陕西省宝鸡市金台区2025届高三上学期第一次模拟考试数学试题（含答案解析）

金台区2025届高三第一次教学质量检测试题数学命题人：石油中学朱文博金台高中于粉丽区教研室齐宗锁马晶2024.09注意事项：1.考试时间120分钟，满分150分.2.答卷前，考生将答题卡有关项目填写清楚.3.全部答案在答题卡上作答，答在本试题上无效.一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据补集结合一元二次不等式求，再根据交集运算求解.【详解】因为，则，所以.故选：B.2.若复数满足，则（）A. B. C.5 D.10【答案】B【解析】分析】利用复数除法化简，然后由复数模公式可得.【详解】因为，所以，所以故选：B3.已知平面向量，，若，则实数（）A.-1 B.-2 C.1 D.2【答案】D【解析】【分析】根据向量的坐标运算及向量垂直的坐标表示求解.【详解】因为，，所以，，因为，所以，解得.故选：D4.若，且，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用正弦的差角公式结合弦切关系分别计算，再根据和角公式计算即可.【详解】因为，又，即，则，所以，故.故选：D5.蒙古包是蒙古族牧民居住的一种房子，建造和搬迁都很方便，适于牧业生产和游牧生活，蒙古包下半部分近似一个圆柱，高为2m；上半部分近似一个与下半部分同底的圆锥，其母线长为m，轴截面（过圆锥旋转轴的截面）是面积为的等腰钝角三角形，则该蒙古包的体积约为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据题意求圆锥的高和底面半径，再结合锥体、柱体体积运算求解.【详解】如图所示为该圆锥轴截面，设顶角为，因为其轴截面（过圆锥旋转轴的截面）是腰长为，面积为的等腰三角形，所以，解得，则或（舍去），由得，，则上半部分的体积为，下半部分体积为，故蒙古包的体积为.故选：C.6.已知函数是上的减函数，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】首先由题意有，若是上的减函数，故只需当时，单调递减，从而列出不等式组，解不等式组即可.【详解】当时，单调递减，，且最小值为，当时，当时，单调递增，不符题意，又注意到是上的减函数，故只能抛物线的开口向下即，其对称轴为，则由题意有，解得．故选：A.7.函数的零点个数为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】函数的零点个数，即函数与的图像在区间上的交点个数，作函数图像，利用数形结合求解.【详解】函数，定义域为，令，，函数的零点个数即函数与的图像在区间上的交点个数，作出函数与的图像，如图所示，，，，，，，函数与的图像在区间上有3个交点，即函数的零点有3个.故选：B8.定义在上的函数满足，，，且当时，，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先由已知条件求出一些特值，，，反复利用，可得，，再由与、与的大小关系从而得出结论．【详解】，，令得：，又，反复利用可得：①，再令，由，可求得，同理反复利用可得：②，由①②可得：有，，，而，所以，，故．故选：D．二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错或未选的得0分.9.下列说法中，正确的是（）A.数据的第50百分位数为32B.已知随机变量服从正态分布，；则C.已知两个变量具有线性相关关系，其回归直线方程为；若，，，则D.若样本数据的方差为2，则数据的方差为4【答案】BC【解析】【分析】根据第50百分位数为中位数判断A，根据正态分布的性质判断B，根据回归直线方程的性质判断C，根据方差的性质判断D.【详解】对数据排列：，因为第50百分位数为中位数，所以50百分位数为，故A错误；因为随机变量服从正态分布，，所以，所以，所以，所以，故B正确；因为，，，则，故C正确；因为样本数据的方差为2，所以数据的方差为，故D错误.故选：BC.10.已知函数，则（）A.有两个极值点B.有一个零点C.点是曲线的对称中心D.