2025年高考数学一轮复习学案：函数与基本初等函数（模块综合调研卷）

第二章：函数与基本初等函数

（模块综合调研卷）

（19题新高考新结构）

（考试时间：120分钟试卷满分：150分）

注意事项：

1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的

指定位置。

2.选择题的作答:每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂

黑。写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试卷

草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交。

一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符

合题目要求的）

1.函数/卜）=吐+*2-2的零点所在区间是（）

【答案】C

【分析】由零点存在性定理可得答案.

【详解】因为函数〃无）的定义域为（0,+8），又/'（x）=g+2x>0,易知函数在（0,+8）上单调递增,

X/（l）=-1^0,/（V2）=lnV2=1ln2^0,所以在（1,后）内存在一个零点%,使〃x°）=0.

故选：C.

11-1

2.已知x=ln3j=k>g5《,z=e2,贝|（）

A.x<y<zB.z<x<yC.z<y<xD.y<z<x

【答案】D

【分析】利用指数函数、对数函数的性质，借助媒介数比较大小.

【详解】依题意，x=ln3>l,y=log5^<logsV5=^,而2=鼠耳=力>（且z<1,

522

所以"z<x.

故选：D

3.已知函数/（%）=手［，则下列说法不正确的是（）

A.函数〃x)单调递增B.函数〃尤)值域为(0,2)

C.函数〃》)的图象关于(0』)对称D.函数的图象关于(1,1)对称

【答案】C

【分析】分离常数，再根据复合函数单调性的判断方法，即可判断A；根据函数形式的变形，根据指数函数

的值域，求解函数的值域，即可判断B；根据对称性的定义，〃2-x)与的关系，即可判断CD.

2，2x+2-2r2

【详解】/(x)=-----------=2------------

2X-1+12*12、—+1

2

函数＞=2-7,t=2'-1+1,则”1,

2

又内层函数/=21+1在R上单调递增，外层函数了=2-7在(1,+s)上单调递增,

所以根据复合函数单调性的法则可知，函数/(x)单调递增，故A正确；

22

因为所以0<^^<2,则。<2-k^<2,

2—+12~+1

所以函数/(x)的值域为(0,2),故B正确；

/(2-x)=------=---=——f—，/(2-X)+/(X)=2,

I'2'-%+12+2，2*7+1

所以函数/'(x)关于点(1,1)对称，故C错误，D正确.

故选：C.

1

2s•nr2x+万的部分图象大致为(

4.函数〃x)=

e-e

【答案】A

【分析】由/'(x)的定义域排除B；由/(无)是奇函数排除C；由/排除D,从而得出答案.

【详解】由e，-el。，得XW0,则〃x)的定义域是{X中0},排除B；

21•2

।xH---sinx

町3=e上「'

,曰（一x）2sin^（_x）/sin^x

…e-L-J——（X），

所以函数/（X）是奇函数，排除C；

（兀）21,2兀（71Y

.Mhrrsin4uJ排除口

j\A\~兀兀一”兀排除D.

'e7-e7e-7e7-l

I）

故选：A.

5.若函数/⑴卡―（加―2）x+l|在-上单调,则实数用的取值范围为（）

A.plU3,1B.；"rQ

2U盯

C.一U3,gD.—日U/

22

【答案】C

【分析】由题意，根据二次函数的图象与性质建立不等式组，解之即可求解.

19

即实数m得取值范围为.

故选：C.

4x-44

6.已知函数/（x）=,是R上的单调函数，则实数。的取值范围是（）

3

loga（4x）-l,x>-

A.（0,1）B.（1,73]D.（1,3）

【答案】B

【分析】根据题意，结合分段函数的单调性的判定方法，结合对数函数的性质，列出关于。的不等式，即可

求解.

3--/、(3

【详解】根据题意，当时，f(xx__1=4>可得“X)在-。讶上递增，

4J()-4x-4-x-l1」

'__]_<3

要使得函数〃X)=曲443是R上的单调函数，

log„(4x)-l,x>-

贝U满足0>1,且l°g；4x£j-l_4x；_4'解可得1<r6，

X4-

所以实数。的取值范围为(1,6].

