几何压轴题-2023年江苏盐城中考数学复习分类汇编（解析版）

专题05几何压轴题

1.(2022•盐城)【经典回顾】

梅文鼎是我国清初著名的数学家，他在《勾股举隅》中给出多种证明勾股定理的方法.图1是其中一种方

法的示意图及部分辅助线.

在AABC中，ZACB=90°,四边形ACH7和班8c分别是以RtAABC的三边为一边的正方形.延

长田和R7,交于点3连接LC并延长交ZJE于点J,交AB于点、K,延长ZM交〃于点

(1)证明：AD=LC；

(2)证明：正方形ACH7的面积等于四边形4CLM的面积；

(3)请利用(2)中的结论证明勾股定理.

【迁移拓展】

(4)如图2,四边形ACm和瓦，GC分别是以AABC的两边为一边的平行四边形，探索在钻下方是否存

在平行四边形ADEB，使得该平行四边形的面积等于平行四边形ACW、哥GC的面积之和.若存在，作

出满足条件的平行四边形(保留适当的作图痕迹)；若不存在，请说明理由.

【详解】(1)证明：如图1,连接HG,

・・•四边形ACW,ABED和5a汨是正方形，

:.AC=CH,BC=CG,ZACH=ZBCG=90°,AB^AD,

・.・NACB=90。，

/.ZGCH=360°-90°-90°-90°=90°,

/.Z.GCH=ZACB，

:2CB=NHCG(SAS),

.\GH=AB=AD,

•・・NGCH=NCHI=NCGL=90。,

二.四边形CGLH是矩形，

/.CL=GH,

AD=LC；

(2)证明一：\-ZCAI=ZBAM=90°,

:.ZBAC=ZMAI,

\-AC=AI,ZACB=ZI=90°,

:.\ABC=\AMI{ASA)i

由(1)知：AACB^AHCG,

,\AAMI=AHGC,

•・•四边形CGLH是矩形，

-S^CHG=S^cHL'

,,S2VIM/=S^cHL'

：.正方形ACHI的面积等于四边形ACLM的面积；

证明二：・.・四边形CGLH是矩形，

DE

PH=PC,

:.ZCHG=ZLCH,

ZCAB=Z.CHG=ZLCH,

ZACH=90°,

ZACK+ZLCH=90°,

ZACK+ZCAK=90°,

.-.ZAKC=90°,

:.ZAKC=ZBAD=90°,

:.DM//LK,

-.-AC//LI,

.•.四边形ACLM是平行四边形，

,正方形ACW的面积=EJACLH的面积=ACC”,

正方形ACHI的面积等于四边形ACLM的面积；

（3）证明：由正方形"）座可得AB//DE,

又AD//LC,

四边形ADJK是平行四边形，

由（2）知，四边形ACLM是平行四边形，

由（1）知：AD=LC,

.-.rjADJK的面积FACLM的面积=正方形ACHI,

延长£»交〃?于Q,

同理有nKJEB的面积FCBQL的面积=正方形BFGC,

•••正方形ACHI的面积+正方形BFGC的面积=EJADJK的面积+aKJEB的面积=正方形ADEB,

:.AC2+BC2^AB2；

（4）解：作图不唯一，如图2即为所求作的QADEB.

说明：如图2,延长阳和FG交于点L,以A为圆心CL为半径画弧交由于点加，在的延长线上取

AD=AM,作oADEB,作射线LC交AB于K,交DE于J,由图可知：射线LC把oADEB分成QADJK

和口BK/E,根据同底等高可得：CJADJK,DAMLC,DACHZ的面积相等，同理QBKKE,口CBQL,nBCGF

的面积相等（。是直线EB与FG的交点），所以平行四边形ADEB的面积等于平行四边形ACHZ、加GC的

面积之和.

2.（2020•盐城）木门常常需要雕刻美丽的图案.

（1）图①为某矩形木门示意图，其中长为200厘米，AD长为100厘米，阴影部分是边长为30厘米的

正方形雕刻模具，刻刀的位置在模具的中心点P处，在雕刻时始终保持模具的一边紧贴木门的一边，所刻

图案如虚线所示，求图案的周长；

（2）如图②，对于（1）中的木门，当模具换成边长为306厘米的等边三角形时，刻刀的位置仍在模具的

中心点尸处，雕刻时也始终保持模具的一边紧贴木门的一边，使模具进行滑动雕刻.但当模具的一个顶点

与木门的一个顶点重合时，需将模具绕着重合点进行旋转雕刻，直到模具的另一边与木门的另一边重合.再

滑动模具进行雕刻，如此雕刻一周，请在图②中画出雕刻所得图案的草图，并求其周长.

