专题03圆锥曲线（重点）-2021-2022学年高二数学上学期挑战满分期末冲刺卷（人教A版2019）

专题03圆锥曲线（重点）一、单选题1．抛物线y＝4x2的焦点坐标是（）A．（0，1） B．（1，0） C． D．【答案】C【分析】将抛物线方程化为标准方程，由此可抛物线的焦点坐标得选项.【详解】解：将抛物线y＝4x2的化为标准方程为x2＝y，p＝，开口向上，焦点在y轴的正半轴上，故焦点坐标为（0，）.故选：C．2．已知双曲线的离心率为2，则（）A．2 B． C． D．【答案】D【分析】由双曲线的性质，直接表示离心率，即可求．【详解】由双曲线方程可知，因为，所以，解得：，又，所以.故选：D3．若直线y＝kx+2与双曲线x2﹣y2＝6的右支交于不同的两点，则k的取值范围是（）A．， B．C． D．【答案】D【分析】根据双曲线的方程求得渐近线方程，把直线与双曲线方程联立消去，利用判别式大于0和联立求得的范围．【详解】由消去y，整理得，的两根为x1，x2，∵直线y＝kx+2与双曲线x2﹣y2＝6的右支交于不同的两点，∴，∴k＜﹣1，∴.故选：D．4．椭圆（，且）与直线交于M，N两点，过原点与线段MN中点所在直线的斜率为，则的值是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】设设，，MN的中点，进而联立方程并结合中点坐标公式，斜率公式求解即可.【详解】联立，得，设，，MN的中点，则，．所以．故选：A5．过抛物线y2＝4x的焦点作直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，如果x1＋x2＝6，那么|AB|＝（）A．6 B．8 C．9 D．10【答案】B【分析】由抛物线的焦点弦长公式，由此计算．【详解】因为直线AB过焦点F(1，0)，所以|AB|＝x1＋x2＋p＝6＋2＝8.故选：B．6．双曲线的渐近线方程为（）A． B． C． D．【答案】B【分析】求出、的值，可求得双曲线的渐近线方程.【详解】在双曲线中，，因此，该双曲线的渐近线方程为.故选：B.7．已知点，，动点满足条件.则动点的轨迹方程为（）A． B．C． D．【答案】A【分析】根据已知条件，结合双曲线的定义可得，点的轨迹是以，为焦点的双曲线的右支，即可求解.【详解】解：因为，，所以，动点满足条件，所以点的轨迹是以，为焦点的双曲线的右支，点，，动点满足条件，，，动点的轨迹方程为.故选：A.8．若直线mx+ny=4和圆x2+y2=4没有交点，则过点(m，n)的直线与椭圆+=1的交点的个数为（）A．0或1 B．2C．1 D．0【答案】B【分析】根据直线和圆没有交点得到m2+n2<4，再判断点(m，n)在椭圆内部，得到直线和椭圆的交点个数.【详解】因为直线mx+ny=4和圆x2+y2=4没有交点，所以>2，所以m2+n2<4，而+≤+<1，因此点(m，n)在椭圆内部，从而过点(m，n)的直线与椭圆+=1必有两个交点.故选：B.9．已知A（3，2），点F为抛物线的焦点，点P在抛物线上移动，为使取得最小值，则点P的坐标为（）A．（0，0） B．（2，2） C． D．【答案】B【分析】设点P到准线的距离为，根据抛物线的定义可知，即可根据点到直线的距离最短求出．【详解】如图所示：设点P到准线的距离为，准线方程为，所以，当且仅当点为与抛物线的交点时，取得最小值，此时点P的坐标为．故选：B．10．双曲线的左右焦点分别是，离心率为，过的直线交双曲线的右支于两点，若是不以为直角顶点的等腰直角三角形，则等于（）A． B． C． D．【答案】A【分析】令，用m表示出BF2，进而得出AF2，AF1，再借助两个直角三角形建立关系即可得解.【详解】如图，设，令，由双曲线定义知，，因是不以为直角顶点的等腰直角三角形，不妨令B为直角顶点，则，于是得，在中，，则，在中，，，由得：，即，解得，所以等于.故选：A11．