2025年河南省高考数学模拟试卷（附答案解析）

2025年河南省高考数学模拟试卷

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合

题目要求的。

1.(5分)已知定义在R上的函数/(九)满足/(x+y)=f(x)+f(y),且当％<0时，f(x)>0.给出以

下四个结论：@f(0)=0；©f(x)可能是偶函数；@f(x)在|m,网上一定存在最大值/(〃)；@f(x

-1)>0的解集为{#cVl}.共中正确的结论的个数为()

A.1B.2C.3D.4

2.(5分)已知。=log47,Z?=log930,c=e%则a,b,c的大小关系为()

A.a〈b〈cB.c〈a〈bC.a<c<bD.c〈b〈a

3.(5分)定义在R上的奇函数y=/(x)满足/(3)=0,且当x>0时，不等式/(x)>~xf(x)恒

成立，则函数g(x)=xf(x)+/g|龙+1|的零点的个数为()

A.1B.2C.3D.4

4.(5分)设甲袋中有3个红球和4个白球，乙袋中有1个红球和2个白球，现从甲袋中任取1球放入乙

袋，再从乙袋中任取2球，记事件A="从甲袋中任取1球是红球"，事件8="从乙袋中任取2球全

是白球”，则下列说法正确的是()

9

A-P(8)=弘

B.PQ4B)=号

1

C.P(X|B)=j

D.事件A与事件8相互独立

5.(5分)将函数y=x《cos2久+去%e[0,勺的图像绕原点逆时针旋转。角，得到曲线C.若曲线C

始终为函数图像，则tan。的最大值为()

17T2

A.-B.------C.-D.1

27T+23

c->—>—>—>

6.(5分)在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,若acosB="且|CA+=|CA-,

则NA=()

71717171

A.-B.-C.—D.一

6342

7.(5分)油纸伞是中国传统工艺品，至今已有1000多年的历史，为宣传和推广这一传统工艺，北京市文

化宫开展油纸伞文化艺术节.活动中，某油纸伞撑开后摆放在户外展览场地上，如图所示，该拿伞沿是

一个半径为2的圆，圆心到伞柄底端距离为2,当阳光与地面夹角为60。时，在地面形成了一个椭圆形

影子，且伞柄底端正好位于该椭圆的长轴上，若该椭圆的离心率为e,则e2=（）

8.（5分）己知R上的可导函数无）的函数图象如图所示，则不等式好''（x）>0的解集为（)

A.(-1,0)U(1,+8)B.(-8,-2)U(1,2)

C.（-8,-1）u（1,+8）D.（-1,1）U（2,+8）

二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.

全部选对的得6分，有选错的得0分，若只有2个正确选项，每选对1个得3分；若只有3个正确选项，

每选对1个得2分。

（多选）9.（6分）已知复数zi,z2满足|zi-4i|=|zi-5i|,|z2-l+2i|=2（i为虚数单位），尤1,无2是方程2/+3办+/

-a=0（a€R）在复数范围内的两根，则下列结论正确的是（）

1

A.忆2-2j的最小值为5

B.|z2-zi|的最小值为4

,.r,Ja2+8a

C.当0<a<l时，则％|+%|=匕一

D.当-8<a<0时，则ID+|%2l=J2（a2—a）

（多选）10.（6分）将两个各棱长均为1的正三棱锥。-ABC和E-ABC的底面重合，得到如图所示的六

E

A.该几何体的表面积为

、、，—一,V3

B.该几何体的体积为二

6

C.过该多面体任意三个顶点的截面中存在两个平面互相垂直

D.直线AQ〃平面BCE

(多选)11.(6分)已知集合A,8满足8={(x,y,z)\x+y+z=\\,x,y,zEA),则下列说法正确的是

()

A.若4={-2,0,1,13},则8中的元素的个数为1

B.若4={尤以=24+1,依N},则8中的元素的个数为15

C.若4="+,则8中的元素的个数为45

D.若A=N,则B中的元素的个数为78

三、填空题：本大题共3个小题，每小题5分，共15分。

12.(5分)已知某地只有A,2两个品牌的计算机在进行降价促销活动，售后保修期为1年，它们在市场

的占有率之比为3：2.根据以往数据统计，这两个品牌的计算机在使用一年内，A品牌有5%需要维修，

B品牌有6%需要维修.若某人从该地随机购买了一台降价促销的计算机，则它在一年内不需要维修的

概率为.