【答案】见解析

【详解】(1)如图①，过点P作PELCD于点E,

B'-------------------'C

•.•点P是边长为30厘米的正方形雕刻模具的中心,

/.PE=\5cm,

同理：与AB之间的距离为15cm,

AD与4)之间的距离为15cm,

B'C与之间的距离为15cm，

A!B'=C'D=200-15-15=170(cm),

FC=A!D=100-15-15=70(cm),

=

‘C四边形A'B'CO(170+70)x2=480cm,

答：图案的周长为480cm；

(2)连接PE、PF、PG,过点尸作PQ_LCD于点Q,如图②

・・,尸点是边长为3。岛形的等边三角形模具的中心，

：.PE=PG=PF,N尸GF=30。，

・・・PQLGF,

GQ=FQ=15y/3cm,

PQ=G2*tan30°=15cm,

PG_---------_3QC/TI,

cos30°

当AEFG向上平移至点G与点。重合时，

由题意可得，尸G绕点。顺时针旋转30。，使得EG与AD边重合,

DP绕点。顺时针旋转30°到DP",

同理可得其余三个角均为弧长为5兀cm的圆弧，

C=(200-300+100-30百)义2+5万x4=600—120若+20万(c〃z),

答：雕刻所得图案的周长为(600-120有+20万)c".

3.(2019•盐城)如图①是一张矩形纸片，按以下步骤进行操作：

(I)将矩形纸片沿上折叠，使点A落在。边上点E处，如图②；

(II)在第一次折叠的基础上，过点C再次折叠，使得点3落在边CD上点处，如图③，两次折痕交于

点O;

(III)展开纸片，分别连接。8、OE、OC、FD,如图④.

【探究】

(1)证明：AOBC=AOED；

(2)若AB=8,设为x,OB?为y,求y关于％的关系式.

【答案】见解析

【详解】(1)证明：由折叠可知，AD=ED,ZBCO=ZDCO=ZADO=ZCDO=45°

:.BC=DE,ZCOD=90%OC=OD,

在△05。二AOED中,

OC=OD

<NOCB=/ODE,

BC=DE

,\AOBC=AOED(SAS)；

(2)过点O作OH_LCD于点

OE=OB,

,;BC=x,贝!j9=小=尤，

.,.CE=8—x,

・.・OC=OD,NCOD=90。

1.CH=—CD=—AB=—x8=4,

222

OH=-CD=4,

2

,\EH=CH-CE=4-(8-x)=x-4

在RtAOHE中，由勾股定理得

OE2=OH2+EH2,

SPOB2=42+(X-4)2,

r.y关于尤的关系式：y=x2-8x+32.

4.（2018•盐城）【发现】如图①，已知等边AABC,将直角三角板的60。角顶点。任意放在3C边上（点。

不与点3、。重合），使两边分别交线段回、AC于点E、F.

（1）若AB=6,AE=4,BD=2,贝i]CF=4；

（2）求证：AEBZX^ADCF.

【思考】若将图①中的三角板的顶点。在3c边上移动，保持三角板与边AB、AC的两个交点E、尸都存

在，连接EF,如图②所示，问：点。是否存在某一位置，使ED平分NfiEF且ED平分NCFE?若存在，

求出处的值；若不存在，请说明理由.

BC

【探索】如图③，在等腰AABC中，M=AC,点。为3c边的中点，将三角形透明纸板的一个顶点放在

点。处（其中/MON=N3）,使两条边分别交边钻、AC于点E、F（点E、F均不与AABC的顶点重

合），连接设ZB=（z,则AAER与AA5c的周长之比为（用含a的表达式表示）.

图①图②图③

【答案】见解析

【详解】（1）解：:AABC是等边三角形，

:.AB=BC^AC=6,NB=NC=60°.

■.■AE=4,

BE=2,

则

.•.ABDE1是等边三角形,

.\ZBED=60°,

又・・・/瓦)产=60。，

二ZEDB=ZB=60。.

ZCDF=180°-ZEDF—ZB=60。，

则ZCDF=ZC=6O°,

.•.ACD尸是等边三角形，

,\CF=CD=BC-BD=6-2=4.

故答案是：4；

(2)证明：如图①，・.・N£D尸=60。，4=60。，

:.NCDF+BDE=120。,ZBED+ZBDE=124。,

.\ZBED=ZCDF.

又ZB=NC=60。，

:.AEB4ADCF；

【思考】存在，如图②，过。作DGLEF,DNLCF,垂足分别是M、G、N,

・.・ED平分ZBEF且阳平分ZCFE.

:.DM=DG=DN.

