轴对称能力提升测试卷-2024-2025学年人教版八年级数学上册题型专练（含答案）

第13章轴对称能力提升测试卷

（考试时间：120分钟试卷满分：120分）

一.单项选择题（本题共12小题，每小题3分，共36分.在每小题给出的四个

选项中，只有一项是符合题目要求的.）

1.如图，已知A/5C3D5E,点。在/C上，3c与。£交于点P.若445£=160。，

/DBC=3G°,则NCDE的度数为（）

A.60°B.65°C.70°D.75°

2.如图，△N8C中，4D为中线，点£为48上一点，AD,CE交于点尸，且N£=EE若

AB=5,则CP=（）

3.已知ZUSC,下列尺规作图的方法中，能确定=的是（）

4.等腰三角形的一边长为3cm,另一边长为7cm,则它的周长为（）

A.13cmB.17cmC.22cmD.13cm或17cm

试卷第1页，共8页

5.如图，在△45。中，。是4c的中点，且3。，/C,DE//BC,交AB于点E,

BC=7cm,AC=6cm,则的周长等于（）

A.12cmB.10cmC.7cmD.9cm

6.如图，在△/BC中，AB=AC,/C=30°,点。是N8的中点；过点、D作DEJ.AB交BC

7.在△ABC中，AB=AC,AB的垂直平分线与NC所在直线的夹角为50。，则这个等腰三

角形的顶角为（）

A.40°B.50°C.40°或140°D.50°或130°

8.如图，NB、/C的平分线相交于凡过点厂作。£〃8C,交4B于D,交ZC于E,那

么下列结论正确的是①△瓦）足AC跖都是等腰三角形；②DE=BD+CE；③的周长

为4B+4C；@BD=CE.（）

A.③④B.①②C.①②③D.②③④

9.在平面直角坐标系中，将点月向下平移3个单位长度得到点省加,2）,则点耳关于＞轴的

对称点E的坐标是（）

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A.(w,-l)B.(-w,-l)C.(加,5)D.

10.如图，己知：NMON=30°,点4、4、4…在射线ON上，点片、&、层…在射线

上，△/由4、△/包4、△4层4…均为等边三角形，若。4=1，则的边长为（）

D.64

11.如图，在四边形/BCD中，40/8=130。,/。=a8=90。,M,N分别是CD,8c上的动

点.当A4W的周长最小时，+的度数为（）

100°C.130°D.140°

12.如图，在△/。3和△cor1中,04=OB,OC=OD,OA<OC,

ZAOB=ZCOD=36°.连接/C、BD交于点、M,连接ON.下列结论:

①//MS=36°;@AC=BD-③平分N/ftD；④MO平分

其中正确的结论个数有（）个.

A.4B.3C.2D.1

二.填空题（本题共6小题，每小题2分，共12分.）

13.如图，点尸、M、N分别在等边△4BC的各边上，且MP_L/8于点P,NM工BC于

点M,PNLAC于点、N,若48=12cm,则CW的长为cm.

试卷第3页，共8页

A

N

14.等腰三角形的一条中线把这个等腰三角形分成两个周长相差4的三角形，若这个等腰三

角形的一边长为8,则等腰三角形的周长为.

15.如图，在△/BC中，42的垂直平分线分别交48、BC于点、D、E,NC的垂直平分线

分别交NC、BC于点、F、G,若48=52。，ZC=30°,则/E4G的度数为.

16.如图，在折纸活动中，小李制作了一张△A8C的纸片，点、D,E分别在边48,/C上,

将△/BC沿着DE折叠压平，A与4重合，若Zl+N2=130。，贝|乙4=

17.如图。是长方形纸带，将纸带沿斯折叠成图6,已知图6中的NCPG=140。，则图。

中的ZDEF的度数是度.

