江苏省常州市金坛区某中学2024-2025学年九年级上学期阶段训练一数学试卷（含答案）

九年级数学限时训练

一、选择题（共10小题）

1.下列方程中，关于X的一元二次方程是（）

A.2x-3=xB.2x+3y—5C.2x-x2—1D.x+—=7

x

2.一元二次方程3x2-6x-4=0的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（）

A.3,6,4B.3,-6,4C.3,6,-4D.3,-6,-4

3.已知。。的半径为2,OA=4,则点/在（）

A.。。内B.。。上C.。。外D.无法确定

4.一元二次方程/+5x+l=0根的情况是（）

A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根C.只有一个实数

根D.没有实数根

5.已知机、”是一元二次方程/+2x-5=0的两个根，则加+"的值为（）

A.2B.-2C.5D.-5

6.将方程x2+4x+2=0配方后，原方程变形为()

A.(X+4)2=2B.(X+2)2=2C.(x+4)2=—3D.(x+2)2=—5

7.如图，00的弦AB=8,M是AB的中点，且OM=3,则00的半径等于()

A.2B.5C.8D.10

8.关于x的一元二次方程x2-fox+c=0的两根分别是4、-2,贝防、。的值分别是（）

A.-2、4B.4、-6C.-2、6D.2、-8

9.实数4，b,c满足。-6+。=0,则（）

A.Z?-4ac>0B.b2-4ac<0

C.b2-4ac>0D.b2-4ac<0

10.如图，四边形P4OB是扇形OW的内接矩形，顶点P在弧九W上，且不与N重合,

当P点在弧上移动时，矩形尸/02的形状、大小随之变化，则尸才+尸笈的值（）

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A.变大B.变小C.不变D.不能确定

二.填空题（共8小题）

11.一元二次方程x2-4=0的解是.

12.已知关于x的一元二次方程/-x+左=0的一个根为-1,贝！）后=.

13.如果关于x的一元二次方程4--加x+l=0有相等的实数根，那么机的值

是.

14.已知机是关于x的方程--2x-5=0的一个根，则2加2_4川=.

15.梭梭树因其顽强的生命力和防风固沙的作用，被称为“沙漠植被之王”.新疆北部某沙漠

2020年有16万亩梭梭树，经过两年的人工种植和自然繁殖，2022年达到25万亩，求这两

年的平均增长率.

16.如图，AB是的直径，弦CDJLAB于点E,OC=5cm,CD=6cm,则AE=

17.若菱形的两条对角线长分别是方程x2-10x+24=0的两实根，则菱形的面积为—

18.如图，CD是。。的直径，点A在。C的延长线上，//=18。,/后交。。于点5,且

AB=OD.则.

三、简答题:

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19.解下列方程:

(l)(x-l)2-25=0；

(2)2X2-3X-2=0；

(3)X2+2X-8=0；

(4)3X(X-4)=2(4-X).

20.阳湖水蜜桃是常州特产，有“太湖仙果”的美誉.某农场2022年种植水蜜桃20亩，平均

亩产量是1000kg.2023年该农场扩大了种植面积，并引进新品种，使总产量增长到

33800kg.已知种植面积的增长率与平均亩产量的增长率相同，求平均亩产量的增长率.

21.关于x的一元二次方程/-3x-后=0有两个不相等的实数根.

(1)求左的取值范围；

(2)设匹，无2是方程的两个实根，是否存在左值使2X]+占％+2苫2=10,若存在，求出左值，若

不存在，请说明理由.

(3)若方程两实数根为西也，且满足3网+2%=2,求实数左的值.

22.某超市销售一批月饼，这批月饼每盒进价为80元，售价为120元，平均每天可售出20

盒.为了增加盈利，商场采取了降价措施.假设在一定范围内，月饼的单价每降1元，商场

平均每天可多售出2盒，降价后商场消售这批月饼每天盈利1200元.求降价后该月饼每盒

的售价.

23.若关于x的方程N+6x+c=0有两个实数根，且其中一个根比另一个根大2,那么称这样

的方程为“隔根方程”.例如,方程N+2x=0的两个根是肛=0,切=-2,则方程N+2X=0

是“隔根方程”.

⑴方程N-x-20=0是“隔根方程”吗？判断并说明理由;

(2)若关于x的方程N+mx+m-1=0是"隔根方程”,求加的值.

24.如图，在以点。为圆心的两个同心圆中，大圆的弦48交小圆于点C、D.

