2024-2025学年高中数学第1章导数及其应用1.4导数在实际生活中的应用课时素养评价含解析苏教版选修2-2

PAGE课时素养评价九导数在实际生活中的应用(25分钟·60分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.某银行打算新设一种定期存款业务,经预料,存款量与存款利率成正比,比例系数为k(k>0),贷款的利率为4.8%,假设银行汲取的存款能全部放贷出去.若存款利率为x(x∈(0,0.048)),当银行获得最大收益时,则存款利率此时应为()A.0.048 B.0.024C.0.012 D.0.006【解析】选B.由题意知,存款量g(x)=kx(k>0),银行应支付的利息h(x)=xg(x)=kx2,x∈(0,0.048).设银行可获得收益为y,则y=0.048kx-kx2.于是y′=0.048k-2kx,令y′=0,解得x=0.024.依题意知,y在x=0.024处取得最大值.故当存款利率为0.024时,银行可获得最大收益.2.某商场从生产厂家以每件20元购进一批商品,若该商品零售价定为p元,销售量为Q,则销售量Q(单位:件)与零售价p(单位:元)有如下关系:Q=8300-170p-p2.则最大毛利润为(毛利润=销售收入-进货支出) ()A.30元 B.60元 C.28000元 D.23000元【解析】选D.设毛利润为L(p),由题意知L(p)=pQ-20Q=Q(p-20)=(8300-170p-p2)(p-20)=-p3-150p2+11700p-166000,所以,L′(p)=-3p2-300p+11700.令L′(p)=0,解得p=30或p=-130(舍去).此时,L(30)=23000.因为在p=30旁边的左侧L′(p)>0,右侧L′(p)<0,所以L(30)是极大值,依据实际问题的意义知,L(30)是最大值,即零售价定为每件30元时,最大毛利润为23000元.3.某产品的销售收入y1(万元)是产量x(千台)的函数,y1=17x2;生产总成本y2(万元)也是x的函数,y2=2x3-x2(x>0),为使利润最大,应生产的台数为 ()A.36千台 B.24千台C.12千台 D.6千台【解析】选D.利润y=y1-y2=17x2-(2x3-x2)=18x2-2x3(x>0),求导得y′=36x-6x2,令y′=0,得x=6或x=0(舍去).经过分析知当x=6时,y取最大值.4.要做一个圆锥形漏斗,其母线长为20cm,要使其体积最大,A.QUOTEcm B.100cmC.20cm D.QUOTEcm【解析】选A.设高为xcm,则底面半径为QUOTEcm,所以圆锥体积V=QUOTEπ·(400-x2)·x=QUOTE,V′=QUOTE,令V′=0,得x=QUOTE或x=QUOTE(舍去),经推断可得x=QUOTE时,V最大.5.已知球O的半径为R,圆柱内接于球,当内接圆柱的体积最大时,高等于 ()A.QUOTER B.QUOTER C.QUOTER D.QUOTER【解析】选A.设球内接圆柱的高为h,圆柱底面半径为r,则h2+(2r)2=(2R)2,得r2=R2-QUOTEh2(0<h<2R).所以圆柱的体积为V(h)=πr2h=πhQUOTE=πR2h-QUOTEπh3(0<h<2R).求导数,得V′(h)=πR2-QUOTEπh2=πQUOTE,所以0<h<QUOTE时,V′(h)>0;QUOTE<h<2R时,V′(h)<0,由此可得:V(h)在区间QUOTE上是增函数;在区间QUOTE上是减函数,所以当h=QUOTE时,V(h)取得最大值.二、填空题(每小题5分,共15分)6.书店预料一年内要销售某种书15万册,欲分几次订货,假如每次订货要付手续费30元,每千册书存放一年要耗库存费40元,并假设该书匀称投放市场,则此书店分____________次进货、每次进____________册,可使所付的手续费与库存费之和最少.