22

13.(5分)若点P(x,y)是曲线3/+2y[3xy+必=1上的点，则^x+y的最小值

为.

14.(5分)已知96(0,J),sin(0-J)=贝！|1加(8+勺=.

四、解答题：本大题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

15.(13分)已知函数无)=e“，g(x)=/(1-x)+f(1+x).

(1)判断函数g(尤)的奇偶性并予以证明；

(2)若存在尤使得不等式g(无)4加成立，求实数相的取值范围.

16.(15分)为了解不同人群夏天户外运动的情况，分别从甲、乙两个单位随机选出几名职工，统计了他

们的夏天户外运动时长，得到以下数据(单位：小时)：

甲单位：25,26,32,33,34,36,46,47,50,55；

乙单位：15,16,22,23,24,26,36,37,40.

假设用频率估计概率，用样本估计总体，且每名职工的户外运动情况相互独立.

(I)现要对乙单位中夏天户外运动时长不足20小时的职工进行体检，已知乙单位共有1800名职工,

试估计乙单位此次参加体检的职工人数.

(II)从甲单位职工中随机抽取2人、乙单位职工中随机抽取1人，记X为这3人中夏天户外运动时

长不少于35小时的人数，求X的分布列和数学期望；

(in)设样本中甲单位职工户外运动时长的方差为统、乙单位职工户外运动时长的方差为①，写出式与

S和勺大小关系.(结论不要求证明)

17.(15分)如图，在三棱锥A-8CD中，平面平面8C。，AB=AD,。为8。的中点，△OCQ是

边长为1的等边三角形，且匕.BCD=电.

(1)证明：OA±CD；

(2)在棱上是否存在点E,使二面角E-8C-。的大小为45°?若存在，并求出工：的值.

18.(17分)已知圆M：(x+代/+V=9的圆心为M,圆N：(%—通产+『=i的圆心为N,一动圆

与圆N内切，与圆M外切，动圆的圆心E的轨迹为曲线C.

(1)证明：曲线C为双曲线的一支；

->—>

(2)已知点P(2,0),不经过点P的直线/与曲线C交于A,8两点，且PA-PB=0.直线/是否过

定点？若过定点，求出定点坐标：若不过定点，请说明理由.

19.(17分)设函数y=F(x)的定义域为/,若xoe/,曲线y=F(x)在尤=尤0处的切线/与曲线y=F(x)

有"个公共点，则称(xo,F(xo))为函数f(无)的“"度点”，切线/为一条。度切线”.

(1)判断点(1,/(D)是否为函数/(*)=%—]-3伉久的“2度点”，说明理由；

(2)设函数g(%)-ex.

①直线y=2x-1是函数y=g(x)的一条“1度切线”，求〃的值；

②若4=-1,求函数y=g(%)的“1度点”.

2025年河南省高考数学模拟试卷

参考答案与试题解析

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合

题目要求的。

1.(5分)已知定义在R上的函数/(%)满足/(x+y)=f(x)+f(^),且当IV0时，f(x)>0.给出以

下四个结论：@f(0)=0；©f(x)可能是偶函数；@f(x)在|m,网上一定存在最大值/(〃)；@f(x

-1)>0的解集为共中正确的结论的个数为()

A.1B.2C.3D.4

【解答】解：对于①，令I=0,则/(0)=/(0)4/(0),所以7(0)=0,故①正确；

对于②，令y=-X,则f(0)=f(x)+/(-X)=0,

所以/(-尤)=-/(X),所以/(X)为奇函数，

又当XV0时，/(x)>0,所以/(x)不是常函数，不可能是偶函数，故②错误；

对于③，设贝Ux-yVO,

则/(x-y)=f(x)-+/(-y)=f(x)-f(y)>0,

所以/(x)>/")，所以/(x)是减函数，

所以/(%)在［m,用上一定存在最大值/(m)，故③错误；

对于④，因为/(入)为减函数，f(0)=0,

由>0=/(0),得X-1V0,解得xVl,

所以>0的解集为{x|xVl},故④正确.

