高考数学复习专项训练：三角函数拆角与恒等变形归类

专题09三角函数拆角与恒等变形归类

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目录

题型一：诱导公式................................................................................1

题型二：辅助角：特殊角型........................................................................3

题型三：辅助角：非特殊角型......................................................................7

题型四：sinx±cosx与sinxcosx型转化.............................................................11

题型五：齐次式转化.............................................................................13

题型六：拆角：互补型拆角缺.....................................................................15

题型七：拆角：互余型拆角.......................................................................16

题型八：拆角：二倍角型拆角.....................................................................18

题型九：拆角：30度型拆角......................................................................20

题型十：拆角：60度型拆角......................................................................21

题型十一：拆角：正切型........................................................................23

题型十二：拆角：分式型........................................................................25

题型十三：对偶型恒等变形求值...................................................................27

题型十四：拆角求最值..........................................................................29

题型十五：韦达定理型恒等变形求值...............................................................31

题型十六：恒等变形求角........................................................................33

^突围・错;住蝗分

题型二7诱导公式

1.（2324高三・浙江•模拟）已知锐角0（夕050。）满足385（140。一2）V052+5111（100。+0）=5111（2-20。），则

cos2a=()

1」百百

A.-BCD

3333

【答案】B

【分析】根据题意，结合三角函数的诱导公式和两角差的余弦公式，化简得到cosa=@,再利用余弦的倍

3

角公式，即可求解.

【详解】由3cos(140°-cr)-cosa+sin(100°+cr)=sin-20°),

可得3cos(180°-40°-a)•cosa+sin(180°-80°+a)=sin(a-20°),

可得一3cos(40°+a)-cosa+sin(80°一a)=sin(a—20°),

所以-3cos(40°+6Z)-cosa+cos(10°+6Z)=sin(a-20°)

可得-3cos(40°+6Z)-cosa+cos[30°-(20°一a)]=sin(0-20°)

即一3cos(40°+a)•cosa+cos(20°-a)+gsin(20°一a)=sin(a-20。)，

可得-3cos(40°+•cosi=Tsin-20°)-cos(i-20°)=百sin(i-20°-30°)

=一J?sin(50°-a)=一石cos(40°+a)，

所以cosa-,则cos2a=2cosa-l=2x(^y-)2-1=一；

故选：B.

2.（2324高三・浙江宁波•模拟）已知cos（140。—a）+sin（110。+0）=sin（130。一0），求tana=（）

A.—B.-也C.6D.一百

33

【答案】D

【分析】利用三角函数诱导公式化简已知等式可得cos（2（F+a）=cos（40O-a）+cos（40o+a）,再利用两角和

差的余弦公式结合同角三角函数关系化简可得tana=上洌三，继而利用三角恒等变换，化简求值,

sin20

即得答案.

【详解】由题意知，COS（140°-a）+sin（110°+a）=sin（130°-a）

即-cos（40°+a）+cos（20°+a）=cos（40°-a）,

故cos（20°+a）=cos（40°一a）+cos（40°+a）,

即cos20°cosa-sin20°sina=2cos40°cosa,

故cos20°cosa-2cos40°cosa=sin20°sina，

_sincr_cos20°-2cos40°_cos（30°-10°）-2cos（30°+10°）

cosasin20°sin20°

733.

_一耳-5100+5$111100_氐皿10。-30。）_-氐in20°__也,

sin20°-sin20°sin20°

故选：D

【点睛】关键点睛：解答本题的关键在于利用三角函数诱导公式以及两角和差的公式化简得出tana的表达

式之后，要利用拆角的方法，继而结合三角恒等变换公式，化简求值即可.

3.（1516高三•吉林长春•模拟）设踹域。就理=腑，那么tan：。。，=

ABC「砥D-J

mm馅一版广也一"

【答案】B

【详解】试题分析：由诱导公式得型磷■颤］!=跳喊颤科=渊，.二sin80'=-71-cos280'=4-病，

二tan80：-s'吗_小一"，,，蜘鼠蚓册：=t楂电颤*-图叫=-的》£减=一也21,故答案为B.

cos80'mx1n

考点：1、三角函数的诱导公式；2、同角三角函数的基本关系.

