人教A版(新教材)高中数学选择性必修第一册学案：§1 2 第2课时 空间向量基本定理的初步应用

人教A版(新教材)高中数学选择性必修第一册PAGEPAGE1第2课时空间向量基本定理的初步应用学习目标1.会用基底表示空间向量.2.初步体会利用空间向量基本定理求解立体几何问题的方法．导语道生一，一生二，二生三，三生万物”这句话出自老子《道德经》，它表示“道”生万物从少到多，从简单到复杂的一个过程．联系到我们学过的平面向量基本定理，可以概括为给出一组二维的基底可以生成平面中所有的向量；推广到三维空间，仍然为给出一组三维的基底，可以生成空间中的所有向量．一、证明平行、共面问题知识梳理1.对于空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使a＝λb.2.如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb.3．直线平行和点共线都可以转化为向量共线问题；点线共面可以转化为向量共面问题．例1如图，在平行六面体ABCD－A′B′C′D′中，E，F，G分别是A′D′，DD′，D′C′的中点，请选择恰当的基底向量证明：(1)EG∥AC；(2)平面EFG∥平面AB′C.证明取基底{eq\o(AA′,\s\up6(→))，eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AD,\s\up6(→))}，(1)因为eq\o(EG,\s\up6(→))＝eq\o(ED′,\s\up6(→))＋eq\o(D′G,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＝2eq\o(EG,\s\up6(→))，所以eq\o(EG,\s\up6(→))∥eq\o(AC,\s\up6(→))，又EG，AC无公共点，所以EG∥AC.(2)因为eq\o(FG,\s\up6(→))＝eq\o(FD′,\s\up6(→))＋eq\o(D′G,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AA′,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AB′,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AA′,\s\up6(→))＝2eq\o(FG,\s\up6(→))，所以eq\o(FG,\s\up6(→))∥eq\o(AB′,\s\up6(→))，又FG，AB′无公共点，所以FG∥AB′.又FG⊄平面AB′C，AB′⊂平面AB′C，所以FG∥平面AB′C.又由(1)知EG∥AC，可得EG∥平面AB′C，又FG∩EG＝G，FG，EG⊂平面EFG，所以平面EFG∥平面AB′C.反思感悟证明平行、共面问题的思路(1)利用向量共线的充要条件来证明点共线或直线平行．(2)利用空间向量基本定理证明点线共面或线面平行．跟踪训练1如图所示，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别在B1B和D1D上，且BE＝eq\f(1,3)BB1，DF＝eq\f(2,3)DD1.求证：A，E，C1，F四点共面．证明因为eq\o(AC1,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(AA1,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(AA1,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(AA1,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\o(AB,\s\up6(→))＋\f(1,3)\o(AA1,\s\up6(→))))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\o(AD,\s\up6(→))＋\f(2,3)\o(AA1,\s\up6(→))))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BE,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(DF,\s\up6(→))＝eq\o(AE,\s\up6(→))＋eq\o(AF,\s\up6(→))，所以eq\o(AC1,\s\up6(→))，eq\o(AE,\s\up6(→))，eq\o(AF,\s\up6(→))共面，所以A，E，C1，F四点共面．二、夹角、垂直问题问题如何利用空间向量解决空间几何中的垂直问题，以及求解夹角问题？〖提示〗(1)θ为a，b的夹角，则cosθ＝eq\f(a·b,|a||b|).(2)若a，b是非零向量，则a⊥b⇔a·b＝0.注意点：区分向量的夹角与异面直线所成的角的范围．例2在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是DD1，BD的中点，点G在棱CD上，且CG＝eq\f(1,3)CD.(1)证明：EF⊥B1C；(2)求EF与C1G所成角的余弦值．(1)证明设eq\o(DA,\s\up6(→))＝i，eq\o(DC,\s\up6(→))＝j，eq\o(DD1,\s\up6(→))＝k，则{i，j，k}构成空间的一个正交基底．所以eq\o(EF,\s\up6(→))＝eq\o(ED,\s\up6(→))＋eq\o(DF,\s\up6(→))＝－eq\f(1,2)k＋eq\f(1,2)(eq\o(DA,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→)))＝eq\f(1,2)i＋eq\f(1,2)j－eq\f(1,2)k，eq\o(B1C,\s\up6(→))＝eq\o(B1B,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＝－i－k，所以eq\o(EF,\s\up6(→))·eq\o(B1C,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)i＋\f(1,2)j－\f(1,2)k))·(－i－k)＝－eq\f(1,2)|i|2＋eq\f(1,2)|k|2＝0，所以EF⊥B1C.