《平面》教案和课堂实录

PAGE《平面》教案（一）教学目标1．知识与技能（1）利用生活中的实物对平面进行描述；（2）掌握平面的表示法及水平放置的直观图（3）掌握平面的基本性质及作用；（4）培养学生的空间想象能力.2．过程与方法（1）通过师生的共同讨论，使学生对平面有了感性认识；（2）让学生归纳整理本节所学知识.3．情感、态度与价值观使用学生认识到我们所处的世界是一个三维空间，进而增强了学习的兴趣.（二）教学重点、难点重点：1、平面的概念及表示；2、平面的基本性质，注意他们的条件、结论、作用、图形语言及符号语言.难点：平面基本性质的掌握与运用.（三）教学方法师生共同讨论法教学过程教学内容师生互动设计意图新课导入日常生活中有哪些东西给我们以平面的形象？师：生活中常见的如黑板、平整的操场、桌面，平静的湖面等，都给我们以平面的印象，你们能举出更多的例子吗？引导学生观察、思考、举例和相交交流，教师对学生活动给予评价，点出主题.培养学生感性认识探索新知1．平面的概念随堂练习判定下列命题是否正确：①书桌面是平面；②8个平面重叠起来要比6个平面重叠起来厚；③有一个平面的长是50m，宽是20m；④平面是绝对的平，无厚度，可以无限延展的抽象的数学概念.师：刚才大家所讲的一些物体都给我们以平面的印象，几何里所说的平面就是从这样的一些物体中抽象出来的，但是，几何里的平面是向四周无限伸展的，现在请大家判定下列命题是否正确？生：平面是没有厚度，无限延展的；所以①②③错误；④正确.加深学生对平面概念的理解.探索新知2．平面的画法及表示（1）平面的画法通常我们把水平的平面画成平行四边形，用平行四边形表示平面，其中平行四边形的锐角通常画成45°，且横边长等于其邻边长的2倍.如果一个平面被另一个平面遮挡住.我们常把被遮挡的部分用垂线画出来.（2）平面的表示法1：平面，平面.法2：平面ABCD，平面AC或平面BD.（3）点与平面的关系平面内有无数个点，平面可看成点的集合.点A在平面内，记作：A.点B在平面外，记作：B.师：在平面几何中，怎样画直线？(一学生上黑板画)师：这位同学画的实质上是直线的部分，通过想象两端无限延伸而认为是一条直线，仿照直线的画法，我们可以怎样画一个平面？生：画出平面的一部分，加以想象，四周无限延展，来表示平面.师：大家画一下.学生动手画平面，将有代表性的画在黑板上，教师给予点评，并指出一般画法及注意事项(作图)加深学生对平面概念的理解，培养学生知识迁移能力，空间想象能力和发散思想能力.探索新知3．平面的基本性质公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内（1）公理1的图形如图（2）符号表示为：（3）公理1的作用：判断直线是否在平面内.公理2：过不在一条直线上的三点有且只有一个平面.（1）公理2的图形如图（2）符号表示为：C直线AB存在惟一的平面，使得注意：（1）公理中“有且只有一个”的含义是：“有”，是说图形存在，“只有一个”，是说图形惟一，“有且只有一个平面”的意思是说“经过不在同一直线上的三个点的平面是有的，而且只有一个”，也即不共线的三点确定一个平面.“有且只有一个平面”也可以说成“确定一个平面.”（2）过A、B、C三点的平面可记作“平面ABC”公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线.（1）公理3的图形如图（2）符号表示为：（3）公理3作用：判断两个平面是否相交.师：我们下面学习平面的基本性质的三个公理.所谓公理，就是不必证明而直接被承认的真命题，它们是进一步推理的出发点和根据.先研究下列问题：将直线上的一点固定在平面上，调整直线上另一点的位置，观察其变化，指出直线在何时落在平面内.生：当直线上两点在一个平面内时，这条直线落在平面内.师：这处结论就是我们要讨论的公理1（板书）师：从集合的角度看，公理1就是说，如果一条直线（点集）中有两个元素（点）属于一个平面（点集），那么这条直线就是这个平面的真子集.直线是由无数个点组成的集合，点P在直线l上，记作P∈l；点P在直线l外，记作Pl；如果直线l上所有的点都在平面内，就说直线l在平面内，或者说平面经过直线l，记作l，否则就说直线l在平面外，记作.下面请同学们用符号表示公理1.学生板书，教师点评并完善.大家回忆一下几点可以确定一条直线生：两点可确定一条直线.师：那么几点可以确定上个平面呢？学生思考，讨论然后回答.生1：三点可确定一个平面师：不需要附加条件吗？生2：还需要三点不共线师：这个结论就是我们要讨论的公理2师投影公理2图示与符号表示，分析注意事项.师：下面请同学们观察教室的天花板与前面的墙壁，思考这两个平面的公共点有多少个？它们有什么特点.生：这两个平面的无穷多个公共点，且所有这些公共点都在一条直线上.