三次函数的图像与性质（4大常考点归纳）-2025年高考数学复习（新高考卷）解析版

实战演练02三次函数的图像与性质

考点归纳

①三次函数的零点

②三次函数的极值'极值点

③三次函数的切线

④三次函数的对称性

必备知识速记

一、三次函数概念

定义：形如/(%)=ax3+bx2+c%+d(aH0)叫做三次函敞

/(%)=3ax2+2bx+c,把4=4b2—12ac叫做三次函数导函数的判别式

当/＞。时，令/⑴=°，记两根为％①，右="笋

二、三次函数的图像及单调性

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设/(%)=+力％2+c%+d(Q。0)的三个零点分别为第1，%2，％3，则

⑴%1+%2+%3=-：

(2)/工2+%2%3+%3%1=(

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(3)%1久%23=—~

(4)—+—+i=一三

x2x3d

五、三次函数的对称性

结论1三次函数/(%)=。%3+b%2+c%+d(a。0)的图象关于点(一g/(一9))中心对称

结论2已知三次函数/(%)=ax3+bx2+ex+d(aH0)中心对称点的横坐标为久°,两个极值点分别为%

如则曾答=|r&)=—其/一血)2

11一12$Z

结论3若y=/(x)图像关于点(m,ri)对称，则y=r(久)图像关于轴x=巾对称

点对称函数的导数是轴对称函数，轴对称函数的导数是点对称函数

奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数，周期函数的导数还是周期函数

名校模拟探源

①三次函数的零点

一、单选题

1.(2024•陕西西安•模拟预测)若函数f(x)=x3-3x+a在区间(0,2)内有两个零点，则实数。的取值范围是

()

A.(0,2)B.(2,+co)C.(0,1)D.(1,+<»)

【答案】A

f(0)>0

【分析】利用导数说明函数的单调性，依题意可得了⑴<。，解得即可.

/(2)>0

【详解】因为/'(X)=3Y-3=3(X+1)(X—1),所以当X>1或X<-1时方(X)>。，

即〃尤)在(1,+s),上单调递增，

当—1<x<1时/'(力<0,即/(x)在(—1,1)上单调递减,

/（0）>0a>0

根据题意可得了"）<。，即1-3+°<0

解得0<a<2.

/（2）>0[8-6+«>0

故选：A

2.(2024・湖南长沙•一模)函数/(耳=加-加+bx(a,beR)有3个零点的充分不必要条件是）

A.awO,且a>46B.a>0,5.a<4b

C.a<0,且。>46,人NOD,a<0,且。<46,5/0

【答案】D

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【分析】由题意可得函数〃"=加-加+云(。,比2有3个零点的充要条件为4">0且。片0涉HO,

逐个选项分析其是否为a?-4曲>0且aR0力*0的充分不必要条件即可得.

［详解］/(x)=ar3-ax2+bx=x^ax2-ax+b^,有/'(0)=0,

若/(x)有三个零点，贝!J有/一4m>0且

故函数"X)=ax,-ax2+bx(a,beR)有3个零点的充要条件为：

a2-4ab>0且"0,630,

对A：awO,且a>46,贝!］当。<0时，W<?2<4ab,不符，故A错误；

对B：可能6=0,不符，故B错误；

对C：a<0且。>46,6*0,则/<士出，不符，故C错误；

对D：a<0,且。<46,6x0,则/>4",

即由a<0,且。<48,匕*0能得至［］/_，4a6>0且a*0,6片0,

但标-4ab>0且。30,6片0并不意味着。<。，且。<46力片0,

故a<0,且。<46,6W0是〃一446>o且。W0,6片0的充分不必要条件，

即是函数/⑺=ax3-ax2+bx(a,bGR)有3个零点的充分不必要条件，故D正确.

故选：D.

3.(2024•宁夏银川•三模)已知函数〃”=丁—7/+14%-。有3个零点均，巧，毛&<%<毛)，有以下

四种说法：

①玉>0

②尤3<4

③存在实数。，使得不，々，鼻成等差数列

④存在实数。，使得不，巧，％成等比数列

则其中正确的说法有()种.

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

【分析】由题意设g(x)=d-7d+14x,根据g(x)=a,求导分析g(x)的单调性，进而数形结合分析，根

据g(x)=x+1可判断①，根据函数的极大值可判断②，根据三次函数的对称性可判断③，举

例可判断④.

