人教A版(新教材)高中数学选择性必修第一册学案：2 5 2 圆与圆的位置关系

人教A版(新教材)高中数学选择性必修第一册PAGEPAGE12.5.2圆与圆的位置关系学习目标1.了解圆与圆的位置关系.2.掌握圆与圆的位置关系的判断方法.3.能用圆与圆的位置关系解决一些简单问题．导语日食是一种天文现象，在民间称此现象为天狗食日．日食只在月球与太阳呈现合的状态时发生。日食分为日偏食、日全食、日环食、全环食．我们将月亮与太阳抽象为圆，观察到的这些圆在变化的过程中位置关系是怎样的？前面我们运用直线的方程、圆的方程研究了直线与圆的位置关系，现在我们类比上述研究方法，运用圆的方程，通过定量计算研究圆与圆的位置关系．一、两圆位置关系的判断1．代数法：设两圆的一般方程为C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0(Deq\o\al(2,1)＋Eeq\o\al(2,1)－4F1>0)，C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0(Deq\o\al(2,2)＋Eeq\o\al(2,2)－4F2>0)，联立方程得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0，,x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0，))则方程组解的个数与两圆的位置关系如下：方程组解的个数2组1组0组两圆的公共点个数2个1个0个两圆的位置关系相交外切或内切外离或内含2.几何法：若两圆的半径分别为r1，r2，两圆连心线的长为d，则两圆的位置关系如下：位置关系外离外切相交内切内含图示d与r1，r2的关系d>r1＋r2d＝r1＋r2|r1－r2|<d<r1＋r2d＝|r1－r2|d<|r1－r2|注意点：(1)利用代数法判断两圆位置关系时，当方程无解或一解时，无法判断两圆的位置关系．(2)在判断两圆的位置关系时，优先使用几何法．例1已知圆C1：x2＋y2－2ax－2y＋a2－15＝0(a>0)，圆C2：x2＋y2－4ax－2y＋4a2＝0(a>0)．试求a为何值时，两圆C1，C2的位置关系为：(1)相切；(2)相交；(3)外离；(4)内含．解圆C1，C2的方程，经配方后可得C1：(x－a)2＋(y－1)2＝16，C2：(x－2a)2＋(y－1)2＝1，∴圆心C1(a,1)，C2(2a,1)，半径r1＝4，r2＝1.∴|C1C2|＝eq\r(a－2a2＋1－12)＝a.(1)当|C1C2|＝r1＋r2＝5，即a＝5时，两圆外切；当|C1C2|＝r1－r2＝3，即a＝3时，两圆内切．(2)当3<|C1C2|<5，即3<a<5时，两圆相交．(3)当|C1C2|>5，即a>5时，两圆外离．(4)当|C1C2|<3，即0<a<3时，两圆内含．反思感悟判断两圆的位置关系的两种方法(1)几何法：将两圆的圆心距d与两圆的半径之差的绝对值，半径之和进行比较，进而判断出两圆的位置关系，这是在〖解析〗几何中主要使用的方法．(2)代数法：将两圆的方程组成方程组，通过解方程组，根据方程组解的个数进而判断两圆的位置关系．跟踪训练1(1)圆C1：x2＋y2－4x＋3＝0与圆C2：(x＋1)2＋(y－4)2＝a恰有三条公切线，则实数a的值是()A．4B．6C．16D．36〖答案〗C〖解析〗圆C1的标准方程为(x－2)2＋y2＝1，∵两圆有三条公切线，∴两圆外切，∴eq\r(2＋12＋0－42)＝1＋eq\r(a)，解得a＝16.(2)到点A(－1,2)，B(3，－1)的距离分别为3和1的直线有________条．〖答案〗4〖解析〗到点A(－1,2)的距离为3的直线是以A为圆心，3为半径的圆的切线；同理，到点B的距离为1的直线是以B为圆心，半径为1的圆的切线，所以满足题设条件的直线是这两圆的公切线，而这两圆的圆心距|AB|＝eq\r(3＋12＋－1－22)＝5.半径之和为3＋1＝4，因为5>4，所以圆A和圆B外离，因此它们的公切线有4条．二、相交弦及圆系方程问题例2已知圆C1：x2＋y2＋6x－4＝0和圆C2：x2＋y2＋6y－28＝0.(1)求两圆公共弦所在直线的方程及弦长；(2)求经过两圆交点且圆心在直线x－y－4＝0上的圆的方程．解(1)设两圆交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则A，B两点坐标是方程组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋y2＋6x－4＝0，①,x2＋y2＋6y－28＝0，②))的解．①－②，得x－y＋4＝0.∵A，B两点的坐标都满足此方程，∴x－y＋4＝0即为两圆公共弦所在直线的方程．