上海市静安区市西中学2022-2023学年八年级上学期期中数学试卷(含答案)

2022-2023学年上海市静安区市西中学八年级（上）期中数学试卷第I卷（选择题）一、选择题（本大题共6小题，共18.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）下列二次根式中，最简二次根式是(

)A.3a3 B.15a C.a3下列二次根式中，不能与2合并的是(

)A.12 B.2a2(a≠0) C.下列方程是关于x的一元二次方程的是(

)A.x2+bx+c=0 B.x2若一元二次方程ax2+bx+c=0，满足a-b+c=0，则方程必有一根为A.0 B.1 C.-1 D.±1下列命题中，假命题是(

)A.假命题的逆命题不一定是假命题

B.所有定理都有逆命题

C.对顶角相等的逆命题是真命题

D.两条平行线被第三条直线所截，内错角的平分线互相平行已知xy<0，化简二次根式-xy2y的值是A.x B.-x C.-x D.第II卷（非选择题）二、填空题（本大题共12小题，共36.0分）式子2-3x有意义，则x的取值范围是______．a-b的有理化因式可以是______．不等式(2-5)x≤1的解集是______．比较大小：5-3______7-在实数范围内分解因式4x2-2x-1=______某工程队承包了一项污水处理工程，原计划每天铺设污水管道1250米，因准备工作不充分，第一天铺设了原计划的80%，从第二天开始，该工程队加快了铺设速度，第三天铺设了1440米．若该工程队第二天、第三天每天的铺设长度比前一天增长的百分数相同，设这个百分数为x，列出方程______．命题“等腰三角形的两个底角相等”的逆命题是______．等腰三角形一腰上的高与另一边的夹角为50°，则顶角的度数为______．若△ABC中，AB=4，AC=7，则中线AD的取值范围是______．如图，把△ABC纸片沿DE折叠，当点A落在四边形BCDE内部时，则∠A、∠1、∠2之间的数量关系是

．

对于两个不相等的实数a，b，我们规定符号Max{a,b}表示a，b中的较大值，如：Max{2,4}=4，按照这个规定，方程Max{x,-x}=x2-2的解为______如果一元二次方程的两根相差1，那么该方程称为“差1方程”.例如x2+x=0是“差1方程”.若关于x的方程ax2+bx+1=0(a,b是常数，a>0)是“差1方程”设t=10a-b2三、解答题（本大题共8小题，共66.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）(本小题5.0分)

计算：(2-3)2(本小题5.0分)

已知x=13+2，求x+3(本小题20.0分)

(l)(3x-1)2-x2=0．

(2)2x(x-3)=9-3x．(本小题9.0分)

已知关于x的一元二次方程(m+1)x2+2x=1(m为实数)．

(1)如果该方程有两个不相等的实数根，求m的取值范围．

(2)如果该方程有两个相等的实数根，求m的取值范围．

(3)如果该方程没有实数根，求m(本小题6.0分)

已知：如图，AD//CF，DB平分∠ADF，AD+CF=DF.求证：FB平分∠CFD．(本小题6.0分)

已知如图，AB=AC，AD=AE，∠BAE=∠CAD，BD与CE相交于点F，求证：FB=FC．(本小题6.0分)

如图，小明家要建一个面积为150平方米的养鸡场，养鸡场的一边靠墙，另三边(门除外)用竹篱笆围成．这堵墙长18米，在与墙平行的一边，要开一扇2米宽的门．已知围建养鸡场的竹篱笆总长为33米(没有剩余材料，接头忽略不计)，那么小明家养鸡场的长和宽应分别为多少米？(本小题9.0分)

如图①，点M为锐角三角形ABC内任意一点，连接AM、BM、CM.以AB为一边向外作等边三角形△ABE，将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接EN．

