2024-2025学年高中数学第2章统计2.1.3分层抽样课时作业含解析新人教A版必修3

PAGE课时分层作业(十一)分层抽样(建议用时：60分钟)一、选择题1．某校共有160名教职工，其中一般老师120名，行政人员16名，后勤人员24名．为了了解教职工对学校在校务公开方面的看法，用分层抽样抽取一个容量为20的样本，则应抽取的后勤人员人数是()A．3 B．2C．15 D．4A[因为160人抽取20人，所以抽取的比例为eq\f(20,160)＝eq\f(1,8)，因为后勤人数为24，所以应抽取24×eq\f(1,8)＝3.故选A.]2．某中学高二年级共有学生2400人，为了解他们的身体状况，用分层抽样的方法从中抽取一个容量为80的样本，若样本中共有男生42人，则该校高二年级共有女生()A．1260 B．1230C．1200 D．1140D[设女生总人数为x人，由分层抽样的方法，可得抽取女生人数为80－42＝38(人)，所以eq\f(80,2400)＝eq\f(38,x)，解得x＝1140.故选D.]3．一批灯泡400只，其中20W、40W、60W的数目之比是4∶3∶1，现用分层抽样的方法产生一个容量为40的样本，三种灯泡依次抽取的个数为()A．20,15,5 B．4,3,1C．16,12,4 D．8,6,2A[40×eq\f(4,8)＝20.40×eq\f(3,8)＝15,40×eq\f(1,8)＝5.]4．对一个容量为N的总体抽取容量为n的样本，当选取简洁随机抽样、系统抽样和分层抽样三种不同方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的概率分别为p1，p2，p3，则()A．p1＝p2<p3 B．p2＝p3<p1C．p1＝p3<p2 D．p1＝p2＝p3D[不管是简洁随机抽样、系统抽样还是分层抽样，它们都是等可能抽样，每个个体被抽中的概率均为eq\f(n,N).]5．某校做了一次关于“感恩父母”的问卷调查，从8～10岁，11～12岁，13～14岁，15～16岁四个年龄段回收的问卷依次为：120份，180份，240份，x份．因调查须要，从回收的问卷中按年龄段分层抽取容量为300的样本，其中在11～12岁学生问卷中抽取60份，则在15～16岁学生中抽取的问卷份数为()A．60 B．80C．120 D．180C[11～12岁回收180份，其中在11～12岁学生问卷中抽取60份，抽样比为eq\f(1,3)，因为分层抽取样本的容量为300，故回收问卷总数为eq\f(300,\f(1,3))＝900份，故x＝900－120－180－240＝360份，360×eq\f(1,3)＝120份．]二、填空题6．在120个零件中，一级品24个，二级品36个，三级品60个，用分层抽样的方法从中抽取容量为20的样本，则每个个体被抽取的可能性是________．eq\f(1,6)[在分层抽样中，每个个体被抽取的可能性相等，且为eq\f(样本容量,总体容量).所以每个个体被抽取的可能性是eq\f(20,120)＝eq\f(1,6).]7．我国古代数学算经十书之一的《九章算术》中有一“衰分”问题：“今有北乡八千七百五十人，西乡七千二百五十人，南乡八千三百五十人，凡三乡，发役四百八十七人，则西乡遣________人”．145[今有北乡八千七百五十人，西乡七千二百五十人，南乡八千三百五十人，凡三乡，发役四百八十七人，则西乡遣487×eq\f(7250,8750＋7250＋8350)＝145(人)．]8．下列问题中，采纳怎样的抽样方法较为合理？(1)从10台电冰箱中抽取3台进行质量检查；(2)某学校有160名教职工，其中老师120名，行政人员16名，后勤人员24名，为了了解教职工对学校在校务公开方面的看法，拟抽取一个容量为20的样本；(3)体育彩票000001～100000编号中，凡彩票号码最终三位数为345的中一等奖．(1)________(2)________(3)________．(1)抽签法(2)分层抽样(3)系统抽样题号推断缘由分析(1)抽签法总体容量较小，宜用抽签法(2)分层抽样由于学校各类人员对这一问题的看法可能差异较大，用分层抽样(3)系统抽样总体容量大，样本容量较大，等距抽取，用系统抽样三、解答题9．