又ZB=NC=60。，ZBMD=ZCND=90°,

,\ABDM=ACDN,

，BD=CD,即点。是的中点，

•BD1

••=»

BC2

【探索】如图③，连接49,作OG_L跖，ODLEF,OH工CF,垂足分别是G、D、H.

则ZBGO=ZCHO=90°,

\-AB=AC,O是的中点，

/.ZB=ZC,OB=OC,

.\AOBG=AOCH,

:.OG=OH,GB=CH,ZBOG=ZCOH=90°-a,

则ZGOH=180°-(ZBOG+ZCOH)=2a,

/.AEOF=ZB=a

由(2)题可猜想应用£F=£D+r>b=GE+»/(可通过半角旋转证明),

则C^AEF=AE+EF+AF=AE+EG+FH+AF=AG+AH=2AG,

设AB=/n,则03=相cost/,GB=mcos2a.

CAABC2(AB+OB)AB+OBm+mcosa

故答案是：l-cosa.

5.（2022•盐城一模）【问题背景】

在一次数学兴趣小组活动中，小军对苏科版数学九年级教材第42页的第4题很感兴趣.

教材原题：如图1,BD、CE是AABC的高，M是3C的中点.点、B、C、D、E是否在以点M为圆心

的同一个圆上？为什么？

小军在完成此题解答后提出：如图2,若BD、CE的交点为点O,则点A、D、O、E四点也在同一个圆

上.

（1）请对教材原题或小军提出的问题进行解答.（选择一个解答即可）

【直接应用】

当大家将上述两题都解决后，组员小明想起了在七年级通过画图归纳出的一个结论：三角形的三条高所在

直线交于同一点，可通过上面的结论加以解决.

（2）如图3,AABC的两条高BD、CE相交于点O,连接40并延长交3c于点尸.

求证：针为AABC的边3c上的高.

【拓展延伸】

在大家完成讨论后，曾老师根据大家的研究提出一个问题：

（3）在（2）的条件下连接DE、EF、FD（如图4）,设NDEF=a,则NAO3的度数为_90°+|«_.（ffl

含a的式子表示）

【答案】见解析

【详解】（1）选择教材原题，

点、B、C、D、E是否在以点“为圆心的同一个圆上.

如图，连接ME、MD,

:BD、CE是AABC的高，M是3c的中点，

；.ME=MB=MC=MD,

:.点B、C、D、E是否在以点〃为圆心的同一个圆上.

（2）如图，连接DE,由点8、C、D、E四点共圆得=

由点A、D、。、E四点共圆得

:.ZECB=ZBAF,

-.■ZBEC=90°,

ZECB+ZABF=90°,

:.ZBAF+ZABF=90°,

:.ZBFA=90°,

:.AF为AABC的边BC上的高.

(3)如图，■.■ZBEO=ZBFO=90°,

.♦.点3、F、O、E在以点N为圆心的同一个圆上,

:.ZFBO=ZFEO,

•.•由（1）证得点3、C、D、E在同一个圆上，

:"FBO=NCED,

:.ZFEO=ZCED,

同理可证：NEFO=ZAFD,NEDO=NFDO,

.,.点。是AOEF的内心.

ZAOB=90°+-a.

2

6.（2022•建湖县一模）【问题再现】苏科版《数学》八年级下册第94页有这样一题：

如图1,在正方形ABCD中，E,F,G分别是BC,CD,AD上的点，GEYBF,垂足为那么GE

=_BF.（填或“>”）

【迁移尝试】如图2,在5x6的正方形网格中，点A,B,C,。为格点，互交CD于点〃.求N4MC

的度数；

【拓展应用】如图3,点尸是线段至上的动点，分别以Q,为边在AB的同侧作正方形APCD与正

方形PBEF,连接上分别交线段BC,PC于点N.

①求NLVWC的度数；

②连接AC交DE于点"，直接写出上的值为

BC

图1图2图3备用图

【答案】见解析

【详解】【问题再现】"GELBF,

:.ZBMG=90。,

将线段G£向左平移至AL处，交BF于I,

:.AL=GE,ZAIB=ZBMG=90°,

.\ZBAL^ZABI=9Q°,

•・•四边形ABCD为正方形，

:.AB=BC,ZABC=ZC=90°,

.-.ZCBF+ZAB/=90°,

:.ZBAL=ZCBF,

:.AABL=ABCF(ASA),

.\AL=BF,

:.GE=BF,

故答案为：=；

【迁移尝试】将线段AB向右平移至而处，使得点6与点。重合，连接PN,如图2所示:

:.ZAMC=ZNDC,

设正方形网格的边长为单位1,

则由勾股定理可得：DN=<*+U=2若,PD=A/12+32,PN=^+32=A/10,

/.PN2+PD2=DN2,

.•.AZ»W是直角三角形，/DPN=90。,且PN=PD,

.\ZAMC=ZNDC=45°；

【拓展应用】①平移线段BC至DK处，连接KE,如图3所示：

则NDA/C=NXDE,四边形是平行四边形,

:.DC=KB,

•・•四边形ADCP与四边形PB跖都是正方形,

.\DC=AD^AP,BP=BE,ZDAK=ZKBE=90°

：.DC=AD=AP=KB,

.•.AG=BP=BE,

在AAKD和AB砍中，

AK=BE

</DAK=ZKBE,

AD=KB

:.\AKD=NBEK{SAS),

:.DK=EK,ZADK=ZEKB,

.•.ZEKB+ZAKD=ZADK+ZAKD=90。,

.\ZEKD=90°f

/.ZKDE=ZKED=45°,

/.ZDMC=Z.KDE=45°；

②如备用图所示：

­.AC为正方形ADCP的对角线，

:.ZDAC=ZPAC=ZDMC=45°,

AC=yp2AD,

・：ZHCM=ZBCA,

:.ZAHD=ZCHM=ZABC，

/.AADH^AACB,

.PHADAD_yf2

BC~AC~叵AD~2

故答案为它.

2

图1图2备用图

7.（2022•亭湖区校级一模）小明学习了图形的旋转之后，积极思考，利用两个大小不同的直角三角形与同

学做起了数学探究活动.如图1,在AABC与ADEF中，AC=BC=a,ZC=90°,DF=EF=b,(a>b),

ZF=90°.

【探索发现】将两个三角形顶点C与顶点厂重合，如图2,将ADEF绕点C旋转,他发现班与4)的数量

关系一直不变，则线段3E与45具有怎样的数量关系，请说明理由；

【深入思考】将两个三角形的顶点C与顶点O重合，如图3所示将绕点C旋转.

①当6、F、E三点共线时，连接所、AE,线段班\CF、/此之间的数量关系为_BF=AE+CF_；

②如图4所示，连接AT、AE,若线段AC、EF交于点(9,试探究四边形AECF能否为平行四边形？如

果能，求出。、6之间的数量关系，如果不能，试说明理由.

【拓展延伸】如图5,将ADEF绕点C旋转,连接AF,取AF的中点连接则的取值范围

为—(用含。、6的不等式表示).

A

BC(D)

图5

］A」44

AA

BCEFBC(F)BC(D)BC(D)

图1图2图3图4

【答案】见解析

【详解】【探究发现】BE=AD,BE±AD,理由如下：

如图1,

图1

•・・ZACB=ZAFD=90°,

ZACB-ZACE=ZAFD-ZACE,

:.ZBCE=ZAFD,

在ABCE和AATO中，

BC=AC

</BCE=ZAFD,

CE=FD

:.ABCE=AAFD(SAS),

BE—AD；

【深入思考】@BF^AE+CF,理由如下:

在用上截取FG=EF,可得ACGE是等腰直角三角形,

；.CF=FG=EF,

由【探究发现】得：BG=AE,

:.BF=BG+GF=AE+CF；

故答案为：BF=AE+CF；

②四边形AECF可以为平行四边形，

止匕时OF=OE=1b,OC^OA^-a,

22

•.,NCR)=90°,

OC2=CF2+OF2=b2+(-bf=-b2,

【拓展延伸】如图3,

延长庄至O,是EO=EF,连接。4,

：.EM=-AO,

2

在RtACOF中，OF=2EF=2b,CF=b,

OC=\[5b,

.•.点。在以C为圆心，J豆的圆上运动，

当点。在AC的延长线上时，AO最大，最大值为：a+J豆，

当点O在射线C4上时，AO最小，最小值为|。-而|,

_a+j5b」”同1

••以以最大一2，""最小一2，

故答案为：1£二幽强区wa+45b

22

8.(2022•盐城二模)以下为一个合作学习小组在一次数学研讨中的过程记录，请阅读后完成下方的问题

1-4.

试题分析

(I)如图1,在RtAABC中，ZBAC=90°,AB=AC,。是AABC外一点，S.AD=AC.求/加C的度

数.

小明：我发现试题中有三个等腰三角形，设NADB=戊,易知/6。=90。-2£,又因为A0=AC,得

ZADC=450+a,即可算出N3DC的度数.

小丽：我发现AB=AC=AD.则点3、C、。到点A的距离相等，所以点3、C、D在以点A为圆心、

线段至长为半径的圆上……

猜想证明

(II)如图1,在RtAABC中，N54c=90。，AB=AC,点、D、A在3c同侧.