(1)求证NC=2D；

(2)若NC=3,大圆和小圆的半径分别为6和4,则CD的长度是

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25.我们在八年级上册曾经探索：把一个直立的火柴盒放倒（如图1）,通过对梯形

面积的不同方法计算，来验证勾股定理.。、权c分别是和Rt^CDE的边长，易知

AD=6C，这时我们把关于x的形如ax2+42cx+b=0的一元二次方程称为“勾氏方程”.

请解决下列问题：

⑴方程f+2x+l=0（填“是”或“不是”）“勾氏方程”；

（2）求证：关于x的“勾氏方程”办2+&cx+6=0必有实数根；

⑶如图2,的半径为10,/反CD是位于圆心。异侧的两条平行弦，AB=2m,

CD=2〃,机力".若关于x的方程“2+10缶+〃=0是“勾氏方程"，连接求/BOD

的度数.

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1.c

【分析】利用一元二次方程的定义判断即可.

【详解】4方程2x-3=x为一元一次方程，不符合题意；

B、方程2x+3y=5是二元一次方程，不符合题意；

C、方程2x--=i是一元二次方程，符合题意；

D、方程x+1=7是分式方程，不符合题意，

故选：C.

【点睛】本题考查了一元二次方程的问题，掌握一元二次方程的定义是解题的关键.

2.D

【分析】根据一元二次方程的一般式可直接进行求解.

【详解】解：一元二次方程31-6x-4=0的二次项系数、一次项系数、常数项分别是3,

—6,—4；

故选D.

【点睛】本题主要考查一元二次方程的一般式，熟练掌握一元二次方程的一般式是解题的关

键.

3.C

【分析】本题考查了点与圆的位置关系，判断点与圆的位置关系，根据点在圆上，则〃=厂；

点在圆外，则d>r；点在圆内，则d<r（d即点到圆心的距离，『即圆的半径）进行判断

是解决问题的关键.

【详解】解：•・•。/=4>2,

・•・点A与OO的位置关系是点在圆外，

故选：C.

4.A

【分析】利用一元二次方程根的判别式进行判断即可得.

【详解】解：一元二次方程V+5x+l=0中的。=1/=5,c=l,

则这个方程根的判别式为A=52-4xlxl=21>0,

所以方程有两个不相等的实数根，

故选：A.

【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题关

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键.

5.B

【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，关于x的一元二次方程

a，+6x+c=0(a*0)的两个实数根X],%和系数。，b,c,有如下关系：x+x^--,

x2a

再由此即可得出答案，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解此题的关键.

a

【详解】解："是一元二次方程/+2x-5=0的两个根，

:.m+n=—2,

故选：B.

6.B

【分析】方程常数项移到右边，两边加上2变形即可得到结果.

【详解】试题分析：:x2+4x+2=0,

.••x2+4x=-2,

•••x2+4x+4=-2+4,

(x+2)2=2.

故选B.

7.B

【分析】由题意连接OA,根据垂径定理求出OM1AB,求出AM长，根据勾股定理求出

OA即可.

【详解】解：连接OA,

••,OO的弦AB=8,M是AB的中点，OM过O,

••.AM=BM=4,OM1AB,

•••由勾股定理得：OA=NAM2+OM2="2+3,=5.

故选：B.

【点睛】本题考查勾股定理、垂径定理，能构造直角三角形是解答此题的关键，注意掌握垂

直于弦的直径平分这条弦.

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8.D

【分析】本题考查一元二次方程的根与系数的关系，解题的关键是掌握一元二次方程根与系

bc

数的关系，X1+x2=--,X产2=上，据此解答即可.

aa

【详解】•••一元二次方程--法+c=0的两根分别是4、—2,

bc

•，.X]+=—=4+(-2)=6=2,玉=——4x(—2)—c——8,

•••6=2,c=-8.

故选：D.

9.C

【分析】首先由〃—6+。=0得至解=。+。，然后化简4〃c求解即可.

【详解】解：,・・〃-6+。=0

••b—cic

•••b2-4QC

=(Q+C)2-4ac

=Q?+2cle+c2—4。。

="—Zac+c?

=(a-0)2.

>0

•••b1-4ac>0.

故选：C.

【点睛】本题主要考查了完全平方公式的应用，熟练掌握完全平方公式是解题的关键.

10.C

【分析】P/O8是扇形OMN的内接矩形，根据矩形的性质N5=OP=半径，所以长度不

变.

【详解】•••P/O8是扇形OACV的内接矩形,以8=。「=半径,当尸点在弧肱V上移动时，半

径一定，所以N3长度不变，又PA2+_PB2=AB2,故选C.

