期中模拟测试卷01-2021-2022学年高二数学上学期期中考试好题汇编(人教A版2019选择性)

2021–2022学年上学期期中模拟测试卷01高二数学（考试时间：120分钟试卷满分：150分）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题绐岀的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．若抛物线x2=8y上一点P到焦点的距离为8，则点P的纵坐标为（）A．6 B． C．7 D．【答案】A【分析】设点，根据抛物线方程，求得其准线方程，再利用抛物线定义求解.【详解】设点，因为抛物线方程为x2=8y，所以其准线方程为，又因为抛物线上点P到焦点的距离为8，由抛物线的定义得：，交点，所以点P的纵坐标为6，故选：A2．在三棱柱中，为中点，若，，，则下列向量中与相等的是（）A． B．C． D．【答案】A【分析】根据向量的运算法则可得化简即可．【详解】．故选：A3．设圆的一条切线与x轴､y轴分别交于点A､B，则的最小值为（）A．4 B． C．6 D．8【答案】A【分析】设切线方程为，由圆心到直线的距离等于半径和基本不等式，可求得答案.【详解】解：设切线方程为，即，由圆心到直线的距离等于半径得，∴，令，则，，故t的最小值为4.由题意知，故选：A.4．己知椭圆的左、右焦点分别为，，点M是椭圆上一点，点A是线段上一点，且，，则该椭圆的离心率为（）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用余弦定理，结合三角形的面积转化求解椭圆的几何量，然后求解离心率即可.【详解】设，则由余弦定理得所以因为，所以整理得即整理得所以故选：B.5．已知为坐标原点，设、分别是双曲线的左、右焦点，为双曲线上任一点，过点作的平分线的垂线，垂足为，则（）A． B． C． D．【答案】B【分析】双曲线右支上取点，延长、，交于点，根据双曲线的定义及中位线的性质即可求.【详解】不妨在双曲线右支上取点，延长、，交于点，由角平分线性质知：，根据双曲线的定义，，从而，在中，为其中位线，故.故选：B.6．给出下列命题：①若可以作为空间的一个基底，与共线，，则也可作为空间的一个基底；②已知向量，则，与任何向量都不能构成空间的一个基底；③，，，是空间四点，若，，，不能构成空间的一个基底，那么，，，共面；④已知向量组是空间的一个基底，若，则也是空间的一个基底.其中正确命题的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【分析】直接利用向量的基底的定义，向量的共线，共面向量的充要条件判定、、、的结果．【详解】解：对于选项：若，，可以作为空间的一个基底，与共线，，则，，也可以作为空间的一个基底，故A是真命题．对于选项：已知向量，则，与任何向量都不能构成空间的一个基底，故B是真命题．对于选项：已知，，，是空间中的四点，若，，不能构成空间的一个基底，则，，，四点共面，故C是真命题．对于选项：已知，，是空间的一个基底，若，则，，也是空间的一个基底，故D是真命题．故选：D．7．已知O为坐标原点，＝(1,2,3)，＝(2,1,2)，＝(1,1,2)，点Q在直线OP上运动，则当取得最小值时，点Q的坐标为（）A． B． C． D．【答案】C【分析】设，用表示出，求得的表达式，结合二次函数的性质求得当时，取得最小值，从而求得点的坐标.【详解】设，则＝－＝－λ＝(1－λ，2－λ，3－2λ)，＝－＝－λ＝(2－λ，1－λ，2－2λ)，所以＝(1－λ，2－λ，3－2λ)·(2－λ，1－λ，2－2λ)＝2(3λ2－8λ＋5)＝.所以当λ＝时，取得最小值，此时＝＝，即点Q的坐标为.故选：C8．已知点是椭圆的上顶点，分别是椭圆左右焦点，直线将三角形分割为面积相等两部分，则的取值范围是（）A． B．C． D．【答案】B【分析】由题意，,，，先求出直线y＝ax+b（a＞0）与x轴的交点为，由，可得点M在射线上．再求出直线y＝ax+b（a＞0）和的交点N的坐标，分三种情况讨论：①若点M和点重合，求得；②若点M在点O和点之间，求得；③若点M在点的左侧，求得．求并集即可得b的取值范围．