平面解析几何-2025高考数学一轮复习易混易错专项复习

(8)平面解析几何——2025高考数学一轮复习易混易错专项复习

学校：___________姓名：班级：___________考号：

一'选择题

22

1.已知小E是椭圆。：=+与=1(。〉6〉0)的两个焦点，尸为C上一点，且

ab

/阜第=60。,|尸周=5|p闾，则C的离心率为()

A.叵B.克C.1D.2

6223

2.已知圆C:(x-3)2+(y+2)2=9,过直线/:3x+4y+19=0上一点P向圆C作切线，

切点为0,则|PQ|的最小值为()

A.5B.2币C.V7D.2石

3.为了增强某会议主席台的亮度，且为了避免主席台就座人员面对强光的不适，灯光

设计人员巧妙地通过双曲线镜面反射出发散光线达到了预期的效果.如图，从双曲线右

焦点工发出的光线的反射光线的反向延长线经过左焦点耳.已知双曲线的离心率为

0,则当怩P|与闺阊恰好相等时，cos/片8P=()

。存

4.已知抛物线。：/=2”K?>0)的焦点为-准线为/,点A,3在抛物线C上，且

满足3尸.设线段A3的中点到准线的距离为力则四1的最小值为()

d

A.逑B.V3C.—D.6

22

22

5.已知点P是双曲线C:宁-(=1上的动点，K，工分别是双曲线C的左、右焦

点，。为坐标原点，则归:黑闾的取值范围是（）

A.[0,6]B.(2,V6]

二、多项选择题

6.抛物线C：V=4x的准线为/,P为C上的动点.对尸作。人：必+（丁-4>=1的一条切

线，Q为切点，对P作/的垂线，垂足为氏则（）

A./与0A相切B.当P,A,3三点共线时，|PQ|=&?

C.当|依|=2时，PA±ABD.满足|PA|=|P5|的点尸有且仅有2个

直线/:y=-gx+根与椭圆C交于

3

M,N两点，且线段MN的中点为P,。为坐标原点，直线0P的斜率为士，则下列结

2

论正确的是（）

A.椭圆C的离心率为工

2

九2

B.椭圆C的方程为^+>2=1

C.若m=1,则|MN|=¥

D.若机=L，则椭圆C上存在E,R两点，使得E,R关于直线/对称

2

三、填空题

22

8.已知椭圆。:乙+乙=1的左、右顶点分别为A,B,尸是圆炉+产=8上不同于A,

86

3两点的动点，直线P3与椭圆C交于点。若直线以斜率的取值范围是[1,2],则直线

QA斜率的取值范围是.

9.设耳，工是双曲线f—产=4的两个焦点，。是双曲线上任意一点，过耳作

8平分线的垂线，垂足为则点“到直线x+y-30=0的距离的最大值是

四、解答题

10.已知抛物线C的顶点为坐标原点。，焦点口在坐标轴上，且过4（2,2五），

A/2^两点.

（1）求C的方程；

（2）设过点R的直线/与C交于M,N两点，P,。两点分别是直线AM,BN与x轴

的交点，证明：IOPIJOQI为定值.

参考答案

1.答案：A

22

解析：在椭圆C:1T+力=l(a〉6〉0)中，由椭圆的定义可得归制+|?闾=2a,因为

归耳|=5归闾，所以户用=/，|尸用=(.在42月心中，山闾=2c,由余弦定理得

闺研=阀「+闸「_2附卜熙尔/平第，即4c2=与+。一%=半，所以

4=--所以C的离心率e=$=亘.故选A.

a36a6

2.答案：C

记圆心C(3,-2)到直线/:3x+4y+19=0的距离为d,则d=小3+4><(-2)+⑼=4

V32+42

因为1。。1=:。尸|2_|。。|2='］。/|2—9,所以当直线/与垂直，即|QD|=d=4

时，|PQ|最小，故IP。1mm="2-9=如.故选C.

3.答案：A

解析：,离心率6=工=收，

a

c='Jia.

又闺P卜忻阊=2c=242a,则根据双曲线的定义可知,

\F2P\=\FlP\-2a=(2V2-2)a,

|尸片「+闺闾2_附「

cosNF/2P=

21P闾J耳闾

_(2夜-2)24+8/—8/_垃_1_2-立

2(272-2)«-2A/2G2724

故选A.

4.答案：D

解析：如图，设线段的中点为M,分别过点A,B,M作准线/的垂线，垂足分别

为C,D,N.

设|AR|=a,\BF\=b,则|AC|=a,\BD\=b.