【点睛】本题主要考查了圆周角的相关知识，而本题用到的知识点：90。的圆周角所对的弦

是直径，垂直于非直径的弦的直径平分弦，三角形的中位线等于第三边的一半.

11.x=±2

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【详解】移项得X2=4,

•-•x=±2.

故答案是：x=±2.

12.-2

【分析】把x=-l代入方程/-x+左=0得到关于后的一元一次方程，解方程即可得到答

案.

【详解】解：根据题意得：

12-(-1)+^=0,

解得：k=-2,

故答案为：-2.

【点睛】本题考查了一元二次方程的解，解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的解法

是解题的关键.

13.±4

【分析】此题考查了一元二次方程根的判别式，根的判别式的值大于0,方程有两个不相等

的实数根；根的判别式的值等于0,方程有两个相等的实数根；根的判别式的值小于0,方

程没有实数根.

由已知方程有两个相等实数根，得到根的判别式等于0,列出关于m的方程即可求得m的

值.

【详解】解：•••方程4/一切》+1=0有相等的实数根，

A=(-机-4x4x1=机？-16=0,

解得：m=±4,

故答案为：±4.

14.10

【分析】根据一元二次方程的解的定义得出十一2加=5,代入代数式，即可求解.

【详解】解：•.•〃?是关于x的方程/-2x-5=0的一个根，

2m2-4m=2("/-2加)=2x5=10,

故答案为：10.

【点睛】本题考查了一元二次方程的解的定义，熟练掌握一元二次方程的解的定义是解题的

关键.

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15.25%

【分析】设这两年的平均增长率为x,利用新疆北部某沙漠2022年梭梭树的种植面积=新

疆北部某沙漠2020年梭梭树的种植面积x（1+这两年的平均增长率即可得出关于x的

一元二次方程，解之取其正值即可得出结论.

【详解】解：设这两年的平均增长率为x,依题意得：16（1+无y=25,

解得：々=0.25=25%,无2=225（不符合题意，舍去），

.•.这两年的平均增长率为25%.

故答案为：25%.

【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的

关键.

16.9

【分析】根据垂径定理推出CE=ED=3,再利用勾股定理求出OE即可解决问题.

【详解】解：,.,ABLCD,AB是直径，

CE=ED=3cm,

在RtAOEC中，OE=7OC2-EC2=752-32=4（cm）,

AE=OA+OE=5+4=9（cm）,

故答案为9.

【点睛】本题考查垂径定理，勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考

常考题型.

17.12.

【分析】先解出方程的解，根据菱形面积为对角线乘积的一半，可求出结果.

【详解】x2-10x+24=0

x=4或x=6.

所以菱形的面积为：（4x6）+2=12.菱形的面积为：12.

【点睛】本题考查菱形的性质和面积的求法、根与系数的关系，解题的关键是掌握菱形的性

质和面积的求法、根与系数的关系.

18.54°##54度

【分析】本题主要考查了圆的基本性质，等腰三角形的性质，根据圆的基本性质，可得

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NOEB=4OBE,ZAOB=180,从而得至1]NOEB=NOBE=N4+/40B=36。,进而根据三

角形的外角的性质，即可求解.

【详解】解：连接30,

・・・c。是。。的直径,

0D=OE=0B,

:.Z0EB=A0BE,

•/AB=0D,

AB=OB,

AAOB=N4,

・・・//=18。，

.\ZA03=18°f

/OEB=/OBE=//+ZAOB=36°,

/.ZEOD=ZOEB+ZA=54°.

故答案为：54°

19.(1)再=6,x2=-4

(2)西=一；，X2=2

(3)X]=—4,4=2

2

(4)占=4,9=一§

【分析】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握一元二次方程的解法：直接开平方

法，配方法，公式法，因式分解法等.

（1）先移项，然后利用直接开方法解一元二次方程即可；

（2）利用十字相乘法进行因式分解得出（2x+l）（x-2）=0,然后得出两个一元一次方程，

再解一元一次方程即可；

（3）利用十字相乘法进行因式分解得出（x+4（x-2）=0,然后得出两个一元一次方程，再

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解一元一次方程即可；

(4)先移项，然后利用提公因式法进行因式分解得出(x-4)(3x+2)=0,再得出两个一元

一次方程，最后解一元一次方程即可.

