圆的综合（解析版）-2024年中考数学二轮复习讲义

压轴题05

圆的综合

目录

・题型剖析•精准提分

题型一切线的判定

题型二圆中求线段长度

题型三圆中的最值问题

题型四圆中的阴影部分面积

题型五圆中的比值（相似）问题

好题必刷•强化落实

题型剖析•精准提分

圆的综合

题型一切线的判定题型三圆中的最值问题

题型二圆中求线段长度题型四圆中的阴影部分面积

题型五圆中的比值（相似）问题

下图为二次函数图象性质与几何问题中各题型的

题型解读：

考查热度.

圆的综合问题在中考中常常以选择题以及解答题

圆的综合

的形式出现，解答题居多且分值较大，难度较高.多考

查切线的性质与判定、圆中求线段长度问题和圆中最值

问题，一般会用到特殊三角形、特殊四边形、相似三角

形、锐角三角函数、勾股定理、图形变换等相关知识点，

以及数形结合、整体代入等数学思想.此类题型常涉及

以下问题：①切线的判定；②计算线段长及证明线段比

例关系；③求三角函数值；④利用“辅助圆”求最值.

右图为圆的综合问题中各题型的考查热度.

题型一切线的判定

解题模板：

根据条件确定是否有明确交点

根据有无交点作出相应的辅助线

利用切线的判朝法进的明

技巧：有切点，连半径，证垂直（根据题意，可以证角为90°,如已有90°角，可以尝试证平行）

没切点，作垂直，证半径（通常为证全等，也可以通过计算得到与半径相等）

【例1】1.（2023-四川攀枝花-中考真题）如图，48为的直径，如果圆上的点。恰使/ADC=/3,求

证：直线。与。。相切.

【答案】见详解

【分析】由等腰三角形的性质和圆周角定理得出NaM+NADC=90。，则CDLOD,再由切线的判定即可

得出结论.

【详解】证明：如图，连接0。，

OA=OD,

:.ZA=ZODA,

・・,AB为O。的直径，

,\ZADB=90°,

/.ZA+ZB=90°,

\ZADC=ZBf

.•.NQZM+ZADC=90。,

即ZCDO=90°,

:.CD±ODf

・・・QD是OO的半径,

直线8与。。相切.

【点睛】本题考查了切线的判定、圆周角定理、直角三角形的性质、等腰三角形的性质等知识；熟练掌握

圆周角定理和切线的判定是解题的关键.

【变式1T】（2023-辽宁-中考真题）如图，内接于。。，是。。的直径，CE平分NACB交。。于

点、E,过点E作£F〃AB,交C4的延长线于点E

求证：EF与OO相切；

【分析】连接OE,由AB是。。的直径可得NACfi=90。，进而可得/ACE=344CB=45。，再根据圆周角

定理可得/AOE=2NACE=90。，进而可证OELAB,OE±EF,即可证明E尸与。。相切；

【详解】证明：如图，连接OE,

•••AB是。。的直径,

ZACB=90°,

CE平分/ACB交。。于点E,

ZACE=-ZACB^45°,

2

ZAOE=2ZACE=90。,

OE±AB,

EF//AB,

..OEYEF,

•••OE是OO的半径，

•••EF与。。相切；

【点睛】本题考查切线的判定，圆周角定理，弧长公式，等边三角形的判定与性质等，熟练应用圆周角定

理是解题的关键.

【变式1-2](2023-辽宁-中考真题)如图，A3是。。的直径，点C,E在。。上，NC4B=2NE4B,点尸在

线段的延长线上，且/AEE=NABC.

(1)求证：E尸与。。相切；

4

(2)若5/=LsinNAFE=g,求5c的长.

