浙江省2023年中考数学一轮复习：特殊三角形 练习题

浙江省2023年中考备考数学一轮复习特殊三角形练习题

一、单选题

1.（2022•浙江衢州•统考模拟预测）甲骨文是我国的一种古代文字，是汉字的早期形式，下列甲骨文中,

2.（2022•浙江金华•校考一模）现实世界中，对称现象无处不在，中国方块字中有些也具对称性，下列汉

字是轴对称图形的是（）

A.兰B.溪C.日D.子

3.（2022•浙江台州•统考二模）下列体育运动项目图标中，是轴对称图形的是（）.

4.（2022•浙江绍兴•一模）将一张圆形纸片对折再对折，得到如下左图，然后沿着虚线剪开，得到两部分.其

中一部分展开后的平面图形是（）

A.B.C.D.

5.（2022・浙江丽水•统考一模）5.（2022・浙江丽水•统考一模）

将一张正方形纸片按如图步骤①②，沿虚线对折2次，然后沿图③的虚线剪去一个角，展开铺平后得到图

④，若图③中OC=5C,ZODC=30°,则四边形ERS”与原正方形纸面积比为（）

A.；B.痒1C.-D.走

244

6.（2022•浙江衢州•统考一模）如图，/ABC是一个锐角，以点A为圆心，适当长度为半径画弧，交射线

于点D,E,若/ABC=35o,N3AD=30。，则,D4E的度数是（）

A.40°B.50°C.60°D.70°

7.（2022・浙江绍兴•统考一模）如图，在/LBC中，钻=4（7,2。平分/"。交4。于点£）,ZBDC=75°,

则/A等于（）

8.（2022•浙江金华•校联考模拟预测）性质"等腰三角形的三线合一”，其中所指的“线”之一是（）

A.等腰三角形底角的平分线B.等腰三角形腰上的高

C.等腰三角形腰上的中线D.等腰三角形顶角的平分钱

9.（2022•浙江台州•统考中考真题）如图，点。在AABC的边8C上，点P在射线AD上（不与点A,。重

合），连接PB,PC.下列命题中，假命题是（）

12、

D

B

P

A.若AB=AC,ADIBC,则P3=PCB.若PB=PC,AD±BC,则AB=AC

C.若AB=AC,Z1=Z2,则尸3=PCD.若PB=PC,N1=N2,贝UAB=AC

10.（2022•浙江衢州•统考一模）如图，在AABC中，高AD和BE交于点R添加下列哪个条件（），不

能使得之△8D尸.

B

A.BF=ACB.CD=FDC.440=45。D.ZCBE=60°

二、填空题

11.（2022•浙江台州•统考一模）根据光学中平面镜光线反射原理，入射光线、反射光线与平面镜所夹的角

相等.如图，dP是两面互相平行的平面镜，一束光线机通过镜面。反射后的光线为小再通过镜面/反

射后的光线为上光线机与镜面a的夹角的度数为x°,光线”与光线上的夹角的度数为V.则x与y之间

的数量关系是.

12.（2022•浙江杭州•二模）如图，把一张长方形纸片A8CD沿环折叠后，点C,。分别落在C',£>'的位置

上，EC交于点G.已知NEFG=58。，那么/3£G=_________度.

13.（2022•浙江衢州•统考模拟预测）已知等腰三角形的一个外角为130。，则它的顶角的度数为.

14.（2022•浙江绍兴.一模）等腰三角形一边长为8,另一边长为5,则此三角形的周长为.

15.（2022•浙江嘉兴•统考中考真题）小曹同学复习时将几种三角形的关系整理如图，请帮他在横线上—

填上一个适当的条件.

16.（2022・浙江绍兴•统考中考真题）如图，在AABC中，ZABC=40°,ABAC=80°,以点A为圆心，AC

长为半径作弧，交射线出于点。，连接。，则NBCD的度数是.