【解析】设每次进书x千册(0<x<150),手续费与库存费之和为y元,由于该书匀称投放市场,则平均库存量为批量之半,即QUOTE,故有y=QUOTE×30+QUOTE×40,y′=-QUOTE+20=QUOTE,所以当0<x<15时y′<0,当15<x<150时y′>0.故当x=15时,y取得最小值,此时进货次数为QUOTE=10(次).即该书店分10次进货,每次进15000册书,所付手续费与库存费之和最少.答案:10150007.把一个周长为12cm的长方形作为一个圆柱的侧面,当圆柱的体积最大时,该圆柱底面周长与高的比为【解析】设圆柱高为x,底面半径为r,则r=QUOTE,圆柱体积V=πQUOTE·x=QUOTE(x3-12x2+36x)(0<x<6),V′=QUOTE(x-2)(x-6),当x=2时,V最大.此时底面周长为4,底面周长∶高=4∶2=2∶1.答案:2∶18.某超市中秋前30天,月饼销售总量f(t)与时间t(0<t≤30,t∈Z)的关系大致满意f(t)=t2+10t+12,则该超市前t天平均售出如前10天的平均售出为QUOTE的月饼最少为____________个.

【解析】记g(t)=QUOTE=t+QUOTE+10(0<t≤30,t∈Z),g′(t)=1-QUOTE=QUOTE,令g′(t)>0,得2QUOTE<t≤30且t∈Z,令g′(t)<0,得0<t<2QUOTE,且t∈Z,所以函数g(t)在区间(0,2QUOTE)上单调递减,在区间(2QUOTE,30]上单调递增,又t∈Z,且g(3)=g(4)=17,所以g(t)的最小值为17,即该超市前t天平均售出的月饼最少为17个.答案:17三、解答题(每小题10分,共20分)9.现须要设计一个仓库,它由上下两部分组成,上部分的形态是正四棱锥P-A1B1C1D1,下部分的形态是正四棱柱ABCD-A1B1C1D1(如图所示),并要求正四棱柱的高OO1是正四棱锥的高PO1的4倍(1)若AB=6m,PO1=2(2)若正四棱锥的侧棱长为6m,则当PO1为多少时,【解析】(1)由PO1=2m⇒OO1=8m,则QUOTE=QUOTE×PO1=QUOTE×62×2=24(m3),QUOTE=SABCD×OO1=62×8=288(m3),V=QUOTE+QUOTE=312m3,故仓库的容积为312m3(2)设PO1=xm,仓库的容积为V(x),连结A1O1,则OO1=4xm,A1O1=QUOTEm,A1B1=QUOTE·QUOTEm,QUOTE=QUOTE×PO1=QUOTE×QUOTE×x=QUOTEm3,QUOTE=SABCD×OO1=QUOTE×4x=(288x-8x3)m3.V(x)=QUOTE+QUOTE=QUOTE+(288x-8x3)=QUOTEm3(0<x<6),所以V′(x)=-26x2+312=-26(x2-12)(0<x<6),当x∈(0,2QUOTE)时.V′(x)>0,V(x)单调递增,当x∈(2QUOTE,6)时.V′(x)<0,V(x)单调递减,因此,当x=2QUOTE时,V(x)取到最大值,即PO1=2QUOTEm时,仓库的容积最大.10.为了在夏季降温柔冬季供暖时削减能源损耗,房屋的屋顶和外墙须要建立隔热层.某幢建筑物要建立可运用20年的隔热层,每厘米厚的隔热层建立成本为6万元.该建筑物每年的能源消耗费用C(单位:万元)与隔热层厚度x(单位:cm)满意关系:C(x)=QUOTE(0≤x≤10),若不建隔热层,每年能源消耗费用为8万元.设f(x)为隔热层建立费用与20年的能源消耗费用之和.(1)求k的值及f(x)的表达式;(2)隔热层修建多厚时,总费用f(x)达到最小?