猜想：若NBDC=45°,则点O在以点A为圆心、线段钻长为半径的圆上.

对于这个猜想的证明，小华有自己的想法：

以点A为圆心，AB长为半径画圆.根据点与圆的位置关系，知道点。可能在。入内，或点。在。A上，或

点。在QA外.故只要证明点。不在R4内，也不在QA外，就可以确定点。一定在04上.

（III）进一步猜想：

如图2,在AABC中，NBAC=。,AB=AC,点。、A在3c同侧.若ZBDC=°,则点。在以点A

为圆心、线段至长为半径的圆上.

（IV）对（III）中的猜想进行证明.

问题1.完成（I）中的求解过程；

问题2.补全猜想证明中的两个猜想：（II）—；（IID—；

问题3.证明上面（III）中的猜想；

问题4.如图3为某大型舞台实景投影侧面示意图，NBOC=90。，点A处为投影机，投影角44C=45。,

折线B-O-C为影像接收区.若影像接收区最大时（即OB+OC最大），投射效果最好，请直接写出影像

接收区最大时03的长

投影为统//

/t

//春

投影光线，

/

I

连三,

-18米”

S3

【答案】见解析

【详解】问题1：解：小明：如图1,

图1

设NAD3=(z,

■：AB^AD,

AABD—^ADB—a,

/./BAD=180°-(ZABD+ZADB)=180。一2a,

.­.ZG4D=Z&4D-Za4C=180°-2a-90o=90°-2a,

\-AD=AC,

1800ZCAD1800(90

ZADC=ZACn=-=-°-45°+.,

22

:.Z.BDC=ZADC-ZADB^45°+a-a=45°,

.•.点3、C、。在以A为圆心，至长为半径的圆上，

/.ZBDC=-ZBAC,

2

■.■ABAC=90°,

.-.ZBDC=45°；

问题2：由问题1可知：在RtAABC中，ZfiAC=90°,AB=AC,点、D、A在3c同侧,

若N3£)C=45。，则点。在以点A为圆心、线段长为半径的圆上，

同理，由问题1可知：在RtAABC中，Nfi4c=90。，AB^AC,点、D、A在3C同侧，

若NBDC=；0°,则点。在以点A为圆心、线段长为半径的圆上，

故答案为：(II)45°,(III)工0；

2

问题3:

证明：若点。在QA外，如图3,

图3

•・•点石在G)A上，

-.■ZBEC>ZBDC,NBDC=；0,

.,.点。在OA外不成立，

若点。在OA内，如图4,

,点E在0A上

:.ABEC=-AA=-B

22

5L-.-ABEC<ABDC,ZBDC=^/3

.,.点。在O4内不成立

综上所述：点。在0A上；

问题4:

■.■OB+OC..2yJOBxOC,当03=OC时成立，

.•.设O3=OC=a,

如图5,过点3作3尸，03交AE于点歹，过点C作CDLOC交班'于点D,连接ZM,以。为圆心，以a

图5

,BFYOB,CDYOC,ZBOC=90°,

：.四边形30co是矩形，

■OB=OC,

二.四边形30co是正方形，

OB=OC=CD—BD=a,

•.•N54C=45。，NBDC=90。，由问题3可知，点A在上，

/.DA.—a,

・.・0石=18,AE=16,

DF=18—a,AF=16—a,

在RtAADF中，AD2^DF2+F^,

a2=(18-a)2+(16-a)2,

解得：a=10或58(不符合题意，舍去)，

影像接收区最大时OB的长为10,

故答案为：10.

9.(2022•滨海县一模)在四边形ABCD中，ZB+ZD=180%对角线AC平分NS4D.

(1)推理证明：如图1,若NDAB=120。，且ND=90。，求证：AD+AB^AC；

(2)问题探究：如图2,若㈤4B=120。，试探究AD、AB、AC之间的数量关系，

(3)迁移应用：如图3,若NZMB=90。，AD=2,AB=4,求线段AC的长度.

图1图2图3

【答案】见解析

【详解】(1)证明：・.・ACf平分NS4D,

/.ZDAC=ZBAC=-/BAD.

2

ZDAB=120°f

,\ZDAC=ZBAC=6O°,

又•・・N3+ND=180。，ZD=90°,

/.ZB=180°-ZD=180°-90°=90°,

,\ZACD=ZACB=30°,

:.AD=-AC,AB=-AC,

22

:.AD+AB=-AC+-AC=AC.

22

(2)解：AD+AB=AC,理由如下：

在图2中，过点C作CE_LA。于点石，过点。作CF_LAB的延长线于点尸.

・・A。平分NB4£>,

:.CE=CF,ZDEC=ZCFB=90°.

