福建省莆田某中学2025届高三毕业班高考模拟考试数学试题（含答案解析）

福建省莆田第十中学2025届高三毕业班高考模拟考试数学试题

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

1.若随机变量X服从正态分布N(3,4),P(XW5)=0.55,则P(X<1)=()

A.0.45B.0.55C.0.1D.0.9

2.已知A=<0,若2eA,则相的取值范围是()

[\mx—\

A.——<m<—B.——<m<—C.m<——或D.m<——或加2—

22222222

3.若抛物线y2=2,nx的准线经过双曲线V一y=2的右焦点，则加的值为()

A.4B.-2C.2D.-4

4.已知四棱锥P—ABCD的各顶点在同一球面上，^AD=2AB=2BC=2CD=4,"AB为

正三角形，且面从6_1_面488,则该球的表面积为()

1352

A.—兀B.16兀C.—兀D.20兀

33

5.已知正项等比数列｛%｝中，%=1,S”为应的前〃项和，&=5邑一4,则§4=()

A.7B.9C.15D.20

Y-LA1

6.已知函数/a)=〃ln-,其中〃，人均为正数.若/(86)—/(36)=2,则()

be-

A2袤2D4

e239

7.有一组样本数据：%超，L,4,其平均数为2,由这组样本数据得到新样本数据：%,尤2，

L,看,2,那么这两组样本数据一定有相同的()

A.众数B.中位数

C.方差D.极差

8.若曲线>=竺乎有且仅有一条过坐标原点的切线，则正数a的值为()

e

A.-B.巫C.-D.B

4433

二、多选题

9.若a=log3().3,8=3°3,c=0.33»则()

A.b<aB.c<bC.a〈cD.a<b

10.古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点45的距离之比为定值4(4wl)

的点的轨迹是圆，此圆被称为“阿波罗尼斯圆在平面直角坐标系xOy中，已知。(。,0),

4(2,0),点P满足磊=0,设点尸的轨迹为圆C,下列结论正确的是()

A.圆C的方程是(x+2>+y2=9

B.过点A且斜率为1的直线被圆C截得的弦长为土叵

C.圆C与圆(x-l)2+(y-4)2=8有四条公切线

D.过点A作直线/,若圆C上恰有三个点到直线/距离为④，该直线斜率为土，

11.已知函数八力的定义域为R,〃x+y)=£甲+驾，且〃1)=1,则()

e'e

A."0)=0B./(-l)=e2

C.e"(x)为奇函数D.〃x)在(0，+s)上具有单调性

三、填空题

12.已知复数z=(夕©R)的实部为o,贝han29=.

13.已知空间中有三点。(0,0,0),B(1,1,0),则点。到直线A3的距离为.

14.已知2炉+/一2孙一2x-l=0.若y>x>l,求V的最大值为；若x>l且

求2x-y的最大值为.

四、解答题

15.某校体育节组织比赛，需要志愿者参加服务的项目有：60米袋鼠跳、100米、200米、

1500米、3000米、4x100米接力.

⑴志愿者小明同学可以在6个项目中选择3个项目参加服务，求小明在选择60米袋鼠跳服

务的条件下，选择3000米服务的概率；

(2)为了调查志愿者选择服务项目的情况，从志愿者中抽取了15名同学，其中有9名首选100

试卷第2页，共4页

米，6名首选4x100米接力.现从这15名同学中再选3名同学做进一步调查.将其中首选

4x100米接力的人数记作X,求随机变量X的分布列和数学期望.

16.在如图所示的几何体中，PA_L平面ABC。，PA//QD,四边形ABC。为平行四边形，

ZABC=60°,ABAC=90°,AB=PA=1,PQ=272.

(1)求证：直线PB〃平面OCQ；

(2)求直线尸3与平面PCQ所成角的正弦值；

(3)求平面PCQ与平面OC。夹角的正弦值.