已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在x轴上，若长轴长为18，两个焦点恰好将长轴三等分，则该椭圆的标准方程是（）A．＋＝1 B．＋＝1 C．＋＝1 D．＋＝1【答案】A【分析】根据条件，求得，进而可得椭圆的标准方程【详解】由题意，长轴，长轴三等分后，故，则该椭圆的标准方程是＋＝1故选：.12．如图是椭圆与双曲线的公共焦点分别是在第二、四象限的公共点，若四边形为矩形，则的离心率是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】设，利用椭圆的定义及四边形为矩形，列出方程组求得的值，结合双曲线的定义和离心率的计算公式，即可求解.【详解】设，由点为椭圆上的点，可得且，即，又由四边形为矩形，所以，即，联立方程组，解得，设双曲线的实轴长为，焦距为，则，，即，所以双曲线的离心率为.故选：D.13．命题“”是命题曲线表示双曲线的（）A．充分不必要条件 B．充要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】求出为真时的的范围，然后由充分必要条件的定义判断．【详解】曲线表示双曲线，则，解得，因此是的充分不必要条件．故选：A．14．已知椭圆，，分别为椭圆的左､右顶点，若在椭圆上存在一点，使得，则椭圆的离心率的取值范围为（）A． B． C． D．【答案】A【分析】设，得到，结合，得到，结合离心率的定义，即可求解.【详解】由题意，椭圆，可得，，设，代入椭圆的方程，可得，则，即，即.又因为，所以.故选：A.15．已知圆：，定点，是圆上的一动点，线段的垂直平分线交于点，则点的轨迹的方程是（）A． B．C． D．【答案】B【分析】根据定义可判断点的轨迹是以为焦点的椭圆，即可求出轨迹方程.【详解】由题可得圆心，半径为6，是垂直平分线上的点，，，点的轨迹是以为焦点的椭圆，且，，，故点的轨迹方程为.故选：B.16．已知双曲线：与直线交于，两点，点为上一动点，记直线，的斜率分别为，，的左､右焦点分别为，.若，且的焦点到渐近线的距离为1，则（）A．B．的离心率为C．若，则的面积为2D．若的面积为，则为钝角三角形【答案】D【分析】设点A(x1，y1)，B(x1，y1)，P(x0，y0)，利用点差法求解直线的斜率，得到a、b关系，通过点到直线的距离求解c，求出a，b，即可推出离心率，判断A，B的正误；设P在双曲线的右支上，记则，利用，转化求解三角形的面积，判断C；设P(x0，y0)，通过三角形的面积求解P的坐标，结合双曲线的定义以及余弦定理，判断三角形的形状，判断D.【详解】设点A(x1，y1)，B(x1，y1)，P(x0，y0)则，且，两式相减得，所以，因为，所以，故双曲线C的渐近线方程因为焦点(c，0)到渐近线的距离为1，所以，，所以，，离心率为，故A，B错误．对于C，不妨设P在右支上,记则因为,所以解得或(舍去）,所以的面积为，故C不正确；对于D，设P(x0，y0)，因为，所以，将带入C：，得，即由于对称性，不妨取P得坐标为(，2)，则，因为所以∠PF2F1为钝角，所以PF1F2为钝角三角形，故D正确故选：D17．已知点是双曲线的左焦点，点是该双曲线的右顶点，过且垂直于轴的直线与双曲线交于，两点，若是锐角三角形，则该双曲线的离心率的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】由已知需，又由，，建立不等式得，即，解之可得选项．【详解】解：若是锐角三角形，则只需．在中，，，则，又，∴，∴，∴．又，∴．故选：B．18．已知椭圆C：的右焦点为，右顶点为A，以为直径的圆交直线于点B（不同于原点O），设的面积为S．若，则椭圆C的离心率为（）A． B． C． D．【答案】D【分析】由题可得的三边长，再结合三角形面积公式及向量数量积公式可得的关系式，即求.