图a图6

18.如图，在△NBC中，/C=30。，点。是/C的中点，DEJ.AC交BC于E,点、。在DE

上,OA—OB,OD=2,OE=4,则BE的长为

试卷第4页，共8页

c

汽L

A-------箝

三.解答题（本题共8小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算

步骤.）

19.AB,C。是两条公路，E、厂是两个村庄，通讯公司要在两公路之间建一座信号基站,

要求到两条公路距离相等，并且到两村庄距离之和最小，请你用尺规作图帮通讯公司确定符

合要求的位置点尸（保留作图痕迹，不写做法）

20.如图，A/BC中，/2=11,AC=5,/A4c的平分线力。与边的垂直平分线DG相

交于点。，过点。分别作。DFA.AC,垂足分别为E、F,求的长度.

（1）作的平分线8D,交NC于点。，作8C的垂直平分线，分别交/8、8c于点£、

F.（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不必写作法和证明）；

（2）求证£是48中点.

22.已知：如图，/2/C角平分线与BC的垂直平分线。G交于点。，DEJ.AB,

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DF1AC,垂足分别为E、F.

⑴求证：BE=CF；

(2)若48=8,AC=6,求BE的长.

23.如图1,在等边△/BC中，点尸，。分别是2c上的动点(端点除外)，点P从顶

点，，点。从顶点8同时出发，且它们的运动速度相同，连接CP交于

(1)当点尸，0在边3c上运动时，求/QMC的度数；

(2)当点P,0在射线48,8c上运动时，直线CP交于点求NQMC的度数.

24.己知：如图，△，8。工(券£都是等边三角形，AD、8E相交于点。，点”、N分别是线

段8E的中点.

⑵求乙DOE的度数；

(3)求证：A儿WC是等边三角形.

25.课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：

如图，USC中，若48=8,AC=6,求2C边上的中线ND的取值范围.小明在组内经过

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合作交流，得到了如下的解决方法：延长/。到点E,使DE=AD,请根据小明的方法思考:

(1)由已知和作图能得到“DC沿AEDB的理由是.

A.SSSB.SASC.AASD.HL

(2)求得的取值范围是.

A.6<AD<SB.6<AD<8C.\<AD<1D.\<AD<1

【感悟】

解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已

知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中.

【方法应用】

(3)如图，在四边形4BCL•中，/8〃CZ),点E是8C的中点，若/£是/历的平分线,

试猜想线段/8、AD、。。之间的数量关系，并证明你的猜想；

【拓展延伸】

(4)如图，已知点E是5c的中点，点。在线段4E上，ZEDF=ZBAE,若

AB=5,CF=2,求出线段。尸的长.

试卷第7页，共8页

26.已知，在等边三角形23c中，点E在N3上，点。在的延长线上，且ED=EC.

A

(1)【特殊情况，探索结论】

如图1,当点£为48的中点时，确定线段4E与。8的大小关系，请你直接写出结论：AE

DB(填“〈”或“=

(2)【特例启发，解答题目】

如图2,当点E为N8边上任意一点时，请判断线段/£与。8的大小关系，并说明理由.(提

示：过点E作斯〃8。，交NC于点尸)

(3)【拓展结论，设计新题】

在等边三角形/8C中，点E在直线48上，点。在线段C8的延长线上，且ED=EC,若

△ABC的边长为1,AE=2,则线段CD的长.

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1.B

【分析】本题考查全等三角形的性质，三角形的内角和定理，等腰三角形的性质，根据全等

三角形的性质得到4"=4D8E,AB=DB,ZA=NBDE,根据三角形内角和定理、等

115°

腰三角形的性质推出乙4=4以=/2£)£=；一,再根据平角的定义求解即可.掌握全等

三角形的对应边相等，对应角相等是解题的关键.

【详解】解：•••△NBC当NABE=160°,ZDBC=30°,

ZABC=ZDBE,AB=DB,2A=NBDE,

/ABC-NDBC=NDBE-NDBC,//=NADB,

即ZABD=NCBE=-ZDBC)=1x(160°-30°)=65°,

i115°

ZA=ZADB=-x(180°-ZABD)=,

115°

ABDE=——，

2

115°115°

...ZCDE=180°-(ZADB+Z5Z)£)=180°-----+----=65°,

22

.•./CDE的度数为65。.

故选：B.