IT7T

4.（安徽省阜阳市20232024学年高三模拟质量统测数学试题）若角。满足cos（%+a）=2cos（z-。），则

36

COS(2cr-y)=()

4343

A.——B.--C.一D.

5555

【答案】B

【分析】根据给定条件，利用诱导公式求出tan(a-2),再利用二倍角的余弦公式，结合齐次式法求值.

6

【详解】由cos(百+a)=2cos(3—a),cos[—+(a--)]=2cos(a-—),

36266

即-sin(a--)]=2cos(a--),则tan(a--)=-2

666

cos2(a--)—sin2(a——)

TTTT

所以cos(2a——)=cos2(a——)=66

36cos2(«--)+sin2(a--)

66

12z兀、

_l-tarr(a-q)_]_(_2y_3

I+tan2(a--)l^

6

故选：B

5.(2024•广东•二模)tan7.5°—tan82.50+2tanl5°=()

A.-2B.-4C.-2A/3D.一4布

【答案】D

【分析】利用切化弦的思想，结合诱导公式及二倍角的正余弦公式计算得解.

qin75°cir»295°

［详解］tan7.5°-tan82.50+2tanl5°=——-----------—+2tanl5°

cos7.5°cos82.5°

sin7.5°cos7.5°sin?7.5°-cos?7.5°

+2tanl5°=+2tanl5°

cos7.5°sin7.5°sin7.5°cos7.5°

cos15°2sinl5°_2(sin2l50-cos215°)_-4cos30°_yr-

-sinl50cosl50sinl50cosl5°sin300•

2

故选：D

题型二：辅助角：特殊角型

1.(2024•全国,模拟预测)已知函数/(无)=J^cos[°尤+Wj+cos[0x-1^(0>O)在乃J上单调递增，则

。的取值范围是()

455-5-7

AB161C161D

3-3-6-3-6-,2

--

【答案】C

【分析】根据函数结构特征利用三角恒等变换公式将函数解析式化为一角一函数形式，再结合三角函数的

图象与性质进行求解即可.

【详解】法一:由题〃x)=6cos(COX++COS[5一w]=^3cos(5+1]+5"。尤+j

(7171](71]冗

=2cosa)x+-----=2cosa)x+—,^TT+2k7i<CDX+—<2TI+2kn,keZ,

<36；\6)6

因为。>0,所以五飞士左eZ,

CDCD

因为“X)在g'上单调递增，所以票+2kn4工且7+2%"2乃，

69269

得』+4左《g工口+2左.由。+4女4口+2左，得左

363612

又kwZ且69>0,所以攵=0,—&①4—.

36

故选:C.

法二:由题"X)=VScos^x+yj+cos^x-^=V^cos+()+sin+(

c「717lyc(兀、

=2coscox-\---------=2coscox-\——,

I36[6

।7T/口CiyTCTCTCIT

由一〈■X<兀,-fg1------1---VCOXH----<371H----,

22666

设行）的最小正周期为T，则由题意得〜恭：=。所以0＜。42,

7TCO7171,71结合函数》=侬彳在[匹旬上单调递增，）在已口上单调递增,

AffiJ—<—+—^^+―2“X得

6266

37171、e71,c/口5,,11

——+—＞71,且G»+一«2TT,解得一WgV——.

26636

故选:C.

2.（2324高三•四川•阶段练习）若函数〃制=冬山+加》在区间[0,叫。,2可上的值域分别为

则下列命题错误的是（）

A.若入"]=[p，4]=[-l,l],则。的最小值为9

B.若[OT,〃]=[PM],则。的最小值为g

C.若mNq,则“的取值范围为1,兀]

C2it~

D.若则。的取值范围为10,亍

【答案】C

【分析】将〃力=冬山+：加整合为〃x）=sin（x+。，再针对选项逐项分析即可.

【详解】由题知〃x）=sin（x+胃，图像在y轴右侧的第一条对称轴为方当，

2兀

y轴右侧的第二条对称轴为X=y.