故选：B.

2.(5分)已知〃=log47,Z?=log930,c=eln2,贝!］。，b,c的大小关系为()

A.a〈b〈cB.c<a〈bC.a<-c<-bD.c<b<a

【解答】解：c-eln2=I，42=8>7,所以&>log47,即c>〃，

33

92=27<30,所以&<log930,BPc<b,

所以a<c<b.

故选：C.

3.(5分)定义在R上的奇函数y=f(%)满足/(3)=0,且当x>0时，不等式/(x)>-xf(x)恒

成立，则函数g(x)=xf(x)+/g|%+l|的零点的个数为()

A.1B.2C.3D.4

【解答】解：定义在R的奇函数/(%)满足：

f(0)=0=/(3)=f(-3),

且/(-x)=-f(x),

又x>0时，f(x)>-xf'(x),即f(x)+xf'(x)>0,

[xf(x)]'>0,函数〃(x)=J^(X)在x>0时是增函数，

又h(-x)=-xf(-x)=xf(x),.,.h(x)=xf(x)是偶函数；

；.x<0时，h(x)是减函数，结合函数的定义域为R,且/(0)=/(3)=/(-3)=0,

可得函数yi=4(x)与"=-/g|x+l|的大致图象如图所示，

，由图象知，函数g(x)=xf(x)+/g|x+l|的零点的个数为3个.

4.(5分)设甲袋中有3个红球和4个白球，乙袋中有1个红球和2个白球，现从甲袋中任取1球放入乙

袋，再从乙袋中任取2球，记事件A="从甲袋中任取1球是红球"，事件8="从乙袋中任取2球全

是白球”，则下列说法正确的是()

A.P(B)=94

B.P(AB)=专

1

C.P(X|B)=|

D.事件A与事件8相互独立

【解答】解：现从甲袋中任取1球放入乙袋，再从乙袋中任取2球可知，从甲袋中任取1球对乙袋中任

取2球有影响，事件A与事件B不是相互独立关系，故O错误；

从甲袋中任取1球是红球的概率为：PQ4)=

4

从甲袋中任取1球是白球的概率为：

所以乙袋中任取2球全是白球的概率为：P⑻=%+44=4+擀=/，故A错误；

C7c4C7c4

「(的=盥=吉，故2错误；

P(川B)=^U/x昔=看故C正确.

故选：C.

5.(5分)将函数y=x—±cos2x+4,x6[0,*的图像绕原点逆时针旋转。角，得到曲线C.若曲线C

始终为函数图像，则tan。的最大值为()

17T2

A.-B.------C.-D.1

2TT+23

【解答】解：令原函数为y=/(x),即/(%)=%-2cos+*，

求导得/(x)=l+sin2x,

当％E[0,勺时，2x£[0,J],

函数，(x)在[0,总上单调递增，-(0)=1,(。)=2,

函数/(%)=%一聂os2%+$%G[0,勺的图象上点(x,/(x))处切线斜率由1逐渐增大到2,

记％=[时的点为P,

令函数/(X)图象在尸处的切线倾斜角为a,则tana=2,

曲线C在除端点P外的任意一点处的切线垂直于x轴时，

则曲线C上存在两点，其横坐标相同，而曲线C始终为函数图象，

因此。〈摄一仇，而620,

则年加Wtan(^一a)==cosa=1

'2)cos('-a)sinatana

1

所以tan0的最大值为3.

故选：A.

y

"—>—>—>—>

6.(5分)在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,若acosB=会且|C4+C8|=|C4-C8|,

则NA=()

71717171

A.-B.—C.-D.一

6342

【解答】解：在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,若acosB=*,

贝(J2sinAcosB=sinC=sinAcosB+cosAsinB,

即sinAcosB-cosAsin8=0,

即sin(A-B)=0,

又-n<A-B<n,

则A-8=0,

即A=B,

—»—»—»—»

5L\CA+CB\=\CA-CB\,

—>—»

贝UC4•CB=0,

贝UNACB=步

则NA=?