2.B

【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质以及等腰三角形的性质・正确做出辅助线

构造全等三角形是解题的关键.

延长/。至点G,使。G=40,连接CG,证明A4RD0AGCD(SAS),再运用全等三角形的

性质可得/B=CG,NG=NEAF,然后运用等腰三角形的性质可得CG=C/，进而求解即

可

【详解】解：如图，延长/。至点G,使。G=/。，连接CG.

答案第1页，共25页

因为80=0,AADB=ZGDC,

所以“BZ泾AGCD(SAS).

所以/2=CG,ZG=ZEAF.

因为/E=EF,

所以NE4F=NEE4.

又因为/EE4=/C尸G,

所以/G=/GFC,

所以CG=CF.

所以/B=CB=5.

故选B.

3.D

【分析】本题考查作图-基本作图，解题的关键是掌握垂直平分线，角平分线，垂线的尺规

作图方法.观察各选项作图痕迹，根据垂直平分线，角平分线，垂线性质逐项判断即可.

【详解】解：A、选项作图痕迹可知，。为8C中点，不能确定/84D=/C4D,故本选项

不符合题意；

B、选项作图痕迹可知，。在42的垂直平分线上，能确定=不能确定

ABAD=ACAD,故本选项不符合题意；

C、选项作图痕迹可知，AD是边上的高，不能确定/B4D=NC4O,故本选项不符合题

忌；

D、选项作图痕迹可知，。在NA4c的平分线上，故本选项符合题意；

故选：D.

4.B

【分析】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系，熟知以上知识是解题的关

键.

题目给出等腰三角形有两条边长为3cm和7cm,而没有明确腰、底分别是多少，所以要进

行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形.

【详解】解：分两种情况：

当腰为3cm时，3+3=6<7,所以不能构成三角形；

当腰为7cm时，3+7>7,所以能构成三角形，周长是：3+7+7=17(cm).

答案第2页，共25页

故选：B.

5.B

【分析】本题考查了线段垂直平分的性质，等腰三角形的判定和性质，平行线的性质，由。

是ZC的中点可得/O=；/C=3cm,进而由8。L/C可得BD为/C的垂直平分线，得到

BA=BC=7cm,由三线合一得到,又由DE〃BC得/EDB=NCBD,即得

NEDB=NABD,得到=据此可得△/££）的周长

=AE+DE+AD=AE+BE+AD=AB+AD,即可求解，掌握以上知识点是解题的关键.

【详解】解：；。是NC的中点，AC=6cm,

.•.AD」/C=3cm,

2

又•••BD工AC,

为/C的垂直平分线，

BA=BC=7cm,

."ABD=/CBD,

-DE//BC,

・•・ZEDB=ZCBD,

・•・ZEDB=/ABD,

•••BE=DE,

.••△4£。的周长=/£+。£+4。=/£+3£+4。=45+/。=7+3=10（：111,

故选：B.

6.B

【分析】此题主要考查了直角三角形的性质，等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质,

熟练掌握等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，理解在直角三角形中，30。的角所对

的直角边是斜边的一半是解决问题的关键.连接先求出NB=NC=30。，

ABAC=120°,再根据线段垂直平分线的性质得，BE=AE,由此得NB=NCME=30。，进而

利用直角三角形的性质得丝=2/宏=4,然后求出/。E=90。，再利用直角三角形的性质

即可求出CE的长.

【详解】解：连接如图：

答案第3页，共25页

在△/8C中，AB=AC,NC=30。，

NB=NC=30°,

ZBAC=180°-(ZS+ZC)=120°,

•••点。是48的中点，DEJ.AB,

DE是线段48的垂直平分线，

BE=AE,

NB=ZDAE=30°,

在RM/DE中，ZDAE=30°,DE=2,

AE=IDE=4,

•••ABAC=120°,ZDAE=30°,

ZCAE=ABAC-ADAE=120°-30°=90°,

在Rt^GlE■中，ZC=30°,AE=4,

CE=2AE=8.

故选：B.

7.C

【分析】本题考查了等腰三角形的性质及三角形内角和定理，分类讨论是正确解答本题的关

键.