(1)求证：△AMB≌△ENB；

(2)若AM+BM+CM的值最小，则称点M为△ABC的费尔马点．若点M为△ABC的费尔马点，试求此时∠AMB、∠BMC、∠CMA的度数；

(3)小翔受以上启发，得到一个作锐角三角形费尔马点的简便方法：如图②，分别以△ABC的AB、AC为一边向外作等边△ABE和等边△ACF，连接CE、BF，设交点为M，则点M即为△ABC的费尔马点．试说明这种作法的依据．

答案和解析1.【答案】B

【解析】解：A、3a3=3a|a|，被开方数中含能开得尽方的因式，不是最简二次根式，不符合题意；

B、15a是最简二次根式，符合题意；

C、a3=3a3，被开方数中含分母，不是最简二次根式，不符合题意；

D、a2+a3=|a|1+a2.【答案】D

【解析】解：A、12=22能与2合并，故本选项不符合题意；

B、2a2=|a|2能与2合并，故本选项不符合题意；

C、18=32能与2合并，故本选项不符合题意；

D、0.2=553.【答案】B

【解析】解：A.方程是分式方程，不是整式方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；

B.方程是一元二次方程，故本选项符合题意；

C.方程化简后是一元一次方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；

D.当a=0时，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；

故选：B．

根据一元二次方程的定义逐个判断即可．

本题考查了一元二次方程的定义，能熟记一元二次方程的定义是解此题的关键，注意：只含有一个未知数，并且所含未知数的项的最高次数是2的整式方程，叫一元二次方程．

4.【答案】C

【解析】解：当x=-1时，方程左边=a*(-1)2-b+c=a-b+c，因为a-b+c=0，

∴左边=右边，

∴x=-1是方程的一个根．

故选：C．

根据方程的根的定义判断即可．

此类题目的解法是常常将1或-1或5.【答案】C

【解析】解：A、假命题的逆命题不一定是假命题．正确是真命题，本选项不符合题意；

B、所有定理都有逆命题，正确，是真命题，本选项不符合题意；

C、对顶角相等的逆命题是真命题．错误是假命题，本选项符合题意；

D、两条平行线被第三条直线所截，内错角的平分线互相平行，正确，是真命题，本选项不符合题意．

故选：C．

根据命题，定理的定义，逆命题的定义一一判断即可．

本题考查命题与定理，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．

6.【答案】C

【解析】解：由题意可知-xy2≥0．

因为y2>0，

所以-x≥0，

所以x≤0，

又因为xy<0，

所以x<0，y>0，

所以-xy2y=y-xy=-x．

故选：7.【答案】x≤2【解析】解：根据题意得，2-3x≥0，

解得x≤23．

故答案为：x≤23．

根据被开方数大于等于8.【答案】a+【解析】解：a-b=(a-b)(a+b)，

故a-b的有理化因式可以是9.【答案】x≥-2-5【解析】解：∵5>2，

∴2-5<0，

∴(2-5)x≤1的解集是x≥-2-5，

故答案为：10.【答案】>

【解析】解：15-3=5+32，17-5=7+5211.【答案】(2x+5【解析】解：4x2-2x-1=(4x2-2x+112.【答案】1250×80%(1+x)【解析】解：根据题意得1250×80%(1+x)2=1440，

故答案为：1250×80%(1+x)2=1440．

利用第三天铺设污水管道的长度=第一天铺设污水管道的长度×(1+该工程队第二天、第三天每天的铺设长度比前一天增长的百分数13.【答案】两个角相等的三角形是等腰三角形

【解析】【分析】

本题考查了原命题与逆命题，先找到原命题的题设和结论，再将题设和结论互换，即可而得到原命题的逆命题．

根据逆命题的概念来回答：对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另外一个命题的结论和条件，那么这两个命题叫做互逆命题，其中一个命题叫做原命题，另外一个命题叫做原命题的逆命题，据此进行解答即可．