【详解】解：因为点是椭圆的上顶点，分别是椭圆左右焦点，所以，，从而有，所以,，，由题意，三角形的面积为1，设直线y＝ax+b（a＞0）与x轴的交点为，由直线y＝ax+b（a＞0）将三角形分割为面积相等的两部分，可得，所以，故点M在射线上．设直线y＝ax+b和的交点为N，则由可得点N的坐标为．①若点M和点重合，如图：则点N为线段的中点，故N，把、N两点的坐标代入直线y＝ax+b，求得a＝b．②若点M在点O和点之间，如图：此时，点N在点和点之间，由题意可得三角形的面积等于，即，即，可得a，求得，故有．③若点M在点的左侧，则，由点M的横坐标，求得b＞a．设直线y＝ax+b和的交点为P，则由求得点P的坐标为，此时，由题意可得，三角形APN的面积等于，即，即，化简可得．由于此时b＞a＞0，所以．两边开方可得，所以，化简可得，故有．综上，b的取值范围应是.故选：B.【点睛】关键点点睛：本题的解题关键是，由题意分析得直线y＝ax+b（a＞0）与x轴的交点M在射线上，然后分三种情况进行讨论：①若点M和点重合；②若点M在点O和点之间；③若点M在点的左侧．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9．如图所示，正方体中，，点在侧面（包括边界）上运动，并且总是保持，则以下四个结论正确的是（）A． B．点必在线段上C． D．平面【答案】BD【分析】对于A，可求；对于B,C,D，可建立空间直角坐标系，利用空间向量判断即可.【详解】对于A，因为点在平面，平面∥平面，所以点到平面即为到平面的距离，即为正方体棱长，所以，A错误；对于B，以为坐标原点可建立如下图所示的空间直角坐标系：则所以,因为，所以，所以，即，所以,所以，即三点共线，所以点必在线段上，B正确；对于C，因为，所以，所以不成立，C错误；对于D，因为,所以,设平面的法向量为，则，令，则，所以，所以，所以，所以∥平面，D正确，故选：BD10．以下四个命题表述正确的是（）A．圆上有且仅有个点到直线的距离都等于B．曲线与曲线，恰有四条公切线，则实数的取值范围为C．已知圆，为直线上一动点，过点向圆引一条切线，其中为切点，则的最小值为D．已知圆，点为直线上一动点，过点向圆引两条切线，，，为切点，则直线经过点【答案】ACD【分析】选项A根据圆心到直线的距离与半径的关系来确定所求点的个数；选项B根据两曲线有四条公切线，确定曲线类型为圆，再由两圆外离列不等式求解；选项C利用圆心与切点的连线垂直切线列等式，转化为求圆心到直线上的点的距离的最小值问题；选项D利用切线的性质得切点弦方程，再根据切点弦方程求定点.【详解】选项A：圆的圆心为，半径.圆心到直线的距离，所以圆上有且仅有个点到直线的距离都等于故选项A正确；选项B：方程可化为，故曲线表示圆心为，半径的圆.方程可化为因为圆与曲线有四条公切线，所以曲线也为圆，且圆心为，半径()同时两圆的位置关系为外离，有，即，解得.故选项B错误；选项C：圆的圆心，半径，圆心到直线的距离，所以直线与圆相离.由切线的性质知，为直角三角形，，当且仅当与直线垂直时等号成立，所以的最小值为.故选项C正确；选项D：设点，因为点在直线上，所以，，由圆的切线性质知，直线的方程为，，整理得，解方程得，.所以直线过定点.故选项D正确.故选：ACD.11．已知中心在原点，坐标轴为对称轴的双曲线过点，顶点分别为，，焦点分别为，，一条渐近线方程为，则下列说法正确的是（）A．该双曲线的方程为或B．若点为双曲线上任意一点（顶点除外），则C．若直线过点且与双曲线只有一个公共点，则这样的直线只有2条D．若点为双曲线右支上的任意一点（顶点除外），则双曲线在点处的切线平分【答案】BD【分析】根据给定条件求出双曲线C的方程，再逐项探讨各选项并判断作答.【详解】依题意，设双曲线，因双曲线过点，则，于是有双曲线的方程为，其渐近线方程为，A不正确；由双曲线对称性知，不妨设，，令，，B正确；显然直线与双曲线相切，过点平行于直线的直线及过点平行于直线的直线与双曲线都各有一个公共点，即这样的直线至少有3条，C不正确；令双曲线上点，显然切线PT的斜率存在，设其方程为，由消去y得：，，整理得，而，即，，则有，解得，切线PT与x轴交于点，则，于是得，即，不妨设点，，，则，，，又，，则是的内角平分线，即切线平分，D正确.故选：BD12．已知直线过抛物线的焦点，且直线与抛物线交于两点，过两点分别作抛物线的切线，两切线交于点，设，，.