故选：B.

7.已知a=ln3,b=-,=e03,则()

4c

A.a<b<cB.a<c<bC.b<a<cD.c<a<b

【答案】A

【分析】构造函数/(x)=e，-x-l,由/(x)的单调性和最值可证明。>6,再构造g(x)=hu-1，由g(x)

的单调性和最值可证明。<6,即可得出答案.

【详解】令〃x)=e=xT,则_T(x)=e=l.

当xe(-双0)时，r(x)<0,/(力单调递减,

当xe(O,+e)时，r(x)>0,/(x)单调递增，

则〃x)"(0)=0,故°=6"3>1+0.3=1.3>：.

令g(x)=lnx_*,贝

exeex

当xe(e,+8)时,g,(x)<0,g(x)单调递减,

335

则g(3)<g(e)=0,Bpin3<|<^=-.

故〃<b<c.

故选：A.

【点睛】关键点睛：本题的关键点在于构造函数，通过求出函数的单调性和最值来比较大小.构造函数

〃x)=e-x-l,和g(x)=E-:即可得出答案.

8.已知函数/(x)，g(x)的定义域均为R,/(x+1)是奇函数，且/(l-x)+g(x)=2,/(x)+g(x-3)=2,

贝U()

2020

A./(x)为奇函数B.g(x)为奇函数C.Z〃E)=40D.£g(>)=40

k=lk=l

【答案】D

【分析】A选项，根据已知条件推出是周期为4的周期函数，故g(x)也是周期为4的周期函数，

/(-x)=/(%),故A错误；C选项,推出〃1)=0,/⑶=0,/(2)+/(4)=0,从而求出

20

£/(后)=5[/⑴+/⑵+/(3)+/(4)]=0；B选项，由/⑴=0得g(o)=2,故B错误;D选项,计算出g⑵=2,

k=i

g(l)+g(3)=4,故g(0)+g(l)+g(2)+g(3)=8,结合函数的周期得到答案.

【详解】A选项，因为〃x)+g(x-3)=2,所以/(x+3)+g(x)=2,

又/(l-x)+g(x)=2,则有〃x+3)=/(l-x),

因为〃X+1)是奇函数，所以+=

可得〃x+3)=_/(x+l),即有/(尤+2)=-/(力与/(x+4)=-/(x+2),

即〃尤+4)=/(切,

所以是周期为4的周期函数，故g(x)也是周期为4的周期函数.

因为-〃-”=〃x+2)且〃x+2)=-〃x).所以〃f)=〃x),

所以/(x)为偶函数.故A错误，

C选项，由/(x+1)是奇函数，则"1)=0,

因为/(x+2)=_/(x),所以〃3)=0,

又〃x+=/(x)是周期为4的周期函数，

故〃2)+〃4)=〃2)+〃0)=0,

20

所以»㈤=5[/⑴+/(2)+〃3)+/(4)]=0,所以C错误；

i=\

B选项，由〃1)=0得g(O)=2,故g(x)不是奇函数，所以B错误；

D选项，因为〃x+3)+g(x)=2,所以g⑵=2-/⑸=2-(⑴=2,

g(l)+g(3)=[2-/(4)]+[2-/(6)]=4-[/(4)+/(2)]=4.

所以g(O)+g⑴+g(2)+g(3)=8,

20

所以2g(左)=5[g(0)+g⑴+g(2)+g(3)]=40,所以D选项正确

k=\

故选：D

【点睛】设函数J=/(x),XGR,a>0,a*b.