【详解】由/'(x)=。，得Ad+14』，

设8（%）=丁—7炉+14%,贝［）,⑴=3--14x+14=3

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7-⑺

则g（x）的极小值为g，极大值为g

对①，因为g(x)=x(x?-7x+14)=xI+Z

g(x)<0,所以%>0,①正确.

对②，因为g上单调递减，且g（2）=g（4）,

所以g[M」J＞g（4）,所以忍＜4未必成立，②错误.

对③，=gf（x）=3^-14x+14,令°〈x）=6x-14=0有x=g,贝！]有gt+d+g[〉d=2g11

故g（x）图象存在对称中心

所以存在实数〃=g]],使得毛，巧，鼻成等差数列，③正确.

对④，因为g（l）=g（2）=g（4）=8,所以存在实数a=8,使得%，%,三成等比数列，④正确.

故选：C.

4.（23-24高三上•云南•阶段练习）关于函数/（x）=4d-3x-a,则下列说法正确的是（）

A.函数在（-M）上单调递减

B.当。＞0时，函数/（尤）＜0在（0,1）上恒成立

C.当。＞1或＜7＜-1时，函数/（无）有2个零点

D.当。=g时，函数/（X）有3个零点，记为百,々，工3，则无1+9+为3=。

【答案】D

【分析】利用导数求出函数单调性可得A错误；画出函数y=4/-3x的图象可求得BC错误，根据零点个

数可求得-1＜a＜1,令4片-3号=1（/=1,2,3）再利用三角函数值域以及倍角公式即可求得D正确.

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【详解】对于A,因为函数/(x)=12尤2-3,令/'(彳)=0,贝!Jx=±g；

当x<-J或尤〉;时，f'M>0,此时函数/(x)单调递增,

当-g<x<g时，/(无)<0；此时函数〃x)单调递减，

作出函数Ax)的大致图象如图，故A错；

对于B,由A选项可知，易知/(0)=-4<0,/(1)=1-々，

又易知0<x<；时，函数单调递减，g<x<l时，函数/(无)单调递增；

当o<x<i时，若o<a<i,y(x)<o不一定成立，例如当时，/(i)=i-a>o,

所以当0<〃<1,/。)<。不一定成立，故B错；

对于C,方程/(x)=0的根即为y=。与函数y=4V-3x的交点横坐标，

由A可知，函数y=4d-3x在％=■时取得极大值1,在无=；时取得极小值-1；

作出函数y=4x3-3x的图象如图，

当。>1或。<—1时，函数Ax)有1个零点，故C错；

对于D,函数/(x)有3个零点，贝!|可得一1<々<1,且%,无2，忍£(一1，1)；

记4%；-3%=；"=L2,3),

令x=cos9(0<e<7i),贝(]4(cos6)3-3cos6=cos39=；,所以g，

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十是石=cos6（=cos—,x2=cos02=cos-,玉=cos^=cos-,

7i5K7Kf4兀3兀15兀,4兀3兀\八4兀3兀5兀

芭+X。+%=cos—+cos---1-cos——=cos--------+cos-----Fcos---1---=2cos——cos-----1-cos——

勺23999（99）9（99）999

,14兀571c

=2x—cos1-cos——=0,

299

故选：D.

【点睛】关键点点睛：本题关键在于将函数了3有3个零点玉,马，无3的范围限定在（-1，1）上，再

尤=cose（0<6<2利用倍角公式即可得出结论.

二、多选题

5.(23-24高三上•安徽•阶段练习)已知三次函数/(x)=/+Zw2+c(a>0,b,CER),下列结论正确的是()

A.当。=6=2时，Ax)单调递减区间为

B.当a=b=2时，/(X)单调递增区间为1-

C.当c=-4。时，若函数f(x)恰有两个不同的零点，贝U=3

a

D.当人=c=0时，/(无)>lnx恒成立，则a的取值范围为

【答案】ACD

【分析】利用导数研究/⑴区间单调性判断A、B,由函数/⑺恰有两个不同的零点，则有一个极值为0,

易得/|||1=0或/(0)=0判断C；将不等式恒成立化为a>墨恒成立，对右侧构造函数，应用导数求其

最大值即可判断D.