则下列选项正确的是（）A．B．以线段为直径的圆与直线相离C．当时，D．面积的取值范围为【答案】BCD【分析】求出抛物线的焦点及准线，设直线l的方程为，与抛物线方程联立，利用韦达定理，计算可判断A；利用定义及直线与圆的位置可判断B；由向量共线求出弦长判断C；求出点G的坐标及面积的函数式即可判断作答.【详解】抛物线的焦点，准线方程为，设直线l的方程为，由消去y得：，于是得，，A不正确；以线段AB为直线的圆的圆心，则，点到直线距离，由抛物线定义得，显然，即以线段为直径的圆与直线相离，B正确；当时，有，即，而，于是得，，C正确；由求导得，于是得抛物线C在A处切线方程为：，即，同理，抛物线C在B处切线方程为：，联立两切线方程解得，，点到直线l：的距离，于是得面积，当且仅当时取“=”，面积的取值范围为，D正确.故选：BCD三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共计20分.13．设，，向量，，，且，，则____________．【答案】【分析】根据空间向量平行和垂直的坐标表示求出和的值，进而可得的坐标，再由模长的坐标表示计算模长即可求解.【详解】因为，，，且，，所以，，可得，，所以，，，所以，故答案为：.14．设有一组圆：．下列四个命题其中真命题的序号是____①存在一条定直线与所有的圆均相切；②存在一条定直线与所有的圆均相交；③存在一条定直线与所有的圆均不相交；④所有的圆均不经过原点．【答案】②④【分析】由已知得圆心，由两圆的位置关系、圆心距、两圆的半径之差，即可判断出真命题个数．【详解】根据题意得：圆心坐标为，圆心在直线上，故存在直线与所有圆都相交，选项②正确；考虑两圆的位置关系：圆：圆心，半径为，圆：圆心，即，半径为，两圆的圆心距，两圆的半径之差，任取或时，（），含于之中，选项①错误；若取无穷大，则可以认为所有直线都与圆相交，选项③错误，将带入圆的方程,则有，即（），因为左边为奇数，右边为偶数，故不存在使上式成立，即所有圆不过原点，选项④正确．故答案为②④.【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，同时考查学生的逻辑思维能力，属于中档题.15．已知抛物线：的焦点恰好是双曲线的右焦点，且与的交点的连线过点，设双曲线的渐近线的斜率为，则的值为___________.【答案】【分析】设与交点为.则轴，由焦点重合可得，求得，可得，平方后化简，结合换元法可得的值，进而可得答案.【详解】设与交点为.则轴，∴，∴，时可得，由得∴，∴∴∴令∴∴∴∴故答案为：.【点睛】方法点睛：圆锥曲线中“共焦点”问题，能考查两种曲线的性质，是高考命题的热点，此类题目综合性较强，解答过程一定注意应用曲线的定义，同时要根据两种曲线的性质，挖掘隐含条件.16．一直线过点且与轴、轴的正半轴分别相交于、两点，为坐标原点．则的最大值为__．【答案】【分析】设，则，，利用三角恒等变换化简得出，利用基本不等式可求得结果.【详解】设，则，，

则，，，所以，，当且仅当时，等号成立，因此，的最大值为.故答案为：.四、解答题：本题共6小题，共计70分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）已知平面内B、C是两个定点，.①的周长为18；②直线AB、AC的斜率分别为、，且.请从上面条件中任选一个作答，以BC中点为坐标原点，以BC所在直线为x轴，求出三角形ABC顶点A的轨迹方程.【答案】或【分析】（1）结合椭圆的定义来求轨迹方程；（2）利用建立关于点的坐标的方程求出A轨迹方程.【详解】（1）根据椭圆定义，平面上到两个定点的距离之和为定值,且定值大于定长的点的集合轨迹为椭圆，，以及，则有那么，且A,B,C三点构成三角形，那么A点的轨迹方程为（2）设点，B坐标为，C坐标为，则有，，且，那么，化简可得，，且A,B,C三点构成三角形，那么A点的轨迹方程为.18．（12分）如图所示，四棱锥P﹣ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，PA＝PD，四边形ABCD为等腰梯形，BC∥AD，BC＝CDAD＝1，E为PA的中点．（1）求证：EB∥平面PCD；（2）求平面PAD与平面PCD所成的二面角θ的正弦值．