又圆C1的圆心(－3,0)，r＝eq\r(13)，∴C1到直线AB的距离d＝eq\f(|－3＋4|,\r(2))＝eq\f(\r(2),2)，∴|AB|＝2eq\r(r2－d2)＝2eq\r(13－\f(1,2))＝5eq\r(2)，即两圆的公共弦长为5eq\r(2).(2)方法一解方程组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋y2＋6x－4＝0，,x2＋y2＋6y－28＝0，))得两圆的交点A(－1,3)，B(－6，－2)．设所求圆的圆心为(a，b)，因圆心在直线x－y－4＝0上，故b＝a－4.则eq\r(a＋12＋a－4－32)＝eq\r(a＋62＋a－4＋22)，解得a＝eq\f(1,2)，故圆心为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，－\f(7,2)))，半径为eq\r(\f(89,2)).故圆的方程为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y＋\f(7,2)))2＝eq\f(89,2)，即x2＋y2－x＋7y－32＝0.方法二设所求圆的方程为x2＋y2＋6x－4＋λ(x2＋y2＋6y－28)＝0(λ≠－1)，其圆心为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,1＋λ)，－\f(3λ,1＋λ)))，代入x－y－4＝0，解得λ＝－7.故所求圆的方程为x2＋y2－x＋7y－32＝0.反思感悟(1)若圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0与圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0相交，则两圆公共弦所在的直线方程为(D1－D2)x＋(E1－E2)y＋F1－F2＝0.(2)公共弦长的求法①代数法：将两圆的方程联立，解出交点坐标，利用两点间的距离公式求出弦长．②几何法：求出公共弦所在直线的方程，利用圆的半径、半弦长、弦心距构成的直角三角形，根据勾股定理求解．(3)已知圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0与圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0相交，则过两圆交点的圆的方程可设为x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＋λ(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2)＝0(λ≠－1)．跟踪训练2圆心在直线x－y－4＝0上，且经过圆x2＋y2－4x－6＝0与圆x2＋y2－4y－6＝0的交点的圆的方程为________________．〖答案〗(x－3)2＋(y＋1)2＝16(或x2＋y2－6x＋2y－6＝0)〖解析〗方法一由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋y2－4x－6＝0，,x2＋y2－4y－6＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x1＝－1，,y1＝－1，))eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＝3，,y2＝3，))所以圆x2＋y2－4x－6＝0与圆x2＋y2－4y－6＝0的交点分别为A(－1，－1)，B(3,3)，连接AB，则线段AB的垂直平分线的方程为y－1＝－(x－1)．由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y－1＝－x－1，,x－y－4＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝3，,y＝－1，))所以所求圆的圆心坐标为(3，－1)，半径为eq\r(3－32＋3＋12)＝4，所以所求圆的方程为(x－3)2＋(y＋1)2＝16.方法二同方法一求得A(－1，－1)，B(3,3)，设所求圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a－b－4＝0，,－1－a2＋－1－b2＝r2，,3－a2＋3－b2＝r2，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝3，,b＝－1，,r2＝16，))所以所求圆的方程为(x－3)2＋(y＋1)2＝16.方法三设所求圆的方程为x2＋y2－4x－6＋λ(x2＋y2－4y－6)＝0，其中λ≠－1，化简可得x2＋y2－eq\f(4,1＋λ)x－eq\f(4λ,1＋λ)y－6＝0，圆心坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,1＋λ)，\f(2λ,1＋λ))).