全国统考版2025届高考数学二轮复习专题十一不等式梳理纠错预测学案理含解析

2024年高考“2024年高考“最终三十天”专题透析好教化云平台--教化因你我而变好教化云平台--教化因你我而变不等式专题专题11××不等式命题趋势命题趋势不等式在高考当中的考查主要是作为选考内容，考查的重点为不等式的证明，肯定值不等式的解法，肯定值三角不等式的应用，恒成立问题，利用比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法证明不等式，柯西不等式的应用等，有时也会作为工具应用在解题当中，总体而言难度不大．考点清单考点清单学问点1．含肯定值不等式的解法1．肯定值三角不等式（1）定理1：假如a，b是实数，则|a+b|≤|a|+|b|，当且仅当（2）性质：|a|-|b|≤|a±b|≤|a|+|b|；（3）定理2：假如a，b，c是实数，则2．肯定值不等式的解法（1）含肯定值不等式|x|<a，不等式a>0a=0a<0|x|<a{x|-a<x<a}|x|>a{x|x>a或x<-a}{x|x∈RR（2）|ax+b|≤c(c>0)和|ax+b|≥c(c>0)型不等式的解法①|ax+b|≤c⇔②|ax+b|≥c⇔ax+b≥c或（3）|x-a|+|x-b|≥c(c>0)和|x-a|+|x-b|≤c(c>0)型不等式的解法解法一：利用肯定值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；解法二：利用“零点分段法”求解，体现分类探讨的思想；解法三：通过构造函数，利用函数的图象求解，体现函数与方程的思想．学问点2：不等式的证明方法1．基本不等式定理一：设a，b∈R，定理二：假如a，b为正数，则，当且仅当a=b定理三：假如a，b，c为正数，则2．不等式的证明方法（1）比较法①作差比较：a>b⇔②作商比较：，．（2）分析法：从待证的不等式动身，逐步寻求使它成立的充分条件，直到将待证不等式归结为一个已成立的不等式；（3）综合法：从已知条件动身，利用不等式的有关性质或定理，经过推理证明，推导出所要证明的不等式成立；（4）反证法①作出与所证不等式相反的假设；②从条件动身，应用正确的推理方法，推出冲突的结论，否定假设，从而证明原不等式成立．（5）放缩法：要证a<b，可找寻合适的中间量c有a<c，c<b，从而证得

精题集训精题集训（70分钟）经典训练题经典训练题一、选择题．1．若a，b∈R，则“a+b>4”是“a，A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】当a+b>4时，假设a，b都不大于2，即a≤2，b≤2，则a+b≤4，这与a+b>4冲突，所以“a+b>4”是“a，b至少有一个大于2”的充分条件；但是，当a，b至少有一个大于2，如a=3，b=1，a+b=4，所以“a+b>4”不是“a，b至少有一个大于2”的必要条件，故选A．【点评】本题考查充分不必要条件的推断，一般可依据如下规则推断：（1）若是q的必要不充分条件，则q对应集合是对应集合的真子集；（2）若是q的充分不必要条件，则对应集合是q对应集合的真子集；（3）若是q的充分必要条件，则对应集合与q对应集合相等；（4）若是q的既不充分又不必要条件，则对的集合与q对应集合互不包含．2．（多选）若0<x<y<1，则下列结论正确的是（）A． B．C．， D．【答案】ABC【解析】因为0<x<y<1，所以0<xy<1，，所以，所以，故A正确；因为0<x<y<1，所以x>0>x-y，所以ex>e因为0<x<y<1，所以0<xn<yn因为0<x<y<1，所以0<logxy所以logxy<1<log故选ABC．【点评】本题主要考了均值不等式的运用条件，属于基础题．二、填空题．3．若x，y满意约束条件，则的最大值为__________．【答案】14【解析】由线性约束条件作出可行域如图，由可得，作直线，沿可行域的方向平移可知过点A时，取得最大值，由，可得，所以，所以，故答案为14．【点评】线性规划求最值的常见类型．（1）线性目标函数求最值：转化为直线的截距问题，结合图形求解；（2）分式型目标函数最值：转化为平面区域内的点与定点连线的斜率问题，结合图形求解；（3）平方型目标函数求最值；转为两点间的距离问题，结合图形求解．三、解答题．4．已知函数f(x)=|2x|+|x-1|，（1）求的解集；（2）若f(x)=kx有2个不同的实数根，求实数k的取值范围．【答案】（1）或；（2）2<k<3．