不等式-2025届高考数学二轮复习易错重难提升【新高考版】（含解析）

(6)不等式

2025届高考数学二轮复习易错重难提升【新高考版】

易混重难知识

1.不等式的基本性质

性质1如果那么/?<〃；如果bva,那么〃>力.即

性质2如果b>c9那么。>c.即Q>人，/?>c=〃>c.

性质3如果。>6,那么a+c>Z?+c.

性质4如果c>0,那么如果a>b,c<0,那么QCVZ?C.

性质5如果1>人，c>d,那么Q+c>Z?+d.

性质6如果a>b>0,c>d>0,那么〃c>Z?d.

性质7如果4>人>。，那么o">b"(〃£N,几22).

2.基本不等式

(1)若a>0,Z?>0,y[ab,当且仅当〃=匕时，等号成立.

2

其中，色吆叫做正数小人的算术平均数，，而叫做正数a,8的几何平均数.

2

(2)基本不等式表明：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.

3.不等式的恒成立，能成立，恰成立等问题

(1)恒成立问题：若/(x)在区间D上存在最小值，则不等式/(x)>A在区间D上恒成立

O/(x)min>A(xeD).

若/(%)在区间。上存在最大值，则不等式/(%)<3在区间。上恒成立o/(x)max<B(xeD).

(2)能成立问题:若/(x)在区间。上存在最大值,则在区间D上存在实数x使不等式/(x)>A

成立o/(X)max>A(xeD).

若/(x)在区间D上存在最小值，则在区间D上存在实数X使不等式/(x)<B成立

o/(x)1ran<B(xGD).

(3)恰成立问题：不等式/(x)>A恰在区间。上成立，o/(x)>A的解集为。，

不等式于(X)<B恰在区间D上成立，<=>于(X)<B的解集为D.

易错试题提升

1.已知集合A={x|尤2—3x—420卜B={x|（x-2）（5-x）>0},则低可c5=（）

A.（-1,2）B.（2,4）C.（-4,l）D,（-4,2）

2.设a>b>c，则下列不等式中成立的是（）

A.ab>acB«c2>bc2C.\ab\<\bc\>0

3.若对于任意的x>0,不等式f+（3-a）x+120恒成立，则实数a的取值范围为（）

A.[5,-H»）B.（5,+CO）C.（-co,5]D.(-oo,5)

4.已知a>o，6>0，则a+2/?+——-的最小值为（)

a+2b+l

A.6B.5C.4D.3

5.如果a<6<0,那么下列不等式中正确的是（）

A.一<7B./v/C.------>—

aba-baarb-

6.某批救灾物资随41辆汽车从某市以vkm/h的速度匀速直达灾区，已知两地公路线长

2

360km,为安全起见，两辆汽车的间距不得小于—km（车长忽略不计），要使这批物资尽

900

快全部到达灾区，则v=（）

A.70B.80C.90D.100

7.若a>b>0,则下列不等式一定成立的是（）

11

Abb+1Rz.「b7an2a+ba

A.—>------D.a+—>b+—。a—>b----

aa+1ababa+2bb

」一的最小值为（

8.设实数x满足x〉0，函数y=2+3x+)

x+1

A-4A/3-1B-4A/3+2C-4V2+1D.6

9.（多选）下列说法正确的是（）

A.若a>b，则1〉〃

B.若则a-2>Z?-3

C.若402>税2,贝

nWiriiib+m

D・右a>bT>0，m>0>则一<----

aa+m

10.（多选）若正实数a,6满足a+Z，=l，则下列选项中正确的是（）

A.ab有最大值:B.&+扬有最小值④

C1+刍的最小值是10D.2a-b>-

ab2

11.已知1>0，y>0,且满足x+y—盯=0,贝!jx+y的最小值为.

71

12.已知1>0，y>0,且---1—=2,右犬+2）>加2—3根—1T旦成立，则实数机的取值氾围

x+1y

13.如图，在半径为4（单位：cm）的半圆形（。为圆心）铁皮上截取一块矩形材料A5C。,

其顶点A,5在直径上，顶点C,。在圆周上，则矩形45co面积的最大值为

14.已知实数%,»满足-U+yK4,2<x-y<39贝!h=3x-2y的取值范围是1

15.若实数元,»加满足|%-根|>|y-根|,则称％比y远离机

（1）若X比工远离1,求实数X的取值范围；

2

（2）若mVI,x+y=2,试问：%与+J?哪一个更远离相，并说明理由.

答案以及解析

1.答案：B

解析：由尤2_3%_420，得xW—l，或x»4，所以A={x|W—l或％24}.

所以\A=(—1,4),由(%—2)(5—x)>0，得2<x<5，

所以&A)A5=(2,4).

故选：B.

2.答案：D

解析：对A：若o>Q>/?>°,则由/j>c,有ab〈ac，故错误；

对B：若a>/?>c=O，则有4°2=历2,故错误；

对C：若a>Z?=O>c,则有|闻=闵，故错误；

对D：由a>b〉c，则a—/?〉0，卜一4>0，故(a—Z?)|c—>0，故正确.

故选：D.