【详解】/(x)=ax'+Z?x2+c(a>0,Z?,ceR),贝5|/'(x)=光(3依+2Z?),

当a=6=2时/(同=2.3%+2),在区间上/'(x)<0,

所以/(x)在［jo］上单调递减区间，A正确，B错误；

要使函数/(X)恰有两个不同的零点，则/(X)有一个极值为0,

由上分析知：=0或"0)=0,而“0)=0时a=o,不满足题意；

所以c=_4a,有一当+"一4“=0,化简可得2=3,C正确；

I3a)27a29矿«

InV

当6=c=0时/(x)>lnx恒成立，即。〉--恒成立，

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令h(x)=最,则如)=野，故/病二。，

在(0,泥)上//(x)>0,/z(x)单调递增，在(/,+℃)上〃(x)<o,/?(无)单调递减,

皿⑴“"(%)=?故

D正确.

故选：ACD

6.(23-24高三下•重庆沙坪坝•阶段练习)已知三次函数〃力=加+/+5+=有三个不同的零点

再，孙W&＜电),函数g(x)=/(x)—l.则()

A.3ac<1

B.若知尤2,三成等差数列,则ae(_L0MO，l)

C.若g(x)恰有两个不同的零点加,〃(〃?<〃)，则2m+〃=-：

D.若g(x)有三个不同的零点支出再^^y)，则用+考+,=有+4+号

【答案】ABD

【分析】对于A,由题意可得尸(x)=0有两个不同实根，则由A>0即可判断；对于B,若占,马，为成等差数

列，则"%)=O2+；7；羿=0,从而结合农<；即可判断；对于c,若g(尤)恰有两个零点，则加

或八必为极值点，分类讨论即可判断；对于D,由韦达定理即可判断.

【详解】f(x)=ax3+^r+cx+^-,f(x)=3o?+2x+c,aN0,对称中心为、J,对A：因为/'(x)

有三个零点，所以“X)必有两个极值点，所以A=4-12ac>0,3ac<l,A正确；

对B,由玉,马，尤3成等差数列，及三次函数的中心对称性可知％=-；,

3a

所以〃切=/「9=2+；9改=0,

<3a)Tia

又砒<；,故2+〃=9改<3,所以a?<1，所以ae(—l,0)50,l),故B正确；

26

C：g(无)=0,即ox'+X?+ex-=0,

若g(x)恰有两个零点，则加或〃必为极值点；

若加为极值点，则该方程的三个根为机，机，”，由一元三次方程的韦达定理可知：2m+n=--.

a

若”为极值点，同理可得〃?+2力=-工，故C错；

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1

X]+/+七=%+，2+‘3=----

对D：由韦达定理__a

XX

%尤2+23+尤3%=V，+垃3+=一

--~a

（芯+%2+W）—2（再为++X3玉）=（，］+，,+q）—2（%/7+?2^3+，3’1），

即无；+%+考=4+g+",故D正确.

故选：ABD.

【点睛】关键点点睛：判断C选项得关键是得出机或〃必为极值点，由此即可顺利得解.

三、填空题

7.（23-24高三上•黑龙江牡丹江•期末）函数二有且只有3个零点，则实数。的取

值范围是.

【答案】。，2］

【分析】根据分段函数中各段函数的单调性，分成。＞0,。40两种情况并结合导数进行讨论即可.

【详解】当。＞0时，尤＞0时,/（%）=尤3-3依+2,/'（X）=3尤2—3a,

当0＜x＜4a0^,/r（x）＜0；当x＞6时，/r（x）＞0；

所以/⑺=Xs-3ax+2在（0,单调递减，在（&,+可单调递增,

所以当x=G时，/（力=/一3冰+2取最小值.

函数”力有且只有3个零点，又/（力=2，乜-0在（f0］上单调递增,

所以〃x）=三_3依+2,在（0,+8）有两个零点且此时/（0）=2＞0,

而7（x）=2,-a在上有一个零点，

如图，

所以/'（折）=-2。6+2<0,解得”>1,K/（0）=2-a>0,所以aW2.

所以l<aW2.

