复数-2025届高考数学二轮复习易错重难提升【新高考版】（含解析）

(10)复数

——2025届高考数学二轮复习易错重难提升【新高考版】

易混重难知识

1.复数的有关概念

(1)复数相等：〃+仇=。+&0〃=。且6=6/(〃,。,0,4£用).

(2)共辗复数：。+历与c+di共辗01=°且/?=一—c,d£R).

(3)复数的模

①概念：复数Z=Q+历32wR)对应的向量。2的模叫做z的模，记作|z|或|〃+历I，即

|z|=|a+为|=Jo2+".

②性质：若2为复数，则归目=|讣上电用—0).

2.复数的几何意义

(1)复数z=a+历(a,5eR)<一对应>复平面内的点Z(a,6).

(2)复数z=a+历(a,6eR)<一对应>平面向量07(0(0,0),Z(a,b)).

3.复数的加、减、乘、除运算法则

=a+bi,z2=c+di(a,b,c,deR),则

(1)加法：Z]+z2=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i；

(2)减法：Z]-z?=(a+6i)—(c+di)=(a-c)+(6-d)i；

(3)乘法：Z]-z2=(a+bi)-(c+di)=(ac-bd)+(bc+ad)i；

z,a+bi(a+bi)(c-di)ac+bdbc-ad八、

(4)除法:—=----:=----------=———丁+———-i(c+diw0)

z2c+di(c+<7i)(c-t7i)c"+d'c~+d~

4.复数加法的运算律

复数的加法满足交换律、结合律，即对任何4*2*3eC,有Z1+Z2=Z2+Z],

5.复数加、减法的几何意义

（1）复数加法的几何意义

若复数4/2对应的向量鬲，区不共线，则复数ZI+Z2是以西，西为两邻边的平行四边形的

对角线反所对应的复数.

（2）复数减法的几何意义

复数Z1-2是南-运=»所对应的复数.

6.复数乘法的运算律:对于任意zl,z2,z3eC,有交换律：ZR=z2z；；结合律：（"2"3=Z&Z3）；

乘法对加法的分配律：40+z3）=ZR+Z1Z3.

易错试题提升

1.已知z=lz£,则，—1_（）

2+2i

A.-iB.iC.OD.l

2.已知复数z=(3—i)(l+i),则z=()

C.2D

A.非B.2A/5-2A/2

3.设复数2=（2+炉,则三=（）

Al-2iBl+2ic-l-2iD-l+2i

4.若z=l+i,贝！J——2z|=()

A.OB.IC.V2D.2

5.已知复数Z满足（l—2i>Z=i2024（i为虚数单位），贝屯=（)

.l+2i„l-2i„l+2i

A.------B.------C.--------DC.-2--i----l

5555

6.复数z=的虚部为（）

。+1）（2+1）

A.--B.-lCJD.-

5555

7.复数〜在复平面内对应的点所在的象限为（）

l-3i

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

8.已知z=l—2i,且z+a』+>=O,其中a,b为实数,则（）

A.a-1,b--2B.a=-1,b=2

C.<2=1»b-2D.a=-1,b=-2

9.（多选）若复数z满足z（l-。=卜同，贝ij（）

A.z=-i+iB.z的实部为1

C.z=l+iD.z2=2i

10.（多选）对任意复数①i，①2，定义〃*。2=四石2,其中石2是。2的共甄复数，对任意复数

Z],z2,z3,下列命题为真命题的是（）

A.(Z[+Z2)*Z3=4*Z3+Z2*Z3

B.Z1*(Z2+Z3)=Z1*Z2+Z1*Z3

c.(z1*z2)*z3=z1*(z2*z3)D.Z]*Z2=Z2*4

11.已知aeR，且复数”二是纯虚数，则。=.

1+i

12.若复数z满足z・（2+i）="l—i）+l,则复数z的实部为

13.已知复数z=»0，i为虚数单位，则忸=___________.

1-i11

14.若复数zJl+蛆，贝！Jz=.

3+4i

15.已知i是虚数单位，z=l+i-元叫且Z的共甄复数为1则z.；=

答案以及解析

1.答案：A

解析:因为z=U=(1一w1一0=乌=—匕,

2+2i+i42

所以z=—i即z—』=—「故选：A.

2

2.答案：B

解析：因为2=(3—i)(l+i)=3+3i—i—i?=4+2i,所以力=正淳=2指・

3.答案：B

解析：由题意得复数z=(2+i)i3=(2+i)(—i)=l—2i,

故］=l+2i，故选:B

4.答案：D

解析：方法一：・.・z=l+i,二忖―2z|=|(l+i)2—2(l+i)|=|2i—2i—2|=|—2|=2.故选D.

方法二：；z=l+i,.1忖―2z|=|z||z—2|=0x|—l+i|=V^x上=2.故选D.

5.答案：B

•506x41l+2il+2i-l-2i

解析：(l-2i)-z=i2024=>z=---------==>z=

l-2il-2i(l-2i)(l+2i)------5---------------5

故选：B.

6.答案：A

1-i_(l-i)(l-3i)-2-4i12.

解析：由------1

l+3i-(l+3i)(l-3i)1055

可得复数z的虚部为—2.故选:A.

5

7.答案：A

解析：2-j=(2-iXl+3i)当K++所以复数言在复平面内对应的点的坐标

l-3i(l-3i)(l+3i)

，位于第一象限.

8.答案：A

解析：由题意知z=l+2i,所以z+〃z+/?=1—2i+“(1+2i)+6=〃+/?+1+(2〃-2)i,又

—LLr、ILLr、I〃+/?+l=0“F/口a=1Iz、山

z+az+Z?=O,所以a+Z?+l+(2a—2)i=0,所以＜，解得〈,故选A.

2a—2—0b——2

9.答案：BD

解析：因为z(l-i)=|l-6i|=2,所以z=3=l+iA错误；实部为1,B正确；1=1-i,

1-i

C错误；z2=(l+i)2=l+2i+i2=2i,D正确.故选BD.

10.答案：AB

+ZZ3=Z；*Z+z*z3)

解析：对于A,(z1+z2)*z3=+z2)Z3=Z^Z-i232则A为真命题；对于

B,Z1*(Z2+Z3)=Z1(Z2+Z3)=Z1(Z2+Z3)=Z]Z2+Z1Z3=Z1*Z2+Z1*Z3，则B为真命题；对于

C,(Z]*Z2)*Z3=(Z]Z2)Z3=Z]Z2Z3,而Z]*«2*Z3)=Z1*卜2Z3)=Z1Z2Z3=Z/2Z3,则C为假命

题；对于D,2]*Z2=Z]Z2,ffi]Z2=Z2Z1,则D为假命题.故选AB.

n.答案：—2

角不.a+2i(a+2i)(l-i)4+2+2-a.

：1+i-(l+i)(l-i)-2219

又•.•该复数为纯虚数

故£±2=0，a=—2，

2

故答案为：—2

12.答案：1

解析：设z=a+仇,贝！J(a+Z?i)・(2+i)=(a-Z?i)・(l-i)+L得

2a—b=a—b+1,益力,口1„八人丁，

(2a—Z?)+(Q+2b)i=(〃一/?+1)—(a+Z?)i,根据复数相等，得＜〜，解得〃=1.故答案