・・・ZD+ZABC=180。，ZABC+ZraC=180°,

.\ZD=ZFBC.

ZD=ZFBC

在ABFC与AD石。中，\ZDEC=ZBFC,

CE=CF

.\ABFC=ZDEC(AAS)f

:.DF=BF,

:.AD+AB=AE+DE+AF-BF=AE+AF.

由(1)可知：AE+AF=AC,

:.AD+AB=AC.

(3)解：在图3中，过点C作。/JLAB于点M,过点C作CNLAO的延长线于点N.

由(2)知：ACDN=ACBM,

:.DN=BM,

:.AD+AB^AN-DN+AM+BM^AN+AM.

-.■ZDAB=9Q°,AC平分ZB4D,

ZNAC=ZMAC=ZACN=45°,

:.AACN,AACN均为等腰直角三角形，

：.AN=AM=CN=—AC,

2

AD+AB^AN+AM=—AC+—AC^yf2AC.

22

又•.,AD=2,AB=4,

ADAB

.-.AC=t=^=3^.

A/2A/2

一D匚D"、、

BA

图1图2图3

10.（2022•盐城一模）如图，已知矩形ABCD中，E是边AD上一点,将AfiDE沿屏;折叠得到AfiFE,连

接DF.

（1）初步探究

如图1,当丝=1,跖落在直线54上时.

AB

①求证：ZEBA=ZFDA；

②填空：署=二；

（2）深入思考

4D

如图2,当——砥与边AO相交时，在班上取一点G,使NS4G=NO4F,AG与所交于点

AB

H.求竺的值（用含〃的式子表示），并说明理由；

AG

（3）拓展延伸

在（2）的条件下，当〃=后，E是4）的中点时，若FDFH=12,求AG的长.

DCD________C

一工

FABAB

图］图2

【答案】见解析

【详解】（1）①证明：如图1,

N1,

AB

AD=AB,

•.•四边形ABCD是矩形,

四边形ABCD是正方形，

,\ZABD=ZADB=45°fDALAB

.\ZDAB=90°，

由折叠可知石=NDB石，BF=BD,ZBFE=ZBDE=45。,

•・・折叠时BF落在直线BA上，

,\ZFAE=ZDAB=90°,

:.ZAEF=45°=ZBFE，

.\AE=AF,

在AE4B和AE4O中，

AB=AD

<ZEAB=/FAD,

AE=AF

:.AEAB=AFAD(SAS),

.\ZEBA=ZFDA；

②解：由①知：AE=AF,

AE

故答案为：1；

AT7

(2)解：——=几,理由如下：如图2,延长BE交。尸于点T,

AG

由折叠可知班垂直平分DF,

:.DT=FT,BTLDF,

ZFDA+ZDET=90°,

・・•四边形是矩形，

:.DALAB,

:.ZABE+ZAEB=9(T,

・；ZAEB=ZDET,

:.ZFDA=ZABE,

A.r)

又・・・ZZMF=Z^4G,——=n(n1),

..ADAF^ABAG,

AFAD

-----=-----=n；

AGAB

(3)解：如图3,延长BE交DF于点T,连接FG,

・.・E是AD的中点，

:.DE=AE,

由折叠可知跖=七见，BF=BD,

:.EF=DE=AE,

:.ZEDF=ZDFE,ZEAF=ZEFA,

又・・・S)尸+NDFE+NE4F+NEE4=180。，

/.2(ZDFE+ZEFA)=180°,

.,.ZDFE+ZEFA=9。。,即ZD必=90。，

由(2)知AZMFSA^AG,

:.ZAFD=ZAGB=90°,

FDAFADr-

----=-----=------Yl—y2,

GBAGAB

:.AGLBE,GB=—FD,

2

AF=叵AG=yfixAD=叵AB,

•：BTLFD,

ZDTE=ZAGE=90°,

在AD7E和AAGE中，

/DTE=/AGE

<ZDET=/AEG,

DE=AE

:.ADTE=AAGE(AAS),

:.DT=AG,

设AG=x(x>0),贝l]OT=x,

由折叠得：BE垂直平分也，

FT=DT=x，FD=2DT=2x，

,\GB^—FD=—x2x=y[2x,

22

/.AF=GB=y[2xf

在RtAAGB中，AB=dAG+BG2=商+(足)2=瓜,

・.•AD=y[2AB,

/.AD=^2xy/3x=y/6x,

•・•四边形ABCD是矩形，

:.ZBAD=90°,

BF=BD—VAB2+AD2=+(V6x)2=3x,

\ZBAG=ZDAF,

ZBAG+ZDAG=ZDAF+ZDAG,

ZBAD=ZGAF=90°,

又・.・NAG6=90。，

ZAGB=ZGAF=90°,

:.AF//GB,

又YAF=GB=H,

四边形ABGF是平行四边形，

113

FH=BH=-BF=-x3x=-x

2229

又••FDFH=12,

3

/.2x--x=12,

2

即炉=4,

,.,x>0,

:.x=2,

即AG=2.