【分析】利用圆周角定理得到NEO5=2NE4B,结合已知推出NC4B=ZEO3,再证明△。在。△.。，推

出NQEF=NC=90。，即可证明结论成立；

【详解】证明：连接OE,

•：BE=BE，NEOB=2NEAB,

丁ZCAB=2ZEAB,

：.NCAB=ZEOB,

「AB是。。的直径，

ZC=90°,

ZAFE=ZABC,

：.△OFEs^ABC,

：./OEF=/C=90。,

•；OE为。O半径，

与。。相切；

【点睛】本题考查了圆的切线的判定、圆周角定理、解直角三角形以及相似三角形的判定和性质等知识，

熟练掌握圆的相关知识和相似三角形的判定和性质是解题的关键.

【变式「3】（2023-湖北鄂州-中考真题）如图，为。O的直径，E为。O上一点，点C为助的中点，过

点C作CDLAE,交AE的延长线于点。，延长DC交的延长线于点孔

⑴求证：是。。的切线；

【分析】连接OC,根据弦、弧、圆周角的关系可证NZMC=NC4产，根据圆的性质得NQ4C=NOC4,证

明OC〃AD,得到NOB="=90。，根据切线的判定定理证明；

【详解】证明：连接OC,

•••点C为曲的中点,

••EC=CB，

:.ZDAC=ZCAF,

・・・Q4=0C,

JZOAC=ZOCA

：.?DACICOA

：.OC//AD,

：.ZOCF=ZD=90°,

•・•0c为半径，

・・・DC为。。切线；

【点睛】本题考查了切线的判定和性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，正确地作出辅助线是解题

的关键.

题型二圆中求线段长度

解题模板：

利用圆的相关定理和性质作辅助线

分析题目条件选取合适的方法进彳箝算

【例2】（2023-西藏-中考真题）如图，已知48为。。的直径，点C为圆上一点，AO垂直于过点C的直线,

交。。于点E,垂足为点。，AC平分

D

C

E,

⑴求证：CD是。。的切线；

(2)若AC=8,BC=6,求DE的长.

【答案】(1)见详解

【分析】（1）连接CO,根据角平分线的定义有44£>=2NC4O,根据圆周角定理有2/C4O=NCO3,可

得NDAB=NCOB,进而有AD〃OC,进而可得NOCO=180。—NADC=90。，则有半径OC_LCD,问题得

证；

（2）连接CO,CE,BC,利用勾股定理可得AB=CAC2+3C2=10,进而有sinNCA8=g==,

AD5

Ar14324

tanZCBA=——=—,根据ZDAC=ZCAB,即sinZDAC=sinZCAB=进而可得CO=ACxsinZDAC=—,

BC355

4

根据四边形AECB内接于可得NDEC=NB,BPtanZDEC=tanZCBA=-,再在Rt△瓦）。中，可得

DE=CD_24*3」8

tan/DEC545'

【详解】（1）连接CO,如图，

'・•AC平分2B4O,

・•・ZBAD=2ZCAO,

2/CAO=/COB,

：.ZDAB=ZCOB,

：.AD//OC,

:.ZADC+ZDCO=180°,

■:ADLCD,

：.ZADC=9Q0,

ZDCO=180。—ZADC=90°,

:.OCLCD,

二•CD是OO的切线；

(2)连接CO,CE,BC,如图,

A3为OO的直径，

・•.ZACB=90°,

VAC=8,BC=6,

・••在Rt^ABC中，AB=y/AC2+BC2=10,

AsinZCAB=—=-,tanZCBA=—=-,

AB5BC3

丁AC平分/BAD,

3

AZDAC=ZCABfBPsinZDAC=sinZCAB=-,

・・•在Rt^ADC中，AC=8,

24

CD=ACxsinZDAC=y,

•・,四边形AECB内接于(DO,

4

ZDEC=ZB,BPtanZDEC=tanZCBA=-,

24

•・•在RMEDC中，CD=『

.DE-CD-24x3-18

"tanZDEC545'

【点睛】本题主要考查了切线的判定，解直角三角形，圆内接四边形的性质以及圆周角定理等知识，灵活

运用解直角三角形，是解答本题的关键.