由MN为梯形的中位线，得Q=|MN|=号，由斯可得|/,

,,|AB|2扬+62

故-=----;--

aa+b

因为片+〃2丝土2I,当且仅当a=b时取等号，

2

所以四i=RZ近之也更©=血，故选D.

da+ba+b

5.答案：B

解析：如图所示，由双曲线的对称性，不妨设P(x,y)是双曲线。右支上的一点,

^22

|尸耳『=（尤+。）2+>2=（%+c）2+匕2

=^-^-x2+2cx+c2-b2=^-x2+2cx+a2=（ex+a）2,所以|P凰=ex+Q,同理可得

a2a

［一尸片1+忸川ex+a+ex-alexy7nli二2//

阀I-所以.又因为L万一4,

A/6所以"lex

~2

4i343

又因为好28,所以0<r<—,所以1W士—一1<,所以

%222%22丫2/2

2<i娓故选B.

B4

\2~x1

6.答案：ABD

解析：对于A,易知/:X=-1,故/与OA相切，A正确；

对于B,A(0,4),OA的半径r=l,当P,A,3三点共线时，尸(4,4),所以|PA|=4,

IPQI=11丛F=狂-f=星,故B正确；

对于C,当|P5|=2时，P(l,2),3(-1,2)或P(l,-2),3(-1,-2),易知以与A3不垂

直，故C错误；

对于D,记抛物线C的焦点为E连接ARPF,易知尸(1,0),由抛物线定义可知

\PF\=\PB\,因为|PA|=|P5|,所以|R4|=|P7q,所以点P在线段AR的中垂线上，线

段AR的中垂线方程为y=；x+?,即x=4y-代入丁=4%可得

y2—16y+30=0,解得＞=8±后，易知满足条件的点P有且仅有两个，故D正确.故

选ABD.

7.答案：AC

X+%3

解析：设〃(七,必)，N(x2,y2),则p弋三，与久,即k=

OP2

冗1+x2

因为点M,N在椭圆C上，所以“，\两式相减，

U2b2'

得（一+々）（％-々）+（M+%）（%-%）=0,即2+（x+%）（x—为）=0,

心b14/（玉+々）（再一々）

由题得人“'二21二运=一工，所以二—W=0,即又储=〃+。2,

%一起2a4b4

所以°2=工”,则离心率e=f=L,故A正确.

4a2

因为椭圆C过点后李|，所以5+京=匕又由A选项知，〃=%，联立解得

22

储=4,〃=3,所以椭圆c的标准方程为L+2L=1,故B错误.

43

1,

,=丁+1，

若m=1,则直线/的方程为y=-；x+l,

由V,；得尤2_%-2=0,所以

土+匕=1,

143

2

%=_1,々=2,则|2W|=1+x|2+l|=—,故C正确.

2

若相=；,则直线/的方程为y=-gx+；.假设椭圆C上存在E,R两点，使得E,F关

于直线/对称，则设E（七,%），斤（%4，%），线段ER的中点为Q（尤0，%），则

f+4=2%,%+”=2%.因为E，R关于直线/对称，所以左EF=2，且点。在直线/

22

五+&=1,

上，即％=-gx0+g.又E,R两点在椭圆C上，所以＜43两式相减，得

%+&=1,

[43

了3+*4,(%+%)(%-%)

=0,即+=0,所以

434

11

%=一曰+亍xo=4,

3；2解得.3即Q（4,-万］.因

%+为=—，即治=-石仆•联立,

8O%=一

%=一,/，2,

为了+普乙〉1,所以点Q在椭圆C外，这与。是弦的中点矛盾，所以椭圆C

上不存在E,R两点，使得E,R关于直线/对称，故D错误.

故选AC.

8.答案：4,4

l_42J

解析：由题可知4-2后,0),3(20,0),设则%=—%=,

x0+212

3=己万’所以期.场=含.

因为微■+春=1，所以北=(4°，即左QT%B=-：•①

oo44

因为点P在圆上，所以八4LPB,所以勉•领=T・②

3「44一

结合①②可知，左0A=akPA,因为£[1,2],所以左.

9.答案：5

解析：由双曲线的方程可得°?=8,则c=2夜，

.•/(—20,0),6(2&,0).设M(%,%),

不妨设点尸在双曲线右支上，延长交2心的延长线于点N,则N(2%+20,2%),

如图.

由角平分线性质可知，|P4|=|PN|,由双曲线的定义可得，|P周-|P闾=4,即

R|=4.

,（2%+2&—2夜『+（2%-0）2=4,

整理得x；+y：=4,即点M在以（0,0）为圆心，2为半径的圆上.

•••圆心（0,0）至U直线x+y—3&=0的距离1=萃=3>2,

V2

二直线与圆相离，圆上的点到直线的最大距离为2+2=5.

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