(2)解∵eq\o(EF,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)i＋eq\f(1,2)j－eq\f(1,2)k，eq\o(C1G,\s\up6(→))＝eq\o(C1C,\s\up6(→))＋eq\o(CG,\s\up6(→))＝－k－eq\f(1,3)j，|eq\o(EF,\s\up6(→))|2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)i＋\f(1,2)j－\f(1,2)k))2＝eq\f(1,4)|i|2＋eq\f(1,4)|j|2＋eq\f(1,4)|k|2＝3，|eq\o(EF,\s\up6(→))|＝eq\r(3)，|eq\o(C1G,\s\up6(→))|2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－k－\f(1,3)j))2＝|k|2＋eq\f(1,9)|j|2＝4＋eq\f(4,9)＝eq\f(40,9)，|eq\o(C1G,\s\up6(→))|＝eq\f(2\r(10),3)，∴cos〈eq\o(EF,\s\up6(→))，eq\o(C1G,\s\up6(→))〉＝eq\f(\o(EF,\s\up6(→))·\o(C1G,\s\up6(→)),|\o(EF,\s\up6(→))|·|\o(C1G,\s\up6(→))|)，＝eq\f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)i＋\f(1,2)j－\f(1,2)k))·\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－k－\f(1,3)j)),\r(3)×\f(2\r(10),3))＝eq\f(\f(4,3),\f(2\r(30),3))＝eq\f(\r(30),15).即EF与C1G所成角的余弦值为eq\f(\r(30),15).延伸探究设这个正方体中线段A1B的中点为M，证明：MF∥B1C.证明设eq\o(DA,\s\up6(→))＝i，eq\o(DC,\s\up6(→))＝j，eq\o(DD1,\s\up6(→))＝k，则eq\o(B1C,\s\up6(→))＝eq\o(B1B,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＝－i－k，eq\o(MF,\s\up6(→))＝eq\o(AF,\s\up6(→))－eq\o(AM,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→)))－eq\f(1,2)(eq\o(AA1,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→)))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)\o(DC,\s\up6(→))－\f(1,2)\o(DA,\s\up6(→))))－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)\o(DC,\s\up6(→))＋\f(1,2)\o(DD1,\s\up6(→))))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)j－\f(1,2)i))－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)j＋\f(1,2)k))＝－eq\f(1,2)i－eq\f(1,2)k＝eq\f(1,2)(－i－k)＝eq\f(1,2)eq\o(B1C,\s\up6(→))，所以eq\o(MF,\s\up6(→))∥eq\o(B1C,\s\up6(→))，又MF，B1C无公共点，所以MF∥B1C.反思感悟求夹角、证明线线垂直的方法利用数量积定义可得cos〈a，b〉＝eq\f(a·b,|a||b|)，求〈a，b〉的大小，进而求得线线角，两直线垂直可作为求夹角的特殊情况．跟踪训练2(1)已知在直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠ABC＝120°，AB＝2，BC＝CC1＝1，则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为__________.〖答案〗eq\f(\r(10),5)〖解析〗如图所示，设eq\o(BA,\s\up6(→))＝a，eq\o(BC,\s\up6(→))＝b，eq\o(BB1,\s\up6(→))＝c，则〈a，b〉＝120°，c⊥a，c⊥b，因为eq\o(AB1,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BB1,\s\up6(→))＝－a＋c，eq\o(BC1,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CC1,\s\up6(→))＝b＋c，|cos〈eq\o(AB1,\s\up6(→))，eq\o(BC1,\s\up6(→))〉|＝eq\f(|\o(AB1,\s\up6(→))·\o(BC1,\s\up6(→))|,|\o(AB1,\s\up6(→))|·|\o(BC1,\s\up6(→))|)＝eq\f(|－a＋c·b＋c|,\r(5)×\r(2))＝eq\f(|－a·b－a·c＋b·c＋c2|,\r(10))＝eq\f(|－2×1×cos120°＋1|,\r(10))＝eq\f(2,\r(10))＝eq\f(\r(10),5).