椭圆、双曲线中的焦点三角形问题-高考数学题型归纳与方法总结（原卷版）

【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）

素养拓展32椭圆、双曲线中的焦点三角形问题（精讲+精练）

、知识点梳理

一、椭圆'双曲线中的焦点三角形面积公式

n

1.如图1所示，耳、鸟是椭圆的焦点，设P为椭圆上任意一点，记/片尸鸟=6,贝隆尸7笆的面积S=/tan].

证明：如图，由余弦定理知同居「=阀『+|尸闻2-2两卜|尸&3a=41*①

由椭圆定义知：|P£|+『”|=2a,②

则②2一①得|尸片"尸工|=]+£a，=；|班;/军卜也夕=；.产一sina=&2tan|.

当e=90°时，S&F、PR-b2tan45°-b2.

b2

2.如图2所示，小月是双曲线的焦点，设P为双曲线上任意一点，记HP*=0,贝U屿用的面积S=

-O'

tan—

2

证明：如图，由余弦定理知21尸片归闻cosa=|咫「+卢周2甲4,

2忸用忸工|cosa=（忸用一忸见了+2忸月产尸卜闺工「,

2|P7=]||cosa=(2a)2+2|P7^||P7^|-(2c)2,

卜一），河明二三b2

陷

2M|(cosa-l)=4•2，

sm—a

2

b24.aab2

•=^\^i11-^21sina=•2sin—cos—=-------

c•2a22,a•

2sin—tan一

22

当a=90°时，S△即居=Z»2tan450=b2.

二、椭圆、双曲线的焦点三角形中的离心率

1.如图1所示，在焦点三角形背景下求椭圆的离心率，一般结合椭圆的定义，关键是运用已知条件研究出

△产片月的三边长之比或内角正弦值之比.

八一c2cI可用sinZFPR

工I■e=—=——----!------!......------------------1--------------

'a2a忸片|+忸刃sinZPF^+smZPF^

2.如图2所示，在焦点三角形背景下求双曲线的离心率，一般结合双曲线的定义，关键是运用已知条件研究

出APFF。的三边长之比或内角正弦值之比.

八一c2c闺引sinZF.PF,

工I-e=————----：------!-----------------i—_----------

a2a忸周一|尸照||sinZPF}F2-sinZPF^\'

二、题型精讲精练

22

【典例1】设片、工是椭圆,+?=1的两个焦点，点P在椭圆上，乙学岑=60。，则”＞片8的面积为

【解析】由焦点三角形面积公式，SPFF＞*2

△.尸尸1尸2=Ztan2-=4xtan30°=—3.

2

【典例2】已知双曲线C:/-1_=1的左、右焦点分别为耳、耳，点P在。上，＞ZFXPF2=60°,贝！IAP;但

的面积为.

【解析】由焦点三角形面积公式，S.PFF=/=」一=3人.

.吗4,9tan30°

tan—

2

【典例3】（2018•新课标II卷）已知片、鸟是椭圆。的两个焦点，尸是椭圆C上的一点，若年;，小，

且/PF遇、=60°,则C的离心率为（）

A.1--B.2-73D.V3-1

22

【解析】解法：如图，PFJPF2,故可设忸周则归用，

1^PF2FX=60°,=2,=6=

所以C的离心率厂库I

|阿।+|明

5#上E1/P月月二60。“csinZFPKsin90。

解法2：如图，210/PFF?=30=>e=-------------------------------=A/3—1.

[PFPFZPFF

X12sinZPFXF2+sin2Xsin30°+sin60°

r22

【典例4】已知片、鸟是双曲线C:=-勺=1的左、右焦点，点尸在。上，PR上PF2,且/尸片乙=30。,

ab

则双曲线C的离心率为_______.

【解析】解法L如图，由题意，不妨设怛周=1,则|尸用=百，闺闾=2,

所以e

KI-RII

sinN片尸月

解法2：如图，由题意，NPF2K=60。,NF]PF2=90。,所以e==A/3+1.

卜in/0片皂—sinN尸月团

【题型训练-刷模拟】

1.椭圆中的焦点三角形

①离心率公式的直接应用

一、填空题

22

1.设片、鸟是椭圆C:^+%=l(a>6>0)的左、右焦点，尸在C上且尸居，x轴，若NFFB=3Q°，则椭圆

C的离心率为

2.在△48C中，ABVAC,tanZABC=-则以5、。为焦点，且经过点4的椭圆的离心率为.

f3-----------

22

3.过椭圆\+==1(。>6>0)的左焦点耳作x轴的垂线交椭圆于/、8两点，椭圆的右焦点为外，若

ab

cosZAF2B=1,则椭圆的离心率为.