17.三角学于十七世纪传入中国，此后徐光启、薛风祚等数学家对此深入研究，对三角学的

现代化发展作出了巨大贡献，三倍角公式就是三角学中的重要公式之一,类似二倍角的展开,

三倍角可以通过拆写成二倍角和一倍角的和，再把二倍角拆写成两个一倍角的和来化简.

(1)证明：sin3x=3sinx—4sin3x;

⑵若sin,〃eN*,求〃的值.

18.已知尸为平面上的动点，记其轨迹为「

⑴请从以下两个条件中选择一个，求对应的：T的方程.①已知点7(-L0),直线/:x=-4,动

点尸到点T的距离与到直线/的距离之比为g；②设E是圆。：/+/=4上的动点，过E作

直线EG垂直于x轴，垂足为G,且用=@面.

2

(2)在(1)的条件下，设曲线「的左、右两个顶点分别为AB,若过点K(l,0)的直线加的斜

率存在且不为0,设直线机交曲线「于点M,N,直线〃过点7(-1,0)且与x轴垂直，直线.

交直线〃于点尸，直线M交直线〃于点。，则线段的比值相是否为定值？若是，求出该

定值；若不是，请说明理由.

19.对于数列｛4｝,数列｛。用-q｝称为数列｛4｝的差数列或一阶差数列.｛4｝差数列的差数列,

称为｛%｝的二阶差数列.一般地，｛%｝的上阶差数列的差数列，称为｛%｝的k+1阶差数列.如

果｛4｝的上阶差数列为常数列，而Z-1阶差数列不是常数列，那么｛%｝就称为左阶等差数列.

⑴己知20,24,26,25,20是一个上阶等差数列｛%｝的前5项.求上的值及必；

（2）证明：二阶等差数列也,｝的通项公式为

b“=々+（"-1）（打一伪）+；（〃一l）（w-2）（4-24+伪）；

（3）证明:若数列｛g｝是k阶等差数列,则｛%｝的通项公式是〃的七次多项式，即c"=之4"（其

1=0

中4（z・=0,1,…，k）为常实数）

试卷第4页，共4页

参考答案:

题号12345678910

答案AADCCCDABCDBD

题号11

答案AC

1.A

【分析】由题可知〃=3,所以X45和X21对称，据此求解即可.

【详解】因为随机变量X服从正态分布N（3,〃），

所以P（X45）=尸（X21）=0.55；

所以尸（X41）=1-尸（X21）=1-0.55=0.45.

故选：A.

2.A

【分析】将X=2代入％=40,然后转化为一元二次不等式求解可得.

mx-1

【详解】因为2£A,所以"^0,等价于:）,

2m-\[2m-1^0

解得一;＜根＜；.

故选：A

3.D

【分析】根据题意，求出抛物线的准线方程列式运算求得加的值.

【详解】双曲线f—V=2的右焦点为（2,0）,所以抛物线的准线为％=2,

■■--^=2,解得旭=~4.

故选：D.

4.C

【分析】作辅助线，找到球心的位置，证明。到四棱锥所有顶点距离相等；根据勾股定理,

求出球的半径，进而求出球的表面积.

【详解】如图，取AD的中点E,取的中点G,连接EG、PG,在线段PG上取一点尸，

使FG=gpG,

过点E作平面ABCD的垂线OE,使OE=FG,连接。尸，

答案第1页，共14页

易知四边形A3。是等腰梯形，AABE、ABCE、ACC史均为等边三角形，

所以AE=BE=CE=DE=2,

因为OE_L平面ABC。，

所以ZOEA=ZOEB=ZOEC=ZOED=90°,

所以OA=OB=OC=OD,

因为ARLB为正三角形，G为48的中点，

所以PG_LAB,

又因为平面R4B_L平面ABC。，平面PABc平面ABCD=AB,尸Gu平面

所以尸G_L平面ABC。，

因为OE_L平面ABCD,

所以PG//OE,即FG〃OE

又因为OE=FG,所以四边形OEGb为平行四边形，

所以OfV/EG,

因为A/IBE为正三角形，G为A3的中点，

所以EG_LAB,

又因为平面P4B_L平面ABC。，平面E4J3C平面ABCD=AB,EGu平面ABCD,

所以EG_L平面BIB,所以OP_L平面P4B,

又因为尸是AAB尸的外心，所以以=稗=",

所以OA=OB=OP,

所以。即为四棱锥外接球的球心，

因为OE=FG」PG=SAE=2,

故选：C.

