识点及分类情况是解决问题的关

键.

考点十利用勾股定理逆定理求解

例题：（2022•河北衡水•八年级期中）如图，已知在AABC中，BC=2AC=2小，AB=>J15.

（1）44c的度数为；

（2）若。是3c的中点，则/ADC的度数为.

【答案】90°##90度60°##60度

【分析】（1）根据勾股定理的逆定理可得结论；

（2）根据直角三角形斜边中线的性质可证得△ACD为等边三角形，从而得到NADC的度

数.

【详解】(1)回在AABC中，BC=2AC=2小,AB=J15,

EAC2+BC2=(A/5)2+(V15)2=20,BC2=(2后=20,

AC2+BC2=BC2,

回为直角三角形，且/区4c=90°.

故答案为：90°.

(2)团在必~4BC中，。是8C的中点，

S\AD=CD=-BC,

2

XEAC=-BC,

2

回AD=CD=AC,

团八48为等边