11.(2022•建湖县二模)［问题情境］小春在数学活动课上借助几何画板按照下面的画法画出了一个图形：

如图1,点C是线段4?上一点，分别以AC、4?为底边在线段钻的同侧作等腰三角形ACP、等腰三角

形AB。，PC、相交于点£).当P、。、3在同一直线上时，他发现：ZR4Q=NCPB.请帮他解释

其中的道理；

【问题探究］

如图2,在上述情境下中的条件下，过点C作CE//AP交PB于点、E,若PD=2CD,上4=9,求CE的长.

［类比应用］

如图3,AABC是某村的一个三角形鱼塘，点、D、E分别在边AB、上，AE、CD的交点P为鱼塘的

22

钓鱼台，测量知道NC4D=NCZM=67.5。，NCEA=2NB,AD=(40000-20000^)//I,S.DB=2AD.直

接写出CF的长为—迎也m.

图1图2图3

【答案】见解析

【详解】（1）\-AP=PC,AQ^BQ,

:.ZPAC=APCA,ZB=ZQAB,

・・・ZPCA=ZB+NCPB,ZPAC^ZPAQ+ZQAB,

:.ZPAQ=ZCPB；

（2）由（1）可知，ZPAQ=ZCPB,

.\ZPAD=ZCPE,

・.・PD=2CD,PC=9,

,\PA=PC=9,PD=-PC=6,

3

\-CE//PA,

:.ZAPD=ZPCE，

在AR4O和ACPE中，

ZPAD=ZCPE

<AP=PC,

ZAPD=ZPCE

:.APAD=ACPE(ASA),

,\CE=PD=6；

(3)过点。作D"_LAC于点H,

・・・ZCAD=ZCDA=67.5°,

:.AC=CD,ZACD=1SO°-ZCAD=ZCDA=45°,

在RtACDH中，smZACD=—=—=-^=,

CD272

CD=&DH,

设DH=k,贝1」人。=8=岳，CH=k,AH=AC-CH=(应-l)k,

在RtAADH中，AD1=AH2^DH2,

,40000-20000后=(拒-1)?+k2,

解得，左二100,

AC=100^(m),

过点。作。G//AC交于G,

..ADGB^AACB,

.DGDB_2

AC-AB-3'

DG2

一］00夜一1，

.”_200&/、

..DG----------(/77),

3

由［问题探究］可知A7%D=ACPE,

：.CF^DG^^-/2(tn),

200忘

故答案为:

—-

12.（2022•亭湖区校级二模）【问题背景】为了保持室内空气的清新，某仓库的门动换气窗采用了以下设计:

如图1,窗子的形状是一个五边形，它可看作是由一个矩形ABCD和一个ACDE组成，该窗子关闭时可以

完全密封，根据室内的温度和湿度也可以自动打开窗子上的通风口换气.通风口为A/MV（阴影部分均不

通风），点厂为AB的中点，MN是可以沿窗户边框上下滑动且始终保持和4?平行的伸缩横杆.

设窗子的边框9、AD分别为。机，bm,窗子的高度（窗子的最高点到边框AB的距离）为c

【初步探究】

（1）若a=3,6=2,c=4（即点E到回的距离为2）.

①与AB之间的距离为1加，求此时A/MV的面积；

②血W与AB之间的距离为xm，试将通风口的面积y疗表示成关于x的函数；

③伸缩杆移动到什么位置时，通风口面积最大，最大面积是多少？

【拓展提升】

（2）若金属杆移动到高于8所在位置的某一处时通风口面积达到最大值.

①c需要满足的条件是通风口的最大面积是—"/（用含。、院c的代数式表示）

②用直尺和圆规在图3中作出通风口面积最大金属杆所在的位置，（保留作图痕迹，不写作法）

【答案】见解析

【详解】(1)①当喷晾2时，y=1.5x,

当x=l时，j=1.5x1=1.5；

:.MN与AB之间的距离为1加时&FMN的面积为1.5加；

②如图1,过E作垂足为歹，EF分别与CD、A/N相交于点G、H,

当2谈k4时，

,四边形A8CD是矩形，

:.AB=CD='2m,ZA=ZADC=90°,

■.■EF1.AB,

:.ZAFG^90°,

四边形ADGF是矩形，

:.AD^GF=lm,NDGF=90°,

•.,四边形PQNM是矩形，

:.MN//PQ,

ZEFA^ZEHM=90°,

由题意可知，EF=2m,HF=xm,

:.EG=lm,EH=(4-x)m,

•­MN//PQ//CD,

:.AEMN^AEDC,

又EH、EG分别是\EMN、AEDC的对应高，

EHMN何4-尤MN

——=——，即----=——，

EGCD23

化简，得：MN=(6-L5x)m.