答案第2页，共14页

p

【分析】根据等比数列的求和公式可得结果.

【详解】设等比数列伍“｝的公比为4,依题意有4>0,又为=1,

当4=1时，S5=5^5S3-4=11,故舍去,

当时，因为$5=553-4,则亚©=5x也二6-4，

l-q1-q

化简得d-5/+4=0,即年_4)(/_1)=0且a“>0,"=2,

1-16

=15

1-2

故选：C.

6.C

【分析】求出/(助)-/(36)后可求参数。的值，再结合对数的性质可求屋！的值.

_22

【详解】人助)-"36)=aln9-aln4=2,故〃=In9-ln4=方，

故选：C.

7.D

【分析】根据众数、中位数、方差以及极差的定义，结合题意，即可判断和选择.

【详解】对A：假设冷声，L,X&中，有两个2,两个3,其它4个数据都不相同，且这8

个数据平均数为2,那么众数为2和3；

再添加一个2后，有三个2,故众数为2,众数发生改变，故A错误；

答案第3页，共14页

对B：假设占,%，L,%分别为：T，0,0,2,3,3,4,5,满足平均数为2,其中位数为三=2.5；

添加2以后，其中位数为2,中位数发生改变，故B错误；

对C：占,％,L,演的平均数为2,方差<="［（占一2）?+（尤2-21+…+伍一2）1；

添加2以后，其平均数还是2,方差$2="［（%-2）2+（%-2）2+…+&-2『+（2-2）2卜每，

故方差发生改变；

对D：若2是4无2,L,%的最大值或最小值，因为其平均数为2,故这组数据都是2,其

极差为0,添加2后，极差也是0；

若2不是王,工2，L,看的最大值，也不是最小值，添加2后，最大值和最小值没有改变，

极值也不发生变化，故D正确.

故选：D.

8.A

【分析】设切点（如名图），利用导数的几何意义求得切线方程，将原点坐标代入，整理得

e为

麻+%o+l=O,结合A=0计算即可求解.

【详解】设y=〃x）=",则广⑴二本纪1,

ee

设切点为（毛,胃），则/'（%）=升"1，

所以切线方程为y-%=9°

ee

又该切线过原点，所以0-丝图

ee

整理得遍+%+1=0①，因为曲线>=/（尤）只有一条过原点的切线，

所以方程①只有一个解，故A=l-4a=0,解得a=

4

故选：A

【点睛】关键点点睛：本题主要考查导数的几何意义，切点未知，设切点坐标，由导数的几

何意义求出切线方程，确定方程的解与根的判别式之间的关系是解决本题的关键.

9.BCD

【分析】根据y=log〃x（a>l）为增函数，判断。<0；根据y=/（a>l）为增函数，判断6>1；

根据丁="（0<。<1）为减函数，判断0<c<l,进而比较b,c大小.

答案第4页，共14页

【详解】因为y=10gaX(4>l)为增函数，所以。=1%。.3<1鸣1=0,即"0

因为丁=优(">1)为增函数，所以方=3。3>3。=1,即6>1

因为y=a*(O<a<l)为减函数，所以0<c=0.33<0.3°=1,即0<c<l

所以4VCVb.

故选：BCD

10.BD

【分析】对A,设P(x,y),再根据鬻=0列式化简可得圆C的方程；对B,根据垂径定

理求解即可；对C,根据圆心间的距离与半径和差的关系判断两圆位置关系，进而可得公切

线条数；对D,分直线斜率为0与不为0讨论，再根据圆心到直线距离与半径的关系列式求

解即可.