4.在中，AB=2,BC=1,且60。V//BCW90。，若以8、C为焦点的椭圆经过点4则该椭圆的离

心率的取值范围为.

5.在AP/B中，PALAB,tanZPBA=-,则以/、3为焦点，且经过点尸的椭圆的离心率为

2-----------

224

6.设片、月是椭圆Cx:=+v方=l(a>b>0)的左、右焦点，点尸在C上，且/尸片月=45。，cos/尸与耳=不

则椭圆C的离心率为.

7.在A48C中，NABC=30°,48=百，BC=1,若以8、C为焦点的椭圆经过点4则该椭圆的离心率为

22

8.过椭圆C奈+方=l(a>6>0)的左焦点/作x轴的垂线交椭圆C于/、8两点，若A4B。是等腰直角三

角形，则椭圆C的离心率为.

22

9.设耳、耳是椭圆C:1r+2=1(〃>6>0)的左、右焦点，过耳且斜率为G的直线/与椭圆C交于/、B

两点，AF2±F}F2,则椭圆C的离心率为.

22

10.设耳、B是椭圆£：与+方=1(°>6>0)的左、右焦点，以月月为直径的圆与椭圆的4个交点和片、F2

恰好构成一个正六边形，则椭圆E的离心率为.

22

11.已知尸、。为椭圆C：・+1r=1(。>6>0)上关于原点对称的两点，点P在第一象限，F「鸟是椭圆C

的左、右焦点，|。尸|=|。胤若驾之"，则椭圆C的离心率的取值范围为

1111|?用3-----------

②综合应用

一、单选题

1.设斗鸟为椭圆C：?+F=l的两个焦点，点?在。上，若丽.西=0,贝”列讣「与卜()

A.1B.2C.4D.5

22_

2.己知耳、鸟是椭圆C：二+4=1(。>方>0)的两个焦点，P为椭圆C上一点，且可，成.若△两耳的

ab

面积为9,则实数6的值为()

A.3B.4C.5D.6

22

3.已知6,鸟分别为椭圆C:二+匕=1的两个焦点，P为椭圆C上的一点，则△尸与心内切圆半径的最大

1612

值为（）

B.迪「26

A.V3V/•-----D.V2

33

22

4.已知点P在椭圆C:++]=l（a>6>0）上，点耳,匕分别为椭圆。的左、右焦点，并满足|OPH°W，A°PG

面积等于4,则/等于（）

A.2B.4C.8D.16

5.已知一个离心率为■长轴长为4的椭圆，其两个焦点为耳，耳，在椭圆上存在一个点尸，使得4/”=60。,

设△片尸鸟的内切圆半径为％则r的值为（）

A.—B.—C.—D.—

6323

6.已知耳（一。，0），《（。，0）是椭圆£的两个焦点，P是E上的一点，若两•成=0,且S阴%=。2,则£的

离心率为（）

A2百„V6「逝nV3

•JJ•L•\-）•

5322

2

f3

7.设。为坐标原点，耳,匕为椭圆C：二+v二=1的两个焦点，点P在。上，cos/F；PB=?,贝小。尸|=（）

965

13闻14J35

A.—B.4C.—D.庄

5252

8.片，耳是椭圆C的两个焦点，尸是椭圆。上异于顶点的一点，/是△尸片工的内切圆圆心，若△理工的

面积等于△用工的面积的4倍，则椭圆。的离心率为（）

A.-B.yC.—D.—

3222

X?V2

9.设尸2是椭圆C：酸+6=1（心6>0）的左、右焦点，。为坐标原点，点尸在椭圆。上，延长交

D.逑

B,正C.V3

33

22

10.已知耳，耳分别是椭圆£:「+方=1（。>6>0）的左，右焦点，若在椭圆E上存在点使得AMF；耳的

a

面积等于2/sin/呼叫，则椭圆E的离心率e的取值范围为（

A.B.C.D.加

22

11.已知耳，修分别是椭圆£：=+勺=1（a>6>0）的左、右焦点，点M在椭圆£上，ZF1MF2=6,

ab

△儿久居的面积为/sing,则椭圆£的离心率e的取值范围为（）

21］〃行］n后］S八

A.0,—B.0,--C.-D.--J

（2」I2［122jL2）

22

12.已知耳，匕是椭圆工+上一=1（%>1）的左、右焦点，点A是椭圆上的一个动点，若△/£区的内切圆半径

mm-\

的最大值是立，则椭圆的离心率为（）

3

,万

A.V2-1B.-C.—D.V3-1

22

二、填空题

13.已知椭圆：+指=1（0<6<3）的两个焦点分别为百，耳，离心率为半，点尸在椭圆上，若丽.丽=0,

则△尸4g的面积为.