某单位有2000名职工，老年、中年、青年分布在管理、技术开发、营销、生产各部门中，如下表所示：人数管理技术开发营销生产合计老年40404080200中年80120160240600青年401602807201200合计16032048010402000(1)若要抽取40人调查身体状况，则应怎样抽样？(2)若要开一个25人的探讨单位发展与薪金调整方面的座谈会，则应怎样抽选出席人？[解](1)按老年、中年、青年分层抽样，抽取比例为eq\f(40,2000)＝eq\f(1,50).故老年人，中年人，青年人各抽取4人，12人，24人，(2)按管理、技术开发、营销、生产进行分层，用分层抽样，抽取比例为eq\f(25,2000)＝eq\f(1,80)，故管理，技术开发，营销，生产各抽取2人，4人，6人，13人．10．为了考察某校的教学水平，抽查了该学校高三年级部分学生的本年度考试成果．为了全面地反映实际状况，实行以下三种考察方式(已知该校高三年级共有14个教学班，并且每个班内的学生都已经按随机方式编好了学号，假定该校每班人数都相同)．①从全年级14个班中随意抽取一个班，再从该班中随意抽取14人，考察他们的学习成果；②每个班都抽取1人，共计14人，考察这14个学生的成果；③把该校高三年级的学生按成果分成优秀，良好，一般三个级别，从中抽取100名学生进行考查(已知若按成果分，该校高三学生中优秀学生有105名，良好学生有420名，一般学生有175名)．依据上面的叙述，试回答下列问题：(1)上面三种抽取方式中，其总体、个体、样本分别指什么？每一种抽取方式抽取的样本中，其样本容量分别是多少？(2)上面三种抽取方式各自采纳何种抽取样本的方法？(3)试分别写出上面三种抽取方法各自抽取样本的步骤．[解](1)这三种抽取方式中，其总体都是指该校高三全体学生本年度的考试成果，个体都是指高三年级每个学生本年度的考试成果．其中第一种抽取方式中样本为所抽取的14名学生本年度的考试成果，样本容量为14；其次种抽取方式中样本为所抽取的14名学生本年度的考试成果，样本容量为14；第三种抽取方式中样本为所抽取的100名学生本年度的考试成果，样本容量为100.(2)第一种方式采纳的方法是简洁随机抽样法；其次种方式采纳的方法是系统抽样法和简洁随机抽样法；第三种方式采纳的方法是分层抽样法和简洁随机抽样法．(3)第一种方式抽样的步骤如下：第一步：在这14个班中用抽签法随意抽取一个班；其次步：从这个班中按学号用随机数表法或抽签法抽取14名学生，考察其考试成果．其次种方式抽样的步骤如下：第一步：在第一个班中，用简洁随机抽样法随意抽取某一学生，记其学号为x；其次步：在其余的13个班中，选取学号为x＋50k(1≤k≤12，k∈Z)的学生，共计14人．第三种方式抽样的步骤如下：第一步：分层，因为若按成果分，其中优秀生共105人，良好生共420人，一般生共175人，所以在抽取样本中，应当把全体学生分成三个层次；其次步：确定各个层次抽取的人数，因为样本容量与总体数的比为100∶700＝1∶7，所以在每个层抽取的个体数依次为eq\f(105,7)，eq\f(420,7)，eq\f(175,7)，即15,60,25；第三步：按层分别抽取，在优秀生中用简洁随机抽样法抽取15人，在良好生中用简洁随机抽样法抽取60人，在一般生中用简洁随机抽样法抽取25人．第四步：将所抽取的个体组合在一起构成样本．1．已知某地区中小学生人数和近视状况分别如图①和图②所示．为了解该地区中小学生的近视形成缘由，用分层抽样的方法抽取2%的学生进行调查，则样本容量和抽取的中学生近视人数分别为()A．200,20 B．100,20C．200,10 D．100,10A[该地区中小学生总人数为3500＋2000＋4500＝10000人，则样本容量为10000×2%＝200人，其中抽取的中学生近视人数为2000×2%×50%＝20.]2．某初级中学共有学生270人，其中一年级108人，二、三年级各81人，现要利用抽样方法抽取10人进行某项调查，考虑选用简洁随机抽样、分层抽样和系统抽样三种方案．运用简洁随机抽样和分层抽样时，将学生按一、二、三年级依次统一编号为001,002,003，…，270；运用系统抽样时，将学生统一随机编号为001,002,003，…，270，并将整个编号平均分为10段．