人教A版(新教材)高中数学选择性必修第一册学案：2 1 1 倾斜角与斜率

人教A版(新教材)高中数学选择性必修第一册PAGEPAGE1第二章直线和圆的方程〖数学文化〗——了解数学文化的发展与应用圆的历史古代人最早是从太阳、从阴历十五的月亮得到圆的概念的，那么是什么人作出第一个圆的呢？18000年前的山顶洞人用一种尖状的石器来钻孔，石器的尖是圆心，它的宽度的一半就是半径，这样以同一个半径和圆心一圈圈地转就可以钻出一个圆的孔.到了陶器时代，许多陶器都是圆的.圆的陶器是将泥土放在一个转盘上制成的.6000年前，半坡人就已经会造圆形的房顶了.大约在6000年前，美索不达米亚人，做出了世界上第一个轮子——圆的木轮.约在4000年前，人们将圆的木轮固定在木架上，这就成了最初的车子.会作圆并且真正了解圆的性质，却是在2000多年前，是由我国的墨子给出圆的概念的：一中同长也.意思是说，圆有一个圆心，圆心到圆周的长都相等.这个定义比希腊数学家欧几里德给圆下定义要早100年.墨子〖读图探新〗——发现现象背后的知识1.我国古代石拱桥的杰出代表是举世闻名的河北省赵县的赵州桥，距今已有1400年的历史.赵州桥是一座空腹式的圆弧形石拱桥，净跨37m，宽9m，拱矢高度7.24m，赵州桥是当今世界上现存最早、保存最完善的古代敞肩石拱桥.2.同学们看过海上日出吗？你看，太阳出来了，它穿过海平面，升的越来越高，非常美丽.我们如果把海平面看作是一条直线，太阳看作一个圆，那么里面隐含着丰富的平面几何知识.3.意大利中部的比萨城内，有一座造型古朴而又秀巧的钟塔，这就是堪称世界建筑史奇迹的比萨斜塔.那么经过600多年的风雨沧桑，比萨斜塔的倾斜度又是多少呢？你能用现有的知识去解决这个问题吗？问题1：通过赵州桥你能感受到圆的曲线带来的优美，那么你了解的与圆有关的应用有哪些？问题2：太阳升起的过程与海平面对应的直线有哪些位置关系？问题3：如何测量比萨斜塔的倾斜程度？链接：圆在桥上的应用只是〖解析〗几何在日常生活中的应用之一.事实上，无论日常生活还是航天技术的运用，用到〖解析〗几何知识的地方还很多，而测量比萨斜塔的倾斜程度，直线与圆的位置关系，圆与圆的位置关系等，也是〖解析〗几何的一部分，那么为了更好地服务于人类，让我们更好地学习〖解析〗几何知识吧！

2.1直线的倾斜角与斜率2.1.1倾斜角与斜率课标要求素养要求1.在平面直角坐标系中，结合具体图形探索确定直线位置的几何要素.2.理解直线的倾斜角和斜率的概念.3.经历用代数方法刻画直线斜率的过程，掌握过两点的直线斜率的计算公式.在直线的倾斜角和斜率的概念的形成过程中，提升数学抽象素养；通过借助图形及向量推导直线的斜率计算公式，提升数学运算、逻辑推理素养.自主梳理1.直线的倾斜角(1)直线倾斜角的定义当直线l与x轴相交时，我们以x轴为基准，x轴正向与直线l向上的方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角.(2)直线倾斜角的取值范围直线的倾斜角α的取值范围是{α|0°≤α＜180°}，并规定与x轴平行或重合的直线的倾斜角为0°.2.斜率的概念及斜率公式(1)斜率的定义我们把一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率.斜率常用小写字母k来表示，即k＝tanα.倾斜角是90°的直线没有斜率，倾斜角不是90°的直线都有斜率.(2)斜率公式如果直线经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)，可得斜率公式为k＝eq\f(y2－y1,x2－x1).在平面直角坐标系中，倾斜角和斜率分别从形和数两个角度刻画了直线相对于x轴的倾斜程度.3.