2025年高考数学专项复习训练：不等关系与不等式性质【六大题型】原卷版+解析版

专题L3不等关系与不等式性质【六大题型】

【新高考专用】

►热点题型归纳

【题型1不等式性质的应用】......................................................................2

【题型2比较数(式)的大小】....................................................................3

【题型3证明不等式】.............................................................................3

【题型4利用不等式的性质求目标式的取值范围】..................................................4

【题型5不等式的综合问题】......................................................................5

【题型6糖水不等式】.............................................................................6

►考情分析

1、不等关系与不等式性质

考点要求真题统计考情分析

高考对不等式的性质的考查比较稳定，

一般以选择题、填空题为主，主要考查

不等式的求解；单独考查的题目虽然不

(1)等式性质

多，但不等式的相关知识往往可以渗透

(2)比较两个数的大小

2022年II卷：第12题，5分到高考的各个知识领域，作为解题工具

(3)理解不等式的性质，并

与函数、向量、解析几何、数列等知识

能简单应用

相结合，在知识的交汇处命题，是进行

不等式变形、证明以及解不等式的依据，

是高考考查的一个重点内容.

►知识梳理

【知识点1等式性质与不等式性质】

1.等式的基本性质

性质1如果a=b,那么b=a；

性质2如果a=b,b=c,刃口么a=c

性质3如果a=b,那么a±c=6±c；

性质4如果a=b,那么etc=be；

zab

性质5如果a=b,存0,那么一=一.

cc

2.不等式的性质

(1)如果a>b,那么b<a；如果b<a,那么Q>6.即a>b^b<a.

(2)如果a>6,b>c,那么a>c.即a>6,b>c=>a>c.

(3)如果a>b,那么a+c>b+c.

(4)如果a>b,c>0,那么ac>bc；如果a>b,c<0,那么ac<bc.

(5)如果a>b,c>d,那么a-\-c>b-\-d.

(6)如果a>b>0,c>d>0,那么ac>bd.

(7)如果a>6>0,那么a">6"(〃eN,论2).

3.比较大小的基本方法

方法

关系作差法作商法

与0比较与1比较

a>ba-b>0(>l(q,b>0)或楙<1(6Z,b<0)

a=ba-b=0£=1(…)

a<ba-b=0q<1(〃，b〉0)或g>1(Q,b<0)

bb

【方法技巧与总结】

1.应用不等式的基本性质，不能忽视其性质成立的条件，特别提醒的是在解决有关不等式的判断题时，

有时可用特殊值验证法，以提高解题的效率.

2.比较数（式）的大小常用的方法有作差法、作商法.、直接应用不等式的性质、基本不等式、利用函

数的单调性，需要灵活运用方法求解.

►举一反三

【题型1不等式性质的应用】

【例1】（2024•上海杨浦・二模）已知实数a,b,c,d满足：a>b>Q>c>d,则下列不等式一定正确的

是（）

A.a+d>b+cB.ad>bcC.a+c>b+dD.ac>bd

【变式1-1］（2024，全国・模拟预测）"％<0<丫”是口一丫）2>%2+必，，的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【变式1-2］（2023•上海杨浦・一模）已知实数a,b满足a>6,则下列不等式恒成立的是（）

A.a2>b2B.a3>b3C.|a|>\b\D.a_1>b-r

【变式1-3］（2023・贵州遵义•模拟预测）已知a,b,x均为实数，下列不等式恒成立的是（）

A.若a<6,贝!|42024<。2024

c什20242024

B.若a〈b7,则rIll丁〈丁

C.若a%2。24Vb第2024,则

D.若aVb,则a%2024V、第2024

【题型2比较数（式）的大小】

【例2】（2023•湖南•模拟预测）已知正实数x,y满足％Vy,设a=%a+y,b=yey+x,c=yex+x（其

中e为自然对数：e、2.71828…），则。，b,c的大小关系是（）

A.a<c<bB.c<a<bC.c<b<aD.b<c<a

【变式2/】（2023•江西•模拟预测）已知log5a>log5b,则下列不等式一定成立的是（

A.<VhB.log5(a-h)>0

C.5a-b>1D.ac>be

【变式2・2】（2023•北京东城•一模）已知那么在下列不等式中，不成立的是

r1

A.x-1>0B.xH—X<—2C.sinx—%>0D.cosx+%>0

【变式2・3】（2024•福建泉州•模拟预测）若c>b〉a>0,贝I（）

A.0bbe>0caB.21nb<Ina+Inc

cc

C.a-->b--D.logac>loghc

【题型3证明不等式】

【例3】（2024高三・全国・专题练习）已知a力为正实数.求证：^+^>a+b.