【详解】对设尸由需=3可得

A,(x,y),=V2,即(无一2)~+y2-2尤2+2y2,

Jx2+y2

化简可得(X+2)2+/=8,故A错误；

1i,

对B,过点A且斜率为万的直线方程为y=5(x-2),即x-2y-2=0,贝西(x+2)，=8

|-2-2|_4

的圆心(-2,0)到2=0的距离为,故所求弦长为

Vl2+22~75

故B正确;

对C,圆C圆心到(x-1)?+(,-4)2=8圆心(1,4)的距离为J(l+2/+4?=5,又两圆的半径

和为2夜+2忘=40>5，故两圆相交，有两条公切线，故C错误;

对D,当直线/斜率为。时，圆C上有四个点到直线/距离为&不合题意,设直线/：x="+2,

则由题意C到/的距离等于2a-五=夜，即匚上|=0,解得r=±V7,故斜率直线斜

，1+产

率为1=±五，故D正确；

t7

故选：BD

11.AC

【分析】根据题意，令x=y=0即可判断A,令彳=1,>=-1,即可判断B,令y=r结合

答案第5页，共14页

函数奇偶性的定义即可判断c,令y=X即可判断D

【详解】对A：令x=y=O,则有〃0)=/啰+/!2,即/(0)=0,故A正确;

ee

对B：尤=1,y=-l,则有〃1-1)=粤+勺」1,即〃0)=时•⑴+正1),

eee

由〃。)=。，"1)=1，故0=e+止D,BP/(-l)=-e2,故B错误；

e

对C令产T,贝U有"X一尤)=勺+/^1,即f(O)=e"(x)+e-"(T),

即e"(x)=-e-"(-x),又函数〃x)的定义域为R,则函数e"(x)的定义域为R,

故函数e"(x)为奇函数，故C正确;

对D：令〉=彳，则有+=+即/(2x)=^^,

即有f(2为x)2则当、=时,有/(尢21n2/)=萨2

=7,ln2=1,即〃21n2)="In2),

故/(x)在(0,+“)上不具有单调性，故D错误.

故选：AC

4

12.

【分析】利用复数Z=2c°s：；：m”■eR)的实部为0,求出tan6>=-2,再利用二倍角公式

得出结论.

【详解】•••复数

2cos0+isin0(2cos6+isin^)(l-i)2cos6+sin6+(sin。一2cos6)i

z=(6eR)的实部为0,

1+i(l+i)(j)2

/.2cos8+sin。=0,tan。=-2.

2tan64

tan26=

1-tan2^3

4

故答案为：—.

口屈

5

【分析】求出丽，丽的坐标，求出cos诙，项，根据点。到直线A3的距离为|明sin次，通

即可求解.

【详解】因为。(0,0,0),4(1,—1,1),5(1,1,0),

答案第6页，共14页

所以砺=（1,一1,1）,荏=（0,2,-1）,

所以网="网=逐，OA-AS=lxO+（-l）x2+lx（-l）=-3.

OAAB-3V3

所以cosO7TA7,ATB==-7=-7==--『

'"以H网岛迷月

所以sin弧4=-⑶=岛粤

所以点。到直线AB的距离为囱sin弧通=有义半=等.

故答案为：回.

5

14.33

【分析】设j=左代入化简得至IJ2y2k2一（2/+2H左+>2-1=。，根据一元二次方程根的分布

得出不等式求出范围即可；设2x-y=f得2x-f=y代入化简得2f-（2r+2）x+/—1=0,根

据判别式得出1</43,可以取等，即可求解最大值.