471

对于A,令=尤=—兀+2析（左EN）,/（x）=l,x=—+2fai（^GN）,

134

右〃2=—1,则〃+一兀之一兀=＞々之一兀，

623

47117

取兀时夕=一1,则2。+:=~^兀，止匕时必有4=1,

366

此时满足[八"]=[〃,句=[-1』,A正确；

71c71571

对于B,因为卜w,〃]=[p，4],若a<g,则：<a+2<E，一<2Q+—<—

3662666

此时根=],"=sin[a+j<l,因为,

.,_71711

i^2a+->-故夕=sin2"+^>—矛盾，故。之;,

622

...71.7171_715兀

当a=一日寸，QH—=—,2aH—=—,

36266

■jr17r27rI

故在0,—上的值域为-,1,在—的值域为-J

符合题意，故。的最小值为三，B正确;

011

对于C,当。<4<彳时，772=-,此时y(a)>],与条件mNq不符,

、“2兀/,4兀r,5兀，兀,3兀.(兀、

当—《〃W—时，—WQH—«—,故JTI=sinCLH|,

—33662k6j

因为心p,故2ad-。即4岸.

所以当8空7c段4元时，机》不成立.

47r

当时，m=-l,不满足条件C错误;

兀

对于D,当0<aV乌时，a+-<-,^R=sin«+y,

362I6)

27c2兀

因为“4。，故即。＜。工三时，满足条件

TT

当”21时，n=\,不满足条件〃〈夕，D正确.

故选：C.

3.（2223高三,广西南宁,模拟）已知函数〃x）=Gsin2等+；sin©x-^^（刃＞。），若/（%）在（,了]上无

零点，则。的取值范围是（）

au,+obuc

-H][l°）-H][t,t]-1。飙即D.：|[u[i,+⑹

【答案】B

【分析】先结合二倍角公式和辅助角公式将函数进行化简，得/（x）=sin[0x-1],由于在上

1/①7171

kit<---------

T7123

无零点,，二,且女eZ,在G＞0的条件下，解不等式

八Y、、3①兀71

(左+1)兀>-------

23

可得解.

/(X)=A/3sin2+；sincox-旦

【详解】-coscox]+—sincox-

722

1.<3.(JIA

=—sms------cos〃zx=smcox——,

22I

兀/3兀\,口。兀71

由—<CDX-

因为“X)在住，费］

上无零点,

得疗<1,

因为。>0,所以0VG<1,

,,①兀71

"一T7Q

因为?，k£Z,所以解得2左+彳《刃0J+：次£Z,

八、3。兀71339

/(7k+l)7i>----------

［23

「2,2%8

因为G7i339，所以解得一41二，

生+区036

［39

因为左eZ,所以左=0或左=—1,

2Q2

当上=0时，一(口工一，当左=一1时，0<口工一，

399

(21「28"

所以①的取值范围是0,8u,

故选：B

【点睛】关键点点睛：此题考查三角函数的综合问题，考查三角恒等变换公式的应用，考查函数与方程，

解题的关键是将函数在(会当］上无零点，利用正弦函数的性质转化为关于。的不等式组，从而可求得结果,

考查数学转化思想和计算能力，属于较难题._

4.(2223高三•江西•阶段练习)已知函数/(x)=2sinx|cos%|+J3cos2x,则()

A.的最小正周期是万B.“X)的图象关于直线尤若对称

〃在［孚，苧］上单调递减

C.〃x)在［0,2句上有4个极值点D.x)

o2

【答案】D

【分析】根据给定条件，利用函数周期性、对称性定义判断A,B；求导并探讨导数在(0,2万)上的正负情况

判断C；探讨函数在亡彳］上单调性判断D作答.

62

【详解】函数/(x)=2sinxkosx|+Gcos2x,

对于A,/(x+7i)=2sin(A：+|cos(x+TT)\+^cos2(x+^)=-2sinx|cosx|+^cos2xf(x),

即万不是八X)的周期，A不正确；

对于B,因为/(»)=2sin%|cos/r|+A^COS2%=y/3,而f(-----)=2sin(------)|cos(------)|+J§cos(------)=0,