【变式2-1］（2023-内蒙古-中考真题）如图，48是。。的直径，E为。。上的一点，点C是用E的中点，

连接2C,过点C的直线垂直于BE的延长线于点。，交出的延长线于点P.

(2)若PC=2080，PB=10,求3E的长.

【答案】(1)见解析

⑵BE=g

【分析】（1）连接OC,根据点C是aE的中点可得/=进而证OC〃比），从而得证

NPCO=ND=90°即可；

（2）解法一：连接AE交0c于M,根据PC=2。。及勾股定理求出0C=g,再证明AE〃尸D,从而得

到器=器，即可求出BE的值；解法二：过点。作助于点H,按照解法一步骤求出0C=1,然后

证明四边形COHD是矩形，再证明△尸求得3。=5,进而求出破的值.

【详解】（1）证明：连接0C,

•・・BD_LCD,

.•."=90。，

丁点。是）tE的中点，

/.AC=C石，

.\ZABC=ZCBD,

♦：OB=OC,

:.ZOBC=ZOCB,

:"OC4/CBD,

:.OC//BD,

:.ZPCO=ZD=90°,

:.OC±PDf

•••0C是半径,

PC是。。的切线;

(2)解法一：连接AE交OC于

PC=2A/2BO，BO=CO,

PC=2忘CO,

-.-PB=10,

:.PO=PB-OB=10-OC,

在RtAPCO中PC2+OC2=PO2,

(2卮+0C2=(10-OC)2,

OC=|^OC=-5(不符合题意，舍去),

,・・点C是农E的中点，OC是半径，

.：0。垂直平分凡£,

:OA=OB,

二。“是△AEB的中位线，

:.BE=2OM,

■.•四是直径，

,-.ZAEB=ZD=90°,

:.AE//PD,

5

OM_OA_2_1

OCOPio-53

2

1^155

OM=-OC=-x-

3326

BE=2x-=5-.

63

D

c

解法二：过点。作于点H,

..""0=90°,BE=2BH,

PC=2丘BO,BO=CO,

:.PC=2A/2CO，

-,-PB=10,

:.PO=PB—OB=1Q—OC,

...在Rt△尸CO中，PC2+OC-=PO-,

.•.（2A/2CO）2+OC2=（10-OC）\

，OC=|或OC=—5（不符合题意，舍去）,

・・・ZPDB=ZDHO=ZOCD=90°,

••・四边形COHD是矩形，

CO=-

:DH=29

OC〃BD,

..^PCO^^PDB,

.POCO

一诟―茄’

155

•=2>

.TOBD

\BD=—,

3

.•.BH工一,

326

:.BE=2BH=2x-=-.

63

圆的相关性质，勾股定理，平行线间线段成比例，相似三角形的的判定与

性质，掌握并理解相关性质定理并能综合应用是关键.

【变式2-2］（2023-辽宁大连-中考真题）如图1,在。。中，48为。。的直径，点C为上一点，AD为

NC钻的平分线交。。于点。，连接OD交BC于点E.

图1图2

⑴求的度数；

（2）如图2,过点A作。。的切线交BC延长线于点歹，过点。作。G〃AF交A3于点G.若AO=2庖,

DE=4,求。G的长.

【答案】⑴90。

（2）2710

【分析】（1）根据圆周角定理证得两直线平行，再根据平行线的性质即可得到结论;

（2）由勾股定理得到边的关系，求出线段的长，再利用等面积法求解即可.