并求最小值.【解析】(1)由题设,每年能源消耗费用为C(x)=QUOTE(0≤x≤10),再由C(0)=8,得k=40,因此C(x)=QUOTE.而建立费用为C1(x)=6x.最终得隔热层建立费用与20年的能源消耗费用之和为f(x)=20C(x)+C1(x)=20×QUOTE+6x=QUOTE+6x(0≤x≤10).(2)f′(x)=6-QUOTE,令f′(x)=0,即QUOTE=6,解得x=5,x=-QUOTE(舍去).当0<x<5时,f′(x)<0,当5<x<10时,f′(x)>0,故x=5是f(x)的最小值点,对应的最小值为f(5)=6×5+QUOTE=70.当隔热层修建5cm厚时,总费用达到最小值70万元.(20分钟·40分)1.(5分)甲工厂八年来某种产品年产量y与时间x(单位:年)的函数关系如图所示:现有下列四种说法:①前四年该产品产量增长速度越来越快;②前四年该产品产量增长速度越来越慢;③第四年后该产品停止生产;④第四年后该产品年产量保持不变.其中说法正确的为 ()A.①③B.②④C.②③D.③④【解析】选B.增长速度是产量对时间的导数,即图象中切线的斜率.由图象可知,②④是正确的.2.(5分)(多选题)已知某商品生产成本C与产量q的函数关系式为C=100+4q,价格p与产量q的函数关系式为p=25-QUOTEq,下列说法正确的是 ()A.当q=21时利润最大B.当q=84时利润最大C.利润最大值为782D.利润最大值为186【解析】选BC.方法一:收入R=q·p=qQUOTE=25q-QUOTEq2,所以利润L=R-C=QUOTE-(100+4q)=-QUOTEq2+21q-100(0<q<200).所以L′=-QUOTEq+21.令L′=0,即-QUOTEq+21=0,解得q=84.因为当0<q<84时,L′>0;当84<q<200时,L′<0.所以当q=84时,L取得最大值.Lmax=-QUOTE×842+21×84-100=782,故产量为84时,利润L最大,最大利润为782.方法二:(同方法一)L=-QUOTEq2+21q-100=-QUOTE(q2-168q+842)+QUOTE-100=-QUOTE(q-84)2+782,所以当q=84时,L取得最大值782.即产量为84时,利润L最大,最大利润为782.3.(5分)请你设计一个包装盒,如图所示,ABCD是边长为60cm的正方形硬纸片,切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形,再沿虚线折起,使得A,B,C,D四个点重合于图中的点P,正好形成一个正四棱柱形态的包装盒.E,F在AB上,是被切去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点,设AE=FB=x(cm).某广告商要求包装盒的侧面积S(cm2)最大,此时x=【解析】设包装盒的高为h(cm),底面边长为a(cm),由已知得a=QUOTEx,h=QUOTE=QUOTE(30-x),0<x<30.S=4ah=8x(30-x)=-8(x-15)2+1800,所以当x=15时,S取得最大值.答案:154.(5分)统计表明:某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量y(L)关于行驶速度x(km/h)的函数解析式可以表示为y=QUOTEx3-QUOTEx+8,x∈(0,120],且甲、乙两地相距100km,则当汽车以____________km/h的速度匀速行驶时,从甲地到乙地耗油量最少.