6663

显然函数“X)图象上的点(匹G)关于直线x的对称点(-多，0)不在“X)的图象上，B不正确；

126

对于C,当04%We或包WxW2乃时，cosX>0,f(x)=sin2x+A/3COS2X=2sin(2x+—),

223

“广,万，小兀4%—1071,入兀,137r、“小兀九九］兀

止匕时一《21+—W——或---<2x+—<------,当21+一=一或2%+—=——,

3333333232

即尤=看或x=等时，函数“X)取得最值，因此“X)在x=A或无=臂取极值，

当工<%<四时，cosx<0,/(x)=—sinlx+y］3cos2x=-2sin(2x——),止匕时^^<2x一工,

223333

当2x-g=,或2x-g=予，即％=臂或x=詈时，函数/'(X)取得最值，因此/口)在》=臂或x

J乙J乙J.乙X乙

取极值，

当行《工«不时，—<2x+—<——,函数/(%)=2sin(2x+可)在［不，5］上单调递减,

_LN乙乙DDJ1.乙乙

当各Q皆时，77口函数八)—sm叱奉在亨号上单调递增,

又函数/(无)是定义域R上的连续函数，则x=］是函数"X)的一个极小值点，

所以函数“X)在［0,2句上的极值点至少有5个，C不正确；

对于D,因为/(x+2%)=2sin(x+2万)|cos(x+2%)|+6cos2(x+27)=/(x),则2万是函数“无)的一个周期，

当字4x4苧时，J—骂,由选项C知函数/(x)=2sin(2x+g)在啜，勺上单调递减，

62623122

因此函数“X)在仪与上单调递减，所以“X)在［亨，孚］上单调递减，D正确.

6262

故选：D

5.(2324高三辽宁•模拟)已知函数〃x)=6sinox-cos0x,若关于尤的方程〃x)-1=0在区间(0,2可上

有且只有四个不相等的实数根，则正数。的取值范围是()

,「37、(325］(3131「313、

A.-B.—C.D.-

_22)(26J(26J\_26)

【答案】D

【分析】化简函数为〃x)=2sin(s4),根据题意，转化为sin(s-少=］在区间(0,2可上有且只有四个

662

兀

不相等的实数根，求得一弓+2也或无=吐也水ez,列出不等式组，即可求解.

x=co

co

【详解】由函数/(%)=百sins-cosG%=2sin(s-*,

因为方程〃％)T=0在区间(。,2兀)上有且只有四个不相等的实数根，且口>0,

可得sin(Ox-；7r)=；1在区间(0,2可上有且只有四个不相等的实数根，

62

n.兀兀c7f71571c77r

贝Ucox=—F2A7TSZG)X---F2左兀,keZ,

6666

371

JC——＜2兀

解得耳+2E或人吐也水ez,*且。＞0,解得340＜孕,

x=CD1371c26

CO---〉271

、3a)

所以实数0的取值范围为R3,?1)3.

26

故选：D.

题型三：辅助角：非特殊角型

1.(2223高三上海宝山,阶段练习)若tan6=：(-,asmx+bcosx=y/a2+b2sin(x+^?)(O<^z?<2TI),

下列判断错误的是()

A.当〃>0,b>0时，cp=6B.当a>0,0<0时，0=。+2兀

C.当av0,Z?>0时，(p=O+TiD.当a<0,〃<0时，0=。+2兀

【答案】D

【分析】根据给定条件，结合辅助角公式的变形，确定辅助角。的取值作答.

【详解】由选项知，ab彳0,asinx+bcosx=d"+川(sin^+jz).?。。$二)，

人ab-sin。匕八/兀八兀、八八

^cos(p=^===sm(p=有tan0=-^=-=tan0(--<0<-),040<2兀，

yja+b9yja+bcos(pa22

贝Uasinx+6cosx=[a2+及(sin%coscp+cosxsin(p)=[a2+〃sin(x+哈,

TTTT

对于A,当a>0,6>0时，。为第一象限角，且0<e<5，0<0<~,tane=tan，，则0=6,A正确；

37rJr

对于B,当时，。为第四象限角，且3<夕<2兀，一5<。<0,tano=tan(<9+27i),则。=6+2兀，

B正确；

JTTT

对于C,当时，。为第二象限角，且5<夕<兀，~—<0<0,tan^=tan(6>+7i),则。=6+兀，C

正确；

3兀7T

对于D,当。<0,6<0时，。为第三象限角，S.7t<<p<—,0<0<—,tan0=tan(6+7t),则。=0+兀，D

错误.一一

故选：D

2.(2023•河南•模拟预测)若关于x的方程sin2x+2cos2x=-2在。兀)内有两个不同的解a,?，贝|jcos(a-4)

的值为()

AA/5^R2A/5n275

5555

【答案】D

【分析】利用辅助角公式化简已知方程，求得a-尸,进而求得cosQ-/7）.

