人教A版(新教材)高中数学选择性必修第一册学案：培优课 焦点三角形

人教A版(新教材)高中数学选择性必修第一册PAGEPAGE1培优课焦点三角形椭圆或双曲线上的点P(x0，y0)与左、右焦点构成的三角形称为焦点三角形，其中∠F1PF2为顶角θ，F1F2为底边.(1)在椭圆中，①焦点三角形的周长是定值，l＝2a＋2c.②△PF1F2中三边的关系，除定义|PF1|＋|PF2|＝2a外，还有余弦定理：|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|·cosθ.③|PF1|·|PF2|的最大值为a2(当且仅当x0＝0时取得)，最小值为b2(当且仅当x0＝±a时取得).④S△PF1F2＝eq\f(1,2)|PF1||PF2|sinθ＝b2taneq\f(θ,2)＝c|y0|，当|y0|＝b，即P为短轴端点时，S△PF1F2取得最大值，最大值为bc.(2)在双曲线中，双曲线上的一点(非实轴端点)与两个焦点构成的三角形为焦点△PF1F2，由余弦定理与定义可得S△PF1F2＝eq\f(b2,tan\f(θ,2))＝c·|yP|.类型一椭圆中的焦点三角形〖例1〗已知F1，F2是椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的两个焦点，P为椭圆上一点，∠F1PF2＝60°.(1)求椭圆的离心率的取值范围；(2)求证：△F1PF2的面积只与椭圆的短轴长有关.(1)解设|PF1|＝m，|PF2|＝n，在△F1PF2中，由余弦定理，得cos∠F1PF2＝eq\f(|PF1|2＋|PF2|2－|F1F2|2,2|PF1||PF2|)，即cos60°＝eq\f(（m＋n）2－2mn－4c2,2mn)＝eq\f(4a2－4c2,2mn)－1≥eq\f(2（a2－c2）,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(m＋n,2)))\s\up12(2))－1＝eq\f(2（a2－c2）,a2)－1＝1－eq\f(2c2,a2)＝1－2e2，当且仅当m＝n时取“＝”，所以e2≥eq\f(1,4).又e∈(0，1)，所以e∈eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1)).(2)证明由(1)，知cos60°＝eq\f(（m＋n）2－2mn－4c2,2mn)＝eq\f(4a2－4c2,2mn)－1，所以mn＝eq\f(4,3)b2，所以S△F1PF2＝eq\f(1,2)mnsin60°＝eq\f(\r(3),3)b2，即△F1PF2的面积只与椭圆的短轴长有关.〖例2〗椭圆M：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，P为椭圆M上任一点，且|PF1|·|PF2|的最大值的取值范围是〖2c2，3c2〗，其中c＝eq\r(a2－b2)，则椭圆M的离心率e的取值范围是()A.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),3)，\f(\r(2),2))) B.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)，1)) C.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),3)，1)) D.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，\f(1,2)))〖答案〗A〖解析〗由基本不等式，得(|PF1|＋|PF2|)2≥4|PF1|·|PF2|.又|PF1|＋|PF2|＝2a，所以4a2≥4|PF1|·|PF2|，即|PF1|·|PF2|≤a2，所以(|PF1|·|PF2|)max＝a2，此时|PF1|＝|PF2|＝a，所以2c2≤a2≤3c2，得2e2≤1≤3e2，所以eq\f(1,3)≤e2≤eq\f(1,2).又0<e<1，所以eq\f(\r(3),3)≤e≤eq\f(\r(2),2).类型二焦点三角形的面积及综合应用〖例3〗设P是椭圆eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,\f(75,4))＝1上一点，F1、F2分别是椭圆的左、右焦点，若∠F1PF2＝60°，(1)求△F1PF2的面积；(2)求点P的坐标；(3)求eq\o(PF1,\s\up6(→))·eq\o(PF2,\s\up6(→))的值.解(1)由椭圆方程知，a2＝25，b2＝eq\f(75,4)，所以c2＝eq\f(25,4)，则c＝eq\f(5,2)，2c＝5.在△PF1F2中，|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|cos60°，即25＝|PF1|2＋|PF2|2－|PF1|·|PF2|.①由椭圆的定义，知10＝|PF1|＋|PF2|，所以100＝|PF1|2＋|PF2|2＋2|PF1|·|PF2|.②②－①，得3|PF1|·|PF2|＝75，所以|PF1|·|PF2|＝25，所以S△F1PF2＝eq\f(1,2)|PF1|·|PF2|·sin60°＝eq\f(25\r(3),4).(2)设P(x0，y0)，则S△F1PF2＝eq\f(1,2)·|F1F2|·|y0|，由(1)可得eq\f(25\r(3),4)＝eq\f(1,2)×5×|y0|，于是|y0|＝eq\f(5\r(3),2)，所以y0＝±eq\f(5\r(3),2)，将eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x0，±\f(5\r(3),2)))代入椭圆方程，得eq\f(xeq\o\al(2,0),25)＋eq\f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(±\f(5\r(3),2)))\s\up12(2),\f(75,4))＝1，解得xeq\o\al(2,0)＝0，所以x0＝0，于是点P的坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(5\r(3),2)))或eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－\f(5\r(3),2))).