2024-2025学年新教材高中数学第2章等式与不等式2.2微专题2不等式恒成立能成立问题学案新人教B版必修第一册

PAGE微专题2不等式恒成立、能成立问题类型1数形结合法解决恒成立问题【例1】当1≤x≤2时，不等式x2＋mx＋4＜0恒成立，求m的取值范围．[解]令y＝x2＋mx＋4.∵y＜0在[1,2]上恒成立，∴x2＋mx＋4＝0的根一个小于1，另一个大于2.如图，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1＋m＋4＜0，,4＋2m＋4＜0，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＋5＜0，,2m＋8＜0，))解得m＜－5.∴m的取值范围是(－∞，－5)．结合函数的图像将问题转化为函数图像的对称轴，区间端点的函数值或函数图像的位置相对于x轴关系求解.可结合相应一元二次方程根的分布解决问题.eq\o([跟进训练])1．(1)已知不等式kx2＋2kx－(k＋2)＜0恒成立，求实数k的取值范围；(2)若不等式－x2＋2x＋3≤a2－3a对随意实数x恒成立，求实数a[解](1)当k＝0时，原不等式化为－2＜0，明显符合题意．当k≠0时，令y＝kx2＋2kx－(k＋2)，∵y＜0恒成立，∴其图像都在x轴的下方，即开口向下，且与x轴无交点．∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(k＜0，,4k2＋4kk＋2＜0，))解得－1＜k＜0.综上，实数k的取值范围是(－1,0]．(2)原不等式可化为x2－2x＋a2－3a－3≥∵该不等式对随意实数x恒成立，∴Δ≤0，即4－4(a2－3a－3)≤0，即a2－3a－4≥0，解得a≤－1或a∴实数a的取值范围是(－∞，－1]∪[4，＋∞)．类型2分别参数法解决恒成立问题【例2】设函数y＝mx2－mx－1，x∈[1,3]，若y＜－m＋5恒成立，求m的取值范围．[解]y＜－m＋5恒成立，即m(x2－x＋1)－6＜0恒成立，∵x2－x＋1＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))eq\s\up12(2)＋eq\f(3,4)＞0，又m(x2－x＋1)－6＜0，∴m＜eq\f(6,x2－x＋1).∵y＝eq\f(6,x2－x＋1)＝eq\f(6,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))eq\s\up12(2)＋\f(3,4))在1≤x≤3上的最小值为eq\f(6,7)，∴只需m＜eq\f(6,7)即可．∴m的取值范围为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，\f(6,7))).通过分别参数将不等式恒成立问题转化为求函数最值问题.eq\o([跟进训练])2．已知函数y＝eq\f(x2＋2x＋a,x)对于随意x≥1且y＞0恒成立，求实数a的取值范围．[解]x≥1时，y＝eq\f(x2＋2x＋a,x)＞0恒成立，等价于x2＋2x＋a＞0恒成立，即a＞－(x2＋2x)恒成立，即a＞[－(x2＋2x)]max.令y1＝－(x2＋2x)，则当x≥1时，y1＝－(x2＋2x)＝－(x2＋2x＋1)＋1＝－(x＋1)2＋1≤－3.∴实数a的取值范围为{a|a＞－3}．类型3转换主元解决恒成立问题【例3】已知a∈[－1,1]时不等式x2＋(a－4)x＋4－2a＞0恒成立，求x[解]把不等式的左端看成关于a的一次函数，记y＝(x－2)a＋x2－4x＋4，则由y＞0对于随意的a∈[－1,1]恒成立，将a＝－1和a＝1代入，解不等式组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2－5x＋6＞0，,x2－3x＋2＞0，))得x＜1或x＞3.∴x的取值范围是(－∞，1)∪(3，＋∞)．转换思维角度，即把变元与参数变换位置，构造以参数为变量的函数，依据原变量的取值范围求解.eq\o([跟进训练])3．对于满意0≤p≤4的一切实数，不等式x2＋px＞4x＋p－3恒成立，试求x的取值范围．[解]不等式x2＋px＞4x＋p－3恒成立，即(x－1)p＋(x2－4x＋3)＞0，设y＝(x－1)p＋(x2－4x＋3)是以p为自变量的一次函数，则0≤p≤4时y＞0恒成立，即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－1·0＋x2－4x＋3＞0，,4x－1＋x2－4x＋3＞0，))解得x＞3或x＜－1．∴x的取值范围是{x|x＞3或x＜－1}．类型4转化为函数的最值解决能成立问题【例4】若存在x∈R，使得eq\f(4x＋m,x2－2x＋3)≥2成立，求实数m的取值范围．[解]∵x2－2x＋3＝(x－1)2＋2＞0，∴4x＋m≥2(x2－2x＋3)能成立，∴m≥2x2－8x＋6能成立，令y＝2x2－8x＋6＝2(x－2)2－2≥－2，∴m≥－2，∴m的取值范围为[－2，＋∞)．能成立问题可以转化为m＞ymin或m＜ymax的形式，求出y的最大值与最小值，从而求得参数的取值范围.eq\o([跟进训练])4．已知函数y＝|2x＋1|－|x|.(1)求不等式y＞0的解集；(2)若存在x∈R，使得y≤m成立，求实数m的取值范围．[解](1)由y＞0，得|2x＋1|＞|x|，两边同时平方，得3x2＋4x＋1＞0，解得x＜－1或x＞－eq\f(1,3).故原不等式的解集为eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x＜－1或x＞－\f(1,3))))).(2)存在x∈R，使得y≤m成立，故m≥ymin.当x＜－eq\f(1,2)，y＝－x－1；当－eq\f(1,2)≤x＜