当a<0时，尤>0时，=-3ax+2,/,（x）=3x2-3a>0,

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故"X)在(o,+8)上单调递增，且此时〃0)=2>0,

又=2用-。>0在,0]上恒成立，所以此时不合题意.

综上，l<a<2,即ae(l,2].

故答案为:(1,2].

【点睛】方法点睛：已知函数零点个数求参数范围常用的方法：

(1)分离参数法：通常解法为从中分离出参数，然后利用求导的方法求出由参数构造的新函数的最值，根

据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；

(2)分类讨论法：通常解法为结合单调性，先确定参数分类的标准，在每个小范围内研究零点的个数是否

符合题意，将满足题意的参数的各小范围并在一起，即为所求参数范围.

8.(2024高三下•全国・专题练习)已知a,6eR,函数〃力=/+凉+x+l(a<0)恰有两个零点，贝!Ja+A

的取值范围为.

【答案】

【分析】根据导数判断单调性，结合零点和极值点求出。乃，构造函数，求导可得的取值范围.

【详解】Sf(x)=ax>+bx1+X+1S.a<0,

团f\x)=3冰之+2Zzx+l,A=4廿一12々>0.

则方程/'(尤)=0必有两个不等的实根为,吃.

、2b1

设再<%,则+X=———,石马=~~<。・

23。3a

贝！)必有玉<0<%2，且/'(石)=3渥+2ZzX]+l=0①.

当不<玉或%时,/'(x)<°;当西〈尤<x2时，/r(x)>0.

因此函数丁=/(%)的单调递增区间为(西,々)，单调递减区间为(-。，不)和(w，+”).

由于〃0)=1>0,若函数有两个零点，贝!!/(%)=渥+尻+%+1=。②.

12

3遍+2如+1=0"二+二22_2

玉玉7

联立①②得竭+期2+占+1=0'解得3,团。+匕=

1下玉

玉

令/二一＜0,令=2/一2/—2,，贝!]a+Z?=g（。.

x\

从而a=2/+/=/（2/+l）＜0,解得

因此g'⑺=6/_〃_2=2（3/_2/_1）=2（37+1）（"1）.

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故当f<-g时，g'(t)>0,函数g⑺单调递增.

因此a+6=g(f)<g

故答案为：1c°，：)

②三次函数的极值点

一、单选题

1.(2024•福建泉州•一模)已知占,三，是函数/(x)=(x-l)3-x两个极值点，则()

A.Xj+x2=-2B.xt+x2=lC./(芯)+/(9)=-2D.f(jq)+f(x2)=2

【答案】C

【分析】求出函数导数，解方程得出极值点，计算可判断选项.

【详解】f'(x)=3(x-l)2-l,令-。)=。，解得加=1±%

所以改+苫2=2,故AB不正确；

/(%)+/(%)=用一1一¥+［一¥T+与=-2,故C正确D错误.

故选：C

2.(2024高三下•全国•专题练习)若函数〃x)=x(x+a)2在x=l处有极大值，则实数。的值为()

A.1B.-1或-3

C.-1D.-3

【答案】D

【分析】借助极值点定义可得尸(1)=0,即可得。=-1或。=-3,再分类进行讨论排除极小值情况即可得.

【详解】r(x)=(x+a)2+2x(x+a)=(x+a)(3x+a),

贝惰F(l)=(l+a)(3+a)=0,解得。=一1或。=—3,

当a=-1时,「(x)=(x-1)(31),

则当xw3,1］时，r(x)<0,当xe(l,y)时，制x)>o,

所以在g,l］上单调递减，在(1,+8)上单调递增，

/(x)在x=l处有极小值，不符合题意；

当“=一3时，/(x)=(x-3)(3x-3)=3(x-l)(x-3),

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当xe(e,l)时，/^x)>0,当xe(l,3)时，((%)<0,

所以〃x)在(-8,1)上单调递增，在(1,3)上单调递减，

“X)在x=l处有极大值，符合题意.

综上可得，<2=—3.

故选：D.

3.(2024•新疆乌鲁木齐•二模)设%,三是函数〃耳=尤3+加+尤+1的两个极值点，若芯+3超=-2,则“=()

A.0B.1C.2D.3

【答案】C

【分析】先求导，再结合已知条件与韦达定理即可求出结果.