三、解答题

17.（2022・浙江绍兴.统考中考真题）如图，在AABC中，ZABC=40°,/ACB=90。，AE平分NBAC交

于点E.P是边BC上的动点（不与8,C重合），连结AP,将△APC沿AP翻折得△APD,连结。C,记

ZBCD=a.

AA

备用图

(1)如图，当尸与E重合时，求a的度数.

⑵当P与E不重合时，记/BAD=0,探究a与/的数量关系.

18.(2022.浙江温州.统考二模)如图，在四边形A8CD中，ZS4D=90°,AD//BC,DEIAC,垂足为

(1)求证：AABC义ADEA.

⑵若ZACB=40。，求NCDE的度数.

19.(2022•浙江杭州•杭州育才中学校考模拟预测)如图，AABC和ACDE都是等边三角形，连接AD、BE,

AD与BE交于点F.

⑴求证=

(2)ZBFA=°.

20.(2022•浙江温州•统考中考真题)如图，3。是URC的角平分线，DE//BC,交A3于点E.

D

⑴求证：ZEBD=ZEDB.

（2）当AB=AC时，请判断8与ED的大小关系，并说明理由.

21.（2022•浙江宁波・统考二模）在6x8的正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，已知线段A8,

其中点A在直线上.要求①仅用无刻度直尺；②保留画图痕迹.

—

AA

MNM\N

\\\\

BB

（图1）(图2)

（1）在图1中，在直线上找到一点C,作便得/ACB=45。；

（2）在图2中，在直线上找到一点E,作AABE,使得NEAB=NEBA.

22.（2022•浙江杭州•模拟预测）如图，点C、F、E、B在同一直线上，点A、。分别在BC两侧，AB//CD,

BE=CF,ZA=ZD.

(1)求证：AB=DC；

(2)若AB=CE,ZB=30°,求ND的度数.

23.（2022•浙江宁波・统考一模）图1为科研小组研制的智能机器，水平操作台为/,底座固定，高A8

为50cm,始终与平台/垂直，连杆BC长度为60cm,机械臂CO长度为40cm,点、B,C是转动点，AB,

3C与C。始终在同一平面内，张角/ABC可在60。与120。之间（可以达到60。和120。）变化，CO可以绕

点C任意转动.

（图1）（图2）

（1）转动连杆BC,机械臂CD,使张角/ABC最大，且CD〃AB,如图2,求机械臂臂端。到操作台/的距

离DE的长.

（2）转动连杆BC,机械臂CZ）,要使机械臂端。能碰到操作台/上的物体则物体M离底座A的最远距

离和最近距离分别是多少？

24.（2022•浙江温州•统考二模）如图是由54个边长为1的小等边三角形组成的网格，请按要求画格点多

边形（顶点均在格点上）.

图1图2

⑴在图1中画一个以A3为腰的44BC.

（2）在图2中画一个四边形ABDE,使其中一条对角线长为4,且恰有两个内角为90。.

25.（2022•浙江衢州•校考一模）如图，已知/MON=25。，矩形ABCD的边BC在OM上，对角线ACXON.

（1）求NACD度数；

（2）当AC=5时，求AD的长.（参考数据：sin25°=0.42；cos25°=0.91；tan25°=0.47,结果精确到0.1）

26.（2022.浙江舟山・统考二模）如图，在RtAABC中，/C=90。，。是边BC上一点，连接AD并延长至点

E,AD=DE,过点E作EfUBC于点孔连接8E.

E

⑴求证：AADC^AEDF.

(2)若BE=DE,AC=8,C£)=4,求42的长.

27.(2022・浙江绍兴・统考一模)如图，海岸线上有两座灯塔A,B,灯塔A位于灯塔8的正东方向，与灯

塔B相距8km.海上有甲、乙两艘货船，甲船位于灯塔B的北偏东30。方向，与灯塔8相距的8km的C处；

乙船位于灯塔A的北偏东15。方向，与灯塔A相距6伍m的。处.求：

(1)甲船与灯塔A之间的距离；

⑵两艘货船之间的距离.