(1)若〃x+a)=/(x-。)，则函数f(x)的周期为2a；

(2)若/(x+a)=-/(x),则函数/(x)的周期为2a；

(3)若〃x++F则函数“X)的周期为24；

(4)若〃龙+。)则函数/(x)的周期为2a；

(5)若/(x+a)=/(x+b),则函数/(X)的周期为|〃一6|；

(6)若函数〃x)的图象关于直线x=a与x=b对称，则函数“X)的周期为2帆-同；

(7)若函数〃x)的图象既关于点(凡0)对称，又关于点他,0)对称，则函数〃》)的周期为2|6-小

(8)若函数/(x)的图象既关于直线x对称，又关于点他,0)对称，则函数/(x)的周期为4|6-

(9)若函数/(X)是偶函数，且其图象关于直线x=a对称，则/(x)的周期为2a；

(10)若函数是奇函数，且其图象关于直线x=”对称，则〃x)的周期为4a.

二、多选题(本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分)

9.已知2“=5〃=10,则下列关系正确的是()

A.ea-b>1B.a+b<ab

C.a+4b<9D.^-+lj+^|+2j>8

【答案】AD

【分析】利用对数的运算法则化简，结合作差法和基本不等式比较大小，依次判断各选项.

【详解】因为2"=5。=10,

所以4=108210=1+108,5=工,6=108510=1+10852=工，

一lg2-lg5

对A选项，a-b=^--^-lg5-lg2

>0,所以>e°=1,故A正确;

lg2lg5Ig5-lg2

1111Ig5+lg2-lIglO-l

对B选项,a+b-ab==0,

黄质一箴运Ig5-lg2lg5-lg2

所以。+6=a6,故B选项不正确;

对C选项，因为。,6>。，—F—=lg2+lg5=l,

ab

所以.+46=(a+46)4+；竺+卜522产［+5=9,

而QW26,故上述不等式等号不成立，则。+4b〉9,故C不正确；

对D选项，,+Q+2^=(lg2+1)2+(lg5+2)2=(lg2+1)2+(1-lg2+2)2

=2lg22-41g2+10=2(lg2-1)2+8>8,故D正确.

故选：AD

10.已知函数/(x),g(x)的定义域均为R,且满足知x)-g(2/w)=4,g(x)+/(x-4)=6,

g(3-x)+g(l+x)=0，则()

A./(x)-/(x-2)=-2B.g(x)的图象关于点(3,0)对称

60

c.g(2)=oD.£/(")=-1620

n=l

【答案】AC

【分析】由g(3-x)+g(l+x)=。得出y=g(x)的图象关于点(2,0)对称，由g(x)+/(x-4)=6和

/(x)-g(2-x)=4得出/(X)-/(x-2)=-2可判断A；由g(x+4)+f｛x)=6和/(x)-g(2-x)=4可判断B；根

据g(x)的定义域均为R和图象关于点(2,0)对称可判断C；记氏=/(2〃-1),2=/(2"),〃eN*,结合选

项A知数列｛%｝和数列物,｝均为等差数列，利用等差数列的求和公式可判断D.

【详解】；g(3-O+g(l+x)=0,

>=g(x)的图象关于点(2,0)对称，即g(2-x)=-g(x+2),

对于A,,•・g(x)+/(x-4)=6,g(x+2)+/(x_2)=6①，

1•,/(*)-g(2-x)=4,/(x)+g(x+2)=4②，

②-①得“X)-/(X-2)=_2,故A正确；

对于B,；g(x)+/(x-4)=6,g(x+4)+/(x)=6③，

•••一(x)-g(2-x)=4④，

③一④得g(x+4)+g(2-x)=2,r.g(x)的图象关于点(3,1)对称，故B错误;

对于C：g(x)的定义域为R且图象关于点(2,0)对称，.•.g(2)=0,故C正确；

对于D,•••g(x)的定义域为R且图象关于点(3,1)对称，「.g⑶=1,

由②知，当x=l时，/(l)+g(3)=4,/(1)=3,

当x=0时，〃0)+g⑵=4,，/10)=4,

•••/(x)-/(x-2)=-2,/(2)-/(0)=-2,

记%=/(2〃一1),bn=f(ln),“eN*,

由选项A知，数列｛%｝是以3为首项，以-2为公差的等差数列，

数列抄,｝是以2为首项，以-2为公差的等差数列，

/.an=3+(n-1)(-2)=-2n+5,bn=2+(〃-1)(-2)=-2〃+4,

&翁翁30x(3-55)30x(2-56),,…

⑺=£玛+£4=---------------+----------------=-1590,故D错误.