【详解】由题意得:(x)=3/+2"+1,又占,9是函数的两个极值点,

则占,三是方程3d+2ax+l=0的两个根，

2a1

故不+々可，西元2=§'

又玉+3%=-2,贝[|再=_3工2_2,即尤]%2=(-3%2-2)九2=：，则％2=_；，

则再=-1,所以占+无2=-；-1=一彳，解得0=2,

此时A=42-4*3xl=4>0.

故选：C.

4.(2024・全国•模拟预测)已知函数〃x)的导函数/(冷=(彳+2乂/+》+附，若函数有一极大值点

为-2,则实数机的取值范围为()

A.(-2,+e)B.(T-2]

C.(-co,-2]D.(-8,-2)

【答案】D

【分析】令g(x)=x?+x+m且g(x”0恒成立，根据外”的极值点得到矛盾，g(x)有两个不同的零点,

利用三次函数性质判断了(元)单调性，进而求参数范围.

【详解】由题意尸(x)=(x+2乂炉+彳+同,令g(x)=y+x+/n,

若g(x)N0恒成立,易知:当吗-2)时广(x)40,当2,4w)时心(x)",

所以-2是〃x)的极小值点，不合题意，故g(“有两个不同零点.

设g(x)的两个零点分别为再,贝!l/'(x)=(x-玉)(x+2)(x-w),

结合三次函数的图象与性质知：玉<-2<%,

在(f西)、(一2,々)上/'(%)<0,“X)单调递减，在(网,-2)、(々,+°0)上用勾>0,/(X)单调递增,-2是

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“X)的极大值点，符合题意，

此时需g(-2)=2+机<0,得m<-2,所以实数机的取值范围为(f,-2).

故选：D.

5.(2024•河北秦皇岛•三模)己知0是函数/(耳=/+Q2+1的极大值点，则.的取值范围为()

A.(-<»,0)B.(0,+ao)C.D.1-|，+00］

【答案】A

【分析】分类讨论“<0、a=0与a>0三种情况，结合导数与极值点的定义即可得解.

【详解】因为/(%)=尤3+ax2+1,所以/f(x)=3x2+2依=x(3x+2a),

令,(x)=0,可得》=0或户―，

当一言>0,即“<0时，

令制x)>0,得x<0或x>-,；令r(x)<0,得0<x<T；

所以在(-。,0),上单调递增，在(。,-彳)上单调递减，

所以x=0是函数/(x)的极大值点，满足题意；

当一年=0,即a=0时，/(同=彳(3尤+0)20恒成立，

则/(x)在R上单调递增，没有极值点，不满足题意；

当-,<0,即a>0时，

令如)>0,得一等或彳>0；令r(x)<0,得T<x<o；

所以〃x)在［-巩-g］,(。,+e)上单调递增，在［彳,。］上单调递减，

所以x=0是函数/(x)的极小值点，不满足题意；

综上，a<0,即。的取值范围为(-8,0).

故选：A.

6.(2024•云南大理•模拟预测)若优为函数”X)=»7(X—»7)2(〃—X)(其中mNO)的极小值点，贝U()

A.m>n>0B.m<n<0

C.mn>m2D.mrKm2

【答案】C

【分析】m="时/(x)为单调函数,无极值点不符合题意;令广(X)=0有两根为X="，或X=%等，分相>0、

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相<0讨论，根据加为极小值点需满足的条件，结合不等式性质可得答案.

【详解】若机=〃，则”X)=T7(X-m)3为单调函数，无极值点，不符合题意，故加片”.

由于/'(x)=Mx-m)(-3x+〃2+2”)，且〃任"，故/''(%)=0有两根为工=机或x=g也

①当机>0时，若优为极小值点，则需满足：加故有。〈机<”，

可得mn>m2;

②当相<0时，若〃2为极小值点，则需满足：机〉二铲，故有：0>m>%

可得mn>m2■

故A,B选项错误，综合①②有：mn>m1.

故选：C.

【点睛】关键点点睛：解题的关键点是根据机为极小值点得到吸”的关系再结合不等式的性质解题.

7.(23-24高三下•四川绵阳•开学考试)若函数〃耳=(苫3+与0苫2+(5-机卜-1的两个极值点都大于2,

则实数机的取值范围是()

A.(—5)U(—5,-4]B.(—co,—4]C.2]D.(-5,-4)

【答案】D

【分析】由题，r(x)=X2+(m-2)^+(5-m),则方程/(司=0的两根都大于2,由根的分布知识可

得答案.