【解析】（I），得或或，解得或，所以的解集是或．（2）问题转化为与有两个交点，由图易知：，，∴koA<k<k【点评】本题考查依据方程实数根的个数求参数的取值范围，一般可采纳1．干脆法：干脆求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；（2）分别参数法：先将参数分别，转化成求函数值域问题加以解决；（3）数形结合：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后视察求解，此时须要依据零点个数合理找寻“临界”状况，特殊留意边界值的取舍．5．已知函数f(x)=|x+a|+|2x-3|．（1）当时，求f(x)的最小值；（2）当时，不等式恒成立，求实数a的取值范围．【答案】（1）最小值为；（2）．【解析】（1）当时，，由解析式可知，f(x)在-∞，-1和上单调递减，且在x=-1在上单调递增，故f(x)在处取得最小值，且，所以f(x)的最小值为．（2）∵x∈[a，2a-2]又x∈[a，2a-2]，，2x-3>0∴f(x)≤即a≤-2x+8在x∈令y=-2x+8在x∈[a，∴a≤-4a+12，解得，综上，a的取值范围为．【点评】本题考查分类探讨解肯定值不等式，含有肯定值的不等式的恒成立问题，不等式恒成立问题常见方法：①分别参数a≥fx恒成立(a≥fxmax即可)或a≤f②数形结合(图象在y=gx上方即可)；③探讨最值fxmin或6．已知函数，记f(x)最小值为k．（1）求k的值；（2）若a，b，c为正数，且．求证：．【答案】（1）2；（2）证明见解析．【解析】（1）当时，；当时，；当时，．所以f(x)最小值为．（2）由题得a2．【点评】不等式的证明常用的方法有：（1）比较法；（2）综合法；（3）分析法；（4）反证法；（5）数学归纳法；（6）放缩法．要依据已知条件敏捷选择合适的方法证明．7．设不等式∣|x+1|-|x-1|∣<2（1）求集合A；（2）若a，b，【答案】（1）；（2）证明见解析．【解析】（1）由题意得，令，由|f(x)|<2，得，即．（2）要证，只需证1-abc>|ab-c∣只需，只需证1-a2只需证1-a由a，b，c∈A，得a综上，．【点评】本题其次问考查分析法证明不等式，关键是将不等式转化为1-abc>|ab-c分解因式，再利用（1）的结论证明．8．已知函数f(x)=2x+1+4x-5（1）求M；（2）若正实数a，b，c满意a+b+c=2M，求：(a+1)【答案】（1）；（2）3．【解析】（1），如图所示：，∴．（2）由（1）知a+b+c=7，∴(a+1)+(b-2)+(c-3)=(a+1)∴(a+b+c)-42∴7-42∴(a+1)2+(b-2)2+(c-3)2∴(a+1)2+(b-2【点评】本题考查肯定值函数及平方平均数与算数平均数的大小关系，属于基础题．9．已知函数．（1）解不等式；（2）若f(x)的最大值为m，且a+2b+c=m，其中a0，b0，c>3，求【答案】（1）；（2）4．【解析】（1），，故或或，，故不等式的解集为．（2）由题意知f(x)的最大值为6，故a+2b+c=6，，，，c>3，∴a+1>0，2b+2>0，c-3>0，，当且仅当a+1=2b+2=c-3，即，b=0，c=5时等号成立，的最大值为4．【点评】本题考查了肯定值不等式的解法和利用基本不等式求最值，考查了分类探讨思想和转化思想，属于中档题．高频易错题高频易错题一、填空题．1．已知正项等比数列an（n∈N*）满意a7=a6+2a5【答案】【解析】∵正项等比数列{an}满意：a7=a又a1≠0，q0，解得q=2∵存在两项am，an使得am∴a12qm+n-2=16∴，当且仅当，即取等号，但此时，．又m+n=6，当，即m=1，n=5时，，当，即时，，则的最小值为，故答案为．【点评】本题考查等比数列的通项和基本不等式，事实上应用基本不等式是本题的重点和难点，关键留意当两个数字的和是定值，要求两个变量的倒数之和的最小值时，要乘以两个数字之和，是中档题．二、解答题．2．已知a+b=1，∀a，b（1）若a>0，b>0，求的最小值；（2）求x的取值范围．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）因为，取等号时，即，所以的最小值为3．（2）因为∀a，b所以恒成立，即2x-2+x+1当x<-1时，2-2x-x-1≤3，此时无解；当x>1时，2x-2+x+1≤3，解得；当-1≤x≤1时，2-2x+x+1≤3，解得0≤x≤1，综上可知：x的取值范围为．