3.答案：C

解析：不等式f+(3-。卜+120可化为，%2+3x+1>a,令/(x)=立卫里，由题意可得

XX

a<f(x\.,

J\/min

/(X)=X+-+3>2.L-+3=5,当且仅当X=L即九=1时等号成立，

xVxx

a<f(x)n,n=5,所以实数a的取值范围为(-oo,5].

故选：C.

4.答案：D

解析：由于。>0，b>0，所以a+2Z?+l>0，

,44I4

由a+26+-------=(a+2b+l}+----------1>2+2Z?+1)x---------1=3，

a+2b+l、)a+2b+lY)a+2b+l

(当且仅当a+2人=1时取等号)，可得a+28+---的最小值为3,

a+2b+1

故选：D.

5.答案：D

解析：当Q=—2，/?=—1时,

对于A,i=-l>i=-b故A错误；

a2b

229

对于B，a=4>b=1故B错误；

对于c,==故C错误；

a-ba2

对于D,a<b<0,所以/>必>人BP2>b2>0>则故D正确.

aab

故选：D.

6.答案：C

解析：第一辆汽车到达灾区所用的时间为出h,由题意，知最短每隔四=」Lh到达一

VV900

辆，则最后一辆汽车到达灾区所用的时间为(迎+40x」」］h,要使这批物资尽快全部到达

Iv900J

灾区，即要求最后一辆汽车到达灾区所用的时间最短，又

『4。嘘=*||川子||=8,当且仅当邢吟，即70时等号成立.故选C.

7.答案：C

解析：对于A,因为a〉/,〉。，故2—入=-^^<0,即2<纪故A错误;

a〃+1〃(〃+1)aa+1

对于B,47+l_f&+lL(67-Z?)fl_±\无法判断，故B错误；

a\b)\ab)

对于C,因为Q>Z?>0，a-2--色j=(〃-+，故C正确；

a\bJ\abJ

对于D,因为a〉/,〉。，故^±^_q=S+a)3—a)<o,即在个<@,故D错误.

a+2bb(a+2b)ba+2bb

故选：C.

8.答案：A

解析：因为％>0，所以1+1>0,

所以y=2+3x+±=2+3(x+l)—3+±=3(x+l)+^-—1>2J3(x+1)-1=4^-1-

x+1x+1x+1Vx+1

当且仅当3(x+l)=/一，即叵—1时，等号成立，

%+13

所以函数y=2+3x+/一的最小值为4百

X+1

故选：A.

9.答案：BCD

解析：对A：•:a>b=a-b>3,>b2a2-b2=(a+Z?)(a-Z?)>0，

二.由〃>/?不能得出标>〃,例如Q=I，b=—2,A错误；

对B：・.・〃>。，

:.a-2>b-2>b-3^即〃一2>人一3，B正确；

对C：•,­ac2>be1，则!〉0，

c

:.a>b，C正确；

对D：作差得："竺_2=少金,

a+maaya+m^

•1a>b>。，机>0，则〃+根>0，a—b>0

二变二驾>0,即2<丝?，D正确.

a[a+m)aa+m

故选：BCD.

10.答案：AD

解析：对于A，­.•«>0-b>0，且。+/?=1，:.1=a+b>2y/ab)

当且仅当a=人=工时取到等号，:.ab<-，.•.仍有最大值!，.•.选项A正确；

244

对于B,(夜+〃)=a+Z?+2y[ab=1+2y[ab<X+a+b=2^0<yfa+y[b<y[l>

当且仅当a=b=工时取到等号，二B错误；

2

升羊c14(14、/7、1.b4a、厂,lb__4a.

对于C,—।—=—i—(a+b)=l+4-i----1---->5+2./_x—=9，

ab\ab)abNab

当且仅当？+四即6=2,。=工时取到等号，所以C不正确；

ab33

对于D,二2Q-1>—1,2"一"〉L二・D正确.

2

故选：AD.

n.答案：4

解析：因为x+y-孙=0,所以工+工=1,

y%

所以x+y=(%+y)d+')=2+2+±N2+2I---=4,

xyxy\y

当且仅当上;二，即％=y=2时等号成立，

%y

所以x+y的最小值为4.

故答案为：4.

12.答案：一1(根<4

211

解析：由---F—=2得2y+x+l=2(x+l)y,所以x+l=2孙，所以2y=1+—，

x+1y%

所以％+2y=%+,+122、/%,+1=3,当且仅当％=1，y=l时，等号成立,所以

XVX

(x+2y).=3，

所以x+2y〉加2-3加一1T旦成立，可化为3>7篦2—3加一1，即加2-3〃?一4<0，解得一1<〃2<4-

13.答案:16

解析：如图：

连接。c,设|。用=%,(o<%<4)则忸q=joq2To砰=ji6—f,

\AB\^2\OB\^2x，所以矩形ABCD的面积为|♦忸。|=2xJ16-x?W。+(16-x?)=16，

当且仅当V=06-V)时，即当时，等号成立，

所以矩形A3CD面积的最大值为16cm2.

故答案为：16.

14.答案：

[22」

解析：设3x—2y=/n(x+y)+〃(x—y)=(加+〃)]+(加一,

1

m--

m+n-3a力,日9i<

,解得5，所以，3%―2y=_(%+y)+一(九一y),

m-n=-2

n--

2

\,-l