根据题意分两种情况，当△/BC是锐角三角形时，当△N3C是钝角三角形时，讨论求解即可;

【详解】解：分两种情况：

当△NBC是锐角三角形时，如图：

答案第4页，共25页

♦;NAED=5。。,

ZA=900-ZAED=40°；

当△/5C是钝角三角形时，如图：

由鲁:DE是的垂直平分线，

-----

.'.AADE=90°,

■：ZAED=50°,

:.ZDAE=90°-NAED=40°,

ADAC=180°-ADAE=140°；

综上所述：这个等腰三角形的顶角为40。或140。，

故选：C.

8.C

【分析】本题考查了等腰三角形的性质及角平分线的定义及平行线的性质；题目利用了两直

线平行，内错角相等，及等角对等边来判定等腰三角形的；等量代换的利用是解答本题的关

键.由平行线得到角相等，由角平分线得角相等，根据平行线的性质及等腰三角形的判定和

性质，逐一进行判断即可.

【详解】W：-：DE//BC,

NDFB=ZFBC,ZEFC=ZFCB,

•••8尸是。的平分线，C尸是N/C8的平分线，

ZFBC=ZDFB,ZFCE=ZFCB,

ZDBF=NDFB,ZEFC=NECF,

:.ADFB,AFEC都是等腰三角形.故①正确，

.­.DF=DB,FE=EC,即有DE=DF+FE=BD+CE,故②正确，

.•.△/DE的周长=++故③正确，

BD,CE不一定相等，故④错误，

故选：C.

9.D

【分析】此题主要考查了点的平移以及关于y轴对称点的性质，直接利用平移的性质得出对

答案第5页，共25页

应点位置，进而结合关于y轴对称点的性质得出答案，正确掌握横坐标的关系是解题的关

键.

【详解】解：•••将点月向下平移3个单位长度得到点见2),

；.邛(",2+3),即私5),

•••点片关于y轴的对称点心(-加,5),

故选：D.

10.C

【分析】此题主要考查了等边三角形的性质以及等腰三角形的性质，根据等腰三角形的性质

以及平行线的性质得出〃4鸟〃4名，以及4层=2耳4,得出453=叫4=4,

4劣=叫4=8,4&=16片4...进而得出答案，根据已知得出4旦=444=4,

4纭=85,4=8,455=165,4进而发现规律是解题的关键.

【详解】解：如图，

=A2B,,/3=24=N12=60°,

.•.Z2=120°,

■.■ZMON=30°,

Zl=180o-120°-30o=30°,

又Z3=60°,

.-.Z5=180°-60°-30°=90°,

vAMON=Z1=30°,

：.OAX-AXBX=1,

答案第6页，共25页

・♦.=1,

•・•△4与4、△4质4是等边三角形，

.-.Zll=Z10=60°,Z13=60°,

・・・Z4=Z12=60°,

4耳//A2B2//A3B3,BXA2//B2A3,

・・.N1=N6=N7=3O。，Z5=Z8=90°,

452=2514，B3A3=2BZ4,

・•・A3B3=4B]A?=4,

A4B4=844=8,

4区=1644=16

以此类推：4线=3244=32.

故选：C.

11.B

【分析】本题考查利用成轴对称的特征进行求解，作点/关于3。的对称点H,关于。。的

对称点/〃，连接〃与5C、的交点即为所求的点〃、N,利用三角形的内角和定理和

三角形的外角的性质，进行求解即可.

【详解】解：作点4关于3C的对称点H,关于CZ）的对称点则：

AM=A'M,AN=A"N.

CN的周长=++=++

・•・当/四点共线时，的周长最短，

连接与CD的交点即为所求的点/、N,如图：

•.­ZDAB=130。"=%=90°,

.•.42,4三点共线，424,三点共线,

ZA'+ZA"=180°-130°=50°,

答案第7页，共25页

由轴对称的性质得：ZA'=ZBAM,ZA"=ZDAN

ZAMN+ZANM=/A'+NBAM+ZA"+ADAN=2(N4+N/")=100°

故选：B.