【详解】/(X)=x2+(m-2)x+(5-m),对于方程f'(x)=0,

A=(m-2)~-4(5-〃z)>0n〃ze(-8,-4)U(4,+co)

设方程两根为占，Z，由韦达定理，

&+4=2—机，xxx2=5-m.

因“X)的两个极值点都大于2,则方程r(x)=0的两根都大于2,

Ix,+x2>4

贝口j(国一2)(x2-2)=xxx2-l^xx+x2)+4>0

2—m>4

=></、=>—5<m<—2.

5-m-2(2-m)+4>0

结合me(ro,-4)U(4,+00),可得7〃e(-5T).

故选：D

8.(2024•全国•模拟预测)设占,三为函数〃x)=x(x-2)(x-a)(其中°>0)的两个不同的极值点，若不

等式，(王)+/伍)对成立，则实数。的取值范围为()

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A.[1,4]B.(0,4]C.(0,1)D.(4,+oo)

【答案】A

【分析】导函数为二次函数，占，三为对应的一元二次方程的两根，由/(占)+/(々)20,代入函数解析式,

结合韦达定理化简，可解出实数。的取值范围.

【详解】因为/(x)=x(x-2)(x-a),所以r(x)=3x2-2(2+a)x+2a.

A=4(〃2-2a+4)〉0,

2(2+4)

又函数有两个不同的极值点*,三，所以.玉+々=

3，

2a

X\X2=~^~-

解法一：由/(%)+/⑸NO,得法+/一(0+2)储+*)+2々(不+/”0,

2

即(为+彳2)[(占+龙2)--3xIx2]-(a+2)|^(x1+x2)-2x1x2^+2a(xI+x2)>0(*).

将占+和占超的值代入(*)式，得〃-5。+4<0,解得

故选：A.

解法二：函数丫=依3+6(.中0)为奇函数，图象的对称中心为(0,0),

贝！I函数y=a(x-〃2丫+k(x-m)+n图象的对称中心为

设g(尤)=依3+灰2+cx+d=a^x—mf+k^x—m)+n,

a^x—m^3+k(^x—ni)+n=ax3—3anvc2+[3am2+k^x+(n—anii-km),

-3am=b

比较系数，有<3丽?+%=,,

n-am3-kni=d

b3

M坦,22bbe,(b'}

^^-k=c--,n=—^-—+d=g\

m=3a3a27a3a3a)

所以函数g(x)=/+bf+cx+d(axO)图象的对称中心为卜,

即若/(x)存在两个相异的极值点不，尤2,则其对称中心为点伍"(%))和点(如4%))的中点，即

=不…1

由题设得〃%)+〃工2”。，即[土产＞0,即等上0,

a＞0,

所以＜a+2(a+2+2解得14aW4.

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故选:A.

二、多选题

9.（23-24高三上•全国•开学考试）已知函数〃町=；/+62+尤的两个极值点分别为占,三,若过点

和川务,〃N））的直线/与坐标轴围成三角形面积为卷，则直线/方程为（）

16c16,

A.y=---x+2B.y=----x-1

33

C.y=-^-x+lD.y=-3x+l

【答案】BC

【分析】由题意，’⑴有两个不同的零点，则A>0求参数a范围，再根据卜丁二3一:代入“%）、/（%）

\x2=-2ax2-1

确定已知点所在直线，进而求截距并列方程求a值.

【详解】由题意八%）=/+2奴+1有两个不同零点，

贝！IA=4〃2—4>0,所以/>I,即或av—1,

x；+2ax、+1=0

由即

xl+2ax2+1=0

%+axf+石=^xi（-2axi-V）+axf+%]

a2a.,八22a

=~xi2+-%i=-（-2^-1）+-Xj=-（Z1l-a2x,

同理有"%）=g（l-/区

所以（为"（七））、（./⑷）均在尸|（1一/次4上，

令尸彳—>==0,则尤=出，

令x=0,

则直线,与坐标轴围成三角形面积sj/W即—=|

即9（1一〃2）=±8/，

33

综上，％=3,a=—3%=

29而'

因为即a>l或。<一1,故/=3,2=一3,得>=一-—^±1,

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故选:BC

10.(23-24高二下•山西晋城•阶段练习)函数/(幻=工/_加+5有三个不同极值点4Mee[-1,0).