直线的方向向量设P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(其中x1≠x2)是直线l上的两点，则向量eq\o(P1P2,\s\up6(→))＝(x2－x1，y2－y1)以及与它平行的向量都是直线的方向向量.若直线l的斜率为k，它的一个方向向量的坐标为(x，y)，则k＝eq\f(y,x).自主检验1.思考辨析，判断正误(1)任一条直线都有倾斜角，都存在斜率.(×)〖提示〗倾斜角为90°的直线的斜率不存在.(2)若直线的倾斜角为α，则0°≤α≤180°.(×)〖提示〗直线倾斜角的取值范围是0°≤α<180°.(3)倾斜角为135°的直线的斜率为1.(×)〖提示〗倾斜角为135°的直线的斜率为－1.(4)若一条直线的倾斜角为α，则它的斜率为k＝tanα.(×)〖提示〗当直线的倾斜角α＝90°时，直线的斜率不存在.2.已知一条直线的倾斜角α＝45°，则该直线的斜率等于()A.eq\f(\r(2),2) B.－eq\f(\r(2),2) C.1 D.－1〖答案〗C〖解析〗k＝tanα＝tan45°＝1.3.若过两点A(4，y)，B(2，－3)的直线的倾斜角为45°，则y＝()A.－eq\f(\r(3),2) B.eq\f(\r(3),2) C.－1 D.1〖答案〗C〖解析〗由已知，得eq\f(y＋3,4－2)＝tan45°＝1.故y＝－1.4.一条直线的斜率等于eq\f(\r(3),3)，则此直线的倾斜角等于________.〖答案〗30°〖解析〗k＝tanα＝eq\f(\r(3),3)，又0°≤α＜180°，故α＝30°.

题型一求直线的倾斜角〖例1〗(1)设直线l过原点，其倾斜角为α，将直线l绕坐标原点沿逆时针方向旋转40°，得直线l1，则直线l1的倾斜角为()A.α＋40°B.α－140°C.140°－αD.当0°≤α<140°时为α＋40°，当140°≤α＜180°时为α－140°(2)已知直线l向上的方向与y轴正向所成的角为30°，则直线l的倾斜角为________.〖答案〗(1)D(2)60°或120°〖解析〗(1)根据题意，画出图形，如图所示.因为0°≤α<180°，显然A，B，C未分类讨论，均不全面，不合题意.通过画图(如图所示)可知，当0°≤α<140°时，l1的倾斜角为α＋40°；当140°≤α<180°时，l1的倾斜角为40°＋α－180°＝α－140°.故选D.(2)有两种情况：①如图(1)，直线l向上的方向与x轴正向所成的角为60°，即直线l的倾斜角为60°.②如图(2)，直线l向上的方向与x轴正向所成的角为120°，即直线l的倾斜角为120°.思维升华(1)解答本类题要注意根据倾斜角的概念及倾斜角的取值范围解答.(2)求直线的倾斜角主要根据定义来求，其关键是根据题意画出图形，找准倾斜角，有时要根据情况分类讨论.〖训练1〗下列命题正确的是()A.两条不重合的直线，如果它们的倾斜角相等，那么这两条直线平行B.若一条直线的倾斜角为α，则此直线的斜率为tanαC.若α，2α，3α分别为三条直线的倾斜角，则α的度数可以大于60°D.若α是直线l的倾斜角，且tanα＝eq\f(\r(2),2)，则α＝45°〖答案〗A〖解析〗0°≤α＜180°，当α＝90°，此时直线不存在斜率，B错；α>60°时，3α>180°，与倾斜角的范围矛盾，C错；tan45°＝1，D错.题型二求直线的斜率〖例2〗经过下列两点的直线的斜率是否存在？如果存在，求其斜率，并确定直线的倾斜角α.(1)A(2，3)，B(4，5)；(2)C(－2，3)，D(2，－1)；(3)P(－3，1)，Q(－3，10).解(1)存在.直线AB的斜率kAB＝eq\f(5－3,4－2)＝1，即tanα＝1，又0°≤α<180°，所以倾斜角α＝45°.