12.B

【分析】由SAS证明aAOC三ABOD,得到4OAC=NOBD,由三角形的外角性质得：zAMB

+zOBD=zAOB+zOAC,得出NAMB=NAOB=36。，①正确；

根据全等三角形的性质得出/OCA=NODB,AC=BD,②正确；

作OG1AC于G,OH1BD于H,如图所示：贝IJNOGC=NOHD=90。，由AAS证明

△OCG三△ODH(AAS),得出OG=OH,由角平分线的判定方法得出MO平分/4WD,©

正确；

由NAOB=NCOD,得出当NDOM=NAOM时，OM才平分NBOC,假设NDOM=NAOM,

由△AOC三4BOD得出NCOM=NBOM,由MO平分NBMC得出NCMO=NBMO,推出

△COM三△BOM,得OB=OC,而OA=OB,所以OA=OC,而CM<OC,故③错误；即

可得出结论.

【详解】••2A0B=NC0D=36°,

•••zAOB+zBOC=zCOD+zBOC,

即NAOC=NBOD,

在△AOC和ABOD中，

OA=OB

<NAOC=NBOD,

OC=OD

•••AAOC=ABOD(SAS),

•••ZOCA=ZODB,AC=BD,②正确；

.•ZOAC=NOBD,

由三角形的外角性质得：NAMB+ZOBD=ZAOB+ZOAC,

.•.ZAMB=ZAOB=36°,②正确；

答案第8页，共25页

作OG_LAC于G,OH1BD于H,如图所示:

则NOGC=NOHD=90。，

在aOCG和△ODH中，

AOCA=ZODB

<ZOGC=ZOHD,

OC=OD

.-.△OCG=AODH(AAS),

・・.OG=OH,

・・・M9平分④正确；

vzAOB=zCOD,

・•・当4DOM=zAOM时，OM才平分XBOC,

假设4DOM=/AOM

vAAOC=ABOD,

/.ZCOM=ZBOM,

vMO平分NBMC,

.・ZCMO=4BMO,

在△COM和aBOM中，

/COM=/BOM

<OM=OM,

ZCMO=ZBMO

.-.△COM=ABOM(ASA),

・・・OB=OC,

vOA=OB

/.OA=OC

与。/<oc矛盾，

二③错误；

正确的有①②④；

故选B.

答案第9页，共25页

【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、三角形的外角性质、角平分线的判定等知识;

证明三角形全等是解题的关键.

13.4

【分析】本题考查了等边三角形的判定和性质，平角的意义，三角形全等的性质与判定，

含30度角的直角三角形的性质，得出=/尸九处=43?是本题的关键.

根据等边三角形的性质得出==进而得出/MP3=/JWC=/m4=90。，再根

据平角的意义即可得出==即可证得APMN是等边三角形；根据全

等三角形的性质得到P/=BM=CN,PB=MC=AN,从而求得BM+P8=48=12c〃?，根

据直角三角形30。角所对的直角边等于斜边的一半得出2P8=8”,即可求得尸B的长，进而

得出MC的长.

【详解】解：•・•△/8C是等边三角形，

NA=/B=NC=60°,

■：MPLAB,NMIBC,PN±AC,

ZMPB=ZNMC=ZPNA=90°,

NPMB=ZMNC=ZAPN=30°,

ZNPM=ZPMN=ZMNP=60°,

.•.△PAW是等边三角形，

PN=PM=MN,

:.JBMAMCNWNAP(AAS),

:.PA=BM=CN,PB=MC=AN,

BM+PB=AB=12cm,

在R3BA0中，/PMB=3。。,

2PB=BM,

2PB+PB=12cm,

:.PB=4cm,

答案第10页，共25页

CM=4cm,

故答案为：4.

14.20或28或32

【分析】本题考查了等腰三角形的定义及三角形的构成条件，根据等腰形的定义及等腰三角

形的一条中线把这个等腰三角形分成两个周长相差4的三角形，得这条中线不可能是底边上

的中线，只能是等腰三角形的一腰上的中线，根据题意画出图形，如图，中，

AB=AC,设8C=y,等腰三角形的腰长=/C=2x,进而分A8=/C=8和3C=8两

种情况讨论求解即可.