13

y=5x(6—1.5JV)=——x~+3x;

综上可知，当礴2时，y=1.5x；当2融4时，丫=-尸+3彳；

③当噂/2时，y=\.5x,

因此，当x=2时，y最大，最大值是3.

当2效卜4时，y=f+3x=--(X-2)2+3,

44

因此，当x=2时，y最大，最大值是3.

综上所述，当x=2时，y最大，最大值是3.

因此，金属杆"N移动到CD所在的位置时，通风口面积最大，最大面积是3加2.

(2)①如图2,已知在AABC中有内接矩形，其中A/、N在钻、AC边上，尸、Q在3c边上,

易证当MN为中位线时，矩形PQNM的面积最大，且最大面积为AA5c面积的一半，

即：L底.高，

4

在图3中，延长£D、EC交直线至于尸、G,

则肱V为AEFG的中位线时，矩形尸QMW的面积最大，

所以要想金属杆移动到高于CD所在位置的某一处时通风口面积达到最大值，

只需NEFG与FG边平行的中位线在CZ)上方即可，

即c>2b,此时的最大，面积为AEFG的面积的一半.

作员_LbG于S交CD于J,

■.■CD//FG,

:.AEDC^AEFG,

DCEJac-b

一,即nn一=

FGESFGc

「ac

..FG=----(m)，

c-b

：.通风口的面积=工矩形PQNM面积的最大值=工AEFG面积的一半=-FGES=*(疗).

2288c-Sb

故答案为:

②如图4,过点E作AB的垂线交至于点尸，作的垂直平分线交DE、CE于点Af、N,线段MN即

为所求.

13.（2022•射阳县一模）如图1,已知AABC为等边三角形，点£）,E分别在边他、AC上，AD=AE,

连接DC,点M,P,N分别为DE,DC,3c的中点.

（1）观察猜想

在图1中，线段与7W的数量关系是_PM=PN_,NMPN的度数是；

（2）探究证明

若AABC为直角三角形，N54c=90。，AB=AC,点上分另I］在边回，AC上，AD=AE,把AADE绕

点A在平面内自由旋转，如图2,连接DC,点P,N分别为DE,DC,3c的中点.判断A/%W的

形状，并说明理由；

（3）拓展延伸

若AABC中NBAC=120。，AB=AC=13,点。，E分别在边钻，AC上，AD=AE=5,连接DC,点M,

P,N分别为DE,DC,3C的中点，把AADE绕点A在平面内自由旋转，如图3.

①APMN是三角形.

②若APAW面积为S,直接利用①中的结论，求S的取值范围.

【详解】（1）PM=PN,ZMPN=120°,理由如下:

.•AABC是等边三角形，

AB=AC,

\-AD=AE,

BD=EC,

・.•点M,P,N分别为DE,DC,5C的中点，

:.PM=-EC,PN=-BD,PMIIAC,PN//AB,

22

:.PM=PN,ZMPD=ZACD,N7WC=ZB=60。，

・.・ZMPN=ZMPD+ZDPN=NACO+ZDCB+ZPNC=120°,

故答案为：PM=PN；120°；

(2)APMV是等腰直角三角形，

理由如下：连接BD,CE,

•/ZBAC=ZDAE,

:,ZBAD=Z.CAE,

\AB=AC,AD=AE,

:.ABAD=ACAE(SAS)f

BD=CE，

•jPN是ABCD的中位线，

:.PN=-BD,PN//BD,

2

同理尸A///CE,PM=-CE,

2

:.PM=PN,

ZDPN=ZPNC+ZBCD=ZDBC+ZDCB,ZMPD=ZDCE,

ZMPN=ZABD+ZACB=90°,

」.AP攸V是等腰直角三角形；

(3)①连接3D,CE,

由(2)同理可得，APNN是等边三角形，

故答案为：等边三角形；

②•；PN==BD,

2

.,.当最大时，S最大；当最小时，S最小,

■.■AB=13,AD=5,

:.BD最大为18,最小为8,

.,."V最大值为9,最小值为4,

.•.S最大值为丑乂夕二辿，S的最小值为苴x4°=4百，

444

,-.473>织L

4

14.（2022•东台市模拟）小明在学习矩形知识后，进一步开展探究活动