28.(2022.浙江温州.统考二模)如图，在AAB。中，ZDAB^ZDBA,交AD的延长线于点C,

AELAC^BD的延长线于点E.

(1)求证：AADEQABDC.

(2)若CO=2AO=2,求AB的长.

29.(2022・浙江丽水・统考二模)图，在5x5的方格纸中，线段A2的端点均在格点上，画出一个AABC,

使AABC的面积为2,点C在格点上.

图1图2

(1)在图1中，画出"LBC为钝角三角形.

(2)在图2中，画出“WC为直角三角形.

30.(2022•浙江金华・统考一模)如图，在6x6的方格纸中，每个小正方形的顶点称为格点，请仅用直尺分

别按要求画出三个顶点都是格点的三角形(每小题只需画一个).

（图1）（图2）

(1)在图1中画△48。，使

（2）在图2中画△ABC,使48=石8（7,且/ACB=90。.

31.(2022・浙江丽水•统考一模)己知：如图，在AABC中，于点。，E为AC上一点，且3尸=AC,

DF=DC.

A

BDC

⑴求证：VBDFmADC；

(2)已知AC=5,DF=3,求AF的长.

32.(2022•浙江温州・统考一模)如图，在五边形ABCDE中，/B=NE=90°,BC=DE,连接AC,AD,

ZACD=ZADC.

D

(1)求证：△TWC/△AED.

(2)若AC"DE,ZACD=65°,求/BAE的度数.

33.(2022•浙江嘉兴•一模)已知：如图，以线段AC为边在两侧分别作钝角三角形A8C和钝角三角形4DC,

其中NACB和NAC。为钝角，且NBAC=NZMC,BC=DC.求证：NB=ND.小明的证明过程如下框：

证明：在AABC和△ADC中

AC^AC

<ABAC=ADAC

..[BC=DC

：,AABC名△ADC

NB=ND

小明的证法是否正确？若正确，请在框内打“卡；若错误，请写出你的证明过程.

参考答案:

1.D

【详解】A.是轴对称图形，故本选项错误；

B.是轴对称图形，故本选项错误；

C.是轴对称图形，故本选项错误；

D.不是轴对称图形，故本选项正确.

故选D.

2.C

【分析】根据轴对称图形的性质判断即可.

【详解】由题可知，"日''字是轴对称图形，故C正确；

故选：C.

【点睛】本题主要考查了轴对称图形的判定，根据轴对称的性质准确判断是解题的关键.

3.D

【分析】根据轴对称的定义进行判断，若一个图形沿着某条直线折叠，直线两边的部分能够完全重合，则

该图形为轴对称图形.

【详解】解：选项D为轴对称图形.

故选：D.

【点睛】本题考查了轴对称，解题的关键是充分理解轴对称图形概念.

4.C

【分析】严格按照图中的方法亲自动手操作一下，即可很直观地呈现出来，也可根据折痕形成的对角线特

点进行判定.

【详解】根据题意知，剪去的纸片一定是一个四边形，且对角线互相垂直平分.

故选C.

【点睛】本题主要考查学生的动手能力及空间想象能力，以及菱形的判定.掌握“对角线互相垂直平分的

四边形是菱形”是解题关键.

5.D

【分析】设原正方形的边长为a,根据图3中OC=BC,ZC»r>C=30°,得到图④中的图形中的线段关系，

求出四边形EFG”的面积，即可求解.

【详解】根据图示的方法折叠可知四边形跳GH为菱形，

:图③中OC=8C,ZODC=30°,

故在图④中，可知G为OQ中点，ZOHG=30°,

设原正方形的面积为a,则PQ=a,S正方形MNQP=22,

故。

OG=1OQ=@a,EG=2OG=3a

242

,/ZOHG=30°

/.HG=20G=乎a,0H=^HG2-OG2=^-a

；.HF=20H="a

2

S四边形EFGH=^-EGxHF=^a2,

24

.••四边形EFG”与原正方形纸面积比为3a?：a2=1,

44

故选D.