【详解】解：根据等腰形的定义及等腰三角形的一条中线把这个等腰三角形分成两个周长相

差4的三角形，得这条中线不可能是底边上的中线，只能是等腰三角形的一腰上的中线，

根据题意画出图形，如图，中，AB=AC,设2C=y,等腰三角形的腰长

AB=AC=2x,

A

••・BD是腰上的中线，

AD=DC=x,

当28=/C=8时，4D=CD=4,

^AB+AD+BD-BC-CD-BD=4,贝!|8+4-y-4=4

解得2C=y=4,此时A43c的周长为8+4+8=20；

^BC+CD+BD-AB-AD-BD=4,贝!|y+4—8—4=4解得8C=y=12,止匕时A/BC的周

长为8+12+8=28；

当BC=8时，

^AB+AD+BD-BC-CD-BD=4,贝！12x+x-8-x=4

解得久=6,

AB-AC=2x=12,

此时“BC的周长为12+8+12=32；

答案第11页，共25页

若BC+CD+BD-AB-AD-BD=4,贝i|8+x-2x-x=4解得x=2,

.-.AB=AC=2x=4,

•••4,4,8不符合三角形的条件，

••.此情形应舍去，

故答案为：20或28或32.

15.16°

【分析】本题主要是考查了三角形内角和、垂直平分线以及等腰三角形的性质，熟练应用三

角形内角和与等腰三角形的性质求解角的度数，利用垂直平分线证边相等，是解决本题的关

键.根据三角形内角和定理求出/助C,根据线段垂直平分线的性质得到"=班，

GA=GC,根据等腰三角形的性质得到=NGAC=NC,再进一步解答即可.

【详解】解：=52。,ZC=30°,

.-.ABAC=180°-52°-30°=98°,

・：DE是AB的垂直平分线，

*'•EA—EB,

•••NEAB=NB,

同理可得：GA=GC,

・•・/GAC=/C,

••・/EAB+ZGAC=ZB+ZC=82°,

...ZEAG=ABAC-(ZEAB+ZGAC)=98°-82°=16°.

故答案为：16。.

16.65°

【分析】本题考查折叠的性质，三角形内角和定理，由折叠可得

NAED=N4ED=1,ZADE=ZA'DE=-AADA',进而可得

22

Zl+Z2=360°-7.AAED-2AADE,结合//ED+//DE+//=180°,可得

Nl+N2=2N/=130。，即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键.

【详解】解：••・将△N8C沿着DE折叠压平，A与4重合，

NAED=ZA'ED=-ZAEA',ZADE=NA'DE=-NADA',

22

.-.Zl+Z2=l80°-ZAEA'+180°-ZADA'^360°-2NAED-2NADE,

ZAED+ZADE+ZA=180°,

答案第12页，共25页

・•.ZAED+/ADE=180。一/%，

Z1+Z2=360°-2(180°-Z^)=2ZA,

•・•Zl+Z2=130°,

.•.//=130°=65°,

2

故答案为：65°.

17.20

【分析】根据平行线的性质求出NCFG=140。，再根据平行线的性质求出

ZD'EG=ZBGE=40°,再由折叠性质即可求解.

此题考查平行线的性质，根据平行线的性质解答是解题的关键.

【详解】解：如图：图②是长方形纸带沿跖折叠而成，

ZFEG=ZD'EF,CF//DG,AD'//BC,

：.ZDGF+ZCFG=1SO°,

vZCFG=140°,

：.NDGF=40°,

ZBGE=ZDGF=40°,

•••AD///BC,

AD'EG=NBGE=40°,

•••ZFEG=ZD'EF,

ND'EF=-ND'EG=20°,

2

即NDEF=20°,

故答案为：20.

18.8

【分析】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，含30。的直角三角形

的性质，掌握以上知识是解题的关键.如图，连接OC,过。作。G,3c于G,先求解

答案第13页，共25页

CE-12,Z.OEG=60°,GE=—OE=2,证明O5=OC,GC=GB,求解

2

GC=G5=12—2=10,从而可得答案.