【详解】依题意，得，∴点A到直线的距离，在中，∵，，∴，∵，∴，其中，∴，∴，即，得，∴或（舍）∴离心率为.故选：D.二、多选题19．在平面直角坐标系xOy中，过抛物线x2=2y的焦点的直线l与抛物线的两个交点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则()A．y1y2=B．以AB为直径的圆与直线相切C．OA+OB的最小值D．经过点B与x轴垂直的直线与直线OA交点一定在定直线上【答案】ABD【分析】对于选项A：联立直线与抛物线的方程，利用根与系数之间的关系即可求解；对于选项B：利用抛物线定义求出线段AB的中点到准线距离与线段AB的倍数关系即可求解；对于选项C：由对称性关系，当直线斜率为0时，求出OA+OB的值即可求解；对于选项D：根据已知条件求出交点即可求解.【详解】由题意可知，抛物线的焦点，准线为：，且直线斜率一定存在，不妨设直线：，由，从而，，所以，故A正确；因为，所以由抛物线定义可知，，且中点，从而到直线的距离为，从而以AB为直径的圆与直线相切，故B正确；因为当时，易得，，故的值为，故C错误；由题意,易知直线：，经过点B与x轴垂直的直线为：，从而经过点B与x轴垂直的直线与直线OA的交点为，因为，所以，所以经过点B与x轴垂直的直线与直线OA的交点为，即在直线上，故D正确.故选：ABD.20．已知双曲线C：，右顶点为A，以A为圆心，b为半径作圆A，圆A与双曲线C的一条渐近线交于M，N两点，若，则有（）A．渐近线方程为 B．C． D．渐近线方程为【答案】AC【分析】利用已知条件，转化求解A到渐近线的距离，推出a，c的关系，然后求解双曲线的离心率和渐近线即可．【详解】双曲线C：1（a＞0，b＞0）的右顶点为A（a，0），以A为圆心，b为半径做圆A，圆A与双曲线C的一条渐近线交于M、N两点．若∠MAN＝60°，可得A到渐近线bx+ay＝0的距离为：bcos30°，可得：，即，故e．且，故渐近线方程为渐近线方程为故选：AC．21．已知曲线C：，则下列命题中为真命题的是（）A．若，则C是圆B．若，且，则C是椭圆C．若，则C是双曲线，且渐近线方程为D．若，则C是椭圆，其离心率为【答案】BC【分析】对于A：取特值，则，代入原方程可判断；对于B：由已知得，由椭圆的标准方程可判断；对于C：由双曲线的标准方程和渐近线方程可判断；对于D：由已知得，可判断曲线C是焦点在y轴上的椭圆，再由椭圆的离心率公式可判断.【详解】解：对于A：若，则，原方程为，此时曲线C不存在，故A不正确；对于B：由已知得，又，且，所以表示椭圆，故B正确；对于C：若，则C是双曲线，但渐近线方程为，故C正确；对于D：由已知得，又，所以，则曲线C是焦点在y轴上的椭圆，所以，，其离心率为，故D不正确，故选：BC.22．已知双曲线的左，右焦点分别为，过双曲线C上的一点M作两条渐近线的垂线，垂足分别为A，B，若，则（）A．双曲线C的离心率为B．四边形的面积为（O为坐标原点）C．双曲线C的渐近线方程为D．直线与直线的斜率之积为定值【答案】ABD【分析】设出点M的坐标，计算出，探求出的关系即可逐一分析各选项作答.【详解】依题意，设，则有，即，而双曲线C的渐近线分别为和，于是得，，令双曲线C的半焦距为c，从而得，即，，亦即，解得，，于是得双曲线离心率，A正确；于是得双曲线渐近线为，即两条渐近线垂直，四边形为矩形，其面积为，B正确；因双曲线渐近线为，C不正确；因直线，且直线与直线都不垂直于坐标轴，则直线与直线的斜率之积为1，D正确.故选：ABD23．如图，在平面直角坐标系中，抛物线的焦点为，准线为，设与轴的交点为，点为上异于的任意一点，点在上的射影为点，的外角平分线交轴于点，过作于点，过作，交线段的延长线于点，则（）A． B． C． D．【答案】ABD【分析】根据抛物线的定义以及平面几何知识即可判断．