【变式3-1］（22-23高一上•全国•课后作业）证明下列不等式:

(1)已知a>b,e>f,c>0,求证/-ac<e-bc

(2)已知a>b>0,c<d<0,求证:

【变式3-2]（2023高三•全国•专题练习）证明命题：“若在△2BC中a、b、c分别为角4、B、C所对的边长,

则上<士+士，

1+a丁1+b

【变式3-3]（22-23高二下•湖北省直辖县级单位•期末）若a>b>0,c<d<0,网>|c|

（1）求证：b+c>0；

⑵求证：（a—c）2V（b—d）2；

（3）在（2）中的不等式中，能否找到一个代数式，满足熹V所求式〈谷？若能，请直接写出该代

数式；若不能，请说明理由.

【题型4利用不等式的性质求目标式的取值范围】

【例4】（2023•江苏南通•模拟预测）已知a—be[0,l],a+be[2,4],则4a—26的取值范围是（）

A.[1,5]B.[2,7]C.[1,6]D.[0,9]

【变式4-1]（23-24高一上•山东荷泽•阶段练习）已知一lWx+yWLl<x-y<3,贝归x—2y的取值范围

是（）

A.2<3x—2y<8B.3<3x—2y<8

C.2<3x-2y<7D.5<3x-2y<10

【变式4-2]（23-24高三上•湖北•阶段练习）已知a<6<c且a+26+4c=0,贝哈的取值范围是（）

a

A.（一8,一？B.C（吗）D.（|,1）

【变式4-3]（2023•广西南宁•模拟预测）已知函数3（%）=/+b%+c,0<%i<1<%2<2,/（%i）=f（x2）

=0,贝必+2c的取值范围为（）

A.(-2,-1)B.(—2,1)C.(-1,1)D.(—1,2)

【题型5不等式的综合问题】

【例5】(23・24高一上•上海浦东新•阶段练习)解决下列问题：

(1)已知nviWR,设a=(根2+i)(九2+4),b=(nm+2下上匕较a与力的大小;

(2)已知a〉b>0,c<d<0,e>0,求证：

nr

【变式5-1](2023高一・上海•专题练习)给定无理数86(0,1).若正整数a,b,c,d满足石<。<了

(1)试比较三数霹，I，?的大小；

(2)若bc-ad=l,证明下面三个不等式中至少有一个不成立

①I。—蓝卜点;②,一需|2画片;③卜，卜六•

【变式5-2](23-24高一上•河北保定•阶段练习)(1)当),«都为正数且p+q=1时，试比较代数式(px+qy)2

与p%2+qy2的大小.

(2)已知1<%-y<2,3<2%+y<4,求4%-y的取值范围.

【变式5-3]⑵-24高一上•上海普陀・期中)设t是不小于1的实数.若对任意a/e[-1用，总存在c,dG

[一1用，使得(a+c)(b+d)=l,则称这样的t满足“性质1”

•2

⑴分别判断t>2和1<t<万时是否满足“性质1”；

1CQ

(2)先证明:若研之右且a+gI，则并由此证明当楙WtW2时，对任意a,6e[—1用，总存在也由e

[T，H，使得(a+ci)(b+di)21.