【详解】解：如图，连接OC,过。作。GL5C于G,

ZACB=30°fOD=2OE=4,DE1AC,

/.DE=6,CE=2DE=12,ZOEG=60°,

NGO£=90。—60。=30。，

.\GE=-OE=-x4=2,

22

•••点。是ZC的中点，DEIAC,

OA=OC,

•••OA=OB,

OB—OC,

•••OG±BC,

GC=GB,

•・•GC=CE-GE,

GC=GB=12-2=10,

:.BE=BG-EG=10-2=S.

故答案为：8.

19.见解析

【分析】本题考查了基本作图，线段垂直平分线的性质、两点之间，线段最短及角平分线的

性质，作出ZAOD的角平分线OG,再作点F关于OG对称的点，，连接EP交OG于点P,

点P即为所求作的点，解题的关键是熟练掌握角平分线的性质，角平分线上的点到角两边的

距离相等以及两点之间，线段最短.

【详解】解：如图所示，则点P即为所求：

答案第14页，共25页

【分析】连接CD,BD,由角平分线定理得到DF=DE,ZF=/DEB=90°,ZADF=ZADE,

由。G是3c的垂直平分线得到CD=80,由此证明RMC。bgRtABOE,推出8E=CF,

再根据48=11,/C=5即可求出答案.

【详解】解：如图，连接CO,BD,

•♦•4D是/8/C的平分线，DEVAB,DF1AC,

：.DF=DE,ZF=ZDEB=90°,ZDAF=ZDAE,

ZDAF+ZADF=ZADE+NDAE=90°,

：-ZADF=ZADE,

­：DE±AB,DF1AC,

*'•AE—AF,

・・・QG是5C的垂直平分线，

；.CD=BD,

在Rt^CDF和RGBDE中,

JCD=BD

|DF=DE'

・•・RtACDF^RtA5WHL),

：,BE=CF,

・•.AB=AE+BE=AF+BE=AC+CF+BE=AC+2BE,

答案第15页，共25页

■■AB=11,/C=5,

...5E=；x(ll-5)=3.

【点睛】此题考查线段垂直平分线的性质，三角形全等的判定及性质，等角的余角相等，角

平分线性质定理的运用，此题辅助线的连接是解题的关键.

21.(1)见解析

(2)见解析

【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的定义，含30度角的直角三角形的性质，线段垂

直平分线和角平分线的尺规作图：

(1)根据线段垂直平分线和角平分线的尺规作图方法作图即可；

(2)先求出/C=90。，则由直角三角形的性质得到=再证明

BF=-BC,ZBFE=90°,则N8E尸=30。，进而得到班'=23尸，则BE=,即E

22

是4B中点.

【详解】(1)解：如图所示，即为所求；

.­.ZC=90°,

AB=2BC,

•••E/垂直平分BC,

：.BF=-BC,ZBFE=90°,

2

ZBEF=30°,

BE=2BF,

.-.BE=BC=^AB,即E是N8中点.

22.⑴见解析；

(2)BE=\.

答案第16页，共25页

【分析】（1）连接CD,先由垂直平分线的性质得出2。=8,再由角平分线的性质得出

DE=DF,然后由HL证得即可得出结论；

（2）由HL证得RtAAD£丝RtA4D9，得出/E=/尸，贝i]4B-8E=/C+CF,推出

BE+CF=AB-AC=2,即可得出结果.

本题考查了垂直平分线的性质、角平分线的性质、全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌

握以上知识是解题的关键.

【详解】（1）证明：连接8,

•・•£)在8c的垂直平分线上，

：.BD=CD,

-DE±AB,DF1AC,4D平分NBAC,,

■.DE=DF,

ABED=NDFC=90°,

在RQBDE和RtACDF中,

fBD=CD

[DE=DF'

...RtBDE名RtACZ)F(HL),

；.BE=CF；

(2)解：在RMNDE和RtA/Ob中，

[AD=AD

[DE=DF'

Rt咨RtA^Z)F(HL),

AE=AF,

・•.AB-BE^AC+CF,

答案第17页，共25页

.-.BE+CF=AB-AC=S-6=2,

-BE=CF,

•,BE=-x2=l.