(3)由(1)可得F1eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(5,2)，0))，F2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)，0))，由(2)可知点P的坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(5\r(3),2)))或eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－\f(5\r(3),2)))，所以eq\o(PF1,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(5,2)，－\f(5\r(3),2)))，eq\o(PF2,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)，－\f(5\r(3),2)))或eq\o(PF1,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(5,2)，\f(5\r(3),2)))，eq\o(PF2,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)，\f(5\r(3),2)))，故eq\o(PF1,\s\up6(→))·eq\o(PF2,\s\up6(→))＝－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)))eq\s\up12(2)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5\r(3),2)))eq\s\up12(2)＝eq\f(25,2).〖例4〗已知F1(－c，0)，F2(c，0)为椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的两个焦点，P在椭圆上，且△PF1F2的面积为eq\f(\r(2),2)b2，求cos∠F1PF2的值.解依题意可得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(|PF1|2＋|PF2|2＋2|PF1||PF2|＝4a2，,|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cos∠F1PF2＝4c2，))整理得|PF1|·|PF2|＝eq\f(2b2,1＋cos∠F1PF2).∵△PF1F2的面积为eq\f(\r(2),2)b2，∴eq\f(1,2)×eq\f(2b2,1＋cos∠F1PF2)×sin∠F1PF2＝eq\f(\r(2),2)b2，∴1＋cos∠F1PF2＝eq\r(2)sin∠F1PF2，又∵sin2∠F1PF2＋cos2∠F1PF2＝1，∴cos∠F1PF2＝eq\f(1,3)(cos∠F1PF2＝－1舍去).类型三双曲线中的焦点三角形〖例5〗如图所示，已知F1，F2分别为双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点，点M为双曲线上一点，并且∠F1MF2＝θ，求△MF1F2的面积.解在△MF1F2中，由余弦定理，得|F1F2|2＝|MF1|2＋|MF2|2－2|MF1|·|MF2|·cosθ.①∵|F1F2|2＝4c2，|MF1|2＋|MF2|2＝(|MF1|－|MF2|)2＋2|MF1|·|MF2|＝4a2＋2|MF1|·|MF2|，∴①式化为4c2＝4a2＋2|MF1|·|MF2|(1－cosθ)，∴|MF1|·|MF2|＝eq\f(2b2,1－cosθ)，∴S△MF1F2＝eq\f(1,2)|MF1|·|MF2|·sinθ＝eq\f(b2sinθ,1－cosθ)＝eq\f(b2·2sin\f(θ,2)·cos\f(θ,2),1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－2sin2\f(θ,2))))＝eq\f(b2,tan\f(θ,2)).〖例6〗已知F1，F2为双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，P为右支上一点，满足eq\o(PF1,\s\up6(→))·eq\o(PF2,\s\up6(→))＝0.若|eq\o(PF1,\s\up6(→))|≥3|eq\o(PF2,\s\up6(→))|，则双曲线的离心率e的取值范围是()A.(1，＋∞) B.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(10),2)，＋∞)) C.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(1，\f(\r(10),2))) D.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(1，\f(5,2)))〖答案〗C〖解析〗由双曲线的定义，得|eq\o(PF1,\s\up6(→))|－|eq\o(PF2,\s\up6(→))|＝2a，设|eq\o(PF2,\s\up6(→))|＝m，得|eq\o(PF1,\s\up6(→))|＝2a＋m.又|eq\o(PF1,\s\up6(→))|≥3|eq\o(PF2,\s\up6(→))|，所以2a＋m≥3m，即a≥m.由题意得PF1⊥PF2，则|eq\o(F1F2,\s\up6(→))|2＝|eq\o(PF1,\s\up6(→))|2＋|eq\o(PF2,\s\up6(→))|2，即4c2＝(2a＋m)2＋m2≤9a2＋a2＝10a2，得e＝eq\f(c,a)≤eq\f(\r(10),2).又e>1，所以1<e≤eq\f(\r(10),2).尝试训练1.设双曲线x2－eq\f(y2,8)＝1的两个焦点为F1，F2，P是双曲线上的一点，且|PF1|∶|PF2|＝3∶4，则△PF1F2的面积等于()A.10eq\r(3) B.8eq\r(3) C.8eq\r(5) D.16eq\r(5)〖答案〗C〖解析〗依题意|F1F2|＝6，|PF2|－|PF1|＝2，因为|PF1|∶|PF2|＝3∶4，所以|PF1|＝6，|PF2|＝8，所以等腰三角形PF1F2的面积S＝eq\f(1,2)×8×eq\r(62－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(8,2)))\s\up12(2))＝8eq\r(5).2.设椭圆的两个焦点分别为F1，F2，过F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P，若△F1PF2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是________.〖答案〗eq\r(2)－1〖解析〗因为△F1PF2为等腰直角三角形，所以|PF2|＝|F1F2|＝2c，|PF1|＝2eq\r(2)c，又由椭圆定义知|PF1|＋|PF2|＝2a，所以2eq\r(2)c＋2c＝2a，即(eq\r(2)＋1)c＝a，于是e＝eq\f(c,a)＝eq\f(1,\r(2)＋1)＝eq\