直线是曲线的切线【答案】ABC【解析】【分析】利用导数研究函数的单调性，结合极值点的概念、零点的存在性定理即可判断AB；根据奇函数图象关于原点对称和函数图象的平移变换即可判断C；根据导数的几何意义即可判断D.【详解】A：，令得或，令得，所以在，上单调递增，上单调递减，所以时取得极值，故A正确；B：因为，，，所以函数只在上有一个零点，即函数只有一个零点，故B正确；C：令，该函数的定义域为，，则是奇函数，是的对称中心，将的图象向上移动一个单位得到的图象，所以点是曲线的对称中心，故C正确；D：令，可得，又，当切点为时，切线方程为，当切点为时，切线方程为，故D错误.故选：ABC.【点睛】关键点点睛：本题主要考查利用导数研究函数的性质和函数图象的平移变换，其中选项C，构造函数，奇函数图象关于原点对称推出的对称性是解决本题的关键.11.平面内到两定点距离之积为常数的点的轨迹称为卡西尼卵形线，它是1675年卡西尼在研究土星及其卫星的运行规律时发现的．已知在平面直角坐标系xOy中，，，动点满足，其轨迹为一条连续的封闭曲线C，则下列结论正确的是（

）A.曲线C与y轴的交点为和B.曲线C关于x轴、y轴对称，不关于原点O对称C.点横坐标的范围是D.的取值范围为【答案】AC【解析】【分析】根据题意，求得曲线的轨迹方程为，利用轨迹方程，结合选项，逐项判定，即可求解.【详解】解：设点，因为，可得，整理得：，对于A中，当时，解得，即曲线C与y轴的交点为，所以A正确；对于B中，因为，用替换，方程不变，则曲线关于x轴对称，用替换，方程不变，则曲线关于y轴对称，同时用替换，用替换，方程不变，可得曲线关于原点对称，所以B错误；对于C中，因为，即可得，即，即，解得，即，所以点P的横坐标的取值范围是，所以C正确；对于D中，因为，由C项知，所以，故，所以D错误．故选：AC.三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.12.的展开式中常数项是______．（用数字作答）【答案】【解析】【分析】利用二项式展开式的通项公式求出指定项即可.【详解】由的展开式的通项得：，令，得，故．故答案为：.13.若斜率为的直线与轴交于点，与圆相切于点，则____________．【答案】【解析】【分析】设直线的方程为，则点，利用直线与圆相切求出的值，求出，利用勾股定理可求得.【详解】设直线的方程为，则点，由于直线与圆相切，且圆心为，半径为，则，解得或，所以，因为，故.故答案为：.14.九宫格数独游戏是一种训练推理能力的数字谜题游戏.九宫格分为九个小宫格，某小九宫格如图所示，小明需要在9个小格子中填上1至9中不重复的整数，小明通过推理已经得到了4个小格子中的准确数字，这5个数字未知，且为奇数，则的概率为__________.9745【答案】【解析】【分析】根据题意列出这个试验的等可能结果，然后求解概率即可；【详解】这个试验的等可能结果用下表表示：abcde216382183661238618328123681632236182381663218638128321683612共有12种等可能的结果，其中的结果有8种，所以的概率为.故答案为：.四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．（1）求A．（2）若，，求的周长．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据辅助角公式对条件进行化简处理即可求解，常规方法还可利用同角三角函数的关系解方程组，亦可利用导数，向量数量积公式，万能公式解决；（2）先根据正弦定理边角互化算出，然后根据正弦定理算出即可得出周长【小问1详解】方法一：常规方法（辅助角公式）由可得，即，由于，故，解得方法二：常规方法（同角三角函数的基本关系）由，又，消去得到：，解得，又，故方法三：利用极值点求解设，则，显然时，，注意到，，在开区间上取到最大值，于是必定是极值点，即，即，又，故方法四：利用向量数量积公式（柯西不等式）设，由题意，，根据向量的数量积公式，，则，此时，即同向共线，根据向量共线条件，，又，故方法五：利用万能公式求解设，根据万能公式，，整理可得，，解得，根据二倍角公式，，又，故【小问2详解】由题设条件和正弦定理，又，则，进而，得到，于是，，由正弦定理可得，，即，解得，故的周长为16.