【详解】对A，由抛物线的定义知A正确；对B，∵，∴，B正确；对C，由题意知，又与不一定相等，∴与不一定相等，C错误；对D，由题意知四边形为矩形，∴，D正确.故选：ABD．三、填空题24．抛物线上到焦点的距离为2的点的个数为_____【答案】1【分析】根据焦半径公式求出抛物线上到焦点的距离为2的点的横坐标，从而可求得对应点的坐标，即可得出答案.【详解】解：由抛物线，得，则抛物线上到焦点(2,0)的距离为2的点的横坐标为0，当时，，所以抛物线上到焦点的距离为2的点的坐标为，所以抛物线上到焦点的距离为2的点的个数为1个.故答案为：1.25．抛物线上一点到抛物线焦点的距离为5，则实数________________．【答案】【分析】根据焦半径公式，可求出，从而得到抛物线方程，把点代入抛物线方程即可求出的值.【详解】由题意可知抛物线的焦点在轴上，且，因为抛物线上一点到抛物线焦点的距离为5，所以根据焦半径公式，得，所以，即，因为点到抛物线上，所以，所以.故答案为：.26．已知F1，F2是椭圆C：（a>0，b>0）的两个焦点，P为椭圆C上一点，且，若△PF1F2的面积为9，则b=_________.【答案】3【分析】结合已知三角形面积根据椭圆的定义可得．【详解】设，，因为，所以，所以，又，所以，，．故答案为：3．27．若椭圆和椭圆的离心率相同，且，给出如下四个结论：①椭圆和椭圆一定没有公共点；②；③；④.则所有结论正确的序号是_____.【答案】①②【分析】设，推导出，可判断②的正误；利用点与椭圆的位置关系可判断①的正误；利用椭圆中长半轴长、短半轴长以及半焦距之间的关系可判断③④的正误.【详解】设，由已知可得，则，所以，，则，②对；在椭圆上任取一点，则，所以，，即点在椭圆内，①对；因为，则，即，③错；因为，即，④错.故答案为：①②.28．已知离心率为的椭圆的左、右顶点分别为，，点为该椭圆上一点，且在第一象限，直线与直线交于点，直线与直线交于点，若，则直线的斜率为___________.【答案】【分析】由椭圆离心率及焦点位置知求m，设则，若为，则为，即可求、坐标，结合题设求k值，注意验证k值是否符合题意.【详解】由，得，则，设，易知，设，则，若直线的方程为，则的坐标为.直线的方程为，则的坐标为，∴，解得或.当时，在轴上，故.故答案为：29．已知点，是椭圆上的两点，且线段恰为的一条直径，点关于轴的对称点为，设，直线与椭圆的另一个交点为，且直线，斜率之积为，则椭圆的离心率为____.【答案】．【分析】已知得关于原点对称，设，则，，由向量线性运算求得点坐标，求得的斜率关系，再设，用点差法可求得，再由已知斜率之积可得的等式，从而求得离心率．【详解】因为线段是圆的一条直径，所以关于原点对称，设，则，，又，即，，即，所以，，①设，则，又，相减得，，所以，②，而，③，由①②③可得，，所以．故答案为：．【点睛】本题考查求椭圆的离心率，解题关键是找到关于的齐次等式．解题方法是设，由对称性得坐标，再得点坐标，用点差法求得，这样可利用直线的斜率得出关系式．四、解答题30．已知抛物线的焦点在直线上（1）求抛物线的方程（2）设直线经过点，且与抛物线有且只有一个公共点，求直线的方程【答案】（1）（2）的方程为、、【分析】（1）求得点的坐标，由此求得，进而求得抛物线的方程.（2）结合图象以及判别式求得直线的方程.（1）抛物线的焦点在轴上，且开口向上，直线与轴的交点为，则，所以，抛物线的方程为.（2）当直线的斜率不存在时，直线与抛物线只有一个公共点.那个直线的斜率存在时，设直线的方程为，，，，解得或.所以直线的方程为或.综上所述，的方程为、、.31．已知椭圆：的离心率为，短轴长为2．（1）求椭圆的标准方程；（2）过点的直线与椭圆交于两点，若的面积为（为坐标原点），求直线的方程．【答案】（1），（2）.【分析】（1）由椭圆的性质列方程可得即可得解；（2）设直线的方程，联立方程组结合韦达定理可得，再由三角形面积即可解得，即可的解.