山东省某中学2024-2025学年高二年级上册第二次考试（9月月考） 数学试题

山东省北镇中学高69级第二次考试数学试题

考试时间：120分钟满分：150分

一、单选题：本题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目

要求的.

I.若2=（2,3,2）,刃=（1,2,2）,c=（-1,2,2）,则@一3）七的值为（）

A.-1B.0C.1D.2

22

2.已知命题p：方程上二+一」=1表示焦点在y轴上的椭圆，则加的取值范围是（）

5-mm-1

A.3<m<5B.4<m<5C.1<m<5D.m>1

3.如图，在空间四边形。13C中，OA=a,OB=b,OC=c,点M在。/上，且=N

为8c的中点，则加等于（）

22-12-11一

B.-a+-b——cC.—uH—brH—CD.-a+-b--c

332322222

4.已知〃（4,2）是直线/被椭圆/+4/=36所截得的线段的中点，则直线/的方程为（）

A.2x+y—8—0B.x+2y—8—0C.x—2y—8=0D.2x—y—6=0

5.已知点N（2,-3）,5（-3,-2）,若过点（1,1）的直线与线段相交，则该直线斜率的取值范围是（

）

33

A.-CO,-—U[4,+8)B.(-co,-4]U*，+°°C.-i4D.

6.已知向量3=历），（-3,2,0）,则2—B在G上的投影向量为)

323忖「333而(230

A.B.;25。C.~5~5~D.

2225'5’5’

7

V22

7.已知椭圆M：—+%=l（a〉b〉0）的左、右焦点分别为片,F2，点尸在M上，。为尸耳的中点,

a

且大。，尸巴，山。|=6,则M的离心率为（）

A.211D,正

B.-C.一

3322

8.已知圆C：X2+（J-3）2=4,过点（0,4）的直线/与x轴交于点尸，与圆C交于/,2两点，则

丽・@+无）的取值范围是（

A.[0,1]B.[0,1)c.[0,2]D.[0,2)

二、多选题：本题共3个小题,每小题6分，共18分.在每小给出的四个选项中，有多项符

合题目要求.全部选对得6分,部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.已知椭圆C：f+4/=16的左、右焦点分别为片，F2,P是C上的任意一点，贝|（）

A.C的离心率为工B.|尸国十|尸闻=8

2

C.|尸局的最大值为4+26D.使/公尸鸟为直角的点尸有4个

10.已知直线/：kx—y+左=0,圆C：X2+/-6X+5=0,尸（%,%）为圆C上任意一点，则下列说

法正确的是（）

9r

A.x；+.y：的最大值为5B.匹的最大值为22

X。5

C.直线/与圆C相切时，k=+—D.圆心C到直线/的距离最大为4

3

11.如图所示，在直三棱柱48C-451cl中，底面N8C是等腰直角三角形，AB=BC=44=L点、D

为侧棱85］上的动点，M为线段中点，则下则说法正确的是（）

A.存在点D,使得平面80〃

B.△NDG周长的最小值为1+行+百

C.三棱锥G-N8C的外接球的体积为型

12

D.平面ADC1与平面ABC的夹角正弦值的最小值为以

13

三、填空题：本题共3个小题，每小题5分，共15分

12.直线3x+4y+2=0被圆J+j?—2%一3=0截得的弦长为.

,4

13.点尸是椭圆亍+/=1上一点，耳,鸟分别是椭圆的左、右焦点，若|巴讣|尸闾=§，则

的大小为

ZFXPF2

14.如图，长方体48CD—451GA中，CC[=C[D]=6,Gg=l,点P为线段与。上一点，则

丽•印的最大值为

四、解答题：本题共5个小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

15.（13分）如图，在直四棱柱48CD—451G2中，底面四边形N8CD为梯形，AD//BC,

AB=AD=2,BD=242,BC=4.

(1)证明：AXB}1AD1；

（2）若441=2，求点8到平面BCD1的距离.

16.已知圆C经过点2（3,1）,8（-1,3）且圆心。在直线3%—了—2=0上.

（1）求圆C方程；

（2）若E点为圆C上任意一点，且点E（4,0）,求线段斯的中点M的轨迹方程.

17.已知椭圆C：｝=l（a〉b〉O）的一个焦点为尸（1,0）,且离心率为万.

（1）求C的方程；

（2）过产作直线/与。交于M,N两点，。为坐标原点，若S/A\O\yiMvnvN=7X，求/的方程•

18.在Rt/XZBC中，ZC=90°,BC=3,AC=6,D,E分别是NC,N2上的点，满足

OE〃8C且DE经过△NBC的重心，将三角形NDE沿DE折起到△耳£)£的位置，使Z。，CD,M

是4。的中点，如图所示.

(1)求证：4。，平面8。。£；

(2)求CM与平面45E所成角的大小；

(3)在线段4c上是否存在点N,使平面与平面8MN成角余弦值为立？若存在，求出CN的长

14

度；若不存在，请说明理由.

22]

19.已知椭圆C：++%=1(。〉6〉0)的离心率为5,右顶点0与C的上，下顶点所围成的三角形面

积为2省.

(1)求C的方程.

(2)不过点。的动直线/与C交于/,3两点，直线Q4与03的斜率之积恒为工.

4

(i)证明：直线/过定点；

(ii)求△Q4B面积的最大值.

山东省北镇中学高69级第二次考试数学试题参考答案

题号12345678910

答案CACBBBCDBCDBC

题号11

答案ACD

12.2G13.60°14.3

15.【详解】(1)因为48=40=2,BD=242,

所以4^+402=8=5。2,所以48,4D,因为48CQ—45cl'为直四棱往,

所以因为4幺0力。=幺，AXA,2。匚平面幺。24，

所以Z51.平面ZD。/],因为4片〃，所以4A,平面NDD/i，

因为gu平面幺£>24,所以AXBX±AD,.