【详解】（1）解：为。。的直径，

.-.ZACB=90°,

AD为/CAB的平分线，

\2BAC》BAD,

,/OA=OD,

.\ZBAD=ZODA,

ZBOD=ZBAD+ZODA=2ZBAD,

:.NBOD=NBAC,

:.OD//AC,

ZOEB=ZACB=90°,

:./BED=90°；

（2）解：连接8D,

^OA=OB=OD=r,

贝|JOE=—4,AC=2OE=2r—8,AB^2r,

图2

•.,AB为G>O的直径，

:.ZADB=90°,

在RtAAD3中，BD2=AB2-AD\

由（1）得，/BED=90。，

ZBED=ZBEO=90°,

:.BE2=OB2-OE2,BE2=BD2-DE2

BD2=AB2-AD1=BE2+DE2=OB2-OE2+DE2,

A（2r）2-（2^）2=r2-（r-4）2+42,

解得r=7或r=-5（不合题意舍去），

,-.AB=2r=14,

---BD=ylAB2-AD2=Jl"（2底y=2y/14,

•.•AF是。。的切线，

:.AF±AB,

■.■DG//AF,

:.DG±AB,

S△A,DBUn=2-ADBD2=-ABDG,

：.DG=空幽=巫应=2M.

AB14

【点睛】本题考查了圆周角定理，勾股定理，切线的性质，解一元二次方程，熟练掌握圆周角定理和勾股

定理是解题的关键.

【变式2-3］（2023-湖北恩施-中考真题）如图，AABC是等腰直角三角形，/ACB=90。，点。为的中

点，连接CO交。。于点E,。。与AC相切于点。.

⑴求证：BC是OO的切线；

⑵延长CO交。。于点G,连接AG交。。于点R若AC=4&，求FG的长.

【答案】（1）见解析

⑵境

3

【分析】（1）连接OD,过点。作OPLBC于点尸，根据等腰三角形的性质得到/OCD=/OCP=45。，推

出OD=OP,即可得到结论；

（2）根据等腰直角三角形的性质求出。4,。。的长，勾股定理求出AG,连接OF,过。作于点

H,利用面积法求出OH,勾股定理求出用，即可根据等腰三角形的性质求出FG的长.

【详解】（1）证明：连接O。，过点。作O尸，于点产，

A

：.0D1AC,

,/zABC是等腰直角三角形，ZACB=90。，点。为AB的中点,

ZOCD=ZOCP=45°,

：.OD=OP,即OP是。。的半径，

/.3C是。。的切线；

(2)解：VAC=4A/2,AB^AC,ZACB^90°,

AB=y/2AC=S，OCLAB,

:点。为A3的中点，

/.OC=OA=-AB=4,

2

,：ODA.AC

：.0O」AC=2后，

2

在RtAAOG中，AG=y/o^+OG2="+(2何=2娓

连接。尸，过。作O”,AG于点8,

.c”OAOG4x2亚4指

••Oil=-------=-----7=-=------,

AG2娓3

4A/3?_276

亍JF

•：OF=OG,

・"CEJ厂4A/6

••FG-2HG------•

3

【点睛】此题考查了判定直线是圆的切线，切线的性质定理，等腰直角三角形的性质，勾股定理，正确掌

握各知识点是解题的关键.

题型三圆中的最值问题

解题模板：

根据题目条件判断圆中最值模型

利用模型技巧构造图形并确定动点位置

分析几何特征并代入数值计算

技巧精讲:

1、辅助圆模型

模型问题情境图示结论

。在。。夕卜

当D,E,0三点共线时,OE有最值，最大值

为d+r,最小值为d-r

点E为O0上一点，O。的半径

。在。。上当D,E,0三点共线时有最值，最大值

为r,平面内一定点。与点。的

点圆最值吟为d+r=2r（即为。。的直径），最小值为

距离。。=九求出0E的最大值

d-r=0（O,E重合）

和最小值

。在。。内

当D,E,0三点共线时,OE有最值，最大值

“⑦一爸），

为d+r,最小值为r-d

C在优弧上

&当CH1AB且CH过圆心0时，线段CH的

长即为点C到弦AB的最大距离，此时

5A板的值最大

48是。。的一条定弦，点C为

@上一动点

C在劣弧48上

线圆最值当CH1AB且圆心。住CH的延长线上时，

线段CH的长即为点C到弦AB的最大距

离，此时SA1tse的值最大

C

。。与直线/相离,点尸为

点P到直线1的最小距离是d-r,最大距离

上一动点，设圆心0到直线1L里

是d+r

的距离为或。。的半径为r

D

那是△ABC和的公共边，A,B,C,D四点共圆，圆心0为三角形任意

四点共圆

且点C,0在AB同侧，乙C=乙。冷一组邻边的垂直平分线的交点

\------------/B

模型问题情境图示结论

在四边形ABCD中，Z.ABC=

四边形48co的外接圆为以AC为直径的

Z.ADC=90°,满足乙ABC+

QO

乙40c=180。W

B

四点共圆

在四边形ABCD中，满足四边形ABCD的外接圆为00,圆心。为任

AABC+Z.ADC=180°意一组邻边的垂直平分线的交点

D

在。。中，川？为一条定弦，点1^ADB=Z.ACB=乙AEB（弦AB在劣弧48

C,O,E在圆弧上上也有圆周角）

定角定弦

发

点C在。。的病上均可（当4C>90。时，

在O0中MB为一条定弦,C为

点C在劣弧上;当NC=90。时，点C在半圆

。。上任意一动点且Z.C=a

人一/B上;当2C<90。时，点C在优弧上）

乙APB=90°

济弋，.p

PMN鼠则AB=2PMM2h,当PM148或

E4=P8时,AB有最小值,此时AB=2h

A\M：B1爪、足M,IB1

已知直线/外一点P,点尸到直...J

线48的距离为定值乂定高），

定角定高过点P作PHJ.I于点H,则PH=h,可得

乙APB为定僮（定角），M为AB

Z4PB=a09O°Z.APB=^-Z.A0B=zUOM=a，设。0的半

的中点，求48的最小值

MM

径为r,PO+MO=r+r,cosaNPMNPH=

h,当PM_LAB或P4=P8时，PO+MO=

PM=PH=A，贝!]r+r•cosa=八，此时r有

最小值，则AB的最小值为2rsina

两定点4,8在乙C的一条边上，过两点作圆和点C的另一边相切，当

另有一个动点P在这个角的另I点P运动到切点尸时，44PB最大（同弧所

最大张角

一条边上,找一点P使得乙APB对的圆周角相等，圆外角小于圆周角，圆内

最大角大于圆周角）

【例3】（2023-湖南长沙-三模）如图1：在。。中，48为直径，C是。。上一点，AC=3,BC=4.过。分别

作OHJ.BC于点、H,ODLAC于点。，点分别在线段3C、AC上运动（不含端点），且保持NEO尸=90。.

图1图2

（1）OC=；四边形CDO//是（填矩形/菱形/正方形）；S四边形CDOH=;

（2）当尸和。不重合时，求证：&OF*AOEH；

（3）①在图1中，0P是ACEO的外接圆，设。P面积为S,求S的最小值，并说明理由；

②如图2：若。是线段A8上一动点，且QA：08=1：〃，ZEQF=90°,。"是四边形CEQ尸的外接圆，则

当〃为何值时，O"的面积最小？最小值为多少？请直接写出答案.

【答案】（1）2.5；矩形；3；

（2）见解析

（3）①§万，理由见解析；②〃=乎时，S有最小值If万.

16925

【分析】（1）根据圆周角定理及勾股定理得出AB=5,再由直角三角形斜边中线的性质得出OC=2.5；利用

矩形的判定得出四边形80〃的形状，再由相似三角形的判定和性质及矩形的面积求法即可得出结果；

（2）由圆周角定理及等量代换得出NFOD=N£OH,再由相似三角形的判定即可证明；

（3）①由（2）得/ACB=90。，ZEOF=90°,确定圆P经过C、F、。、E,即为ACOE的外接圆，且所

为直径，由（1）得出EF取得最小值为《AB=2.5,利用圆的面积求解即可；②根据题意得：当QELAC,

2

3n

。尸，3。时，圆M的直径所有最小值，再由三角函数得出£。=厂4匚，。尸=丹，利用勾股定理及二次

函数的性质求解即可.