(2)存在.直线CD的斜率kCD＝eq\f(－1－3,2－（－2）)＝－1，即tanα＝－1，又0°≤α<180°，所以倾斜角α＝135°.(3)不存在.因为xP＝xQ＝－3，所以直线PQ的斜率不存在，倾斜角α＝90°.思维升华(1)利用斜率公式求直线的斜率应注意的事项①运用公式的前提条件是“x1≠x2”，即直线不与x轴垂直，因为当直线与x轴垂直时，斜率是不存在的；②斜率公式与两点P1，P2的先后顺序无关，也就是说公式中的x1与x2，y1与y2可以同时交换位置.(2)在0°≤α<180°范围内的一些特殊角的正切值要熟记.倾斜角α0°30°45°60°120°135°150°斜率k0eq\f(\r(3),3)1eq\r(3)－eq\r(3)－1－eq\f(\r(3),3)〖训练2〗(1)直线过两点A(1，3)，B(2，7)，求直线的斜率；(2)过原点且斜率为1的直线l，绕原点沿逆时针方向旋转90°到达l′位置，求l′的斜率.解(1)由题意知两点的横坐标不相等，则直线存在斜率，根据直线的斜率公式得k＝eq\f(7－3,2－1)＝4.(2)直线l的斜率k＝1，所以直线l的倾斜角为45°，所以直线l′的倾斜角为45°＋90°＝135°，即l′的斜率k′＝tan135°＝－1.题型三直线的倾斜角与斜率的应用角度1三点共线问题〖例3－1〗如果Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2m，\f(5,2)))，B(4，－1)，C(－4，－m)三点在同一条直线上，试确定常数m的值.解由于A，B，C三点所在直线不可能垂直于x轴，因此可设直线AB，BC的斜率分别为kAB，kBC，由斜率公式，得kAB＝eq\f(\f(5,2)＋1,2m－4)＝eq\f(7,4m－8)，kBC＝eq\f(－1＋m,4＋4)＝eq\f(m－1,8).∵点A，B，C在同一条直线上，∴kAB＝kBC.∴eq\f(7,4m－8)＝eq\f(m－1,8)，即m2－3m－12＝0，解得m1＝eq\f(3＋\r(57),2)，m2＝eq\f(3－\r(57),2).∴m的值是eq\f(3＋\r(57),2)或eq\f(3－\r(57),2).角度2求解范围问题〖例3－2〗直线l过点P(1，0)，且与以A(2，1)，B(0，eq\r(3))为端点的线段有公共点，求直线l的斜率k和倾斜角α的范围.解如图所示.∵kAP＝eq\f(1－0,2－1)＝1，kBP＝eq\f(\r(3)－0,0－1)＝－eq\r(3)，∴k∈(－∞，－eq\r(3)〗∪〖1，＋∞)，又0°≤α<180°，∴45°≤α≤120°.思维升华1.用斜率公式解决三点共线问题时，首先要估测三点中是否任意两点的连线垂直于x轴.当任意两点的连线垂直于x轴，且过同一点时，三点共线.否则，直线的斜率存在，只要证明过同一点的两直线的斜率相等即可.2.(1)由倾斜角(或范围)求斜率(或范围)利用定义式k＝tanα(α≠90°)解决.(2)由两点坐标求斜率运用两点斜率公式k＝eq\f(y2－y1,x2－x1)(x1≠x2)求解.(3)涉及直线与线段有交点问题常数形结合利用公式求解.〖训练3〗证明A(－2，12)，B(1，3)，C(4，－6)三点在同一条直线上.证明易知直线AB，AC的斜率都存在，∵kAB＝eq\f(12－3,－2－1)＝eq\f(9,－3)＝－3，kAC＝eq\f(－6－12,4－（－2）)＝eq\f(－18,6)＝－3，∴kAB＝kAC，又AB，AC过同一点A，∴A，B，C三点共线.1.一个关系——直线的倾斜角与斜率的关系直线的斜率和倾斜角都反映了直线的倾斜程度，二者紧密相连，如下表：直线情况α的大小0°