(3)求出所有满足“性质1”的实数t

【题型6糖水不等式】

【例6】(22-23高一上•贵州六盘水•期末)十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把

“=，，作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用和“〉”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的

引入对不等式的发展影响深远.如糖水在日常生活中经常见到，可以说大部分人都喝过糖水.如果a克糖水中

含有b克糖(a>b>0),再添加n克糖(n>0)(假设全部溶解)，糖水变甜了，将这一事实表示为不等

式正确的是()

b+nbebb

A-^>aB.—>"

C.^>-D.祟毛

a+nab+nb

【变式6-1](23-24高一上•广东揭阳•阶段练习)已知她糖水中含有ag糖(/?>a>0),若再添加mg糖完

全溶解在其中，则糖水变得更甜了(即糖水中含糖浓度变大).根据这个事实，下列不等式中一定不成立

的有()

aa+m-a+ma+2m

A----------------------------------

*bb+m*b+mb+2m

21

C.(a++m)<(a+m)(b+2m)D.

【变式6-2](22-23高一上•广东东莞•阶段练习)(1)已知b克糖水中含有a克糖(6>a>0),再添加加克糖

(m>0)(假设全部溶解)，糖水变甜了.请将这一事实表示为一个不等式，并证明这个不等式成立.

(2)东东和华华拿着钱去超市买糖，超市里面提供两种糖：4种糖每千克pi元，B种糖每千克02元(两种糖

价格不相等).东东买了相同质量的两种糖，华华买了相同价钱的两种糖.请问两人买到糖的平均价格分别是

多少？谁买的糖的平均价格比较高？请证明你的结论.(物品的平均价格=物品的总价钱+物品的总质量)

【变式6-3］（22-23高一上•江苏苏州•阶段练习）已知她糖水中有ag糖（b>a>0）,往糖水中加入mg糖

（m>0）,（假设全部溶解）糖水更甜了.

（1）请将这个事实表示为一个不等式，并证明这个不等式.

⑵利用（1）的结论证明命题：“若在△川（：中心6、c分别为角/、B、C所对的边长，则上<吾+占”

►过关测试

一、单选题

1.（2024•全国•模拟预测）已知x>y,则下列不等式正确的是（）

A.1—x<1-yB.x2>y2C.|~|>1D.xz>yz

2.（2024•北京丰台•二模）若a,6eR,且a>b,贝i］（）

11

A.<7777B.cfib>ab2

a2+lb2+l

C.a2>ab>b2D.a>>b

3.（2023•湖南岳阳•模拟预测）己知l<a<3,3<6<6,则2的取值范围为（）

A.（|,1）B.（2,6）C.（1,6）D.（|,3）

4.（2024•江西•模拟预测）已知a,b,cER,则下列选项中是“a<6”的一个充分不必要条件的是（）

A.—>^B.ac2Vbe2

ab

C.a3Vb3D.3a<3h

5.（2023•湖南岳阳•模拟预测）已知见he为实数，则下列命题成立的是（）

A.若aVb,则

B.若贝！Ja—c>b—c

C.^a\c\>b\c\,则

D.若a>b,贝4<-

6.（2023•全国•模拟预测）已知实数ah设甲：号〉七,乙:芸贝|（）

A.甲是乙的充分不必要条件B.甲是乙的必要不充分条件

C.甲是乙的充要条件D.甲是乙的既不充分也不必要条件

7.（2023・广东•二模）若。=8+壶,。=遥-泰,©=鱼+亲，则（）

A.a>c>bB.a>b>c

C.c>b>aD.b>c>a

8.（2023•陕西•模拟预测）已知一l<a<5,-3<6<1,则以下错误的是（）

A.-15<ab<5B.-4<a+b<6

Sa

C.-2Vu—bV8D.——<g<5

二、多选题

9.（2024•福建龙岩•一模）下列命题正确的是（）

A.若a<b<0,则标>ab>炉

B.若aVbVO,则ac2Vbe2

C.若0<a<b<c,则?〉Z

D.若OVa<b,贝!J2a+?>2V^F

10.（2023•河南洛阳•模拟预测）设实数a1满足14ab<4,4W9,则（）

A.2<|a|<6B.1<|Z?|<3C.4<a36<144D.1<ab3<4

11.（2024•广西•二模）已知实数a,b,c满足a〉b>c,且a+b+c=O,则下列结论中正确的是（）

A.a+h>0B.ac>bc

T（）（力—）

C.—a—Tb>b—~c-D.'a—c八c7<4

三、填空题

12.（2023•北京房山•一模）能够说明“设a,6,c是任意实数，若a<6<c,则ac<be”是假命题的一组整数a,瓦c

的值依次为.