【详解】设：=*（0,1）,则x=Q,

代入2尤2+>2_2孙一2》_1=0得（2二+1）丫2—2分2-2.一1=0,

即2y2左2-（2y2+2y）k+y2-l=0,

令/•（左）=2>2r一（2〉2+2"左+产一1,开口向上，贝|/（。）=/一1>0,

要想〃左）=2丁/_（2y2+2y*+y2-l=0在Ae（O,l）上有解，贝厅⑴<°或<j/〉。，

由/（l）=J-2y-l<0,解得l<y<l+0,

JA>0即］向2+2川-纣仁-1"。/+加143

由

2y-120

综上，1<”3,故>的最大值为3,止匕时/一4尤+4=0,即久=2.

设2尤_y=心由于％>1且％>人故f=x+（x_y）>l,

^2x-f=y^X2x2+y2-2xy-2x-l=0^2x2+（2x-l）2-2x（2x-t）-2x-l=0,

即2f-⑵+2）x+〃—1=0,要在上有解，

答案第7页，共14页

贝i]A=（2r+2）2-8（r2-l）=_4/+8f+12N0

解得-14七3,又/>1,故1</43,

当/=3时，2/一（2/+2）彳+/一1=0,即2f-8x+8=0,解得久=2,止匕时y=1,符合要求，

故2x-y的最大值为3.

故答案为：3；3.

Y

【点睛】关键点点睛：解题的关键是换元设一=左2元-y4代入化简即可得出一元二次方程

y

分别根据根的分步及根的个数分别列不等式组求解.

15.⑴：；

⑵分布列见详解，E（X）=|.

【分析】（1）小明选择60米袋鼠跳服务为事件A,小明选择3000米服务为事件B,利用组

合知识和古典概型概率公式求出P（A）,P（AB）,然后由条件概率公式可得；

（2）根据超几何分布概率公式计算可得分布列，再由期望公式可得数学期望.

【详解】（1）记小明选择60米袋鼠跳服务为事件A,小明选择3000米服务为事件B,

则P（A）=与=3=4，P（AB）=^-=—,

人」「C：202，I>cl205

1

尸（阴

所以P（B|A）=

P（A）15

2

2

即小明在选择60米袋鼠跳服务的条件下，选择3000米服务的概率为:

（2）由题知，X的所有可能取值为0」,2,3,

由超几何分布概率公式得:

…0）=詈=急MD年216

455

123

P（X=2）=yCC^="13,5P（X=3）=cE°C^20

\'C：5455\'C：5455

得随机变量X的分布列为:

答案第8页，共14页

X0123

8421613520

P

455455455455

bytw\八841216.135，生=5466

以E(X)—Ox-----FIx-------F2x-+--3--

、)4554554554554555

16.(l)证明见解析

n.Vl86

31

⑶同

BJ77^

【分析】（I）建立空间直角坐标系，求出平面。C。的法向量入由7郎=0即可证明;

（2）求出平面尸C。的法向量而，再求出cos沅，而，即可得解;

\fh'fA

（3）设平面产。。与平面。C。夹角为8,由cos6=j1求出cos。,从而求出sin。.

H例

【详解】（I）因为平面ABC。，ZBAC=90°,如图建立空间直角坐标系，

因为四边形ABC。为平行四边形，ZABC=60°,ABAC=9Q°,AB=2=l,PQ=242,

则AC=A8tan60°=6，BC=+（国=2,（DQ-l）2+22=（2^）",

解得OQ=3（负值已舍去），

则P（0,0,l）,3（1,0,0）,C（0,A/3,0）,D（-1,A/3,0）,0卜1,后3）,

所以6=（—1,0,0）,丽=（0,0,3）,丽=（1,0,-1）,

设平面。CQ的法向量为”=（x,y,z）,贝叶」，取万=（0,1,0）,

n-DQ=3z=0

所以：?•法=0，即一_L而，

又尸3■平面OCQ,所以PB〃平面。CQ.

答案第9页，共14页

Q

xc

(2)因为诙=(一1,0,3),定=(0,6,-1卜

设平面PCQ的法向量为m=(a,b,c),

m-CQ=-a+3c=Q

则

m•PC=6b一c=0

V186

所以cos伍,网m-PB6

邮词>/2XJ92+32+(>/3)231

所以直线总与平面所成角的正弦值为眄.