【点睛】此题主要考查菱形的面积解，解题的关键是熟知折叠的性质及含30。的直角三角形的性质及菱形

的面积公式.

6.B

【分析1先根据三角形的外角性质可得ZADE=65°,再根据等腰三角形的性质可得ZAED=ZADE=65°,

然后根据三角形的内角和定理即可得.

【详解】解：,•・NA2C=35O,/BAO=30。，

ZADE=ZABC+ZBAD=65°,

由作图可知，AD=AE,

ZAED=ZADE=65°,

/DAE=180°-ZAED-ZADE=50°,

故选：B.

【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、三角形的外角性质等知识点，熟练掌握等腰三角形的性质是解题

关键.

7.B

【分析】首先根据角平分线的定义，可得再根据等腰三角形的性质及三角形内角和定理,

可求得/OBC=35。，再根据三角形外角的性质，即可求得.

【详解】解：是NABC的平分线，

NABD=/DBC,

'：AB=AC,

：./ABC=/ACB=2NDBC,

'：ZDBC+ZACB+ZBDC=180°,ZBDC=75°,

：.3ZDBC+75°=180°,

：.ZDBC=35°,

：.ZABD=35°,

：.ZBAC=ZBDC-ZABD=75°-35°=40°,

故选：B.

【点睛】此题主要考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理及三角形外角的性质，结合图形准确找到

相关角的关系是解决本题的关键.

8.D

【分析】根据在等腰三角形中，顶角的角平分线，底边的中线，底边的高线，三条线互相重合对各选项进

行判断即可.

【详解】解：等腰三角形中三线合一，即在等腰三角形中顶角的角平分线，底边的中线，底边的高线，三

条线互相重合.

故选D.

【点睛】本题考查了等腰三角形三线合一的性质.解题的关键在于熟练掌握三线合一中的三线分别指顶角

的角平分线，底边的中线，底边的高线.

9.D

【分析】根据等腰三角形三线合一的性质证明尸。是否是的垂直平分线，判断即可.

【详解】因为A8=AC,且得AP是的垂直平分线，所以PB=PC,则A是真命题；

因为PB=PC,且AD_LBC,得AP是的垂直平分线，所以AB=AC,则B是真命题；

因为AB=AC,且N1=N2,得AP是BC的垂直平分线，所以P2=PC,则C是真命题；

因为PB=PC,ABCP是等腰三角形，Z1=Z2,不能判断AP是BC的垂直平分线，所以A8和AC不一定

相等，则D是假命题.

故选：D.

【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质和判定，掌握性质定理是解题的关键.

10.D

【分析】根据已知条件可得NA£>C=NBD产=90。，可得"班'=NZMC,则再添加一条边相等即可证明

△ADOSABD尸，根据选项逐项分析判断即可求解.

【详解】解：：在“1BC中，AD和BE是2cAe边上的高，

；.ZADC=NBDF=90。,

：.ZDBF=90°-ZC=ZDAC,

/DBF=NDAC,

A、添力口BF=AC,根据AAS即可证明△AOC名故该选项正确，符合题意；

B、添加C£>=FD,根据AAS即可证明AWC名△BDF,故该选项正确，符合题意；

C、添加440=45。,则△钿£）是等腰直角三角形，贝1」9=人£>,根据ASA即可证明△ADC短尸，

故该选项正确，符合题意；

D、添加NCFE=60。，不能得到边相等，无法证明△ADC名△BDF,故该选项不正确，不符合题意.

故选D.

【点睛】本题考查了三角形全等的性质与判定，等腰直角三角形的性质与判定，掌握全等三角形的性质与

判定是解题的关键.

11.2x+y=180

【分析】根据平面镜光线反射原理和平行线性质即可求得.

【详解】解：•••入射光线、反射光线与平面镜所夹的角相等，

...反射后的光线力与镜面a夹角度数为x。，

：a,4是两面互相平行的平面镜，

二反射后的光线w与镜面/夹角度数也为无。，

又由入射光线、反射光线与平面镜所夹的角相等，

反射后的光线人与镜面月的夹角度数也为X。，

.,.x°+x°+y°=180°,

2x+y=180.