13.（2024•河北石家庄•二模）若实数久,y,z20,且x+y+z=4,2x-y+z=5,则M=4久+3y+5z的取值

范围是

14.（2024•河南•模拟预测）以maxM表示数集M中最大的数.设0<aVb<c<l,已知bN2G或

a+b<l,则max{b—Q,c—b,l—c}的最小值为.

四、解答题

15.（2024高一•全国・专题练习）已知-3vq<2,-4<6<-3,试求2〃+36与的取值范围.

16.（23-24高一・全国・专题练习）试比较下列组式子的大小:

（1）-%+1—«与正―1,其中％,1；

（2）用=捻+&与'=白+捻，其中a>0,b>0；

17.(2024・全国•模拟预测)已知a,b,c为三角形的三边.

⑴求证：y/a2+b2+ab+ylb2+c2+be>2c；

(2)若c2b2a,求证：Va3+b3+Vc3+a3<a+b+c.

18.（23-24高三上・安徽亳州•期中）已知b克糖水中含有a克糖（b>a>0）,再添加根克糖（爪>0）（假设全

部溶解），糖水变甜了.

（1）请将这一事实表示为一个不等式，并证明这个不等式成立；

（2）在锐角△ABC中，根据（1）中的结论，证明：忌+3+£<2.

19.（2023・吉林长春•模拟预测）港珠澳大桥通车后，经常往来于珠港澳三地的刘先生采用自驾出行.某次出

行，刘先生全程需要加两次油，由于燃油的价格有升也有降，现刘先生有两种加油方案，第一种方案：每

次均加30升的燃油；第二种方案，每次加200元的燃油.

（1）若第一次加油时燃油的价格为5元/升，第二次加油时燃油的价格为4元/升，请计算出每种加油方案的平

均价格（平均价格=总价格/总升数）；

（2）分别用加，〃（小不九）表示刘先生先后两次加油时燃油的价格，请计算出每种加油方案的平均价格，选

择哪种加油方案比较经济划算？并给出证明.

专题L3不等关系与不等式性质【六大题型】

【新高考专用】

►热点题型归纳

【题型1不等式性质的应用】......................................................................2

【题型2比较数(式)的大小】....................................................................3

【题型3证明不等式】.............................................................................5

【题型4利用不等式的性质求目标式的取值范围】..................................................7

【题型5不等式的综合问题】......................................................................9

【题型6糖水不等式】............................................................................12

►考情分析

1、不等关系与不等式性质

考点要求真题统计考情分析

高考对不等式的性质的考查比较稳定，

一般以选择题、填空题为主，主要考查

不等式的求解；单独考查的题目虽然不

(1)等式性质

多，但不等式的相关知识往往可以渗透

(2)比较两个数的大小

2022年II卷：第12题，5分到高考的各个知识领域，作为解题工具

(3)理解不等式的性质，并

与函数、向量、解析几何、数列等知识

能简单应用

相结合，在知识的交汇处命题，是进行

不等式变形、证明以及解不等式的依据，

是高考考查的一个重点内容.

►知识梳理

【知识点1等式性质与不等式性质】

1.等式的基本性质

性质1如果a=b,那么b=a；

性质2如果a=b,b=c,刃口么a=c

性质3如果a=b,那么a±c=6±c；

性质4如果a=b,那么etc=be；

zab

性质5如果a=b,存0,那么一=一.

cc

2.不等式的性质

(1)如果a>b,那么b<a；如果b<a,那么Q>6.即a>b^b<a.

(2)如果a>6,b>c,那么a>c.即a>6,b>c=>a>c.

(3)如果a>b,那么a+c>b+c.

(4)如果a>b,c>0,那么ac>bc；如果a>b,c<0,那么ac<bc.

(5)如果a>b,c>d,那么a-\-c>b-\-d.

