2024-2025学年广东省广州市某中学高三（上）月考数学试卷（9月份）（含答案）

2024-2025学年广东省广州市西关外国语学校高三（上）月考

数学试卷（9月份）

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求

的。

1,已知集合4={x\x>1],B={x|2x2-5x-3<0},则2UB=（）

A.{x\x>1]B.[x\x>-1]C.{x|l<%<|}D.{x|l<x<3}

2.已知复数z满足5z+3z=8-2i,则|z|=（）

A.1B.2C.V2D.2也

3.已知等比数列{诙}的前2项和为12,由-a3=6,则公比q的值为（）

11

A.-B.2C.-D.3

4.已知平面向量而万满足：|曲=|m=2,且记在五上的投影向量为五，则向量访与向量云-云的夹角为（）

A.30°B,60°C.120°D,150°

5.若小〉0,n>0,且3zn+2n—1=0,则高+押最小值为（）

A.20B.12C.16D.25

JTTT

6.已知函数/'（X）=sin（3x+0）（3>0,|租|<g）满足/（§）=1,最小正周期为兀，函数g（x）=sin2x,则将

f（x）的图象向左平移（）个单位长度后可以得到g（x）的图象.

A竟B.?C.D.

o612

7.已知心,尸2是椭圆C：,+3=1（口〉6〉0）的左、右焦点，4是椭圆C的左顶点，点P在过4且斜率为塔

的直线上，△PF1&为等腰三角形，NF/2P=120。，则椭圆C的离心率为

2ill

A-B-C-D-

3N34

YPXV<<1

{N1,若5〃久）+1=°有3个实数解，则实数。的取值范围为（）

A.[-p+8）B.+oo）C.[-1,e]D.[-pe-1]

二、多选题：本题共4小题，共24分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

9.下列说法正确的是（）

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A.已知随机变量X服从正态分布NO，/),。越小，表示随机变量X分布越集中

B.数据1,9,4,5,16,7,11,3的第75百分位数为9

C.线性回归分析中，若线性相关系数H越大，则两个变量的线性相关性越弱

17

D.已知随机变量不小(7,金,则£(&或

10.在平行六面体ABCD—AiBiCiDi中，已知ZB=AD=A4i=1,ZTh

AB=AA^AD=4BAD=60°,贝!J()

A,直线&C与BD所成的角为90°

B.线段&C的长度为避

C.直线4C与BB1所成的角为90°

D.直线AiC与平面4BCD所成角的正弦值为当

11.设函数/'(久)与其导函数/'(久)的定义域均为R,且/''(£+2)为偶函数,/(I+x)-f(l-x)=0,则()

A.f(l+^)=f'(l-x)B.f(3)=0

C.f(2025)=0D./(2+x)+f(2-x)=2/(2)

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

12.(/+?)3的展开式中，常数项为____.

13.在△ABC中，^ABC=90。，AB=4,BC=3,点D在线段AC上，若lBDC=45°,则BD=；

cosZ-ABD=.

2

14.已知函数/(%)=|lnx-l|,0<x1<e<x2<e,函数/(%)的图象在点和点7(冷/3))的

两条切线互相垂直，且分别与y轴交于P,Q两点，则明|的取值范围是.

四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

15.已知数列｛3叼是首项为3,公比为9的等比数列，数列也｝满足打+与+*+…+含=3几

(1)求数列｛斯｝和｛怎｝的通项公式;

(2)求数歹!]｛詈｝的前?1项和S”

16.已知三棱锥P-4BC满足4B1AC,AB1PB,AC1PC,且4P=3,BP=飙BC=2".

(1)求证：AP1BC；

(2)求直线BC与平面4BP所成角的正弦值,

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17.已知函数/'(x)=2alnx+^x2-(a+3)x.(aeR)

(1)若曲线y=/(x)在点(1/(1))处的切线方程为〃X)=-x+b,求a和6的值；

(2)讨论f(x)的单调性.

18.如图，已知抛物线必=轨的焦点为F,过点P(-l,2)作一条不经过F的直线/,若直线I与抛物线交于异于

原点的4B两点，点8在无轴下方，且4在线段PB上.

(1)试判断：直线F4FB的斜率之积是否为定值?若是，求出这个定值;若不是，请说明理由.

(2)过点B作PF的垂线交直线AF于点C,若△FBC的面积为4,求点B的坐标.

19.对于一个四元整数集力=｛a,b,c,d｝,如果它能划分成两个不相交的二元子集｛a,6｝和｛c,d｝,满足

ab-cd=1,则称这个四元整数集为“有趣的”.

(1)写出集合｛1,2,3,4,5,6,7,8｝的一个“有趣的”四元子集；

(2)证明：集合｛1,2,3,4,5,6,7,8｝不能划分成两个不相交的“有趣的”四元子集；

(3)证明：对任意正整数n(n>2),集合｛1,2,3,…,4册不能划分成n个两两不相交的“有趣的”四元子集.

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参考答案

1.5

2.C

3.X

4.C

5.D

6.A

7.0

8.B

9.AD

10.AC

ll.BCD

12.3

iq127A/2

'5；IF

14.(3,+00)

15.解:⑴由题意得3。”=3><9时1=32"-1,

所以an=2n-l.