4

贝IJ()

A.b>^2B.%+只>3蚯

C.x：+E+x；的最大值为3D.占的最大值为1

【答案】BCD

【分析】选项A可根据求导后分析单调性，得到g(x)的最小值大于1恒成立可得；选项B可由

3+9+W)2=0分析求出；选项C可由％?+考+与=-2bXy-c-2bx2-c-2bx3-c=-3c及c£[-1,0)求出；

选项D可由d-2fov+c=(x—%,)(%—%2)(九一X3)和再/工3=lC求出；

【详解】对于A：/(幻=9/-岳：2+cx有三个不同极值点占,%,为3，

贝l)/tx)=d-2"+c=0有三个不等实根为王,无2，与，则d—26x=-c定有三个解.

设g(%)=x3-2bx=>g'(x)=3x2-2b,

当bWO,g呢%)=3/-2力？0恒成立，

得g(x)单调递增，d—2法=_°不会有三个解，

[2h

所以b>0,且'(1)=3/-2b=0nx=±J—，

因为-C£(0,l],所以g〉1恒成立.

对于D：设元-2/ZX+C=(X-X,)(J;-X2)(J;—

3_(+x2+(％2

=无芭2+玉)%石+毛毛-^-X2X3^X-XlX2X3,

故王+入2+%3=°，%％+石％3+%2%3=-2匕，XjX2X3=~C,故玉马七(°，U，故D正确;

对于B：又(％+入2+W)2=才+考+后+2芯%2+2菁%3+2%2%3=。

累+%；+%；=—(2%%2+2%工3+2%2%3)=46>3版，故B正确；

对于C：又入；+2/?玉+c=0,xf+2bx2+c=0,+2bx3+c=0,

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贝！]x：+x；+x；=—2bxi—c_2bX]—c—2b—c=—3c,

又cw[-1,0),放-3ce(0,3],

jtf+V+x；的最大值为3,故C正确.

故选：BCD

【点睛】关键点点睛：本题A选项关键在于由导数分析单调性，得到g(x)的最小值大于1恒成立从而得到

6的范围；选项BCD根据方程根的特征求解.

11.(2024•河南信阳•模拟预测)已知函数/(x)=2x3-3尤2-12X,e(〃—)且满足/(占)=/⑺，

/(x2)=/(m)>对任意的司恒有且Z为y=/'(x)的极值点,则下列等式成立

的是()

A.xx+x2=2x0B.2(A2-x1)=n-m

C.3X]=2X2+mD.3x2一再=2〃

【答案】ABD

【分析】根据给定条件，可得冷三分别为函数/(X)的极大值点和极小值点，由此求出士,尤2，风〃，再逐项

判断即可得解..

【详解】if{x)=2x3-3x2-12x,求导得:(x)=6f-6x-12=6(x+l)(尤-2),

当x<-1或x>2时,/V)>0,当-L<x<2时,f\x)<0,

函数AM在(-®,-1),(2,+«>)上单调递增，在(-1,2)上单调递减，

因此当广-1时，/(X)取得极大值/(-1)=7,在户2时，Ax)取得极小值/(2)=-20,

对任意的恒有“7W)W/(x)W/(〃)，/(x)111ta=/(m)，/(x)max=/(")，

又当下，苍且满足/(%)=/(〃),f(x2)=f(m),

则和三分别为函数/■")的极大值点和极小值点，

7

则再=—1，工2=2,由/(%)=/(〃)，得2/—3〃—12〃=7,即(“+1)2(2〃—7)=。，解得〃=万，

x=m

由/(2)/(),得2/_3帆2_i2帆=一20,即(加一2)2(2机+5)=。'解得机=一"|,

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对于A,由丁=61一6%-12,求导得V=12x-6,显然x是V=12x-6的变号零点，

即％o=；，xl+x2=l=2x09A正确；

75

对于B,2(X2—XJ)=6,n—m=——(——)=6fB正确；

53

对于C,=-3,2X2+m=4——=-9C错误；

对于D,3%2-玉=6-(-1)=7=2〃，D正确.