【详解】关于x的方程sin2x+2cos2x=—2在[。,兀）内有两个不同的解a,，，

即^^sin（2x+6）=-1（cos。,sin6=,取。为锐角）

在[0,兀）内有两个不同的解a4,

即方程sin（2x+0）=-述在[0,兀）内有两个不同的解a,£.

不妨令04av£v7i,由工£。兀），贝ij2%+。£[。,2兀+。），

所以sin（2a+6）=—sin（24+3）=~~~~，

所以sin。=-sin（2c+0）=-sin（2尸+6）.则2c+8=兀+仇2/?+g=2兀一6,

即2a-2，=一兀+26,

所以6/_/?=_]+夕,cos（cr-[3）=cos[g-5=sin8='

故选：D.

3.（2324高三•江西赣州・模拟）已知A（Xi，yJ,巩龙2，%）是圆/+_/=2上两点.若玉々+%%=-1，则

玉+々+%+为的取值范围是（）

A.Y当B.[-1,1]

22

C.L-V2,V2]D.[-2,2]

【答案】D

—.—.127r

【分析】利用85。4,03=-]得向量方、砺的夹角为T，设

I2712兀

sina,cosa-\---，-应-sina+J,利用两角和与差的公式、三角函数的现在化简

I33

X1+W+M+%可得答案.

【详解】由题意砺•彷=%/+%%=-1，|明=|西=0，

0—OkOB1一_

因为cos。4'。八网同一

5,0<OA,OB<7tf

所以向量次、痂的夹角为t2兀，如图,

2兀271

cosCtH—~，应sinCCH——

2712兀

所以石+%+%+%=垃cosa+^2sina+^2cosCCT——+A/2sinaH——

=^-^1+A/3jcoscr+^1-A/3=2sin(i+0),且tane=1+9=—2—石，

1-73

因为一1《$抽（&+。）41,所以-24再+马+必+%<2.

故选：D.

【点睛】关键点点睛：解题的关键点是求出向量丽、砺的夹角，设

A(&cosa,0sina),cosya+g],A/2sin[a+g]]进行化简计算.

4.(2023・四川雅安•一模)已知函数/(x)=3sin[4x+()+4sin[4x—/设DXER,土°ERJ(X)"⑷,

贝|tan等于()

434

A.B.——cD.

4-1?

【答案】B

【分析】根据诱导公式得到了⑺最大值，即得到关于X。的关系式，代入tan,利用诱导公式即可.

【详解】•//(x)=3sin|4x+—|+4sin|4x--|=3sin(4x+—)+4sin(-—+4x+—),

/./(x)=3sinf4%+yl-4cosf+y1,

3

「•/(%)=5sin14x+q一0tan0=g

3

「•/(%)max=5,

VVXGR,3X0eR,/(x)</(x0),

13

tan04

7171

5.(2223高三辽宁大连•模拟)已知函数/■(元)=asins+)cos0x(a>0,b>0,0>0)在区间—上

62

单调，且了则不等式〃尤)+。>0的解集是()

A.------Fk/i,----Fkji(kGZ)B.\--+k7r,—+k7r\(keZ)

.412PI124)

D.1人万,看+左乃卜左eZ)

C.——+kji、—+kjiI(JcGZ)

【答案】A

【分析】将/(尤)化成77寿sin(s+°)的形式，根据单调性及周期性得到。的取值范围，根据等式关系得

到各参数的关系，最后利用辅助角公式中的关系得到关于x的不等式，解出不等式即可.

【详解】f(x)=asina>x+bcosa)x,

f(x)=\la2+b2sin(ox+(p)>。e(。,5),

兀

・••小)在区间弓,勺单调，.《-94=工，.”43,=0,§。+夕=左兀,左£Z,

62262G62

1，产、£,24、/7兀)17兀3兀冗

：.-COTl+(p=Tt,-J/(y)=/(-),,•,./!—l=-l,—®+^=y.-.«=2,...(D——

3

/./(x)=yja1+b2sin(2x+—),—=\/3,:.b=^a,f(x)+a>0,2asin(2x+—)+^>0,

3Q3

7TTT77r7T5乃

/.-----\-2kji<2x-\——<-----&2k兀,keZ,------\-k7i<x<-----1"2左,左£Z.故选：A.