故选：C.

7.(5分)油纸伞是中国传统工艺品，至今已有1000多年的历史，为宣传和推广这一传统工艺，北京市文

化宫开展油纸伞文化艺术节.活动中，某油纸伞撑开后摆放在户外展览场地上，如图所示，该拿伞沿是

一个半径为2的圆，圆心到伞柄底端距离为2,当阳光与地面夹角为60°时，在地面形成了一个椭圆形

影子，且伞柄底端正好位于该椭圆的长轴上，若该椭圆的离心率为e,则/=()

D.3V3-5

【解答】解：因伞柄底端正好位于该椭圆的长轴上，由图可知，椭圆的短半轴长b=2,

2a4

在△ABC中，由正弦定理得

sin(60°+45°)sin60°'

解得a=鱼+等，则e?=1-吟尸=1-(疯2布y=3V3-5,

故选：D.

8.（5分）已知R上的可导函数/G）的函数图象如图所示，则不等式对''（x）>0的解集为（）

C.（…，-1）u（1,+8）D.（-1,1）U（2,+8）

【解答】解：由函数无）的图象可得，当xe（-8,-1）,（1,+8）时，/（无）>0,

当在（-1,1）时，f'（无）<0.

由%（（%）〉0='①或，②，

u>oU<o

解①得，x>l,解②得，-l<x<0,

综上，不等式4（x）>0的解集为（-1,0）U（1,+8）.

故选：A.

二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.

全部选对的得6分，有选错的得0分，若只有2个正确选项，每选对1个得3分；若只有3个正确选项,

每选对1个得2分。

（多选）9.（6分）已知复数zi,z2满足|zi-4i|=|zi-55忆2-l+2i|=2（i为虚数单位），冗1,垃是方程2/+3/+〃2

-4=0（〃£R）在复数范围内的两根，则下列结论正确的是（）

1

A.,2一为|的最小值为3

B.|z2-zi|的最小值为4

C.当OVaVl时，则|%i|+|%2l=^―2——

D.当-8V〃V0时，则I%/+=，2(02一a)

【解答】解：设复数zi=xi+yii,Z2=x2+y2i,xi>yi、％2、"ER；

V|zi-4i|=|zi-5z|,.・・yi=小表示一条直线；

22

又・・・|z2-1+2，|=-2,.-.(x2-l)+(y2+2)=4,表示圆；

•.•圆心(1,-2)到直线>=一£的距离为三

/2

51

；.|Z2一刃的最小值为7；-2=:因此A正确；

24

9a

|z2-zi|的最小值为—-0=于因此B不正确；

Vxi,X2是方程2/+3以+〃2-〃=0(〃ER)在复数范围内的两根，

当0<«<1时，△=9〃2-8(/-〃)=〃2+8〃>0,

.・・方程有两个不等实数根，

又Xl+X2=—竽<0,X1X2="2"«，

不妨设X1<X2J

I_----------/2+8

**•|X1|+|X2|~X2~Xl=J(%1+%2尸-4%I%2='\j-4----4X——=-----g----9因止匕。正确；

当-8V〃V0时，与X2互为共辗复数，|XI|+|X2|=2|XI|=2XJ"2"=72dz一2a,因此。正确.

故选：ACD.

（多选）10.（6分）将两个各棱长均为1的正三棱锥。-ABC和E-A3。的底面重合，得到如图所示的六

3V3

A.该几何体的表面积为一【

2

、、，上V3

B.该几何体的体积为t二

6

C.过该多面体任意三个顶点的截面中存在两个平面互相垂直

D.直线AO〃平面8CE

【解答】解：对于A,亍x1x1xg...表面积为6x夕=

SAABD=,故A正确;