假如抽得的号码有下列四种状况：①007,034,061,088,115,142,169,196,223,250；②005,009,100,107,111,121,180,195,200,265；③011,038,065,092,119,146,173,200,227,254；④036,062,088,114,140,166,192,218,244,270.关于上述样本的下列结论中，正确的是()A．②③都不能为系统抽样B．②④都不能为分层抽样C．①④都可能为系统抽样D．①③都可能为分层抽样D[系统抽样又称为“等距抽样”，做到等距的有①③④，但只做到等距还不肯定是系统抽样，还应做到10段中每段要抽1个，检查这一点只需看第一个元素是否在001～027范围内，结果发觉④不符合，同时，若为系统抽样，则分段间隔k＝eq\f(270,10)＝27，④也不符合这一要求，所以可能是系统抽样的为①③，因此解除A，C；若采纳分层抽样，一、二、三年级的人数比例为4∶3∶3，由于共抽取10人，所以三个年级应分别抽取4人、3人、3人，即在001～108范围内要有4个编号，在109～189和190～270范围内要分别有3个编号，符合此要求的有①②③，即它们都可能为分层抽样(其中①③在每一层内采纳了系统抽样，②在每一层内采纳了简洁随机抽样)，所以解除B.]3．某中学针对学生发展要求，开设了富有地方特色的“泥塑”与“剪纸”两个社团，已知报名参与这两个社团的学生共有800人，依据要求每人只能参与一个社团，各年级参与社团的人数状况如下表：高一年级高二年级高三年级泥塑abc剪纸xyz其中x∶y∶z＝5∶3∶2，且“泥塑”社团的人数占两个社团总人数的eq\f(3,5)，为了了解学生对两个社团活动的满足程度，从中抽取一个50人的样本进行调查，则从高二年级“剪纸”社团的学生中应抽取________人．6[因为“泥塑”社团的人数占总人数的eq\f(3,5)，故“剪纸”社团的人数占总人数的eq\f(2,5)，所以“剪纸”社团的人数为800×eq\f(2,5)＝320.因为“剪纸”社团中高二年级人数比例为eq\f(y,x＋y＋z)＝eq\f(3,2＋3＋5)＝eq\f(3,10)，所以“剪纸”社团中高二年级人数为320×eq\f(3,10)＝96.由题意知，抽样比为eq\f(50,800)＝eq\f(1,16)，所以从高二年级“剪纸”社团中抽取的人数为96×eq\f(1,16)＝6.]4．某机关老年、中年、青年的人数分别为18,12,6，现从中抽取一个容量为n的样本，若采纳系统抽样和分层抽样，则不用剔除个体．当样本容量增加1时，若采纳系统抽样，需在总体中剔除1个个体，则样本容量n＝________.6[当样本容量为n时，因为采纳系统抽样时不用剔除个体，所以n是18＋12＋6＝36的约数，n可能为1,2,3,4,6,9,12,18,36.因为采纳分层抽样时不用剔除个体，所以eq\f(n,36)×18＝eq\f(n,2)，eq\f(n,36)×12＝eq\f(n,3)，eq\f(n,36)×6＝eq\f(n,6)均是整数，所以n可能为6,12,18,36.又因为当样本容量增加1时，须要剔除1个个体，才能用系统抽样，所以n＋1是35的约数，而n＋1可能为7,13,19,37，所以n＋1＝7，所以n＝6.]5．某中学实行了为期3天的新世纪体育运动会，同时进行全校精神文明擂台赛．为了解这次活动在全校师生中产生的影响，分别在全校500名教职员工、3000名初中生、4000名中学生中作问卷调查，假如要在全部答卷中抽出120份用于评估．(1)应如何抽取才能得到比较客观的评价结论？(2)要从3000份初中生的答卷中抽取一个容量为48的样本，假如采纳简洁随机抽样，应如何操作？(3)为了从4000份中学生的答卷中抽取一个容量为64的样本，如何运用系统抽样抽取到所需的样本？[解](1)由于这次活动对教职员工、初中生和中学生产生的影响不会相同，所以应当实行分层抽样的方法进行抽样．因为样本容量为120，总体个数为500＋3000＋4000＝7500，则抽样比：eq\f(120,7500)＝eq\f(2,125)，所以有500×eq\f(2,125)＝8,3000×eq\f(2,125)＝48，4000×eq\