31

(3)设平面尸c。与平面DCQ夹角为e,

m-n731

2-

则231，

1XJ92+32+

所以sin8=Vl-cos20=1;。

所以平面PCQ与平面OCQ夹角的正弦值为甯.

17.(1)证明见解析

(2)n=5

【分析】(1)利用两角和的正弦公式及倍角公式证明即可;

21

⑵将smi。。转为方程常-3x+片。的-个实根，通过函数的单调性及零点存在性定理即

可求解.

【详解】(1)因为sin3x=sin(2x+x)=sin2xcosx+cos2xsin尤

=2sinxcosx-cosx+^l—2sin2x)sinx

=2sinx(l—sin2x)+sinx—2sin3x=3sinx—4sirPx；

答案第10页，共14页

(2)由(1)可知，sin30°=3sinl0°-4sin310o=-,

2

即sin100是方程4%3—=0的一个实根.

2

令/(%)=4/一3%+；,

f\x)=12x2-3=3(2x+1)(21),

显然0<sin10°<sin30°=—,

2

当0<冗<；时，ra)〈o,

所以/(x)=4d—3x+；在［o,；)上单调递减，

22

18.（1）条件选择见解析，「的方程为土+上=1

43

⑵是定值，且定值为g

【分析】（1）根据已知条件列方程或利用代入法求得「的方程.

（2）设出直线加的方程并与曲线r的方程联立，化简写出根与系数关系，求得P,Q两点的

纵坐标，由此化简需来求得正确答案.

2

【详解】（1）选①，设P（x,y）,由收1〉」

卜+4|2

2222

化简得L+工=1,即所求轨迹厂的方程为三+二=].

4343

选②，设「（为,%）々%,。），由芽=手无，得后卜弓%],

代入圆O的方程O：/+y2=4,o：x；+[另%]=4,整理得.+*=1,

答案第11页，共14页

22

即所求轨迹「的方程为二+乙=1.

43

（2）设屈（石,%）,'（%2，%），

已知直线m的斜率存在且不为0,设过点K的直线m的方程为x=ty+l,

r2v2

与方程L+工=1联立得:(3?+4)y2+6Zy-9=0,

43

-9

,,y+%=

3/+4

-9r3

且%=3?^+4=5(%*%)(*)

直线AM的方程为y=T?(x+2),.•.力=—.同理，女=二^

西+2玉+2%2—2

TP%伍-2)_1%(%-2)

TQ3y2a+2)3%(占+2)

其中，X(-—2)%(优一1)-X,

八'y2a+2)%(%+3)9M+3%'

将(*)代入可得，

31

今%一X2(%+%)_%25+3%)_I

明%+3%|(%+%)+3%：(%+3%)1

答案第12页，共14页

【点睛】求曲线的轨迹方程的方法有很多，可以利用圆锥曲线的定义来求，也可以利用题目

所给的等量关系式来求，还可以利用相关点代入法来求.在求曲线方程的过程中，要注意验

证方程上的点是否都在曲线上，也要验证曲线上的点是否都符合方程.

19.(1)左=3,=10

(2)证明见解析

(3)证明见解析

【分析】(1)根据定义直接进行求解，得到笈=3,并根据二阶差数列的第4项为-5,求出

一阶差数列的第5项为-10,得到方程，求出小=1。；

(2)令4=bn+l-bn,根据二阶等差数列的定义得到

_

4=^„-i^„-2=■■■=d2-=b3-2b2+b1,再利用累加法求出

么=g("T)("-2)(4-2%+4)+("T)02-4)+4；

(3)数学归纳法证明出S(次w)=£泮为〃的根+1次多项式，利用引理可证出结论.

i=l

【详解】(1)｛%｝的一阶差数列为4,2,-1,-5；二阶差数列为-2,-3,-4；

三阶差数列为-1,-1,-1为常数列，故｛。“｝为三阶