(6)如果a>b>0,c>d>0,那么ac>bd.

(7)如果a>6>0,那么a">6"(〃eN,论2).

3.比较大小的基本方法

方法

关系作差法作商法

与0比较与1比较

a>ba-b>0(>l(q,b>0)或楙<1(6Z,b<0)

a=ba-b=0£=1(…)

a<ba-b=0q<1(〃，b〉0)或g>1(Q,b<0)

bb

【方法技巧与总结】

1.应用不等式的基本性质，不能忽视其性质成立的条件，特别提醒的是在解决有关不等式的判断题时，

有时可用特殊值验证法，以提高解题的效率.

2.比较数（式）的大小常用的方法有作差法、作商法.、直接应用不等式的性质、基本不等式、利用函

数的单调性，需要灵活运用方法求解.

►举一反三

【题型1不等式性质的应用】

【例1】（2024•上海杨浦・二模）已知实数a,b,c,d满足：a>b>Q>c>d,则下列不等式一定正确的

是（）

A.a+d>b+cB.ad>bcC.a+c>b+dD.ac>bd

【解题思路】举例说明判断ABD；利用不等式的性质推理判断C.

【解答过程】对于ABD,取a=2力=l,c=-2,d=-4,满足a>b>0>c>d,

显然a+d=-2<=6+c,ad=-8<-2=be,ac=-4=bd,ABD错误；

对于C,a>b>0>c>d,贝|a+c>b+d,C正确.

故选：C.

【变式1-1]（2024•全国•模拟预测）"x<0<y”是“（x—、）2>%2+丫2，，的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【解题思路】由不等式的性质结合充分不必要的条件即可得解.

【解答过程】若（X—父）2=%2+y2—2孙>%2+丫2,则无y<0,所以y<0<久或者尤<0<y,

所以"X<0<y"是“（久-y）2>X2+y2”的充分不必要条件.

故选：A.

【变式1-2］（2023•上海杨浦•一模）已知实数a,6满足。>6,则下列不等式恒成立的是（）

A.a2>b2B.a3>b3C.|a|>\b\D.a_1>b-r

【解题思路】根据函数的性质判断即可.

【解答过程】因为/（%）=//（%）=因是定义在R上的偶函数，

所以当实数a力满足a>b时，。2>62,同>网不一定成立，故A,C不符合题意；

因为久久）=炉是定义在R上单调递增的奇函数，

所以当实数a力满足a>b时，则。3>/，故B符合题意；

因为/'（x）=在（一8,0）,（0,4-8）上单调递减，

所以当实数a力满足a>b时，aT>bT不一定成立，不符合题意.

故选：B.

【变式1-3］（2023•贵州遵义•模拟预测）已知a力占均为实数，下列不等式恒成立的是（）

A.若a<6,贝1|。2024<。2024

°#,,-,1,20242024

B.若a〈b,则丁（工

C.若a%2024vb%2024,则q<力

D.若aVb,贝!Ja%2024v6工2024

【解题思路】结合特殊值与不等式的性质可求.

【解答过程】A,当。=一2力=1时，（—2）2024>12024,人错误;

B,当a=0时，竽没意义，B错误；

C,由a%2024vb%2024,知工2024>。，所以C正确；

D,当久=0时，ax2024<b/024不成立，D错误.

故选：C.

【题型2比较数（式）的大小】

【例2】（2023・湖南•模拟预测）已知正实数x,y满足久<y,设a=%e'+y,b=yey+x,c=yex+x（其

中e为自然对数：e、2.71828…)，则。，b,c的大小关系是()

A.a<c<bB.c<a<bC.c<b<aD.b<c<a

【解题思路】利用作差比较法，结合指数函数的单调性可得答案.

【解答过程】因为a=+y,b=yey+x,c=yex+%,所以b-c=丫仁丫一眇)

又y>%>0,e>1,所以e'Ae*,所以b>c；

又c—a=(%—y)+(y—%)ex=(x—y)(l—ex),

又y>%>0,ex>1,所以c>a.

综上，a<c<b.

故选：A.