故答案为：2x+y=180.

【点睛】本题考查了平面镜光线反射原理和平行线性质，掌握反射光线与平面镜所夹的角相等以及两直线

平行内错角相等是解题的关键.

12.64

【分析】由题意得AO〃8C,可得/CEF=/EFG=58°,由折叠的性质可知NGEF=/CEF=58。，再由邻补

角的性质，即可求解.

【详解】解：根据题意得：AD//BC,

/CEF=/EFG=58°,

由折叠的性质得：ZGEF=ZCEF=58°,

：.NBEG=18Q0-ZFEC-ZGEF=180°-58°-58°=64°.

故答案为：64°.

13.50°或80。

【分析】等腰三角形的一个外角等于130。，则等腰三角形的一个内角为50。，但已知没有明确此角是顶角

还是底角，所以应分两种情况进行分类讨论即可得.

【详解】•••等腰三角形的一个外角为130。，

...与130。相邻的内角为50。，

当50°为顶角时，其他两角都为65。、65。，

当50°为底角时，其他两角为50。、80。，

所以等腰三角形的顶角为50。或80。，

故答案为50。或80。.

【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、三角形内角和定理，在解决与等腰三角形有关的问题，由于等腰

所具有的特殊性质，很多题目在已知不明确的情况下，要进行分类讨论，才能正确解题.

14.18或21

【详解】当腰为8时，周长为8+8+5=21；

当腰为5时，周长为5+5+8=18.

故此三角形的周长为18或21

故答案为18或21.

15.ZA=60°（答案不唯一）

【分析】利用等边三角形的判定定理即可求解.

【详解】解：添加/A=60。，理由如下：

•.•△至。为等腰三角形，

.•△ABC为等边三角形，

故答案为：ZA=60。（答案不唯一）.

【点睛】本题考查了等边三角形的判断，解题的关键是掌握三角形的判断定理.

16.10°或100°

【分析】分两种情况画图，由作图可知得AC=AD,根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理解答即可.

【详解】解：如图，点。即为所求；

在AABC中，ZABC=40°,ZBAC=80°,

ZACB=180°-40°-80°=60°,

由作图可知：AC=AD,

ZACD=ZADC=-(l80°-80°)=50°,

2

.-.ZBCD=ZACB-ZACD=60°-50°=10°；

由作图可知：AC=AD,

:.ZACD=ZADC,

■.■ZACD+ZADC=ZBAC=80P,

:.ZADC=4Q°,

Z.BCD=180°-ZABC-ZADC=180。-40。-40。=100°.

综上所述：/BCD的度数是10。或100°.

故答案为：10°或100°.

【点睛】本题考查了作图-复杂作图，三角形内角和定理，等腰三角形的判定与性质，解题的关键是掌握

基本作图方法.

17.(1)25°

⑵①当点P在线段BE上时，2a-^=50°；②当点P在线段CE上时，2a+/3=50°

【分析】（1）由/B=40。，ZACB=90°,得/8AC=50。，根据AE平分NBAC,P与E重合，可得/ACD,

从而a^ZACB-ZACD；

（2）分两种情况：①当点尸在线段上时，可得NAOC=NACD=90o—a,根据/AZJC+N8AO=

+ZBCD,即可得2a-W=50。:②当点尸在线段CE上时，延长AD交BC于点E由ZADC=ZACD=90°-a,

/A。C=/AFC+a=NABC+/BA。+a可得90。-a=40。+a+S，即2a+£=50°.

