人教A版(新教材)高中数学选择性必修第一册学案：1 1 1 第1课时 空间向量及其线性运算

人教A版(新教材)高中数学选择性必修第一册PAGEPAGE1§1.1空间向量及其运算1．1.1空间向量及其线性运算第1课时空间向量及其线性运算学习目标1.理解空间向量的有关概念.2.类比平面向量，会用平行四边形法则、三角形法则作出向量的和与差.3.理解向量运算的交换律、结合律和分配律．知识点一空间向量的概念1．定义：在空间，具有大小和方向的量叫做空间向量．2．长度或模：向量的大小．3．表示方法：①几何表示法：空间向量用有向线段表示；②字母表示法：用字母a，b，c，…表示；若向量a的起点是A，终点是B，也可记作eq\o(AB,\s\up6(→))，其模记为|a|或|eq\o(AB,\s\up6(→))|.4．几类特殊的空间向量名称定义及表示零向量长度为0的向量叫做零向量，记为0单位向量模为1的向量称为单位向量相反向量与向量a长度相等而方向相反的向量，称为a的相反向量，记为－a共线向量(平行向量)如果表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，那么这些向量叫做共线向量或平行向量．规定：对于任意向量a，都有0∥a相等向量方向相同且模相等的向量称为相等向量思考空间中的两个向量是不是共面向量？〖答案〗是，空间中的任意两个向量都可以平移到同一个平面内，成为同一平面内的两个向量．知识点二空间向量的线性运算空间向量的线性运算加法a＋b＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(OB,\s\up6(→))减法a－b＝eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\o(OC,\s\up6(→))＝eq\o(CA,\s\up6(→))数乘当λ>0时，λa＝λeq\o(OA,\s\up6(→))＝eq\o(PQ,\s\up6(→))；当λ<0时，λa＝λeq\o(OA,\s\up6(→))＝eq\o(MN,\s\up6(→))；当λ＝0时，λa＝0运算律交换律：a＋b＝b＋a；结合律：a＋(b＋c)＝(a＋b)＋c，λ(μa)＝(λμ)a；分配律：(λ＋μ)a＝λa＋μa，λ(a＋b)＝λa＋λb.思考1怎样作图表示三个向量的和，作出的和向量是否与相加的顺序有关？〖答案〗可以利用三角形法则和平行四边形法则作出三个向量的和．加法运算是对有限个向量求和，交换相加向量的顺序，其和不变．思考2由数乘λa＝0，可否得出λ＝0?〖答案〗不能．λa＝0⇔λ＝0或a＝0.1．两个有公共终点的向量，一定是共线向量．(×)2．在空间中，任意一个向量都可以进行平移．(√)3．空间两非零向量相加时，一定可以用平行四边形法则运算．(×)4．向量eq\o(AB,\s\up6(→))与eq\o(AC,\s\up6(→))是共线向量，则A，B，C三点必在一条直线上．(√)一、向量概念的应用例1(1)下列关于空间向量的说法中正确的是()A．方向相反的两个向量是相反向量B．空间中任意两个单位向量必相等C．若向量eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(CD,\s\up6(→))满足|eq\o(AB,\s\up6(→))|＞|eq\o(CD,\s\up6(→))|，则eq\o(AB,\s\up6(→))＞eq\o(CD,\s\up6(→))D．相等向量其方向必相同〖答案〗D〖解析〗A中，方向相反，长度相等的两个向量是相反向量；B中，单位向量模都相等而方向不确定；C中，向量作为矢量不能比较大小，故选D.(2)(多选)下列说法中正确的是()A．若|a|＝|b|，则a，b的长度相同，方向相同或相反B．若向量a是向量b的相反向量，则|a|＝|b|C．空间向量的加法满足结合律D．任一向量与它的相反向量不相等〖答案〗BC〖解析〗|a|＝|b|，说明a与b模相等，但方向不确定；对于a的相反向量b＝－a，故|a|＝|b|，从而B正确；空间向量的加法满足结合律，C正确；零向量的相反向量仍是零向量．故选BC.反思感悟空间向量的概念问题在空间中，向量、向量的模、相等向量的概念和平面中向量的相关概念完全一致，两向量相等的充要条件是两个向量的方向相同、模相等．两向量互为相反向量的充要条件是大小相等，方向相反．跟踪训练1下列关于空间向量的命题中，正确的命题的序号是________．①长度相等、方向相同的两个向量是相等向量；②平行且模相等的两个向量是相等向量；③若a≠b，则|a|≠|b|；④两个向量相等，则它们的起点与终点相同．〖答案〗①〖解析〗根据向量的定义，知长度相等、方向相同的两个向量是相等向量，①正确；平行且模相等的两个向量可能是相等向量，也可能是相反向量，②不正确；当a＝－b时，也有|a|＝|b|，③不正确；只要模相等、方向相同，两个向量就是相等向量，与向量的起点和终点无关，④不正确．综上可知只有①正确．二、空间向量的加减运算例2如图，已知长方体ABCD－A′B′C′D′，化简下列向量表达式，并在图中标出化简结果的向量．(1)eq\o(AA′,\s\up6(→))－eq\o(CB,\s\up6(→))；(2)eq\o(AA′,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(B′C′,\s\up6(→)).