【变式2-1](2023•江西•模拟预测)已知log5Q>log5仇则下列不等式一定成立的是()

A.y[a<VbB.log5(a—h)>0

C.5a~b>1D.ac>be

【解题思路】由log5a>log5b可得Q>b>0,然后对选项一一分析即可得出答案.

【解答过程】由log5a>log5b可知匕>0，所以VH>VF，所以A错误；

因为但无法判定a-b与1的大小，所以B错误；

当c40时，ac<be,故D错误；

因为Q—b>0,所以SaiASOul,故C正确.

故选：C.

【变式2-2](2023•北京东城•一模)已知％<-1,那么在下列不等式中，不成立的是

r1

A./-1>0B.%+-<-2C.sin久一久>0D,cos%+%>0

【解题思路】利用作差法可判断A、B选项的正误，利用正弦、余弦值的有界性可判断C、D选项的正误.

综合可得出结论.

【解答过程】:无<一1,则/一l=(x—i)(x+l)>0,x+}+2=/+?+i=fe^<0,

又vsin%、cosxG[—1,1],•••sinx—x>0,cos%+%<0.

可得：ABC成立，D不成立.

故选：D.

【变式2-3](2024•福建泉州•模拟预测)若c>b>a>0,贝!!()

A.0bbe>E心B.21nb<Ina+Inc

cc

c.a-->b—^D.logQc>loghc

【解题思路】利用不等式的基本性质，并对选项化简，转化，判断对错即可.

【解答过程】解：选项A中，由于黑=aA%c-b=1,所以a%c>a%b成立；故A正确;

选项B中，2\nb=Inh2,Ina+Inc=Inac,房与ac大小不能确定，故B错误；

选项C中，由于。一；一（》一0=+京）<0,故C错误；

选项D中，令c=l,则logaC=logbC=0,故。错误.

故选：A.

【题型3证明不等式】

【例3】（2024高三・全国・专题练习）已知a力为正实数.求证：^+^>a+b.

【解题思路】根据题意，化简得到竽+!-（a+b）=色甯地，结合不等式的性质，即可得证.

【解答过程】证明：因为.+99+。）=入提嗝加=砥=(a-b)2(a+b)

7-ab

又因为a>°力>°，所以当且仅当a=b时等号成立,

所以］+">a+b.

ba

【变式3-1］（22-23高一上•全国•课后作业）证明下列不等式:

⑴已知a>b,e>f,c>0,求证/—ac<e—be

(2)已知a>b>0,c<d<0,求证：由(生.

【解题思路】(1)(2)利用不等式的基本性质即可证明.

【解答过程】(1)证明：-.-a>b,c>0,

・•・ac>be,・•・—ac<—be,

又因为即/<e,

所以/—ac<e—bc.

(2)证明：vc<d<0,7<-<0,.,・一；>一工>0；

acac

「in

又a>b>0,abab

【变式3-2］（2023高三・全国•专题练习）证明命题：“若在△28C中a、b、c分别为角力、B、C所对的边长,

c

则K士+上,

1+a1+b

【解题思路】由作差法证明士<„)=言高=—+哀缶，再由事<士，焉<白证明M<

捻+备

cc+mc(d+m)—d(c+m)m(c—d)

【解答过程】证明:取1+c=

d,a+b—c=m,dd+md(d+m)d(d+m)

因为d>c>0,m>0,所以罂々<0，即：<等.

2，,zdQa+m)1ad+m

gr-picc+(a+b-c)_a+b_aa

所11+c<l+c+(a+b—c')~~1+a+b~1+a+b1+a+b

T7甲、/。abb士卜aaab

乂口为1+a+b<l+a^+a+b<1+b9敌1+a+b'1+a+b<1+a+1+b'

所以£<台+高

【变式3-3］(22-23高二下•湖北省直辖县级单位•期末)若a>b>0,c<d<0,网>|c|

(1)求证：b+c>0；

rb+ca+d

⑵求证：(a—c)2<(/>_d)z；

(3)在(2)中的不等式中，能否找到一个代数式，满足占〈所求式〈篇7?若能，请直接写出该代

数式；若不能，请说明理由.