14.P为椭圆<+1上的一点①和名是其左右焦点，若4时=60°,则△甲里的面积为_______.

a64

15.设点尸是椭圆;+?=1上的点，耳，鸟是该椭圆的两个焦点，若△咫工的面积为则

sinZF{PF2=.

22

16.已知点尸是椭圆宗+,=1上的点，点耳，匕是椭圆的两个焦点，若△片尸工中有一个角的大小为。，则

4F\PF°的面积为.

17.已知椭圆/+，=1（。>6>0）的两个焦点分别为大，工，5=，点尸在椭圆上，若钝笆W,且

△郎旦的面积为4,则椭圆的标准方程为.

18.已知椭圆C：］+g=l的焦点为大，F2,第一象限点尸在C上，且尸片/工=^,则△对工的内切圆

半径为.

22万

19.已知椭圆C:=+4=l（a>6>0）的两个焦点分别为耳、F2,离心率为三，点尸在椭圆上，若

ab2

,且△尸片工的面积为百，则C的方程为

20.耳，匕是椭圆C的两个焦点，P是椭圆C上异于顶点的一点，/是△因乙的内切圆圆心，若△尸片耳的

面积等于巴的面积的3倍，则椭圆C的离心率为.

22

21.已知椭圆C：]+}=l(a>6>0)的左、右焦点分别为耳，F2,若椭圆C上存在点W使三角形孙旦的

面积为标2,则椭圆C的离心率e的取值范围是.

2.双曲线中的焦点三角形

①离心率公式的直接应用

一、单选题

22

1.已知耳、E是双曲线E:?-2=1的左、右焦点，点M在£上，上阴与X轴垂直,sinZMF.F.=-,贝l]£

ab213

的离心率为()

A.V2B.-C.V3D.2

2

二、填空题

22

2.已知耳、工是双曲线。:三-冬=1的左、右焦点，过耳且与x轴垂直的直线与双曲线C交于/、5两点,

ab

若"BB是等腰直角三角形，则双曲线C的离心率为.

22

3.已知打、工是双曲线C:/方=1的左、右焦点，点P在C上，/尸片用=30。，|*=叱|,则双曲线

C的离心率为.

22

4.已知打、工是双曲线°：三-彳=1的左、右焦点，过耳且与x轴垂直的直线与双曲线C交于/、8两点,

ab

若A4B£是正三角形，则双曲线C的离心率为.

22

5.过双曲线C:0-4=1的左焦点尸作x轴的垂线交C于/、8两点，若是等腰直角三角形，则双曲

ab

线。的离心率为.

②综合应用

一、单选题

1.己知：双曲线反-/=1的左、右焦点分别为耳，鸟，点尸为其右支上一点，若4%=60。，则转尸区

的面积是（）

A.1B.41

C.V3D.2

22

2.已知双曲线C：V=l（a>0,6>0）的左、右焦点分别是耳，F2,P是双曲线。上的一点，且忸引=5,

ab

|尸用=3,桃=120。，则双曲线C的离心率是（）

7-77

A.-B.一C.—D.一

5432

B是双曲线《-q=1的左、

3.设片,右焦点，尸为双曲线上一点，且归耳|=3|尸局，则△声;巴的面积等

46

于()

A.6B.12C.6V10D.3屈

22

4.设B，F2是双曲线C:亮-方=1伍〉0）的两个焦点，P是双曲线。上一点，若/耳尸8=90。，且

的面积为9,则C的离心率等于（）

A.-B.2C.-D.-

342

5.设耳、与分别是双曲线C:/一片=1的左、右焦点，过心作x轴的垂线与C相交于A、B两点，若“BK

b

为正三角形，则。的离心率为（）

A.V2B.C.2后D.百

6.已知耳，耳是双曲线C的两个焦点，尸为C上一点，且/片根=120。，|尸用=4|尸阊，则C的离心率为（）

A.—B.—C.V7D.V13

35

7.已知双曲线=1的左右焦点分别为耳巴，若双曲线上一点P使得/片尸乙=60。，求△片「£的面

积（）

A.—B.C.773D.14月

33

2

8.已知双曲线C:/-匕=1的左、右焦点分别为片,与，点尸是C上的一点（不同于左，右顶点），且

3一

sin/PFE=2sinNPF{F2,则△尸片工的面积是（）

A.2B.3C.2GD.V15

22

9.设耳，鸟是双曲线?-3=19>0）的左、右焦点，过耳的直线/交双曲线的左支于A,B两点,若直线

了=修苫为双曲线的一条渐近线，|/a=2尸，则|/闾+忸阊的值为（）

A.11B.12C.14D.