解(1)eq\o(AA′,\s\up6(→))－eq\o(CB,\s\up6(→))＝eq\o(AA′,\s\up6(→))－eq\o(DA,\s\up6(→))＝eq\o(AA′,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(AA′,\s\up6(→))＋eq\o(A′D′,\s\up6(→))＝eq\o(AD′,\s\up6(→)).(2)eq\o(AA′,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(B′C′,\s\up6(→))＝(eq\o(AA′,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→)))＋eq\o(B′C′,\s\up6(→))＝eq\o(AA′,\s\up6(→))＋eq\o(A′B′,\s\up6(→))＋eq\o(B′C′,\s\up6(→))＝eq\o(AB′,\s\up6(→))＋eq\o(B′C′,\s\up6(→))＝eq\o(AC′,\s\up6(→)).向量eq\o(AD′,\s\up6(→))，eq\o(AC′,\s\up6(→))如图所示．延伸探究试把本例中的体对角线所对应向量eq\o(AC′,\s\up6(→))用向量eq\o(AA′,\s\up6(→))，eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AD,\s\up6(→))表示．解在平行四边形ACC′A′中，由平行四边形法则可得eq\o(AC′,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(AA′,\s\up6(→))，在平行四边形ABCD中，由平行四边形法则可得eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→)).故eq\o(AC′,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(AA′,\s\up6(→)).反思感悟空间向量加法、减法运算的两个技巧(1)巧用相反向量：向量的三角形法则是解决空间向量加法、减法的关键，灵活运用相反向量可使向量首尾相接．(2)巧用平移：利用三角形法则和平行四边形法则进行向量加、减法运算时，务必注意和向量、差向量的方向，必要时可采用空间向量的自由平移获得运算结果．跟踪训练2(多选)如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，下列各式运算结果为eq\o(BD1,\s\up6(→))的是()A.eq\o(A1D1,\s\up6(→))－eq\o(A1A,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))B.eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(BB1,\s\up6(→))－eq\o(D1C1,\s\up6(→))C.eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(DD1,\s\up6(→))D.eq\o(B1D1,\s\up6(→))－eq\o(A1A,\s\up6(→))＋eq\o(DD1,\s\up6(→))〖答案〗AB〖解析〗A中，eq\o(A1D1,\s\up6(→))－eq\o(A1A,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(AD1,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(BD1,\s\up6(→))；B中，eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(BB1,\s\up6(→))－eq\o(D1C1,\s\up6(→))＝eq\o(BC1,\s\up6(→))＋eq\o(C1D1,\s\up6(→))＝eq\o(BD1,\s\up6(→))；C中，eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(DD1,\s\up6(→))＝eq\o(BD,\s\up6(→))－eq\o(DD1,\s\up6(→))＝eq\o(BD,\s\up6(→))－eq\o(BB1,\s\up6(→))＝eq\o(B1D,\s\up6(→))≠eq\o(BD1,\s\up6(→))；D中，eq\o(B1D1,\s\up6(→))－eq\o(A1A,\s\up6(→))＋eq\o(DD1,\s\up6(→))＝eq\o(BD,\s\up6(→))＋eq\o(AA1,\s\up6(→))＋eq\o(DD1,\s\up6(→))＝eq\o(BD1,\s\up6(→))＋eq\o(AA1,\s\up6(→))≠eq\o(BD1,\s\up6(→)).故选AB.三、空间向量的线性运算例3在空间四边形ABCD中，G为△BCD的重心，E，F，H分别为边CD，AD和BC的中点，化简下列各表达式．