【解析】当速度为xkm/h时,汽车从甲地到乙地行驶了QUOTEh,设耗油量为h(x)L,依题意得h(x)=QUOTE·QUOTE=QUOTEx2+QUOTE-QUOTE(0<x≤120),h′(x)=QUOTE-QUOTE=QUOTE(0<x≤120).令h′(x)=0,得x=80.当x∈(0,80)时,h′(x)<0,h(x)是减函数;当x∈(80,120]时,h′(x)>0,h(x)是增函数.所以当x=80时,h(x)取到微小值h(80)=11.25.故当汽车以80km/h的速度匀速行驶时,从甲地到乙地耗油量最少,最少为11.25L.答案:80【补偿训练】一火车锅炉每小时消耗的煤费用与火车行驶速度的立方成正比,已知当速度为20km/h时,每小时消耗的煤价值40元,其他费用每小时需200元,火车的最高速度为100【解析】设速度为xkm/h,甲、乙两城距离为akm.则总费用f(x)=(kx3+200)·QUOTE=aQUOTE.由已知条件,得40=k·203,所以k=QUOTE,所以f(x)=aQUOTE.令f′(x)=QUOTE=0,得x=10QUOTE,当0<x<10QUOTE时,f′(x)<0;当10QUOTE<x<100时,f′(x)>0.所以当x=10QUOTE时,f(x)有最小值,即速度为10QUOTEkm/h时,火车从甲城开往乙城的总费用最少.5.(10分)在一水域上建一个演艺广场.演艺广场由看台Ⅰ,看台Ⅱ,三角形水域ABC及矩形表演台BCDE四个部分构成(如图).看台Ⅰ,看台Ⅱ是分别以AB,AC为直径的两个半圆形区域,且看台Ⅰ的面积是看台Ⅱ的面积的3倍.矩形表演台BCDE中,CD=10米,三角形水域ABC的面积为400QUOTE平方米.设∠BAC=θ.(1)求BC的长(用含θ的式子表示).(2)若表演台每平方米的造价为0.3万元,求表演台的最低造价.【思路导引】本题主要考查了余弦定理及导数的学问.(1)依据看台的面积比得出AB,AC的关系,依据△ABC的面积求出AB,AC,再利用余弦定理计算BC.(2)依据(1)得出造价关于θ的函数,利用导数推断函数的单调性,进而求出最低造价.【解析】(1)由于看台Ⅰ的面积是看台Ⅱ的面积的3倍,所以AB=QUOTEAC.在△ABC中,S△ABC=QUOTEAB·AC·sinθ=400QUOTE,所以AC2=QUOTE.由余弦定理可得,BC2=AB2+AC2-2AB·AC·cosθ=4AC2-2QUOTEAC2cosθ=(4-2QUOTEcosθ)QUOTE,即BC=QUOTE=40QUOTE.所以BC=40QUOTE,θ∈(0,π).(2)设表演台的总造价为W万元.因为CD=10m,表演台每平方米的造价为0.3万元,所以W=3BC=120QUOTE,θ∈(0,π),设f(θ)=QUOTE,θ∈(0,π),则f′(θ)=QUOTE.令f′(θ)=0,解得θ=QUOTE.当θ∈QUOTE时,f′(θ)<0;当θ∈QUOTE时,f′(θ)>0.故f(θ)在QUOTE上单调递减,在QUOTE上单调递增,所以当θ=QUOTE时,f(θ)取得最小值,最小值为fQUOTE=1.所以Wmin=120(万元).即表演台的最低造价为120万元.6.(10分)某化妆品生产企业为了占有更多的市场份额,拟在2024年度进行一系列的促销活动.经过市场调查和测算,化妆品的年销量x万件与年促销费用t万元之间满意3-x与t+1成反比例.假如不搞促销活动,化妆品的年销量只能是1万件,已知2024年生产化妆品的固定投资为3万元,每生产1万件化妆品须要再投资32万元,当将每件化妆品的售价定为“年平均成本的150%”与“年平均每件所占促销费的一半”之和时,当年的产销平衡.(1)将2024年的年利润y万元表示为促销费用t万元的函数;(2)该企业2024年的促销费用投入多少万元时,企业的年利润最大(注:利润=收入-生产成本-促销费用)?【解析】(1)由题意得3-x=QUOTE(k≠0),将t=0,x=1代入得k=2,所以x=3-QUOTE.又由题意知每件化妆品的售价为QUOTE+QUOTE·QUOTE.所以年利润y=QUOTEx-(3+32x)-t=16x-QUOTEt+QUOTE=16QUOTE-QUOTEt+QUOTE=50-QUOTE=-QUOTE-QUOTE+QUOTE(t≥0).(2)y′=-QUOTE+QUOTE,令y′=0,解得t=7或t=-9(舍去).当0≤t<7时,y′>0;t>7时,y′<0.所以t=7时,y取得最大值,且ymax=42.所以当促销费用定为7万元时,企业的年利润最大.【补偿训练】新晨投资公司拟投资开发某项