【详解】（1）解：；N（=40。,ZACB=90°,

：.ZBAC=50°,

:尸与E重合，AE平分N2AC,

二。在A8边上，AELCD,

：.NACD=65°,

，ct=ZACB-ZACD=25°；

(2)①如图1,当点P在线段BE上时,

图1

"?ZADC=ZACD=90°-a,ZADC+NBAD=ZB+/BCD,

，90°—a+£=40°+a,

；.2a—£=50。；

②如图2,当点尸在线段CE上时，

图2

延长交8C于点R

,/NAOC=ZACD^90°-a,ZADC^ZAFC+a^ZABC+ZBAD+a^4Q°+a+/3,

，90°—a=40°+a+£,

；.2a+[=50°.

【点睛】本题考查三角形综合应用，涉及轴对称变换，三角形外角等于不相邻的两个内角的和的应用，解

题的关键是掌握轴对称的性质，能熟练运用三角形外角的性质.

18.⑴见解析

(2)20°

【分析】(1)根据AD〃3C,可得NABC=90。，ZDAE=ZACB,再由=即可求证；

(2)根据△ABC四△DE4,可得AO=AC,ZZMC=ZACB=40°,从而得到NADC=70。，即可求解.

【详解】(1)证明：：AD〃3C,ZBAD=90°,

ZABC=90°,ZDAE=ZACB,

DE1AC,

ZAED=ZABC=90°

9：DE=AB,

：.Z\ABC^Z\DEA；

(2)解：VAABC^ADEA,

AD=AC,NDAC=Z.ACB—40°,

・•・ZADC=ZACD,

：.ZADC=10°,

9：DE.LAC,

：.ZADE+ZDAC=90°,

：.ZADE=50°9

：.ZCDE=20°.

【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键.

19.(1)见解析

(2)60

【分析】(1)由“SAS”可证VACC^V5C£,可得AD=5£；

(2)由全等三角形的性质可得NCB^=NC4D,由三角形内角和定理可求解.

【详解】(1):△ABC和△CDE都是等边三角形，

AAC=BC,CD=CE,ZACB=ZECD=6O°,

：.ZACB+ZACE=/ECD+ZACE,

即ZACD=ZBCE,

在ziACD和"(主中，

AC=BC

</ACD=/BCE

CD=CE

：.AACD^ABCE(SAS),

：.AD=BE.

(2)VACD^VBCE,

:.ZCBE=ZCADf

「ZABF+ABAF+ABFA=l^,

：.ZABF+ABAC+ACAD+ABFA=180°,

ZABC+ABAC+ZBFA=180°,

：.ZBFA=60°9

故答案为：60.

【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，三角形内角和定理，证明VACDA5CE

是本题的关键.

20.⑴见解析

⑵相等，见解析

【分析】（1）利用角平分线的定义和平行线的性质可得结论；

（2）利用平行线的性质可得NADE=NA£D,则AD=AE,从而有CD=BE,由（1）得，NEBD=NEDB,

可知BE=DE,等量代换即可.

【详解】（1）证明：・・・BD是AABC的角平分线，

ZCBD=ZEBD.

,:DE〃BC,

：.NCBD=/EDB,

工ZEBD=ZEDB.

（2）CD=ED,理由如下：

AB=AC,

：.ZC=ZABC.

DE//BC,

：.ZADE=NCZAED=ZABC,

:.ZADE=ZAED,

***AD=AE,

AAC-AD=AB-AE,即CD=BE.

由（1）得乙EBD=NEDB,

：.BE=ED,

：.CD=ED.

【点睛】本题主要考查了平行线的性质，等腰三角形的判定与性质，角平分线的定义等知识，熟练掌握平

行与角平分线可推出等腰三角形是解题的关键.

21.⑴见解析;

（2）见解析

【分析】⑴过点2作于点。，再在点。的右侧的MN上取一点C,使OC=OB,点C即为所求的

点；

(2)作线段AB的垂直平分线交MN于点、E,点、E即为所求的点.

(1)

解：如图：点C即为所求的点

【点睛】本题考查了复杂作图，等腰直角三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质，解题的关键是利

用数形结合思想解决问题.

22.(1)见解析；(2)75°.