【详解】（1）由题意可得，解得：故椭圆C的标准方程为.（2）由题意可知直线的斜率不为0，则设直线的方程为联立，整理得,则，故,因为的面积为,所以，设，则整理得，解得或（舍去），即.故直线的方程为，即.32．如图，若是双曲线的两个焦点.（1）若双曲线上一点M到它的一个焦点的距离等于16，求点M到另一个焦点的距离；（2）若P是双曲线左支上的点，且，试求的面积.【答案】（1）10或22；（2）.【分析】（1）利用双曲线的定义，根据动点到一个焦点的距离求动点到另一个焦点的距离即可；（2）先根据定义得到，两边平方求得，即证，，再计算直角三角形面积即可.【详解】解：（1）是双曲线的两个焦点，则，点M到它的一个焦点的距离等于16，设点到另一个焦点的距离为，则由双曲线定义可知，，解得或，即点到另一个焦点的距离为或；（2）P是双曲线左支上的点，则，则，而，所以，即，所以为直角三角形，，所以.33．已知过抛物线焦点F的直线交抛物线于两点．（1）若AB的斜率为1，求；（2）求证：的值是定值；（3）若A点处抛物线的切线方程是，求．【答案】（1）（2）证明见解析（3）【分析】(1)求出抛物线焦点及直线AB方程，联立直线AB与抛物线方程即可计算弦AB长；(2)设出直线AB方程，联立直线AB与抛物线方程，借助韦达定理即可计算得证；(3)联立切线方程及抛物线方程，求出切点A的坐标，再利用(2)的结论即可计算作答.（1）抛物线的焦点，依题意，直线AB的方程为：，由消去y得：，于是得，则，所以长为8.（2）显然直线AB不垂直于x轴，设直线AB方程为：，由消去y得：，因此，，所以的值是定值.（3）因A点处抛物线的切线方程是，则由解得，即点，而抛物线的弦AB过点F，则由(2)可得，因此，，所以.34．已知椭圆：的离心率为，长轴长为4.（1）求椭圆的方程；（2），为椭圆的短轴顶点，点是直线上动点，若直线与的另一个交点为､与的另一个交点为，证明：直线过定点.【答案】（1）；（2）证明见解析.【分析】（1）首先根据条件列出关于的方程，即可得到椭圆方程；（2）首先利用坐标得到直线和的直线方程，并与椭圆方程联立，得到点的坐标，并表示直线方程，即可得到直线所过定点的坐标.【详解】解：（1）由条件可知，解得：，所以，所以椭圆的方程是.（2）设，，，，，则直线为，直线为，由得，，，即，代入得，，，由得，，，即，代入得，，，从而，直线的斜率为，直线为，令，则，所以过定点.35．如图，椭圆的离心率是，短轴长为，椭圆的左､右顶点为、.过椭圆与抛物线的公共焦点的直线与椭圆相交于两点，与抛物线相交于两点，点为的中点.（1）求椭圆和抛物线的方程；（2）记的面积为的面积为，若，求直线在轴上截距的范围.【答案】（1）椭圆，拋物线；（2）.【分析】（1）依题意得到方程组，求出的值，即可求出拖椭圆方程，再根据抛物线的焦点求出抛物线方程；（2）设，联立与椭圆，利用韦达定理及弦长公式，点到直线的距离，求出三角形的面积，，再根据得到不等式，解得即可；【详解】（1）根据题意得：，解得，，，抛物线焦点，因此椭圆，拋物线（2）设，联立与椭圆，整理得：，判别式：弦长公式：，所以联立与抛物线，整理得：，判别式：弦长公式：，所以，因为，因此，解得：在轴上截距或，因此在轴上截距取值范围是.36．已知双曲线，直线交双曲线于两点.（1）求双曲线的顶点到其渐近线的距离；（2）若过原点，为双曲线上异于的一点，且直线的斜率均存在，求证：为定值；（3）若过双曲线的右焦点，是否存在轴上的点，使得直线绕点无论怎样转动，都有成立？若存在，求出的坐标；若不存在，请说明理由.【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）存在点，使得.【分析】（1）由双曲线方程可得顶点坐标和渐近线方程，由点到直线距离公式可求得结果；（2）设，，，表示出，将代入双曲线方程，两式作差整理可得定值；（3）当直线斜率存在时，设，与双曲