【详解】⑴解：・・•A3为直径，

・•.ZACB=90°,

・.,AC=3,BC=4,

・•・AB=5,

：.OC=-AB=2.5；

2

*：OD.LAC,OHIBC,ZACB=90°,

・•・四边形CDOH是矩形；

VOD1AC,ZACB=9Q°f

：.OD//BC,

"OAD^BAC,

.OPAO_1

••疏一瓦—5'

・•・OD=2,

同理得O"=1.5,

••S四边形so”=2x1.5=3；

故答案为：2.5；矩形；3；

(2)证明：VOD1AC,OHLCB,

：.Z.FDO=ZEHO=90°,

又A5为直径，

・•・ZACB=90°,

・•・Z.DOH=90°=/EOF,

即AFOD+ADOE=ZDOE+ZEOH,

・•・ZFOD=ZEOH,

；・△OFD^AOEH.

(3)①如图，VZACB=90°,ZEOF=90°,

・••圆月经过C、F、0、E,即为△口?石的外接圆，且石方为直径

・,・当石尸最小时，圆P的面积S有最小值，

当厂和O重合、石和H重合时，

由(1)得。F=2,O石=1.5取得最小值，

所也取得最小值为:AB=2.5,

此时S="空］"为最小值.

I2)16

②根据题意得：当QE，AC,。尸，BC时，

圆M的直径E尸有最小值，

55/243n

此时AQ=——，BQ=——，ZAQE=ZABC,EQ=cosZAQE•AQ=——，QF=sinZAQBBQ=——,

1+n1+〃1+n1+n

■,EF2=EQ2+QF2=^^-

(l+〃)

EF

•»S—71

当石方最小时，s最小,

令r=〃+l,则E=2=9'_?+16=25

-18-+9

当沁,即〃若时，S有最小值,代入得S最小值为家.

为关于-的二次函数,

【点睛】题目主要考查圆与四边形综合问题，包括圆周角定理，矩形的判定和性质，内接三角形和四边形,

解直角三角形等，理解题意，作出相应辅助线求解是解题关键.

【变式3-1］（2023-安徽-模拟预测）如图，半圆的直径A5=4,弦CD〃AB,连接AC,BD,AD,8C.

(1)求证：9△BCD；

(2)当AACD的面积最大时，求/CAD的度数.

【答案】(1)证明见解析

(2)45°

【分析】(1)根据平行线的性质可得NADC=/n4B,从而可得AC=BZ)，然后根据同圆或等圆中弧、弦、

圆周角的关系可得=从而用边边边定理证明三角形全等；

(2)连接。COD,过点。作DELOC,垂足为点E,通过分析当且仅当/COD=90。时取等号时S’ACD有最

大值为2,分析求解.

【详解】(1)证明：•.•CD〃钻，

：.ZADC=ZDAB

AC=BD，

AC=BD,AC+CD=BD+CD>即AD=BC，

AD—BC.

又♦:CD=DC.

.-.△ADC^ABCD(SSS)

(2)解：连接OC,OD,过点。作DELOC,垂足为点E.

：.OC=OD=LAB=2.

2

CD//AB,

•,^AACD=SAOCD=不OC-DE

■.■DE<OD=2,当且仅当/COD=90。时取等号,

此时SACD最大值=gx2x2=2,

ACAD=-ZCOD=45°.

2

【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，同圆或等圆中弧、弦、圆周角的关系，解题的关键是根据图

形题意，准确添加辅助线.

【变式3-2](2023-四川-中考真题)如图1,已知线段A8,AC,线段AC绕点A在直线AB上方旋转，连

接3C,以BC为边在BC上方作R%flDC,且N£®C=30。.

⑴若/