【详解】(1)解：(XT)?-25=0,

移项得：(x-以=25,

开平方得：x-1=±5,

再=6,X?~—4•

(2)解：2X2-3X-2=0,

因式分解得：(2x+l)(x-2)=0,

••・2%+1=0或％-2=0,

解得：再=一：，X2=2；

(3)解:X2+2X-8=0,

因式分解得：(X+4)(X-2)=0,

.・.x+4=0或工一2=0,

解得：再=-4,x2=2；

(4)M：3x(x-4)=2(4-x),

移项得：—4)—2(4—x)=0,

分解因式得：(x-4)(3x+2)=0,

x-4=0或3x+2=0,

2

解得：占=4,x2=--.

20.平均亩产量的增长率为30%

【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，解题的关键是根据等量关系列出方程，设平

均亩产量的增长率为x,根据2022年种植水蜜桃20亩，平均亩产量是1000kg,2023年总

产量增长到33800kg,种植面积的增长率与平均亩产量的增长率相同，列出方程解方程即

可.

【详解】解：设平均亩产量的增长率为x,由题意得：

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20(l+x)xl000(l+x)=33800.

解得X1=0.3,x2=—2.3(舍).

答：平均亩产量的增长率为30%.

9

21.

⑵不存在，理由见解析

(3)A=28.

【分析】本题考查了一元二次方程的判别式以及根与系数的关系，解题的关键能够正确运用

判别式的表达式以及根与系数的关系式.

(1)根据一元二次方程的判别式△>(),然后解不等式即可；

(2)假设存在，代入两根和，两根积，求出左，再作出判断.

(3)联立再+无2=3,3再+2%=2可解得方程的一个根，再将这个根代入原方程即可求得k

的值.

【详解】(1)解：•.•关于x的一元二次方程-4=0有两个不相等的实数根，

A=9+4Z;>0,

99

解得：左〉-不即人的取值范围为《>-不

44

(2)解:X],%是方程/-3x4=0的两个实数根，

X]+%=3,-x2=-k,

'：2xj+xrx2+2X2=2(1+x2)+x1x2=10,

.16—后=10,

解得人=-4,

9

•••方程有实数根时k的取值为后〉-二，

4

二不存在k值使得2匹+xtx2+2X2=10.

(3)解：由国+々=3,得再=3-.，

代入3占+2X2=2中得，3(3—x2)+2X2=2

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解得：尤2=7,

把“2=7代入原方程得,7—3x7-左=0,

解得：上=28.

22.100元或110元

【分析】此题主要考查了一元二次方程的应用，关键是正确理解题意并找出题目中的等量关

系列出方程.设月饼每盒降了x元，根据降价后的销量x每件的利润=1200,根据等量关系

列出方程并求解即可.

【详解】解：设月饼每盒降了x元.根据题意，得：

(20+2x)(120-80-x)=1200,

解得：瓯=20或％=10,

120-x=100或110,

答：降价后该月饼每盒的售价为100元或110元.

23.(1)不是，理由见解析；(2)加=0或%=4.

【分析】(1)不是，利用因式分解法解一元二次方程可得出方程的两个根分别为切=5,心=

-4,二者做差后可得出5-(-4)=9#2,进而可得出方程--x-20=0不是“隔根方程”;

(2)利用因式分解法解一元二次方程可得出方程的两个根分别为々=-1,x2=l-m,结合

关于x的方程/+妙叶〃?-1=0是“隔根方程”，可得出关于m的含绝对值符号的一元一次方

程，解之即可得出”的值.

【详解】解：(1)不是，理由如下：

"X2-x-20=0,即(x-5)(x+4)=0,

■■xi—5,X2=-4.

•■•5-(-4)=9先，

二方程/-x-20=0不是“隔根方程”.

(2)'-x2+mx+m-1=0,即(x+1)[x+(w-1)]=0,

'•X1-1,X2~~1-加.

又・•・关于x的方程x2+mx+m-1=0是“隔根方程”，

.'.|1-m-(-1)|=2,

解得：加=0或加=4.

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【点睛】本题考查了解一元二次方程，“隔根方程”的定义，理解题意是解题的关键.

24.(1)见解析；(2)y

【分析】(1)作CH1CD于H,如图，根据垂径定理得到AH=BH,利用等量减等

量差相等可得到结论；

(2)连接OC,如图，设CH=x,利用勾股定理得到。82=℃2-CHX42

O^OA2-AH2=62-(3+x)2,则42--=62-(3+x)2,然后解方程求出x即可得到CD的

长.

【详解】(1)作C〃1C。于〃，如图，•••O//1CD,：.CH=DH,AH=BH,

：.AH-CH=BH-DH,；.AC=BD；

(2)连接。C,如图，设C"=x.在RtZkOC〃中，OgOC?-Cg42-x2.在RgON”中,

OH2=OA2-AH2=62