2

23.(l)ZgA/C=60°

⑵N0A7C=12O。

【分析】本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质等知识的综合应用.解决

问题的关键是：

(1)先判定一台。丝△C4P,根据全等三角形的性质可得/氏40=44c尸，从而得到

ZQMC=60°；

(2)先判定△Z30名尸，根据全等三角形的性质可得/氏40=N/C尸，从而得到

ZQMC=120°,

【详解】⑴解：••・△45。是等边三角形，

..ZABQ=ZCAP=60°,AB=CA,

又丁点尸、。运动速度相同，

/.AP=BQ,

在△ZB。与△C/P中，

AB=CA

<AABQ=ZCAP,

AP=BQ

:.^ABQ^CAP(SAS)；

/.NBAQ=NACP,

・•・NO"。是△/CM的外角，

ZQMC=ZACP+/MAC=ABAQ+/MAC=ABAC,

•.NBAC=60。,

ZQMC=60°；

(2)解：点尸、。在运动到终点后继续在射线48、3C上运动时，NQI/C不变.

理由：同理可得，AABQACAP,

:.ZBAQ=ZACP,

答案第18页，共25页

vZQMC是△APM的外角，

ZQMC=ZBAQ+ZAPM,

ZQMC=ZACP+ZAPM=180°-ZPAC=180°-60°=120°,

即若点尸、。在运动到终点后继续在射线/8、3c上运动，NQMC的度数为120。.

24.(1)证明见解析；

⑵的度数是60。；；

(3)证明见解析.

【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，三角形内角和定

理等知识，掌握相关知识是解题的关键.

(1)根据等边三角形性质得出/C=8C,CD=CE,ZACB=ZDCE=60°,求出

ZACD=ZBCE,证"CD咨ABCE即可；

(2)根据全等求出=,求出N/DE+NBED的值，根据三角形的内角和定理求

出即可；

(3)求出4W=8N,根据SAS证△/CM多△8CN,推出CM=CN,求出/NCM=60。即

可.

【详解】(1)证明：都是等边三角形，

■.AC=BC,CD=CE,ZACB=ZDCE=60°,

ZACB+ZBCD=NDCE+/BCD,

ZACD=ZBCE,

在A/CD和ABCE中

AC=BC

,NACD=aBCE,

CD=CE

；.AACD%BCE(SAS),

AD=BE；

(2)解：・：XACDQXBCE,

：.NADC=NBEC,

•・,等边三角形。C£,

；,/CED=/CDE=600,

答案第19页，共25页

AADE+ABED

=/ADC+ZCDE+/BED

=ZADC+600+ZBED

=NCED+6。。

=60。+60。

=120°,

/DOE=180°-(/ADE+/BED)=60°,

•・・/OOE的度数是60。；

(3)证明：•••"CD-BCE,

・・.NCAD=/CBE,AD=BE,AC=BC,

又•:点M、N分别是线段/48£的中点，

AM=-AD,BN=-BE,

22

AM=BN,

在△/CM和/\BCN中,

AC=BC

</CAM=/CBN,

AM=BN

/\ACM^ABCN(SAS),

・•・CM=CN,

ZACM=ZBCN,

又/ACB=6。。,

・••/ACM+AMCB=60°,

・•.ZBCN+ZMCB=60°,

ZMCN=60°f

・・.△MAC是等边三角形.

25.(1)B；(2)C；(3)AD=AB+DC,理由见解析；(4)DF=3.

【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、角平分线的性质、

三角形三边关系等知识点，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问

题.

答案第20页，共25页

(1)根据三角形全等的判定定理即可得出结论；

(2)根据全等得出BE=/C=6,AE=2AD,由三角形三边关系定理得出答案；

(3)AD=AB+DC,延长DC交于点尸，证明"8E%FEC