〃=1n=ln=l乙乙

故选：AC.

11.著名的德国数学家狄利克雷在19世纪提出了这样一个“奇怪的"函数：定义在R上的函数

(0X是无理数

D(x)=「曰土用物.后来数学家研究发现该函数在其定义域上处处不连续、处处不可导•根据该函数，以

[l,x是有理数

下是真命题的有()

A.D[x+y)<D[x]+D(y)

B.O(x)的图象关于〉轴对称

C.2(x)=O(O(x))的图象关于〉轴对称

D.存在一个正三角形，其顶点均在。(x)的图象上

【答案】BCD

【分析】特殊值代入验证A,D；利用偶函数定义判断B,C.

【详解】对于A,当x=0,尸一隹时,D(x+y)=D(O)=l,0(V2)+D(-V2)=0+0=0,

Z>(x+y)>Z>(x)+Z>(j?),故A错误；

对于B,因为。(x)的定义域为R,关于原点对称，

若T是无理数，则x是无理数，所以。(T)=0,D(x)=O..

若-x是有理数，则x是有理数，所以。(—)=1,。(力=1；

所以。(-x)=D(x),

故。(x)是偶函数，图象关于歹轴对称，B正确；

对于C,由B可知，£>(-x)=Z>(x),所以3(-》)=。(。(-工))=。(£>3)=£)2(》)，

故3(x)=〃(o(x))是偶函数，图象关于〉轴对称，C正确；

对于D,设/-£，0)，彳告，°)，I。/)，

则M同=MC=忸q,所以“8C是等边三角形，

又因为。-彳=0,D*=0,。⑼=1,所以18C的顶点均在。(x)的图象上，D正确.

故选：BCD

三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分)

12.若〃x)=log3(3"+3，)+(x+a)2是偶函数，则实数。=.

【答案】-1

【分析】因为/(x)=bg3(3"+3，)+(x+a)2是偶函数，所以"1)=/■(-1),据此即可求解，注意检验.

【详解】因为/(x)=log3(33，+3，)+(x+a)2是偶函数，定义域为R,

22

所以/(I)=/(-1),所以(27+3)+(1+a)=log3(—+-)+(-1+a),

所以log3(30x1^)=-4a,所以。=-1,此时〃x)=log3(33，+3*)+(x-l)2,

232

=log3(3-"+3T)+(-x-1)=log3()+(x+1)

=log3甲+3,)+(x-1)。=/(x)满足题意.

故答案为：-1.

13.已知函数/(x)=lg(Y+办+1)在区间(-*-2)上单调递减，则。的取值范围为.

【答案】(-吟

【分析】将/(x)=lg(x2+ax+l)可看作由》=但/〃=/+^+1复合而成，根据复合函数的单调性，列出不

等式，即可求得答案.

【详解】设a=x?+办+1,则〃x)=lg(x2+ax+l)可看作由y=lga,〃=*+办+1复合而成，

由于y=1g”在(0,+8)上单调递增，

故要使得函数/(%)=坨(―+办+1)在区间(-叫-2)上单调递减，

需满足">0在区间(-%-2)上恒成立，且〃=/+办+1在区间(-8,-2)上单调递减，

-->-25

故2,解得

(-2)2+(-2)a+l>0

故a的取值范围为(-℃,,

故答案为：(-°°,-|]

1

14.已知幕函数/(x)=1y,若〃a-l)</(8-2a),则a的取值范围是.

【答案】(3,4)

【分析】根据题意得到累函数〃无)的定义域和单调性，得到不等式〃的等价不等式组，

即可求解.

可得函数/'(x)的定义域为(0,+8),且是递减函数,

a—1>8—2a

因为〃"l)</(8_2a),可得，"1>0,解得3<a<4,

8—2a>0

即实数。的取值范围为(3,4).