【答案】（1）证明见解析；（2）．【分析】（1）证明：取AD的中点O，连接EO，OB，证平面EBO平面PCD后得线面平行；（2）取BC的中点M，连接，以为轴建立空间直角坐标系，用空间向量法求二面角．【详解】解：（1）证明：取AD的中点O，连接EO，OB，∵E为PA的中点，O为AD的中点，∴OEPD，又∵BCAD，，∴四边形BCDO为平行四边形，∴BOCD，∵OEPD，BOCD，平面PCD，平面PCD，所以平面PCD，同理平面PCD，又OE和BO是平面EBO的两条交线，∴平面EBO平面PCD，又∵BE在平面EBO中，∴BE平面PCD；（2）连接，，则，又平面平面，又平面平面，所以平面，取BC的中点M，连接，是等腰梯形，则，建立如图所示的空间直角坐标系，则，则平面PAD的一个法向量为，∴，设平面PCD的一个法向量为，则，不妨令x＝1，则，则，∴，则．19．（12分）已知线段的端点的坐标是，端点在圆上运动，的中点的轨迹为曲线，圆心为的圆经过点．（1）求曲线的方程，并判断曲线与圆的位置关系；（2）过轴上一点任作一直线（不与轴重合）与曲线相交于、两点，连接，，恒有，求点坐标．【答案】（1），相离；（2）.【分析】（1）设出的坐标，利用是线段的中点，确定坐标之间的关系，根据点在圆上运动，可得线段的中点的轨迹，即曲线的方程，再利用题设写出圆的方程，利用两圆圆心距与半径和比较大小确定曲线与圆的位置关系；（2）先由图像分析，过点的直线与曲线相交于两点，要满足，可知点必在圆内，设点，过点的直线分类讨论两种情况：①当直线的斜率不存在时，显然有；②当直线的斜率存在时，设直线的方程，由题意知，要，即，联立方程得：，化简得，再利用韦达定理代入，化简整理得，从而得到点点坐标为【详解】（1）设点坐标为，，是线段的中点，且，由中点坐标公式得：，即，又点在圆上运动，，化简得所以曲线的方程为：又圆的圆心为，设圆方程：又圆经过点，代入圆方程得，所以圆方程：两圆的圆心距所以曲线与圆的位置关系是相离.（2）如图所示，若点在圆外，直线与曲线相交的两点在点的同侧，有，所以点必在圆内.设点，过点的直线分类讨论斜率存在和不存在两种情况：当直线的斜率不存在时，由圆的对称性知必有；当直线的斜率存在时，设直线的方程，联立方程得：，化简整理得设，则，,由题意知，，则直线MB，SB的倾斜角互补，即则将代入上式可得所以，化简整理得即，解得，所以点坐标为.【点睛】本题考查求圆的轨迹方程，圆与圆的位置关系，圆的几何性质，直线与圆相交的题型，考查学生的转化思想与运算能力，属于难题.20．（12分）如图1，在边长为2的正方形ABCD中，P为CD中点，分别将△PAD,△PBC沿PA,PB所在直线折叠，使点C与点D重合于点O，如图2．在三棱锥POAB中，E为PB中点．(Ⅰ)求证：PO⊥AB;(II）求直线BP与平面POA所成角的正弦值；(Ⅲ）求二面角PAOE的大小．

【答案】（Ⅰ）见解析;（Ⅱ）.（Ⅲ）.【分析】第一问利用几何体的特征可以得出相应的线线垂直，之后利用线面垂直的判定定理和性质得出所要的结果；第二问建立空间直角坐标系，利用空间向量求得线面角的正弦值；第三问利用面的法向量所成角的余弦值求得角的大小，最后确定出二面角的大小.【详解】（Ⅰ）在正方形中，为中点，,，所以在三棱锥中，，.因为，所以平面.因为平面,所以.

（Ⅱ）取AB中点F，连接OF，取AO中点M，连接BM.

过点O作AB的平行线OG.因为PO⊥平面OAB，所以PO⊥OF，PO⊥OG.因为OA＝OB，F为AB的中点，所以OF⊥AB.所以OF⊥OG.如图所示，建立空间直角坐标系O－xyz.A，B，P，M(，，0)．因为BO＝BA，M为OA的中点，所以BM⊥OA.因为PO⊥平面OAB，PO⊂平面POA，所以平面POA⊥平面OAB.因为平面POA∩平面OAB＝OA，BM⊂平面OAB，所以BM⊥平面POA.因为＝(，－，0)．所以平面POA的法向量m＝.＝(1，－，1)．设直线BP与平面POA所成角为α，则.所以直线BP与平面POA所成角的正弦值为.（Ⅲ）由(Ⅱ)知，，.设平面的法向量为，则有即令，则，.即.所以.由题知二面角P－AO－E为锐角，所以它的大小为.21．（12分）椭圆的右顶点为A，上顶点为B，O为坐标原点，直线的斜率为，的面积为1．（1）求椭圆的标准方程；（2）椭圆上有两点M，N（异于椭圆顶点，