(1)eq\o(AG,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(BE,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(CA,\s\up6(→))；(2)eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AD,\s\up6(→)))．解(1)因为G是△BCD的重心，所以|eq\o(GE,\s\up6(→))|＝eq\f(1,3)|eq\o(BE,\s\up6(→))|，所以eq\f(1,3)eq\o(BE,\s\up6(→))＝eq\o(GE,\s\up6(→))，又因为eq\f(1,2)eq\o(CA,\s\up6(→))＝eq\o(EF,\s\up6(→))，所以由向量的加法法则，可知eq\o(AG,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(BE,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(CA,\s\up6(→))＝eq\o(AG,\s\up6(→))＋eq\o(GE,\s\up6(→))＋eq\o(EF,\s\up6(→))＝eq\o(AE,\s\up6(→))＋eq\o(EF,\s\up6(→))＝eq\o(AF,\s\up6(→)).从而eq\o(AG,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(BE,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(CA,\s\up6(→))＝eq\o(AF,\s\up6(→)).(2)如图所示，分别取AB，AC的中点P，Q，连接PH，QH，则四边形APHQ为平行四边形，且有eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(AP,\s\up6(→))，eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(AQ,\s\up6(→))，而eq\o(AP,\s\up6(→))＋eq\o(AQ,\s\up6(→))＝eq\o(AH,\s\up6(→))，eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(AF,\s\up6(→))，所以eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AD,\s\up6(→)))＝eq\o(AP,\s\up6(→))＋eq\o(AQ,\s\up6(→))－eq\o(AF,\s\up6(→))＝eq\o(AH,\s\up6(→))－eq\o(AF,\s\up6(→))＝eq\o(FH,\s\up6(→)).反思感悟利用数乘运算进行向量表示的注意点(1)数形结合：利用数乘运算解题时，要结合具体图形，利用三角形法则、平行四边形法则，将目标向量转化为已知向量．(2)明确目标：在化简过程中要有目标意识，巧妙利用线段的中点进行解题．跟踪训练3在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，M为AC与BD的交点．若eq\o(A1B1,\s\up6(→))＝a，eq\o(A1D1,\s\up6(→))＝b，eq\o(A1A,\s\up6(→))＝c，则下列向量中与eq\o(B1M,\s\up6(→))相等的向量是()A．－eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)b＋cB.eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)b＋cC.eq\f(1,2)a－eq\f(1,2)b＋cD．－eq\f(1,2)a－eq\f(1,2)b＋c〖答案〗A〖解析〗eq\o(B1M,\s\up6(→))＝eq\o(B1B,\s\up6(→))＋eq\o(BM,\s\up6(→))＝eq\o(A1A,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)(eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→)))＝c＋eq\f(1,2)(－a＋b)＝－eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)b＋c.1．“两个非零空间向量的模相等”是“两个空间向量相等”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件〖答案〗B2．向量a，b互为相反向量，已知|b|＝3，则下列结论正确的是()A．a＝b B．a＋b为实数0C．a与b方向相同 D．|a|＝3〖答案〗D〖解析〗向量a，b互为相反向量，则a，b模相等，方向相反，故选D.3．设A，B，C是空间任意三点，下列结论错误的是()A.eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→)) B.eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(