故答案为：(3,4)

四、解答题(本题共5小题，共77分，其中15题13分，16题15分，17题15分，18题17分,

19题17分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

15.环保部门为了研究某池塘里某种植物生长面积S(单位：m?)与时间小单位：月)之间的关系，通过观察建

立了函数模型eZ#>0,。>0,且aN1).已知第一个月该植物的生长面积为lm\第三个月该植物

的生长面积为4m2.

(1)求证：若S,)S,)=(S&))2,贝"+4=2公

(2)若该植物的生长面积达到100n?以上，则至少要经过多少个月？

【答案】⑴证明见解析

(2)8个月

【分析】(1)先根据条件求出参数，利用指数的运算可得答案;

(2)根据题意可得2i>100,求解指数不等式即可.

S⑴=ka=1k=-

【详解】(1)证明:2.

S(3)=kci=4

a=2

...S⑺=；x2,=2?-1.

由S(41S俏)=(S«2))2，得24T-2'3T=22-2,"+%=2/2.

(2)令S(f)=2'T>100,又teZ,5(7)=64<100,5(8)=128>100,

即至少需要经过8个月.

<i

16.已知指数函数/(x)的图象过点

⑴求“X)的解析式;

(2)若函数g(x)=〃2x)-布'(x7)+l,且在区间(T+8)上有两个零点，求加的取值范围.

【答案】(1)〃尤)=I

⑵1

【分析】(1)设(。＞0,且。21),根据函数过点,代入求出参数。的值，即可得解;

(2)首先求出g(x)的解析式，令，=，，e(O,2),令夕=〃-2皿+1,fe(O,2),则问题转化为

、=»-2皿+1在fe(O,2)上有两个零点，根据二次函数根的分布得到不等式组，解得即可.

【详解】(1)由题意，设/(工)=优(。＞0,且"1),

r.

•••“X)的图象过点不，手，

.•./=等=停了，解得a=g,

故函数/(x)的解析式〃x)=

(2)•;g(x)=/(2x)-矶x-l)+l,

令，=(；)，因为xe(T,+°°),所以fe(O,2),

y=t2—2mt+1,te(0,2),

=(1+1在(-1,+8)上有两个零点，等价于-2皿+1在fe(o,2)上有两个零点,

函数g(x)

02-2mx0+l>01>0

22-2机x2+l>05

m<—解得1＜心＜;,

则A=(-2m)2-4xlxl>0,艮卜4

m2>\

八-2m.

0<--------<2

20<m<2

故实数加的取值范围为I01.

17.已知函数/'(x)=lognx+l)+k)g.(x-l),g(x)=x2-ax+6(aeR),

22

⑴求函数/■(》)的定义域.

⑵判断函数/(X)的奇偶性，并说明理由.

⑶对\/毛©[6,+8),尤2€[1,2],不等式〃xjvg⑷恒成立，求实数。的取值范围.

【答案】⑴(1,+8)

⑵函数/(X)为非奇非偶函数，理由见解析；

f11

⑶一支

【分析】(l)根据函数g(x)的解析式有意义，得出不等式组，即可求解；

(2)根据函数/(x)的定义域的不关于原点对称，即可得到结论；

(3)根据题意，转化为〃X：UWg(x)mm，根据函数/(x)的单调性，求得了(XU=T，得到

Vx€[1,2],-6ZX+7>0,

7711

法一：转化为Vx£[l,2],aWx+嚏，令/z(x)=x+『求得人⑴而…,，即可求解；

法二：g”|<1^1<-|<2,结合二次函数的性质，列出不等式，即可求解.

【详解】(1)解：由函数/(x)=bg!(x+l)+bg2(xT)有意义，则满足

22[X-1>O

解得x>l,所以函数/(X)的定义域为(1,+8).

(2)解：因为/(X)的定义域为(1,+co),不关于原点对称，

所以函数/(X)为非奇非偶函数.