对于8,如图，设点。在平面ABC内的投影为。，M为BC中点，

则由对称性可知O为△ABC的重心，；.A0=|AM=Wx1x字=字，

VAD=1,；.正三棱锥D-ABC的高为D0=办"一)。2=Jl/=学,

该几何体的体积为V=2VD-ABC=2X*孚x字=*,故8错误；

对于C,由8知。。_1面480由对称性知。，O,E三点共线，

...。£_1面48(7,故C正确；

对于。，以。为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图，

其中。龙轴平行于BC,

••4c八八/A/3y/3

•A°F°/=三-3=石,

1V31V37Z

'.B(一,—,0),C(——,0),E(0,0,—T-),

26263

BC=(-1,0,0),BE=-噂，-亨)，

设平面BCE的法向量为蔡=(x,y,z),

【一＞一

…n-BC=—x=0l「

则-17376，取z=l,得九=(0,-2V2,1),

n•BE=—77%————5-z=0

IZOTVD

V6t^3V6

A(0,—0),D(0,0,—),AD—(0,—，—),

3333

TT

：4。力0,.•.直线A。与平面BCE不平行，故。错误.

故选：AC.

(多选)11.(6分)已知集合A,8满足8={(尤，y,z)\x+y+z—\\,x,y,zeA),则下列说法正确的是

()

A.若4={-2,0,1,13),则8中的元素的个数为1

B.若4=国%=2左+1,%N},则8中的元素的个数为15

C.若4="+,则2中的元素的个数为45

D.若A=N,则8中的元素的个数为78

【解答】解：由题意得8={(-2,0,13),(-2,13,0),(0,-2,13),(13,0,-2),(13,-2,

0),(13,0,-2)},所以8中的元素的个数为6,A错误.

由题意得A中的元素均为正奇数，在2中,

当x=1时,有(I,1,9),(1,3,7),(1,5,5),(1,7,3),(1,9,1)共5个元素,

当x=3时,有(3,1,7),(3,3,5),(3,5,3),(3,7,1)共4个元素,

当x=5时,有(5,1,5),(5,3,3),(5,5,1)共3个元素,

当x=7时,有(7,1,3),(7,3,1)共2个元素,

当x=9时,有(9,1,1)共1个元素,

所以8中的元素的个数为5+4+3+2+1=15,8正确.

B={(x,y,z)\x+y+z=l],x,y,z£N+},可转化为将11个大小相同、质地均匀的小球分给甲、乙、

丙3个人，每人至少分1个，

利用隔板法可得分配的方案数为行°=45,所以B中的元素的个数为45,C正确.

B={(无，y,z)\x+y+z=11,x,y,zGN}={(x,y,z)|(x+1)+(y+1)+(z+1)=14,x+1,y+1,

z+lGN+J,

可转化为将14个大小相同、质地均匀的小球分给甲、乙、丙3个人，每人至少分1个，

利用隔板法可得分配的方案数为Ca=78,所以B中的元素的个数为78,D正确.

故选：BCD.

三、填空题：本大题共3个小题，每小题5分，共15分。

12.(5分)已知某地只有A,8两个品牌的计算机在进行降价促销活动，售后保修期为1年，它们在市场

的占有率之比为3：2.根据以往数据统计，这两个品牌的计算机在使用一年内，A品牌有5%需要维修，

B品牌有6%需要维修.若某人从该地随机购买了一台降价促销的计算机，则它在一年内不需要维修的

概率为Q.946.

【解答】解：某人从该地随机购买了一台降价促销的计算机，设买到的计算机是A品牌为事件4买到

的计算机是B品牌为事件B,

则由题可知/(A)=|,P(B)=(,

从品牌中购买一个，设买到的计算机一年内不需要维修为事件C,从8品牌中购买一个，设买到的计算

机一年内不需要维修为事件D,

则由题可知P(C)=95%,P(D)=94%,A、B、C、。互相独立,

故购买一台降价促销的计算机，则它在一年内不需要维修的概率为P(AC)+P(BD)=P(A)P(C)

32

+P(B)P(D)=|x95%+jx94%=0.946.

故答案为：0.946.

,_______i

13.(5分)若点尸(x,y)是曲线3/+2旧孙+V=1上的点，则J久2+、2的最小值为_刁

【解答】解：令/+/=*,则原问题转化为求解网的最小值，

不妨设x=Rcos。，y=Rsin。，O^0<2ir,

由题意可得:3R2cos2()+2y/3R2sin9cos0+R2sin29=1,

即3R2.1+争20+百R2s讥2。+R2.1一芋2。=

1n

整理可得:——2s讥(26+-)+2,

1

所以当28+看=5,8建时，2s讥(28+.)+2有最大值4,即M有最小值.