【解题思路】(1)根据瓦C的符号去绝对值可证不等式成立;

(2)根据同向不等式相加和同向同正的不等式可相乘的性质可证明不等式成立;

(3)在。<五$<不$的两边同时乘以b+c,得小枭<怖枭，在。+£/>6+。>0的两边同时乘以

1,日a+db+c二匚［、［"cb+ca+d

(b—d)2,得(b—d)2>(b—d)2,所以(a-c)2<(b—d)2<(b-d)2・

【解答过程】(1)因为网>|c|,且力>0,CV0,所以b>-c,所以b+c>0.

(2)因为cvd<o,所以一c>-d>0.又因为a>b>0,所以由同向不等式的相加性可将以上两式相加

得a—c>b—d>0.所以(a—c)2>(b—d)2>0.

ii

所以°V(a-c)2<(b—d)2，

因为a>bfd>c,所以由同向不等式的相加性可将以上两式相加得a+d>b+c.

所以a+d>h+c>0,

所以由两边都是正数的同向不等式的相乘可得急〈机热.

11

(3)因为b+c>°，0<(a.c)2V(b-d)2,

ER”b+cb+c

四以(a-c)2<(b—d/，

1

因为OVb+cVa+d,>仇

g”"ca+d

所以(b—d)2<(b—d)2,

trui、i"c/b+c/a+d

折以(a-c)2<(b—d)2<(b-d)2-

所以在(2)中的不等式中，能找到一个代数式彘满足题意.

【题型4利用不等式的性质求目标式的取值范围】

【例4】(2023•江苏南通•模拟预测)已知a—be[0,l],a+be[2,4],则4a—2b的取值范围是()

A.[1,5]B.[2,7]C.[1,6]D.[0,9]

【解题思路】利用方程组以及不等式的性质计算求解.

【解答过程】设4a—2b=m(a—h)4-n(a+b)=(m+n)a—(m—n)b,

所以4学二:解得"或,

所以4a-2b=3(a-b)+(a+b),

又a—bG[0,1],a+bE[2,4],

所以3(a—b)e[0,3],4a-2be[2,7],故A,C,D错误.

故选：B.

【变式4-1](23-24高一上•山东荷泽•阶段练习)已知一lWx+yWl,l<x-y<3,贝归x—2y的取值范围

是()

A.2<3x-2y<8B.3<3x-2y<8

C.2<3x-2y<7D.5<3x-2y<10

【解题思路】

设3x-2y=m(x+y)-n(x-y)=(m-n)x+(m+n)y,利用待定系数法求得利用不等式的性质即可求

3x-2y的取值范围.

【解答过程】设3x—2y=m(x+y)—n(x—y)=(m—n)x+(m+n)y,

■_i

所以｛/%建？2,解得1：11M即可得3x-2y=*x+y)+|(x—y),

因为一1<%+y<1,1<x-y<3,

所以243x-2y=1(x+y)+|(x-y)<8,

故选：A.

【变式4-2](23-24高三上•湖北•阶段练习)已知Vc且a+2b+4c=0,贝心的取值范围是()

a

A-(―8,—。B.C(味)D.Q，l)

【解题思路】根据题目条件得到a<0,c>0,由。=一%-,和匕<©得至上>一±由a<b得至值<1,从而得

42a6a

到答案.

【解答过程】因为a+2b+4c=0,a<b<c,所以。<0,c>0,

由a+2b+4c=0得到c=—[b,则—17?>0,解得(>一g

由b<c得b<—Ja—Jb,整理得;a<一9，解得g

4242a6

由<1<b得g<1,

综上，-

故选：B.