已知椭圆C：（）的一个焦点为，且离心率为.（1）求椭圆的方程；（2）直线l：与椭圆C交于A，B两点，若面积为，求直线的方程.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据焦点坐标和离心率求出，从而求出，即可求解方程；（2）联立直线与椭圆方程，韦达定理求出弦长，利用点到直线的距离求出高，根据面积建立方程求解即可.【小问1详解】由焦点为得，又离心率，得到，所以，所以椭圆C的方程为.【小问2详解】设Ax1,联立，消y得，，得到，由韦达定理得，，，又因为，又原点到直线的距离为，所以，所以，所以，即，满足，所以直线l的方程为.17.已知函数．（1）讨论的单调性；（2）证明：当时，．【答案】（1）答案见解析（2）证明见解析【解析】【分析】（1）先求导，再分类讨论与两种情况，结合导数与函数单调性的关系即可得解；（2）方法一：结合（1）中结论，将问题转化为的恒成立问题，构造函数，利用导数证得即可.方法二：构造函数，证得，从而得到，进而将问题转化为的恒成立问题，由此得证.【小问1详解】因为，定义域为，所以，当时，由于，则，故恒成立，所以在上单调递减；当时，令，解得，当时，，则在上单调递减；当时，，则在上单调递增；综上：当时，上单调递减；当时，在上单调递减，在上单调递增.【小问2详解】方法一：由（1）得，，要证，即证，即证恒成立，令，则，令，则；令，则；所以在上单调递减，在上单调递增，所以，则恒成立，所以当时，恒成立，证毕.方法二：令，则，由于在上单调递增，所以在上单调递增，又，所以当时，；当时，；所以在上单调递减，在上单调递增，故，则，当且仅当时，等号成立，因为，当且仅当，即时，等号成立，所以要证，即证，即证，令，则，令，则；令，则；所以在上单调递减，在上单调递增，所以，则恒成立，所以当时，恒成立，证毕.18.如图，在四棱锥中，底面为正方形，，为线段的中点，平面底面．（1）求证：平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值．【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）先证明平面，所以，又因为，为中点，所以，由线面垂直的判定即可得证；（2）建立空间直角建系，不妨取，得出平面的法向量，利用空间向量求解即可．【小问1详解】因为平面平面，且平面平面，，平面ABCD，所以平面，平面，所以，又因为，为中点，所以，又，平面，所以平面；【小问2详解】设点在底面的射影为点，则平面，又平面，所以，取中点，因为，所以，又，平面，所以平面，因为平面，所以，即在的中垂线上，如图建立空间直角建系，不妨取，则设为，，A2,0,0，，所以，，，由（1）可知，计算得，，所以，又，，设平面PBC的法向量为，则，即，取，所以．19.中国女排是中国各体育团队中成绩突出的体育团队之一，曾是世界上第一个“五连冠”得主，并十度成为世界冠军，2023年在杭州第19届亚运会上女排再度获得冠军．她们那种团结协作、顽强拼搏的精神极大地激发了中国人的自豪、自尊和自信，为我们在新征程上奋进提供了强大的精神力量．如今，女排精神广为传颂，家喻户晓，各行各业的人们在女排精神的激励下，为中华民族的腾飞顽强拼搏．某中学也因此掀起了排球运动的热潮，在一次排球训练课上，体育老师安排4人一组进行传接球训练，其中甲、乙、丙、丁四人刚好围成一个矩形（如图），已知当某人控球时，传给其相邻同学的概率为，传给对角线上的同学的概率为，由甲开始传球．（1）求第3次传球是由乙传给甲的概率；（2）求第次传球后排球传到丙手中的概率；（3）若随机变量服从两点分布，且，，，…，，则，记前次（即从第1次到第次传球）中排球传到乙手中的次数为，求．【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）设第次传球后排球在甲、乙、丙、丁手中的概率分别为，得到，求出，从而得到第3次传球是由乙传给甲的概率；（2）求出之间的关系式，联立后得到，，进而得到是以为首项，公比为的等比数列，求出；（3）在（2）的基础上求出，求出，利用等比数列求和公式得到答案.【小问1详解】设第次传球后排球在甲、乙、丙、丁手中的概率分别为，则．第2次传球到乙手中的概率，所