师：我们把这条直线称为这两个平面的公共直线.事实上，如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线.（板书）这就是我们要学的公理3.通过实验，培养学生观察、归纳能力.加深学生对公理的理解与记忆.加强学生对知识的理解，培养学生语言（符号图形）的表达能力.学生在观察、实验讨论中得出正确结论，加深了对知识的理解，还培养了他们思维的严谨性.典例分析例1如图，用符号表示下图图形中点、直线、平面之间的位置关系.分析：根据图形，先判断点、直线、平面之间的位置关系，然后用符号表示出来.解：在（1）中，，，.在（2）中，，，，，.学生先独立完成，让两个学生上黑板，师生给予点评巩固所学知识随堂练习1．下列命题正确的是（）A．经过三点确定一个平面B．经过一条直线和一个点确定一个平面C．四边形确定一个平面D．两两相交且不共点的三条直线确定一个平面2．（1）不共面的四点可以确定几个平面？（2）共点的三条直线可以确定几个平面？3．判断下列命题是否正确，正确的在括号内画“√”，错误的画“×”.（1）平面与平面相交，它们只有有限个公共点.（）（2）经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面.（）（3）经过两条相交直线，有且只有一个平面.（）（4）如果两个平面有三个不共线的公共点，那么这两个平面重合.（）4．用符号表示下列语句，并画出相应的图形：（1）点A在平面内，但点B在平面外；（2）直线a经过平面外的一点M；（3）直线a既在平面内，又在平面内.学生独立完成答案：1．D2．（1）不共面的四点可确定4个平面.（2）共点的三条直线可确定一个或3个平面.3．（1）×（2）√（3）√（4）√4．（1）A，B.（2）M，M.（3）a，a.巩固所学知识归纳总结1．平面的概念，画法及表示方法.2．平面的性质及其作用3．符号表示4．注意事项学生归纳、总结教学、补充完善.回顾、反思、归纳知识，提升自我整合知识的能力，培养思维严谨性固化知识，提升能力.课后作业2.1第一课时习案学生独立完成备选例题例1已知：a，b，c，d是不共点且两两相交的四条直线，求证：a，b，c，d共面．证明1o若当四条直线中有三条相交于一点，不妨设a，b，c相交于一点A，αbadcGFEAabcdααbadcGFEAabcdαHK图1图2又设直线d与a，b，c分别相交于E，F，G，则A，E，F，G∈α．∵A，E∈α，A，E∈a，∴aα．同理可证bα，cα．∴a，b，c，d在同一平面α内．2o当四条直线中任何三条都不共点时，如图2．∵这四条直线两两相交，则设相交直线a，b确定一个平面α．设直线c与a，b分别交于点H，K，则H，K∈α．又H，K∈c，∴cα．同理可证dα．∴a，b，c，d四条直线在同一平面α内．说明：证明若干条线(或若干个点)共面的一般步骤是：首先根据公理3或推论，由题给条件中的部分线(或点)确定一个平面，然后再根据公理1证明其余的线(或点)均在这个平面内．本题最容易忽视“三线共点”这一种情况．因此，在分析题意时，应仔细推敲问题中每一句话的含义．例2正方体ABCD—A1B1C1D1中，对角线A1C与平面BDC1交于点O，AC、BD交于点M，求证：点C1、O、MOMOB1C1D1A1DCBA解答：如图所示A1A∥C1C确定平面A1O∈平面A1CA1C平面AO∈平面A1C又O∈A1平面BC1D∩直线A1C=O∈平面BC1DO在平面A1C与平面BC1D的交线上.AC∩BD=MM∈平面BC1D且M∈平面A1C平面BC1D∩平面A1C=C1O∈C1M，即O、C1、M三点共线.评析：证明点共线的问题，一般转化为证明这些点同是某两个平面的公共点.这样，可根据公理2证明这些点都在这两个平面的公共直线上.《平面》课堂教学实录立体几何课程是初等几何教育的内容之一，是在初中平面几何学习的基础上开设的，以空间图形的性质、画法、计算以及它们的应用为研究对象，以演绎法为研究方法．通过立体几何的教学，使学生的认识水平从平面图形延拓至空间图形，完成由二维空间向三维空间的转化，发展学生的空间想象能力，逻辑推理能力和分析问题、解决问题的能力．平面的概念和平面的性质是立体几何全部理论的基础．平面，是现实世界存在着的客观事物形态的数学抽象，在立体几何中是只描述而不定义的原始概念，但平面是把三维空间图形转化为二维平面图形的主要媒介，在立体几何问题平面化的过程中具有重要的桥梁作用．一、素质教育目标（一）知识教学点1．“平面”是空间图形的基本元素，很多空间图形的面都是平面图形，平面图形及其性质是初中平面几何的主要学习内容，因此，要建立起“空间问题平面化”的观点．2．虽然日常生活中的平面物体有一定的局限，但作为立体几何中的“平面”无大小之分，是无限延展的．