636412

【点睛】关键点定睛：本题难点在于单调性与周期性之间的关系以及辅助角公式的巧妙运用.

题型四：sinx±cosx与sinxcosx型转化

1.（2324高三・湖北武汉•模拟）函数＞=$11»-（：0讶+25111屁0次的最大值为（）

A.-B.2C.45D.1+72

【答案】A

【分析】设f=sinx-cosx,根据sinx-cosx,sinx士cosx之间的关系将原函数转化成二次函数的最值问题处

理.

【详解】设/=sinx—cosx,根据辅助角公式，f=&sin[x-：Je[-夜

由/=sin2x+cos2x-2sinxcosx=l-2sinxcosx,于是2sinxcosx=l一/，

故y=f+l一/=一卜一gj+撩，当[=；时，y取得最大值:.

故选：A

2.（2324高三•辽宁大连•阶段练习）若sindcos。是方程尤2—加+加=。的两根，则加的值为（）

A.1-^/2B.1+72C.1±V2D.-1-V2

【答案】A

【分析】结合二次方程的韦达定理，利用同角三角函数基本关系列式求解即可.

【详解】由题设△=（一加了一4加20,得小24或加＜0.

由韦达定理得sin6+cose=加且sin8cos，=m,

所以（sine+cos6）2=l+2sin8cos。,所以m2=1+2%即苏-2帆-1=0,

可得m=1?0,又加24或m40,所以根=1—0.

故选：A

2

r/rcc”人由…47工羽”、-tbr||2Sill6Z+1+COS26Z_2tailCT/、

3.（2024•全国•模拟预测）已知cos7--a=三，则-----------------------=（）

V4J1sina

A11272056&「224拒「2872

17171717

【答案】A

【分析】利用余弦的二倍角公式、同角间的三角函数关系变形，已知式由两角差的余弦公式展开化简得

sina-cos。，再利用同角间三角函数关系变形得出sinccosa,代入待求式变形后的式子计算可得.

2sina

【详解】2sin2cir+1+cos2a-2tana_2sin2or+2cos2cif-2tancir_2-2tana_cosa_4（cosa-sina）

sinasinasinasina2sinacosa

（回）

（4羽"=-旦。sa+"ina/，则siw=^

I4J2277

两侧平方可得1一2$缶。85。=一,则2sinacosa=—,

4949

_（x—2sin26z+l+cos26z-2tan6z16在49112及

代入（回）式可矢口------------------------=———x——=---------,

sina71717

故选：A.

4.（2324高三・江苏苏州•阶段练习）已知51112+852=5111仪850,则sin（2025兀一2a）的值为（）

A.2+2五B.2-20C.2±2日D.272±2

【答案】B

【分析】令，=sina+cosa,则^$[-及,8],从而得到sinacosa=f依题意得到关于看的方程，求出

才的值，再由二倍角公式及诱导公式计算可得.

【详解】令，=sina+cosa,

则。=sina+cosa=

所以，2=（sin（2+cos6Z）2=l+2sinacosa,

、t-1

所以sinacosa=------所以sin2cr=2sincrcosa=t2—1,

2

/_]_、_

由sina+cosa=sinccosc,所以1=?,解得，=1+0（舍去）或/=1一J2，

所以sin（2025兀-2a）=sin（兀-2a）=sin2a=（1一行）-1=2-2yfl.

故选：B

TT

5.（2324高三・湖北武汉•模拟）已知。60,-,贝I]函数y=sin6）-cos6+2sin0cos0的值域为（）

A.[-1,11B,-1-72,4C.D.

L」444

【答案】D

【分析】令，=5由。-85。=0$皿]。一；]€[-1』，可得出〉=一/+/+1,求出二次函数y=72+f+l在

上的值域即可得解.

【详解】因为。平,斗则子*哈则一日＜也,一34乎，

所以，t2=（sin^-cos6^）2=l-2sin^cos6^,贝!j2sin6cos6=