,_______1

所以可得J/+y2的最小值是管

一〜，1

故答案为：—.

14.(5分)已知96(0,J),sin(0-5)=贝服即(。+卞=_-2四

【解答】解：0E(0/*),所以6—aE(―今，a)，故cos(9—^)=Jl_sin2(。—/)=当

所以汝48一勺=:黑—|；=泰，

tan(f)+3=S讥(。+\=cos(1-(5)=cos(」-6)=_c°s(T)=_]=一2«

(cos(0+9sEg-(0+9)S位备—0)sm(0-第tan(e-1),

故答案为：-2鱼.

四、解答题：本大题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

15.(13分)已知函数f(尤)—ex,g(x)—f(1-尤)+f(1+x).

(1)判断函数g(无)的奇偶性并予以证明；

(2)若存在x使得不等式g(x)《机成立，求实数机的取值范围.

【解答】解：(1)函数g(x)为偶函数，

证明：因为函数/(X)=，，g(X)=/(1-x)+f(1+x),

所以g(尤)=f(1-x)+f(1+x)=elx+e1+x,

又因为g(x)的定义域为R,对于VxCR,都有-x€R,

而且g(-x)=el^x+el+x—g(x),

所以g(x)为偶函数.

(2)因为存在尤使得不等式g(x)《加成立，

所以有g(X)

由基本不等式可得g(x)=e1-x+e1+x>2Ve1-x-e1+x=2e,

所以当且仅当x=0时，等号成立.

所以g(尤)min=g(0)=2e,

则m>2e,

所以实数机的取值范围为［2e,+8).

16.(15分)为了解不同人群夏天户外运动的情况，分别从甲、乙两个单位随机选出几名职工，统计了他

们的夏天户外运动时长，得到以下数据(单位：小时)：

甲单位：25,26,32,33,34,36,46,47,50,55；

乙单位：15,16,22,23,24,26,36,37,40.

假设用频率估计概率，用样本估计总体，且每名职工的户外运动情况相互独立.

(I)现要对乙单位中夏天户外运动时长不足20小时的职工进行体检，已知乙单位共有1800名职工,

试估计乙单位此次参加体检的职工人数.

(II)从甲单位职工中随机抽取2人、乙单位职工中随机抽取1人，记X为这3人中夏天户外运动时

长不少于35小时的人数，求X的分布列和数学期望；

(IID设样本中甲单位职工户外运动时长的方差为点、乙单位职工户外运动时长的方差为受，写出比与

s会的大小关系.(结论不要求证明)

【解答】解：(I)样本中有9名乙单位职工，其中有2人的户外运动时长不足20小时，

所以乙单位中夏天户外运动时长不足20小时的职工的概率约为2,

9

故乙单位约有1800x£=400名职工参加此次体检；

(II)从甲单位中随机选出1人，其夏天户外运动时长不少于35小时的概率为三=

102

31

从乙单位中随机选出1人，其夏天户外运动时长不少于35小时的概率为-=

93

由题设，X的可能取值为0,1,2,3,

111111

则P(x=0)=C°(l-1)2=P(X=1)=6(1-0X9(1V)+Cf(l-1)2x|=W，

P(X=2)=竭)2x(l-1)+ci(l-1)x|x|=|,P(X=3)=废&)2X1=A,

所以X的分布列为：

X0123

p1511

612312

所以X的数学期望E(X)=0x1+lx^+2x1+3xi=1；

(III)sl>sl，理由如下：

甲单位职工户外运动时长的平均数为38.4,乙单位职工户外运动时长的平均数约为26.6,

因为甲单位职工户外运动时长比较分散，而乙单位职工户外运动时长比较集中，

所以s』.

17.(15分)如图，在三棱锥4-BCD中，平面ABO_L平面BCD,AB=AD,。为8。的中点，△OCD是

边长为1的等边三角形，且*CD=守.