【变式4-3](2023•广西南宁•模拟预测)已知函数/(久)=/+6x+c,0<Xt<1<X2<2,f(X1)=/(x2)

=0,贝必+2c的取值范围为()

A.(—2,—1)B.(—2,1)C.(—1,1)D.(—1,2)

【解题思路】先利用一元二次方程根的分布求得关于实数b,c的不等式组，再利用不等式的性质即可求得

b+2c的取值范围

【解答过程】由函数f(x)=/+bx+C中，/'(X1)=/(刀2)=0,0<X1<1<X2<2,

可知一元二次方程/+bx+c=0有二相异根，分别位于区间(0,1)和(1,2)内

f/(0)>0(c>0rc>0

则"⑴<0,即1+b+c<0,即｛b+c<-1

1/(2)>0(4+2b+c>0(2b+0-4

由~+c<-1可得[3(b+c)<_3

出l26+c>-4'J^l-(2b+c)<4,

贝l|3(b+c)—(2b+c)<4—3,即6+2c<l

由“北!一钎可得

则(2b+c)+3c>-4,贝必+2c>-2

综上，b+2c的取值范围为(—2,1)

故选：B.

【题型5不等式的综合问题】

【例5】(23-24高一上•上海浦东新•阶段练习)解决下列问题：

(1)已知?71,71eR,设a=(机2+1)(n2+4),b=(77172+2)2.比较a与6的大小；

(2)已知a〉b>0,c<d<0,e>0,求证：/^<黄]

【解题思路】(1)利用作差法进行求解即可；

(2)利用作差法，结合不等式的性质进行证明即可

【解答过程】(1)a—b—(m2+l)(n2+4)—(mn+2)2=m2n2+4m2+n2+4—m2n2—4mn—4=4m2+n2

—4mn=(2m—n)2>0=>a—fa>0=>a>b；

eee(b—d)—e(a—c)e(b—d—a+c')e[(b—d)—(a—c)]

⑵=(a-c)(b-d)=(a-c)(fo-d)=(a-c)(b-d)J

因为CVdVO,所以一c>-d>0,

因为a>b>0,所以a-c>b-d>O=(a-c)-(b-d)>0,

因为e>°,所以E一言=气常若詈<0=三<言・

nr

【变式5-1](2023高一・上海•专题练习)给定无理数8e(0,1).若正整数a,b,c,d满足石<。<了

(1)试比较三数笥，I，(的大小；

(2)若bc-ad=l,证明下面三个不等式中至少有一个不成立

①卜-42点;②,一寤R菽诉;③康

【解题思路】(1)作差法比较大小；

(2)利用反证法，因，＜需V5,丸＜3芍,故可分需与。〈鬻证明•

【解答过程】(1)由题意可知，宅,所以6c＞ad,

LL—a+cabe—adCa+ca

所以而一了=而而＞°，所以研＞『

+

a+ccad—ber-r(NIACC

而一2=际应＜°，所以由

LLt、i。a+cc

所以石〈国〈疝

⑵证明：由⑴衣/＜4又三(。芍

升a+c八c

右由

假设①。-岸点；②。-需2侦1片;③源2土都成立，

①③之和可得：合*♦-/卷+高④，

②③之和可得：及看=?一需N焉+京丽⑤，

④化简得0>b2+d2-V5bd,⑤化简得0>(2-V5)d2+(2-通)6d+b2,

2

由④⑤之和可得：022[(3-遮〃2+2(1—同)加+2的=[(而—1)即-4(V5-l)M+(2h)2,

2J7

即02[(遮一l)d-26],则石=近二，

又a,b,c,d为正整数，所以(是有理数，故矛盾；假设不成立

若。(露且be-ad=l,同理可证下列三个不等式中至少有一个不成立；

①*2卷;②需-6N篇示③毒

所以三个不等式中至少有一个不成立.

【变式5-2](23-24高一上•河北保定•阶段练习)⑴当p,q都为正数且p+q=l时，试比较代数式(px+qy)2

与p%2+qy2的大小.

(2)已知14%-y<2,3<2]+y<4,求4%-y的取值范围.

【解题思路】(1)利用作差比较法比较大小即可；

(2)先利用％-y,2%+y表示出4%-y,结合久一y,2%+y的范围可得答案.

【解答过程】(1)(p%+qy)2-(px2+qy2)=p(p-l)x2+q(q-l)/+2pq%y.

因为p+q=l,所以p-l=-q,q-1=-p,

2

所以(p%+qy)2-(p%2+qy2)=_pq(12+y2_2xy)=-pq