由历+与+*+…+/r=3n,

得当几之2时，儿+笄+的+•••3(n-1),

所以含=3,即刈=3n.

又当71=1时，厉=3也符合，所以勾=3九.

(2)设％=黄=(2?1—1)。)"，

2n

则Sn=c1+c2+■■-+cn=1x1+3x(1)+•••+(2n-l)(1),

畀=1x&2+3x弓尸+...+(2n-l)•(扔+i,

n+1

两式作差得|sn=lx1+2x(今2+2x©)3+…+2x(1)-(2n-l)(1r,

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即|sn=一!+打管”］一(2f好+1=|-2^+2;

所以s.二「限

16.解：(1)证明：•■-AP=3,BP=^,AB1PB,AB=2,

•••BC=2也,AB1AC,：.AC=2,

AC1PC,PC="，

即：AB=AC=2,PB=PC—^/5,

取BC中点。，连接A。，PO,则4。1BC,PO1BC,且4。ClP。=0,AO,POu平面40P,

：.BC1平面力。P,

•••APu平面AOP,

BC1AP.

(2)如图，以。为坐标原点，。4OB所在直线分别为％,y轴建立空间直角坐标系,

由⑴可知4(避,0,0),B(0,V2,0),C(0-*,0),

△40P中，cosNPA。=早AP=3,P(一#,0,1),

XB=(-72,72,0),XP=(-272,0,1),BC=(0,-272,0),

设△ZB尸的法向量薪=

贝糕弟:‘心就箕。,

取为=(1,1,2"),

记BC与平面4BP所成角为仇

则s讥”|cos(BC,m)|=需a=力*=嚅・

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17.解：(1)/(%)=2alnx+22_(q+3)%,则f'(%)=^+|x—a—3,

曲线y=/(%)在点(1,/Q))处的切线方程为/(%)=f+b,

Q.1

则=。_,=_1,解得Q=-,

Q.7

由/'(1)=-a-471=-1+4b1,解得6=

o

(2)/(%)=2alnx+-x2-(a+3)%,函数定义域为(0,+8),

4

则「(X)=§+|x—a—3=3-2磐-2),

令f'(x)=0，解得x=2或％=与，

若a<0,则当xG(0,2)时，f'(x)<0,毛支)单调递减,当x£(2,+:)时,f'(x)>0,f(x)单调递增，

若0<a<3,则当xG咨,2)时，f'(x)<0,f(x)单调递减,当xG(0,竽)和x6(2,+8)时,f'(x)>0,

/(久)单调递增，

若a=3,则广(%)20在(0,+8)1恒成立,/(久)单调递增，

若a>3,则当xG(2争时，f'(x)<0,〃X)单调递减，当久G(0,2)和％G号,+8)时，f(x)>0,

/(%)单调递增.

综上所述，当aW0时，外吗的单调递增区间为(2,+8),单调递减区间为(0,2)；

当0<a<3时，/⑺的单调递增区间为(0第和(2,+8),单调递减区间为笛2)；

当a=3时，/(尤)的单调递增区间为(0,+8),无单调递减区间；

当a>3时，f(久)的单调递增区间为(0,2)和印,+8),单调递减区间为(2哥.

18.解：(1)若4F的斜率不存在，则点B不存在或与原点重合；

若B尸的斜率不存在，则点4与原点重合.

因此，直线4F与BF的斜率均存在.

设直线/：%=m(y-2)-1,代入抛物线方程得：y2-4my+8m+4=0,

设8(%2,丫2)，则以+及=4m,yry2=8m+4,

I,yiyi4yl4y2

kFA.RFB=-T---7=-2―7.-2―7

x±—l%2—1yf—4yg—4

______________16yly2_______________i.

(yiy2)2-4(yi+y2)2+8yly2+16__'

(2)由题意可知，尸尸的斜率为-1,方程为y=—x+1,

设点(力<0,t±-1),所以直线-2力=x-t2,

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解方程组｛遍得光=〃-2；+1,

因此直线BC与PF的交点坐标为+1，一"+；'+与

因为版尸=言),由(1)得左4尸=与黄，

r七2_]

所以直线2F：y=与三加—1),解方程组V:久;1)'得x=-2：：成宁1=「23

zt(y—2t=%—tz,t^-zt-i

因此可得c(l—2t,l—/),所以M为BC的中点，

从而S△尸BC=2S"BM=|BM|•\FM\,

2±1

SAFBC=^\t-^\-V2|^±l-l|=||(t2_3)2_8|=4)

所以(12—3)2—8=±8,因为t<0,解得t=—4或±=—々，

因此，所求的点8的坐标为B(3,—2避)与(7,—2〃).

19.解:(1)｛1,2,3,5｝(符合要求即可)；

(2)证明：假设可以划分，Vab-cd=1,

ab和cd一定是一个奇数一个偶数，

••.a,b,c,d中至多两个偶数.

则对于｛1,2,3,4,5,6,7,8｝的一种符合要求的划分｛3如％心｝和｛£12/2,。2必｝,

每个四元子集中均有两个偶数.

若两个集合分别为｛2,4,“%｝和｛6