【分析】(1)由两直线平行，内错角相等得到/B=NC,继而证明△ABF丝(A4S),据此解题；

(2)由(1)AABF咨Z\CDE得,AB=CD,BF=CE,证明△A8尸是等腰三角形，再根据三角形内角和

180。解题.

【详解】证明：(1)VAB//CD,

"：BE=CF,

：.BF=CE,

在△48尸和4COE中,

ZA=ZZ)

<ZB=ZC,

BF=CE

:•△ABFQXCDE(AAS),

：.AB=CD；

(2)VAABF^ACDE,

：.AB=CD,BF=CE,

9：AB=CE,ZB=30°,

：.AB=BF,

：.ZA=ZAFB,

•••△AB尸是等腰三角形，

...=180。；二)(igo。_30。)=75。,

：.ZD=ZA=15°.

【点睛】本题考查平行线的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、三角形内角和的

应用等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键.

23.(l)Z)E=40cm

(2)最远距离50V3cm,最近距离106cm

【分析】(1)延长CD交/于点过点B作5CD,垂足为足解MABCR求出CF长，即可求解；

(2)如图，当B、C、2共线，物品M离底座A最远，距离为A。，解放△A5。],求出AQ长；过点C

作CG，/,垂足为G,解及ACGD],求出。G长，再利用等腰三角形性质，得。2G的长，从而可求出AQ

即可求解.

(1)

解：延长CD交/于点过点3作5尸，CD,垂足为足

*：CD//AB,ABU,

：.CD±l.

.,•四边形为矩形，

：.EF=AB=5Qcm.

又•:ZABC=120°,

：.ZCBF=30°.

：.CF=-BC=-x60=30(cm).

22

DE=EF+CF-C£>=50+30-40=40(cm).

答：机械臂臂端D到操作台I的距离DE的长为40cm；

(2)

如图，当8、C、口共线，物品M离底座A最远，距离为AR,

*.*BC=60cm,CDX=40cm,

BD尸BC+CDi=l00cm,

VAB=50cm,

/.AD]=-AB2=V1002-502=50#>(cm).

/.=g%，

NA£)/B=30°,即ZB=60°,

如图，当/B=60。，C2=40cm时，物品/离底座A最近，距离为A&.

CD1=CD2=40cm,

/CDQ2=/CD?Di=30°.

过点。作CG，/,垂足为G,

/.CG=gCD尸20cm,

22

・•・D2G=D1G=QCD；_CG?=V40-20=2073(cm).

DID2=DIG+D2G=40Gcm,

g=*-DR=50A/3-40月=10V3cm.

答：物体M离底座A的最远距离和最近距离分别是50档cm和1073cm.

【点睛】本题考查解直角三角形的应用，结合题中条件，添加适当的辅助线，构造恰当直角三角形是解题

的关键.

24.⑴作图见解析

(2)作图见解析

【分析】(1)根据等腰三角形的特征进行作图即可；

(2)以A或2为固定点，先确定其中一条对角线长为4时的对应点，再根据其中恰有两个内角为90。进行

作图即可.

【详解】(1)解：画法不唯一，如图1或图2

/X/\/\Z\:、、：、P；、、：、、

AW\A卜2、、N—

齐・・〉

、，

-,、，

»

7X4七工变一△.，'

图1图2

(2)解：画法不唯一，如图3、图4、图5、图(5、图7或图8

甲————K———人

<■——TT——H/、、，9\、，»\、，，、、

_X，、-----，U、----八X___>

/\/fc\z\

可理沁

圣端浮与县箔,，V

N/、八，丁

'、心七工丝』:、.，''，心逸4

图3图4图5

/・WA

'埒/、♦、♦、,、滂・、/、号♦、，、'、♦、»\•\

JF:、E，、，、，、，、♦、，G，、，、

番八

噫英东y

蹙方注7

—上心交心/

图6图7图8

【点睛】本题考查了作图，解题的关键是找准作图的突破口,再根据题目要求进行作图.

25.(1)25°;(2)2.1.