3．平面可用图形表示，也可用符号表示，应理清与其它图形表示法的联系与区别．（二）能力训练点1．通过“平面”概念的教学，初步培养空间想象能力，如平面的无限延展性．2．由叙述语言、图形语言和符号语言的互译，培养语言转换能力．（三）德育渗透点通过通俗意义上的平面到数学意义上的平面的学习，了解具体与抽象，特殊与一般的辩证关系，由点、直线、平面间内在的联系逐渐形成“事物总是运动变化”的辩证观点．二、教学重点、难点及解决办法1．教学重点（1）从客观存在的平面物体抽象出“平面”概念．（2）掌握点、直线、平面间的相互关系，并会用文字、图形、符号语言正确表示．（3）理解平面的无限延展性．2．教学难点（1）理解平面的无限延展性．（2）集合概念的符号语言的正确使用．3．解决办法（1）借助实物操作，抽象出“平面”概念．（2）运用正迁移规律，将直线的无限延伸性类比于平面的无限延展性．三、课时安排1课时．四、学生活动设计准备好纸板三块，纸盒一个，小竹签四根．纸板作为平面的模型，纸盒用于观察平面的位置，以便同画出的图形比较，小竹签用于表示直线．五、教学步骤（一）明确目标1．能够从日常生活实例中抽象出数学中所说的“平面”．2．理解平面的无限延展性．3．正确地用图形和符号表示点、直线、平面以及它们之间的关系．（二）整体感知“立体几何”作为一门学生刚开始学习的学科，其内容对学生来说基本上是完全陌生的，应以“讲授法’的主，引导学生观察和想象，吸引学生的注意力，激发学生的学习兴趣，初步培养空间想象力．本课是“立体几何”的起始课，应先把这一学科的内容作一大概介绍，包括课本的知识结构，“立体几何”的研究对象，研究方法，学习立体几何的方法和作用等．而后引入“平面”概念，以类比的方式，联系直线的无限延伸性去理解平面的无限延展性，突破教学难点．在进行“平面的画法”教学时，不仅要会画水平放置的平面，还应会画直立的平面和相交平面（包括有部分被遮住的相交平面）．在用字母表示点、直线、平面三者间的关系时，应指明是借用了集合语句，并用列表法将这些关系归类，以便作为初学者的学生便于比较、记忆和运用．（三）重点、难点的学习与目标完成过程A．引言师：以往我们所学的几何是平面几何，研究的是平面图形的性质、画法、计算、应用．今天我们开始学习一门新的学科——立体几何．立体几何的研究对象是空间图形的性质、画法、计算及应用．它使得我们的学习内容从二维平面上升到三维空间，因此，需要我们在学习过程中通过严密的逻辑推理把三维空间图形问题转化为二维平面图形问题，这也是学好立体几何的一个重要方法．《立体几何》一书共分两章：第一章“直线和平面”是立体几何的基础知识和理论基础；第二章“多面体和旋转体”是理论知识的运用，并被广泛地应用于日常生产生活之中．B．平面1．平面的特点师：现在我们来看手中的纸盒，它是由几个面构成的？生：6个面．师：对，这六个面给我们以平面的形象，还有哪些面留给我们平面的形象呢？生：桌面、黑板、地面、海平面等．师：对，这些物体是生活中所说的平面，但还不能算是数学意义上的平面，因为它们是有限的面．再如海平面上有波涛，当我们想象它是一平如镜时，它有什么特点呢？生：很大、很平．师：对，平面是一个不加定义的概念，具有“平”、“无限延展”、“无厚薄”的特点．一个平面可以把空间分成两部分，这正如直线是无限延伸的，一条直线可以把平面分成两部分，我们所画的只是一条直线的一部分．因此，刚才所说的物体如果是平的，也只是它所在平面的一部分．2．平面的画法师：同学们从小就会画平面，是否记得用什么图形来表示？生：平行四边形．师：对，通常画平行四边形来表示平面，但有时不，如四面体（图1-1），又如三个平面相交且交于一点（图1—2）．注意，在画平行四边形表示平面时，所表示的平面如果是水平平面，通常把锐角画成45°，横边画成邻边的两倍（图1-3）；如果是非水平平面，只要画成平行四边形，如直立平面（图1－4）；如果几个平面画在一起，当一个平面有一部分被另一个平面遮住时，应把被遮部分的线段画成虚线或不画（图1-5）．请看课本中有关内容．3．平面的表示法师：平面的表示法有如下几种：（1）在一个希腊字母α、β、γ的前面加“平面”二字，如平面α、平面β、平面γ等，且字母通常写在平行四边形的一个锐角内（图1－3、图1－5）；（2）用平行四边形的四个字母表示，如平面ABCD（图1－4）；（3）用表示平行四边形的两个相对顶点的字母来表示，如平面AC（图1-4）．4．点、直线、平面之间的基本关系师：空间图形的基本元素是点、直线、平面．从运动的观点看，点动成线，线动成面，从而可以把直线、平面看成是点的集合，因此它们之间的关系除了用文字和图形表示外，还可借用集合中的符号语言来表示．规定直线用两个大写的英文字母或一个小写的英文字母表示，点用一