(2)在正方体ABCD－A1B1C1D1中，已知E，F，G，H分别是CC1，BC，CD和A1C1的中点．证明：①AB1∥GE，AB1⊥EH；②A1G⊥平面EFD.证明①设正方体棱长为1，eq\o(AB,\s\up6(→))＝i，eq\o(AD,\s\up6(→))＝j，eq\o(AA1,\s\up6(→))＝k，则{i，j，k}构成空间的一个单位正交基底．eq\o(AB1,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BB1,\s\up6(→))＝i＋k，eq\o(GE,\s\up6(→))＝eq\o(GC,\s\up6(→))＋eq\o(CE,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)i＋eq\f(1,2)k＝eq\f(1,2)eq\o(AB1,\s\up6(→))，∴AB1∥GE.eq\o(EH,\s\up6(→))＝eq\o(EC1,\s\up6(→))＋eq\o(C1H,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)k＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))(i＋j)＝－eq\f(1,2)i－eq\f(1,2)j＋eq\f(1,2)k，∵eq\o(AB1,\s\up6(→))·eq\o(EH,\s\up6(→))＝(i＋k)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)i－\f(1,2)j＋\f(1,2)k))＝－eq\f(1,2)|i|2＋eq\f(1,2)|k|2＝0，∴AB1⊥EH.②eq\o(A1G,\s\up6(→))＝eq\o(A1A,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(DG,\s\up6(→))＝－k＋j＋eq\f(1,2)i.eq\o(DF,\s\up6(→))＝eq\o(DC,\s\up6(→))＋eq\o(CF,\s\up6(→))＝i－eq\f(1,2)j，eq\o(DE,\s\up6(→))＝eq\o(DC,\s\up6(→))＋eq\o(CE,\s\up6(→))＝i＋eq\f(1,2)k.∴eq\o(A1G,\s\up6(→))·eq\o(DF,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－k＋j＋\f(1,2)i))·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(i－\f(1,2)j))＝－eq\f(1,2)|j|2＋eq\f(1,2)|i|2＝0，∴A1G⊥DF.eq\o(A1G,\s\up6(→))·eq\o(DE,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－k＋j＋\f(1,2)i))·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(i＋\f(1,2)k))＝－eq\f(1,2)|k|2＋eq\f(1,2)|i|2＝0，∴A1G⊥DE.又DE∩DF＝D，DE，DF⊂平面EFD，∴A1G⊥平面EFD.1．知识清单：(1)空间向量基本定理．(2)空间向量共线、共面的充要条件．(3)向量的数量积及应用．2．方法归纳：转化化归．3．常见误区：(1)向量夹角和线线角的范围不同，不要混淆．(2)转化目标不清：表示向量时没有转化目标，不理解空间向量基本定理的意义．1．在棱长为1的正四面体ABCD中，直线AB与CD()A．相交 B．平行C．垂直 D．无法判断位置关系〖答案〗C〖解析〗eq\o(CD,\s\up6(→))＝eq\o(BD,\s\up6(→))－eq\o(BC,\s\up6(→))，所以eq\o(BA,\s\up6(→))·eq\o(CD,\s\up6(→))＝eq\o(BA,\s\up6(→))·(eq\o(BD,\s\up6(→))－eq\o(BC,\s\up6(→)))＝eq\o(BA,\s\up6(→))·eq\o(BD,\s\up6(→))－eq\o(BA,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝1×1×eq\f(1,2)－1×1×eq\f(1,2)＝0，故eq\o(BA,\s\up6(→))⊥eq\o(CD,\s\up6(→))，即直线AB与CD垂直．2.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别为AB，B1C的中点，若AB＝a，则MN的长为()A.eq\f(\r(3),2)a B.eq\f(\r(3),3)aC.eq\f(\r(5),5)a D.eq\f(\r(15),5)a〖答案〗A〖解析〗取空间中一组基底：eq\o(AB,\s\up6(→))＝i，eq\o(AD,\s\up6(→))＝j，eq\o(AA1,\s\up6(→))＝k，eq\o(MN,\s\up6(→))＝eq\o(MB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CN,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)i＋j＋eq\f(1,2)(－j＋k)＝eq\f(1,2)i＋eq\f(1,2)j＋eq\f(1,2)k，故|eq\o(MN,\s\up6(→))|2＝eq\f(1,4)a2＋eq\f(1,4)a2＋eq\f(1,4)a2＝eq\f(3,4)a2，所以MN＝eq\f(\r(3),2)a.3．如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝AB＝2，AD＝1，E，F，G分别是DC，AB，CC1的中点，则异面直线A1E与GF所成角的余弦值是()A．0