【解答】

解：因为原命题的题设是：“一个三角形是等腰三角形”，结论是“这个三角形两底角相等”，

所以命题“等腰三角形的两个底角相等”的逆命题是“两个角相等的三角形是等腰三角形”．

14.【答案】100°或40°或140°

【解析】解：△ABC是等腰三角形，且∠BAC为顶角，CD是腰AB的高．

(1)当等腰三角形是锐角三角形时，如图①；

∵∠ACD=50°，

∴∠BAC=90°-∠ACD=40°；

(2)当等腰三角形是钝角三角形时；

一、如图②-1；

当∠BCD=50°时，∠B=40°；

∴∠BAC=180°-2∠B=100°；

二、如图②-2；

当∠ACD=50°时，∠CAD=40°；

∴∠BAC=180°-∠CAD=140°；

故这个等腰三角形顶角的度数为：100°或140°或40°．

故答案为：100°或140°或40°．

由于本题已知中没有明确指出等腰三角形是锐角三角形还是钝角三角形，因此要分情况讨论．

本题考查了等腰三角形及三角形内角和定理等知识；分类讨论的思想的应用是正确解答本题的关键，分类时要注意不重不漏．

15.【答案】1.5<AD<5

【解析】解：延长AD至点E，使DE=AD，连接EC，

∵BD=CD，DE=AD，∠ADB=∠EDC，

∴△ABD≌△ECD(SAS)，

∴CE=AB，

∵AB=4，AC=7，CE=4，

设AD=x，则AE=2x，

∴3<2x<10，

∴1.5<x<5，

∴1.5<AD<5．

故答案为：1.5<AD<5．

先作辅助线，延长AD至点E，使DE=AD，连接EC，先证明△ABD≌△ECD，在△AEC中，由三角形的三边关系定理得出答案．

本题考查了三角形的三边关系定理，难度一般，关键是掌握三角形的任意两边之和大于第三边，三角形的任意两边之差小于第三边．

16.【答案】∠1+∠2=2∠A

【解析】【分析】

此题主要考查的是三角形的外角性质和图形的翻折变换，理清图中角与角的关系是解决问题的关键．可连接AA'，分别在△AEA'、△ADA'中，利用三角形的外角性质表示出∠1、∠2；两者相加联立折叠的性质即可得到所求的结论．

【解答】

解：连接AA'，

则△A'ED即为折叠前的三角形，

由折叠的性质知：∠DAE=∠DA'E．

由三角形的外角性质知：

∠1=∠EAA'+∠EA'A，∠2=∠DAA'+∠DA'A；

则∠1+∠2=∠DAE+∠DA'E=2∠DAE，

即∠1+∠2=2∠A．

故答案为∠1+∠2=2∠A．

17.【答案】2或-2

【解析】【分析】

本题考查了解一元二次方程，能求出符合的所有情况是解此题的关键．

分为两种情况：①当x>-x时，得出方程x2-2=x，②当-x>x时，得出方程x2-2=-x，求出方程的解即可．

【解答】

解：分为两种情况：

①当x>-x，即x>0时，x2-2=x，

解得：x1=2，x2=-1，

x=-1舍去；

②当-x>x，即x<0时，x2-2=-x，

解得：x1=-2，x2=1，18.【答案】9

【解析】解：∵关于x的方程ax2+bx+1=0(a,b是常数，a>0)是“差1方程”，

∴Δ=b2-4a×1=b2-4a>0，

解方程得x=-b±b2-4a2a，

∴-b+b2-4a2a--b-b2-4a2a=1，

∴b2=a2+4a，

∵t=10a-b2，

19.【答案】解：原式=4-43+3+32-23-(2-3)-1【解析】先根据完全平方公式、绝对值的意义、二次根式的性质和零指数幂的意义计算，然后合并即可．

本题考查了二次根式的混合运算：熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法法则、除法法则和零指数幂是解决问题的关键．

20.【答案】解：原式=x+3x(x+3)+(2x+1x-1)2x-1(

)

=1x+x-1，

∵x=13【解析】先把分子分母因式分解，则约分得到原式=1x+x-1，接着分母有理化得到x=2-3，利用倒数的定义得到21.【答案】解：((l)(3x-1)2-x2=0,