【点评】利用基本不等式求最值时，要留意其必需满意的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必需为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必需把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必需把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必需验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最简单发生错误的地方．精准精准预料题一、选择题．1．已知x，y满意约束条件，则目标函数z=A． B． C． D．【答案】B【解析】画出所表示的可行域如下图所示：目标函数z=x由图可知：原点到直线x+y-1=0的距离OP最短，又∵原点到x+y-1=0距离，，故选B．【点评】线性规划求最值的常见类型．（1）线性目标函数求最值：转化为直线的截距问题，结合图形求解；（2）分式型目标函数最值：转化为平面区域内的点与定点连线的斜率问题，结合图形求解；（3）平方型目标函数求最值；转为两点间的距离问题，结合图形求解．2．关于x的不等式的解为（）A．0<x<2 B．0<x<1 C．x<2 D．x>1【答案】B【解析】依据对数式有意义，可得x>0，不等式等价于x⋅log所以log2x<0，解得0<x<1【点评】该题考查的是有关求不等式的解集的问题，在解题的过程中，留意到x⋅二、解答题．3．已知函数fx（1）解不等式f(x)<4-2x-1（2）已知，若，求证．【答案】（1）；（2）证明见解析．【解析】（1）f(x)<4-2x-1等价于x+1当x<-1时，原不等式化为-(x+1)<4+(2x-1)，即，∴；当时，原不等式化为x+1<4+2x-1，即x>-2，∴；当时，原不等式化为x+1<4-2x+1，即，∴，综上可得，原不等式的解集为．（2）证明：|x+a|-f(x)=x+a∵，∴-2≤a-1≤2，即a-1≤2，∴x+a-f∵，∴，∴，∴．【点评】本题主要考查了肯定值不等式的解法，函数的恒成立问题，基本不等式的应用，属于中档题．4．已知函数fx=x（1）当a=2时，解不等式fx（2）对随意的，fx≥ax+1恒成立，求实数【答案】（1）；（2）．【解析】（1）当a=2时，fx=x2则不等式fx+f2当x≥1时，x2-2x-1≥0为恒成立，当x<1时，x2-2x-1解得x≤-1-3或x≥-1+∴x≤-1-3或-1+综上，不等式fx+f2（2）不等式fx≥ax+1即对随意的恒成立，即对随意的恒成立，∵函数在区间上单调递增，最小值为，∴，故实数a的取值范围是．【点评】解肯定值不等式的常用方法：（1）基本性质法：a为正实数，x<a⇔-a<x<a，（2）平方法：两边平方去掉肯定值，适用于x-a<x-b或（3）分类探讨法(零点分区间法)：含有两个或两个以上肯定值的不等式，可用分类探讨法去掉肯定值，将其转化为与之等价的不含肯定值符号的不等式求解；（4）几何法：利用肯定值不等式的几何意义，画出数轴，将肯定值问题转化为数轴上两点的距离问题求解；（5）数形结合法：在直角坐标系中，作出不等式两边所对应的两个函数的图象，利用函数图象求解．5．已知函数f(x)=x-2（1）求不等式f(x)≥2x+4的解集；（2）若f(x)的最小值为k，且实数a，b，c，满意【答案】（1）(-∞，0]；（【解析】（1）①当x<-2时，不等式即为-2x≥2x+4，解得x≤-1，②当-2≤x≤2时，不等式即为4≥2x+4，x≤0，③当x>2时，不等式即为2x≥2x+4，，综上，不等式f(x)≥2x+4的解集为(-∞，（2）由肯定值不等式的性质可得：|x-2|+|x+2|≥|(x-2)-(x+2)|=4，∴当-2≤x≤2时，f(x)取最小值4，即k=4，∴a(b+c)=4，即∴2当且仅当a=b=c=±2【点评】证明不等式常用的方法有：（1）比较法；（2）综合法；（3）分析法；（4）放缩法；（5）数学归纳法；（6）反证法．要依据已知条件敏捷选择方法证明．6．已知函数f(x)=|x-4|+|1-x|，．（1）解不等式：f(x)≤5；（2）记f(x)的最小值为M，若实数a，b满意a2【答案】（1）x0≤x≤5，（2【解析】（1），因为f(x)≤5，所以或1≤x≤4或，所以4<x≤5或1≤x≤4或0≤x<1，所以