(1)证明：OA±CD；

(2)在棱A。上是否存在点E,使二面角E-BC-。的大小为45°?若存在，并求出不：的值.

【解答】(1)证明：。为8。中点，

1.•平面平面BCD,平面ABDCI平面8C£)=BDOA±BD,

平面8C。，因为CAu平面BCD,J.OALCD.

(2)解：取CDBC中点G,F,连接。G,OF,

建立空间直角坐标系如下图所示,

,-S^CD=1X2X.\VA_BCD=jsABCD.OA=^-OA=^-,解得：OA=1,

B&,-,0),C&,,0),D(一2，0),A(0,0,1),BC=(0/V3/0),AD=(—>

孚，-1),AB=(^,一空，-1),

假设在棱AO上存在点E,

设晶=遥(0WAW1),则晶=(一孔■，-A),晶=晶—G=(―戈一号，孚2+

孚，1—A)；

设平面E3C的法向量£=(x,y,z),

I羡4+1°右(a+1),八八_n

母.IBE,7i=----~xH-------------y+(1—4)z=0...->

则,~22，令2=入+1,解得：y=0,x=2-2入，/.n=(2—

{BC•n=V3y=0

23o/a+1)；

：OA_L平面BCD,；.平面BCD的一个法向量为04=(0,0,1),

7T7厂

：.\cos<n,&>|=上"=I"1=孚,解得：入=3(舍)或2=/,

\n\-\OA\J(2-22)2+(A+l)2

一1-AE1

：.AE=^AD,则nl一=-；

3ED2

在棱A。上存在点E,使二面角E-8C-O的大小为45°.

18.(17分)已知圆M：(x+遮/+V=9的圆心为M,圆N：(%—通产+『=i的圆心为N,一动圆

与圆N内切，与圆M外切，动圆的圆心E的轨迹为曲线C.

(1)证明：曲线C为双曲线的一支;

->—>

(2)已知点尸(2,0),不经过点尸的直线/与曲线。交于A,3两点，且P4・P8=0.直线/是否过

定点？若过定点，求出定点坐标：若不过定点，请说明理由.

【解答】解：(1)证明：易知圆M的圆心为M(-花，0),圆N的圆心为N(遮，0),

设圆E的圆心为E(x,y),半径为r,

因为圆M半径为3,圆N半径为1,

所以|£M=日3,|EN|=r-l,

此时|EM|-\EN\=4<|M/V|=2V5,

由双曲线定义可知，E的轨迹是以M,N为焦点、实轴长为4的双曲线的右支，

又M(-归0),N(曲，0),

所以动圆的圆心石的轨迹方程为了一y?=1(冗22),

4

x2

即曲线。的方程为——y2=1(%22)；

4

加_

*

(2)设直线/的方程为A(xi,yi),B(工2,”)，xi三2,X222,

x=my+t

联立卜2，消去尤并整理得(层-4)9+2侬升/2-4=0,

『y=i

此时苏-4W0且△=16(m2+，-4)>0,

由韦达定理得％+y2=言聋，y/2=熹3，

又尸(2,0),

所以尸4=(汽1-2,yi),PB=g-2,”)，

因为24-PB=0,

所以Cxi-2)(彳2-2)+yiy2=0,

2

贝！|(myi+t-2)(my2+t-2)+yiy2=(*+1)%、2+(mt-2m)(yx+y2)+(t-2)

2222

(m+l)(t—2m)+(t-2)(m-4)_n

=^4=U，

即3a-16r+20=0,

解得"竽或k2(舍去)，

当1=学，直线/的方程为％=my+学，

故直线/恒过点(号，0).

19.(17分)设函数y=F(x)的定义域为/,若xoe/,曲线y=F(无)在尤=xo处的切线/与曲线y=F(x)

有"个公共点，则称(xo,F(xo))为函数/(无)的“〃度点”，切线/为一条“w度切线”.

(1)判断点(1,/(D)是否为函数/Q)=x—3仇尤的“2度点”，说明理由；

(2)设函数g(无)—e^+ajc-ex.

①直线y=