又圆心eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,1＋λ)，\f(2λ,1＋λ)))在直线x－y－4＝0上，所以eq\f(2,1＋λ)－eq\f(2λ,1＋λ)－4＝0，解得λ＝－eq\f(1,3)，所以所求圆的方程为x2＋y2－6x＋2y－6＝0.三、圆与圆的综合性问题例3求与圆x2＋y2－2x＝0外切且与直线x＋eq\r(3)y＝0相切于点M(3，－eq\r(3))的圆的方程．解设所求圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)，由题知所求圆与圆x2＋y2－2x＝0外切，则eq\r(a－12＋b2)＝r＋1.①又所求圆过点M的切线为直线x＋eq\r(3)y＝0，故eq\f(b＋\r(3),a－3)＝eq\r(3).②eq\f(|a＋\r(3)b|,2)＝r.③解由①②③组成的方程组得a＝4，b＝0，r＝2或a＝0，b＝－4eq\r(3)，r＝6.故所求圆的方程为(x－4)2＋y2＝4或x2＋(y＋4eq\r(3))2＝36.延伸探究将本例变为“求与圆x2＋y2－2x＝0外切，圆心在x轴上，且过点(3，－eq\r(3))的圆的方程”，如何求？解因为圆心在x轴上，所以可设圆心坐标为(a,0)，设半径为r，则所求圆的方程为(x－a)2＋y2＝r2，又因为与圆x2＋y2－2x＝0外切，且过点(3，－eq\r(3))，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\r(a－12＋02)＝r＋1，,3－a2＋－\r(3)2＝r2，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝4，,r＝2，))所以圆的方程为(x－4)2＋y2＝4.反思感悟通过直线与圆，圆与圆的位置关系，建立数学模型，利用方程思想，解决求圆的方程问题．跟踪训练3圆O1的方程为x2＋(y＋1)2＝4，圆O2的圆心为O2(2,1)．(1)若圆O2与圆O1外切，求圆O2的方程；(2)若圆O2与圆O1交于A，B两点，且|AB|＝2eq\r(2)，求圆O2的方程．解(1)因为圆O1的方程为x2＋(y＋1)2＝4，所以圆心坐标为O1(0，－1)，半径为2.又因为圆O2的圆心O2(2,1)，所以圆心距|O1O2|＝eq\r(2－02＋1＋12)＝2eq\r(2)，由圆O2与圆O1外切，得圆O2的半径为2eq\r(2)－2，所以圆O2的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝12－8eq\r(2).(2)因为圆O2与圆O1交于A，B两点，且|AB|＝2eq\r(2)，所以圆心O1到直线AB的距离为eq\r(22－\r(2)2)＝eq\r(2).当圆心O2到直线AB的距离为eq\r(2)时，圆O2的半径为eq\r(\r(2)2＋\r(2)2)＝2.此时，圆O2的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝4.当圆心O2到直线AB的距离为3eq\r(2)时，圆O2的半径为eq\r(3\r(2)2＋\r(2)2)＝eq\r(20).此时，圆O2的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝20.综上，圆O2的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝4或(x－2)2＋(y－1)2＝20.1．知识清单：(1)两圆的位置关系．(2)两圆的公共弦．(3)圆系方程．(4)圆与圆的综合性问题．2．方法归纳：几何法、代数法．3．常见误区：将两圆内切和外切相混．1．圆O1：x2＋y2－2x＝0和圆O2：x2＋y2－4y＝0的位置关系是()A．外离 B．相交C．外切 D．内切〖答案〗B〖解析〗把圆O1和圆O2的方程化为标准方程，得圆O1：(x－1)2＋y2＝1，圆O2：x2＋(y－2)2＝4，则O1(1,0)，O2(0,2)，|O1O2|＝eq\r(1－02＋0－22)＝eq\r(5)<r1＋r2，又r2－r1<eq\r(5)，所以两圆相交．2．(多选)圆C1：(x＋2)2＋(y－m)2＝9与圆C2：(x－m)2＋(y＋1)2＝4外切，则m的值为()A．2B．－5C．－2D．5〖答案〗AB〖解析〗圆C1：(x＋2)2＋(y－m)2＝9的圆心为(－2，m)，半径为3，圆C2：(x－m)2＋(y＋1)2＝4的圆心为(m，－1)，半径为2.依题意有eq\r(－2－m2＋m＋12)＝3＋2，即m2＋3m－10＝0，解得m＝2或m＝－5.3．已知以C(4，－3)为圆心的圆与圆O：x2＋y2＝1相切，则圆C的方程是______________．〖答案〗(x－4)2＋(y＋3)2＝16或(x