⑶解：由"对\/看6[后+=0),”[-2,4],不等式/(xJVgH)恒成立"，

可得/'(x)1mx4g(琦曲，

当时，/(x)=logjx+l)+logi(x-l)=logi(无2T

222

由〃x)在[省,+可上单调递减，/(x)max=/(V3)=-l,

根据题意得，对Vxe[1,2],/一办+720

7

法一：可转化为Vxe[l,2],a4x+(,

7711

令〃(X)=X+二由"x)在［1,2］上单调递减得，可得人(x)mm="2)=2+5=5,

实数。的取值范围为[应^

法二：设函数g(x)=x2-办+7,

①当羡22,即时，g(x)在[L2]上单调递减，

可得g(x)min=g(2)=10-2°N-l,解得日，则

②当■|W1,即aV2时，g(x)在[L2]上单调递增，

可得g(x)1nin=g(l)=7-aN-l,解得a48,贝Ua42；

③当即2<"4时，g(x)在［1,2］先减后增，

可得g(x)mm=(y+解得一4行4044后，所以2<"4,

综上，实数。的取值范围为卜巩£.

18.已知函数/(无)对于任意实数尤/eR恒有"x+y)=〃x)+〃y),且当x>0时，/(x)>0,又

/⑴=L

(1)判断/(x)的奇偶性并证明；

(2)求在区间［-4,4］的最小值；

⑶解关于x的不等式：/(ax2)-2/(x)>/(ax)-2.

【答案】⑴为奇函数，证明见解析

(2)-4

⑶答案见解析

【分析】(1)令》=了=0,得〃0)=0,再令y=-x,结合奇偶性定义可证；

⑵先证明单调性，利用单调性求解即可；

⑶先化为了("2+2)>/(2x+ax),再利用单调性转化为如2一(a+2)x+2>0,最后根据含参二次不等式的

分类讨论求解即可.

【详解】(1)〃x)为奇函数，理由如下：

函数/(x)的定义域为R,关于原点对称，

令x=y=0得/(0)=2〃0),解得〃0)=0,

令)=-x得/■")+/(-*)=〃0)=0所以〃-工)=-〃月对任意工€1<恒成立，所以/(x)为奇函数，

(2)任取再"2e(-co,+8),且再<工2，则％-再>°.因为当x>0时，/(x)>0,所以/(X2-王)>0.

/(x2)-/(x1)=/(x2)+/(-x1)=/(x2-x1)>0,即/(王)</。2),所以/(x)在R上单调递增，

所以〃x)在区间［-4,4］的最小值为/(-4),

因为/■⑴=1,令工=>=1得〃2)=/(1)+/'⑴=2,

令x=2,y=2得/(4)=/(2+2)=/(2)+/(2)=2+2=4,

/(x)在区间［-4,4］的最小值为/«in=/(-4)=-/(4)=-4,

(3)由/(ax?)-2〃x)>/(ox)-2,

得/'(ax?)+2>2/(x)+/(")=/(x)+/(x)+/(ax)=/(2x+ax),

由〃2)=2得/(a/)+/(2)=/(ax?+2)>/(2x+ax),

由〃龙)在R上单调递增得ax2+2>2x+ax整理得ax2-(a+2)x+2>0,即(ax-2)(x-1)>0,

当a=0时，一2x+2>0,解得x<l；当awO时，](x—1)>0,

当a<0时，(x———<0,解集为1―,1],

当a>0时，(x——1)>0,

当a=2时，(x-1)2>0,解集为

当0<a<2时，|>1,解集为(-8,1川匕,+<»1,

当a>2时，0<-<1,解集为1-oo,2]U。，+°°)，

a<a)

综上所述：当。=0时，解集为(一*1)；当"0时，解集为[：』)

当。=2时，解集为｛x|xwl｝；当0<a<2时，解集为(-81)U]1,+[；

当a>2时，解集为『s,lJuG+s).

【点睛】关键点睛：这道题的关键之处为第(3)问，需要对含参的二次函数进行分类讨论，难点