（2）由（1）及题意知，AB,AD,2/两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系

因为48=/。=2,BD=272,5C=4.

所以2（0,0,0）,8（2,0,0）,耳（2,0,〃），C（2,4,0）,R（0,2,〃），D（0,2,0）

所以加=（2,0,0）,西=（0,—4,〃），西=（一2,—2,〃），前=（0,4,0）,丽=（—2,2,0）,

\BC-n\Q

解得，n=（2,2,4）所以点B到平面5cA的距离为d===」.

\n\2,63

'（3-4+（j）2=/

16.【详解】（1）由题可设圆C的标准方程为（x—ay+（y—6）2=/,贝i]Qi—口丫十^一6丫=/

3。—b—2—Q

解之得a=2,6=4,产=10,所以圆c的标准方程为（x—2）+3—4）2=10；

x+4

x=----

（2）设河（xj）,£（项,必），由E（4,0）及〃为线段E尸的中点得2,

y=2i±2

r2

Xi—2x—4/、2/、2

解得2y，又点E在圆C（X—2）+3—4）=10上，

所以有（2x—4—2y+（2y—4）2=10,化简得：（％—3y+（y—2）2=g,

故所求的轨迹方程为（x-3）2+（J-2）2=1.

「1

17.【详解】（1）由已知得。=1,离心率e=—二—,得。=2,b2=a2-c2=3,

a2

22

则C的方程为土+工=1.

43

（2）由题可知，若△OMN面积存在，则斜率不为0,

y/

所以设直线/的方程为x=叩+1,加显然存在，N(x2,y2).

土+匕=1

联立《43-'消去x得@机2+4）西+6叩—9=0,

X=叩+1,

6m9

因为直线/过点R所以△>（）显然成立，且%+%=——*二，乂%=——7—,

1233m2+4-23m2+4

因为S/XOMN=||^|-|ji-j2|=1'+g）2_4了必=当,

J，/CII/

化简得18机4—机2—17=0解得机2=1或加2=——17（含）

18

所以直线I的方程为x+y-1=0^x-y-l=0.

18.【详解】(1)因为在RtZXZBC中，ZC=90°,DE//BC,且3CLC。，

所以。£LCD,DELAD,则折叠后，DE1A.D,

又4。口。。=。，4。，CDu平面4。,

所以。EJ,平面4co,4Cu平面4co,所以。

又已知4C_LCD,。口。£=。且都在面8。。£内，所以4。，平面8cDE；

(2)由(1),以CD为x轴，C8为y轴，C4为z轴，建立空间直角坐标系C-乎

2

因为/Z）=2C£>,故DE=—BC=2,

3

由几何关系可知，CD=2,4。=4,AXC=273,

故C（0,0,0）,0（2,0,0）,£（2,2,0）,5（0,3,0）,4@，0,26），河1,0,6）,

01=（1,0,73）,港=0,3,-26），石=9,2,-26），

3v-2y[3z=0,

设平面4台£的法向量为为=(x,y,z),则＜心艺，队

n-AXE-0,2x+2y-2G2=0,

不妨令歹=2,则2=J§\x=l,n=0,2,G)

设CM与平面A】BE所成角的大小为6,

\cosCM,n\=^P--4rV2

则有sin。二

11\CM\^n\2x2行2

JT

设。为CM与平面45E所成角，故。=乙,

14

IT

即CM与平面ABE所成角的大小为一.

X14

(3)假设在线段4。上存在点N,使平面与平面8MN成角余弦值为立

14

在空间直角坐标系中，BM=3,G),CM=^,0,V3),CA,=伙0,26),

设函=4直，则国=9,0,26/1),BN=BC+CN=(O,-3,0)+^),0,2732)=-3,2732),

--»---»

n,-BM=0x2-3y之+V3Z2=0

设平面的法向最为元=(%,%,Z2),则有＜2—，即

%,BN=0—3_y2+九z,—0

不妨令Z2=JL则％=24,x2=62-3,所以n=?4—3,24G),

.—»»

n~.-BM=0x3-3y3+V3Z3=0

设平面CBM的法向量为〃3=(x3,j3,z3),则有＜2—..即《

x+V3Z=0

«3-CM=O33

所以^

不妨令z3=A/3,则与=-3,%=0,=63,0,6),

/7

若平面C8M与平面8九W成角余弦值为J.

4

|9-182+3|V3

则满足COS%,〃3=I—...—.1—------------1----

网同273x^9(22-I)2+422+34

化简得2储—32+1=0,解得2=1或工，即函=/或函=4方，

2121

故在线段4c上存在这样的点M使平面C期与平面出N成角余弦值为彳’止匕时CN的长为由或

2vL

22]]

19.【详解】（1）令椭圆C：0+q=1的半焦距为c,由离心率为―，得反=—,解得a=2c,

a2b22al

b=y/a*2*—c~=，

由三角形面积为2百，得ab=2道，则c=l,a=2,b=6，

所以C的方程是工+匕=1.

43

（2）（i）由（1）知，点0（2,0）,设直线/的方程为x=少+〃，设4（须,必），5（x2,j2）,

[x=my+n（、、、、

由《消去x得：（3加2+4）y2+6加即+3/-12=0,

3x+4y=12、/

皿6mn3n2-12

则%+为―2＞，%%12;，

3m+43m+4

直线QA与QB的斜率分别为k0A=,k0B=

X,-2x2-2

"2

于是左02,左Q5