(3x-1-x)(3x-1+x)=0，

2x-1=0或4x-1=0，

∴x1=12，x2=14；

(2)2x(x-3)=9-3x，

2x(x-3)+3x-9=0，

2x(x-3)+3(x-3)=0，

(x-3)(2x+3)=0，

x-3=0或2x+3=0，

∴x1=3，x2=-322；

(3)x2-23-x6=x2，

∴2x2-4-x=3x【解析】(1)利用解一元二次方程-因式分解法，进行计算即可解答；

(2)移项，利用解一元二次方程-因式分解法，进行计算即可解答；

(3)先化成一元二次方程的一般形式，利用解一元二次方程-配方法，进行计算即可解答；

(4)利用解一元二次方程-因式分解法，进行计算即可解答．

本题考查了解一元二次方程，能选择适当的方法解一元二次方程是解此题的关键，难度适中．

22.【答案】解：关于x的一元二次方程(m+1)x2+2x=1(m为实数)，

a=m+1，b=2，c=-1，

∴Δ=4+4(m+1)=4m+8，

(1)根据题意，得Δ=4m+8>0，m+1≠0，

解得m>-2且m≠-1；

(2)根据题意，得Δ=4m+8=0，

解得m=-2；

(3)根据题意，得Δ=4m+8<0，

解得【解析】先求出Δ=4+4(m+1)=4m+8，

(1)根据该方程有两个不相等的实数根，可得Δ=4m+8>0，m+1≠0，进一步求解即可；

(2)根据该方程有两个相等的实数根，可得Δ=4m+8=0，进一步求解即可；

(3)根据该方程没有实数根，可得Δ=4m+8<0，进一步求解即可．

本题考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的情况与根的判别式的关系是解题的关键．

23.【答案】证明：在DF上取一点E，使DE=AD，

∵DB平分∠ADF，

∴∠ADB=∠EDB，

在△ADB与△EDB中，

AD=DE∠ADB=∠EDBDB=DB，

∴△ADB≌△EDB(SAS)，

∴AB=BE，∠BAD=∠BED，AD=DE，

∴∠BAD=∠BED=90°，

∵AD//CF，

∴∠C=∠A=90°，

∵DF=AD+CF，

∴EF=DF-DE=DF-AD=CF，

在Rt△BEF与Rt△BCF中，

EF=CFBF=BF，

∴Rt△BEF≌Rt△BCF(HL)，

∴∠EFB=∠CFB，

即FB平分∠CFD【解析】在DF上取一点E，使DE=AD，进而利用SAS证明△ADB与△EDB全等，进而证明△FCB与△FEB全等，进而解答即可．

本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．

24.【答案】证明：∵∠BAE=∠CAD(已知)，

∴∠BAE+∠EAD=∠CAD+∠DAE(等式性质)，即∠BAD=∠CAE．

在△ABD和△ACE中，

AB=AC  (已知)∠BAD=∠CAE  (已证)AD=AE  (已知)，

∴△ABD≌△ACE(SAS)．

∴∠ABD=∠ACE(全等三角形对应角相等)，

连接BC．

∵AB=AC(已知)，

∴∠ABC=∠ACB(等边对等角)．

∵∠ABD=∠ACE (已证)，

∴∠ABC-∠ABD=∠ACB-∠ACE(等式性质)，即∠FBC=∠FCB【解析】由已知条件证得△ABD≌△ACE，连接BC，要证FB=FC，可利用等式性质来证得．

本题主要考查了两个三角形的判定和性质，关键是根据SAS证得△ABD≌△ACE．

25.【答案】解：设垂直于墙的一边长为x米，则平行于墙的一边长为(33-2x+2)米，

由题意得：x(33-2x+2)=150，

整理得：x2-17x+70=0，

解得：x1=10，x2=7.5，

当x=7.5时，33-2x+2=33-15+2=20>18，不符合题意舍去；

当x=10时，33-2+2=33-20+2=15<18，符合题意；【