故选：ABD

12.(2024・山西太原•三模)已知为是函数/⑺二^+如+成根<o)的极值点，若/(9)=/(%)(玉工々)，

则下列结论正确的是()

A./(%)的对称中心为(。,〃)B./(-%)>/(西)

C.2%+兀2=°D.工1+工2>°

【答案】AC

【分析】利用〃0+尤)+〃。-尤)=2〃，可判断A；令分(x)=0,解得x,代入/(f)—/(%)可判断B；利

用导数判断出y=F(x)的单调性并求出极值点，结合图像分情况由/•伍)=/&)(%/%)解出得，可得

2%+%=。可判断C；利用C选项，若再=斤，尤2=苦利，得出玉+%<。可判断D.

【详解】对于A,因为/(。+%)+/(。一%)=尤3+如+〃一%3一5十几=2〃,

所以外力的对称中心为(。㈤，故A正确;

对于B,r(x)=3x2+m,令/'(力=0,解得x=±\匡，

/(一玉)一/(%)二一^-mcx+n-j^-mxl—n

=-mx{+n-j^-mxl-n

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因为m＜0,所以三旧＜0,可得/（-%）＜/&），

故B错误；

对于C,令/''（"=0,解得x=±q,

当尤＞疗或X〈-疗时，/（x）＞0,y=〃x）是单调递增函数，

当-后＜x＜才时，r（x）＜°'y='（x）是单调递减函数’

所以y=〃x）在x=-1时有极大值，在x=[时有极小值，

如下图，当％=-后时，若/仁）=/（益）&工马），则

XX=X

f（l）~f（2）l+叫+〃一宕-mx2_〃=（玉一%2乂片+西兀2+写+根）=0,

可得%；+石々+%；+冽=。，即亨一^^/+考+m=0，解得/;,

所以2%]+%=。；

/（玉）一/（工2）二刀+rnxx+〃一只-mx2—〃=（药一/乂4+西/+%；+机）=。，

可得工；+工品+考+”2=0,即宁尤2+考+%=0,解得々=一^11^,

所以2占+々=0；

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一2个—3m

对于D,由C选项可知,若％=XQ-

一3

2yJ-3m

所以石+%=-早<。,故D错误.

3

故选：AC.

【点睛】关键点点睛：本题解题的关键点是利用导数研究函数的单调性和极值点.

三、填空题

13.(23-24高三上•山西临汾•阶段练习)已知曲线/(x)=x3+o?+乐+1在点处的切线斜率为3,

且是y=/(x)的极值点，则函数的另一个极值点为.

【答案】-2

【分析】对函数求导，结合已知有了'⑴=3+24+6=3,且d=„+b=O,求得。=2力=-4,再根

据导数的符号判断单调区间，进而确定另一个极值点即可.

【详解】由题设1(力=3/+2必+6,则/⑴=3+勿+6=3,且Og+++6=0,

所以a=2,6=—4,gp(x)=3x2+4%-4=(3%-2)(%+2),

2?

当xe(-8,-2)U[,+a>),f^x)>0,则(-<»,-2),(1,+<»)上y=/(x)递增;

当xe(-2,§),r(x)<0,则(-2,§)上y=〃x)递减；

所以％=-2、x=(都是y=/(x)的极值点，故另一个极值点为x=-2.

故答案为：-2

14.(2024•云南•一模)已知〃%)=93_3加+8办-100在(2,6)上只有一个极值点，则实数。的取值范围

8

为.

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327

【答案】

8?56

【分析】求导，分离参数，转化为函数交点个数求解即可.

【详解】因为〃尤）=：三-30r2+8"一100在（2,6）上只有一个极值点,

8

3

贝!|尸（x）=?炉一6办+8。=0在（2,6）上有唯一解,且左右函数值异号.

O

8x2

即nn一〃=-----,

36x—8

令6%-8=，£（4,28）,

2

才+8

贝!|861，+空+16

—CL—

3~36

易知g⑺=t+?在（4,8）单调递减，在（8,28）单调递增,

n/八/64/cc\”64212

且g（4）=4+1=20,g（28）=28+—=—

1Q

1f212+16,解得黄

故互（2。+16）41CI<-----

303367）