【详解】试题分析：(1)延长AC交ON于点E,如图，利用互余计算出NOCE=65。，再利用对顶角相等

得到NACB=NOCE=65。，再根据NACD=9（r-NACB即可解决问题；

（2）接着在RtAABC中利用NACB的余弦可计算出BC,然后根据矩形的性质即可得到AD的长.

试题解析：（1）延长AC交ON于点E,如图，

JZOEC=90°,

在RtAOEC中,

0=25。，

・•・ZOCE=65°,

.,.ZACB=ZOCE=65°,

JZACD=90°-ZACB=25°

(2),・•四边形ABCD是矩形，

AZABC=90°,AD=BC,

在RtAABC中，VCOSZACB=4S，

AC

.,.BC=AC-cos65°=5x0.42=2.1,

・・・AD=BC=2.1.

26.⑴见解析

(2)4713

【分析】（1）由“A45”可证AADCMAED产；

（2）由全等三角形的性质和等腰三角形的性质可求8=AF=8尸=4,由勾股定理可求解.

【详解】（1）证明：在A4DC和AEDF中，

ZADC=ZEDF

<ZACD=ZEFD=90°,

AD=DE

/.AADC=^EDF(AAS)；

(2)•:砧DC三KEDF,

：,CD=DF=4,

-.DE=BE,EFIBC,

,-.DF=BF=4,

:.BC=12,

AB=\lAC2+BC2=A/64+144=4而•

【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，勾股定理，证明三角形全等是解题的

关键.

27.(l)8km

(2)2>/10km

【分析】(1)连接AC,可得"RC为正三角形，即可得出答案；

(2)过C作于点H,可得出AAS为等腰直角三角形，再利用勾股定理即可得出答案;

【详解】(1)解：如图，连接AC.

•..甲船位于灯塔B的北偏东30。方向

ZABC=60°

VAB=AC=8,ZABC=60°,

.••△ABC为正三角形，

AC=AB=8km,

即甲船与灯塔A之间的距离为8km.

(2)解：过C作CH_LAT>于点

,/za4c=60。，

/.ZCAH=300+15°=45°,

.•.△AS为等腰直角三角形.

AC=8,

AH=CH=40,

又AD=6>/2,

DH=66-4叵=2日

22(『+仅近了=

CD=y]CH+DH=J402A/10.

两艘货船之间的距离为2Mkm.

【点睛】此题考查了解直角三角形的应用-方向角问题，等边三角形，勾股定理.作出辅助线构造直角三

角形是解题的关键.

28.⑴见解析

(2)6

【分析】(1)通过垂直的定义和对顶角相等进行角度转化，再利用“AS4”得出两个三角形全等；

(2)根据斜边是短直角边长度两倍得出NCDB=60。，再求NADB的度数，从而得出AB的长度.

【详解】(1)'：BD±BC,AE±AC,

：.ZDAE^ZDBC^9Q0.

•：NDAB=/DBA,

：.AD^BD,

'：ZADE=ZBDC,

：.AADE^/\BDC(ASA)

(2)'：CD=2AD=2,

.".BD=AD=1,

ZDBC=90°,

AZC=30°,BC=VCD2-BD2=>/22-12=V3,

：.ZBDC=6Q°,/DAB=/DBC

：.ZDAB=ZC=30°,

：.AB=BC=4i，

.♦.AB的长为班.

【点睛】本题考查了三角形的全等的判定、30。直角三角形特征，掌握这些结论是解决本题的关键.

29.⑴见解析

(2)见解析

【分析】(1)根据三角形面积公式，当AC=4,8到AC的距离为1时，符合题目要求;

(2)以AB为直径作圆，其中由勾股定理得C4=&，CB=2V2，48=JQ，由勾股定理的逆定理可得

△ABC是直角三角形，再根据三角形面积公式计算可得=2,因此图2中AABC即为所求.

(1)

图1

由图知：AC=4,8到AC的距离为1,

•*,\ABC=—x4xl=2,

...AABC即为所求.

(2)

图2

由图知：AC=712+12=V2>BC=V22+22=2>/2